y B = Compruebe que cuando la matriz encontrada se multiplica por la izquierda por C, se obtiene la matriz identidad.

Transcripción

1 MasMatescom Selectividad CCNN [ANDA] [EXT-A] Considera las matrices A = a) Halla, si es posible, A - y B - Halla el determinante de AB A t, siendo A t la matriz traspuesta de A c) Calcula la matriz X que satisface AX - B = AB [ANDA] [EXT-B] Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x - 4y + 6z = 6 my + z = m+ -x + 6y - mz = -9 a) Discute el sistema según los valores del parámetro m Resuélvelo para m = Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que y = [ANDA] [JUN-A] Sea M = - m+ m- a) Determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente independientes Estudia el rango de M según los valores de m c) Para m =, calcula la inversa de M 4 [ANDA] [JUN-B] Sea A = - a) Comprueba que A = I y calcula A - Calcula A y su inversa 5 [ARAG] [EXT-A] Considere el siguiente sistema de ecuaciones: x+4y+z= x + y + 4z = x + y + 6z = a) Determine los valores de para los que el sistema de ecuaciones tiene solución única Resuelva el sistema, si es posible, cuando = 4 y cuando = 6 [ARAG] [EXT-B] Sean A y B las dos matrices siguientes: A = a, B = a) Para qué valores de a existe la inversa de AB? Y la de BA? Encuentre la inversa de la matriz: C = a Compruebe que cuando la matriz encontrada se multiplica por la izquierda por C, se obtiene la matriz identidad 7 [ARAG] [JUN-A] Sea A la matriz A = 5-m - m a) Discuta el sistema que aparece a continuación, para cada uno de los valores de m y resuélvalo para los valores de m siguientes: m = - y m = Determine la inversa de la matriz A cuando m = AX = donde X = x y z de marzo de 5 Página de 7

2 MasMatescom Selectividad CCNN 8 [ARAG] [JUN-B] a) Determine el rango de la matriz A, que aparece a continuación, según los diferentes valores de a: a -a 6 A = - 4 a+-5- Determine, si existe, una matriz A, x, que verifique la siguiente ecuación matricial: Cuál es el rango de la matriz A? A - = - - -a 9 [ASTU] [EXT-A] Se considera la matriz A = --a -a a) Obtenga los valores de a para los que det(a) = Discuta el sistema homogéneo de matriz A según los valores del número real a c) Resuélvalo, si es posible, en el caso a = [ASTU] [EXT-B] En el primer curso de un centro de la Universidad de Oviedo se han matriculado 5 alumnos divididos en tres titulaciones distintas En la tercera titulación hay la tercera parte de alumnos que en la primera, y la diferencia de alumnos que hay entre la primera titulación y la segunda es inferior en dos alumnos al doble de los alumnos que hay en la tercera a) Establezca un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema, en función del número de alumnos de cada titulación, y obtenga el número de alumnos que hay en cada titulación Calcule el determinante de la matriz del sistema ax+y+z = [ASTU] [JUN-A] Dado el sistema x+ay+z = x+y+az = a) Estudie su compatibilidad según los valores del parámetro real a Resuélvalo cuando a sea nulo si es posible [ASTU] [JUN-B] Dado el número real a se considera la matriz A = valores de a Nota: A t es la matriz traspuesta de A a Halle el rango de la matriz A -A t, según los distintos [C-LE] [EXT-A] a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: Resolverlo para m = x-y+mz = x+y = m mx-y+mz = -m 4 [C-LE] [EXT-B] Sea la matriz M = a) Calcular M - Calcular la matriz X que cumple X M + M = M 5 [C-LE] [JUN-A] Sean las matrices A = a, B = - -4 y C = a) Calcular, cuando sea posible, las matrices C B t, B t C, B C de marzo de 5 Página de 7

3 MasMatescom Selectividad CCNN Hallar a para que el sistema x A + y B = 4 C de tres ecuaciones y dos incónitas x e y, sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de a 6 [C-LE] [JUN-B] Sea la matriz A = a - - a a) Para qué valores de a la matriz A es inversible? Estudiar el rango según los valores de a c) Hallar a para que se cumpla A - = 4 A 7 [C-MA] [EXT-A] a) Despeja X en la ecuación matricial X A - B = X, donde A, B y X son matrices cuadradas de orden Calcula X, siendo: A = [C-MA] [EXT-B] a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m x + y - 5z = - x - y - z = -m x -y+z= m Calcula la solución cuando el sistema sea compatible indeterminado 9 [C-MA] [JUN-A] a) Encuentra dos matrices A, B cuadradas de orden que cumplan: > Su suma es la matriz identidad de orden > Al restar a la matriz A la matriz B se obtiene la traspuesta de la matriz 4 Si M es una matriz cuadrada de orden tal que M = 7, razona cuál es el valor de los determinantes M y M [C-MA] [JUN-B] a) Sabiendo que A = a b c a b c =, donde a,b,c, calcula los determinantes: a- b- b- (a+) (b+) (c+) a - b - c - y a b c a b c indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta Razona que, puesto que A =, los parámetros a, b y c deben ser distintos entre sí (no puede haber dos iguales) 4 [CANA] [EXT-A] Dada la matriz A = m - -m a) Determinar los valores del parámetro m para los que la matriz A tiene inversa Calcular la inversa de la matriz A para m = [CANA] [EXT-B] Dado el siguiente sistema de ecuaciones: a) Discutirlo según los valores de m Resolverlo para m = y+x = (m-)x+y+z = m x+(m-)y-z = de marzo de 5 Página de 7

4 MasMatescom Selectividad CCNN [CANA] [JUN-A] Dado el siguiente sistema de ecuaciones: a) Discutirlo según los valores de m Resolverlo para m = x+y+(m+)z = x+(m-)y+z = x+my+z = - 4 [CANA] [JUN-B] Calcular las matrices A y B tales que: 5A + B = A + B = [CATA] [EXT] Sean las matrices: A = a b 4 c 5, B = 5b8 c 4 a, C = b -a - valor de estos parámetros para que ninguna de las tres matrices tenga inversa, donde a, b y c son parámetros reales Calcule el 6 [CATA] [JUN] Sabemos que el vector (,,-) es solución del sistema Calcule el valor de los parámetros a, b y c ax+by+cz = a+c bx-y+bz = a-b-c cx-by+z = b 7 [CATA] [JUN] Sea A = 6-6 p a) Qué significa que la matriz B sea la matriz inversa de A? Encuentre el valor del parámetro p para que la matriz inversa de A y la matriz transpuesta de A coincidan Nota: No aproxime las raíces mediante valores con decimales; trabaje con los radicales 8 [EXTR] [EXT-A] Dadas las matrices A = es la inversa de la matriz A - x y - - x y, estudie si existen números reales x e y tales que la matriz B 9 [EXTR] [EXT-B] a) Estudie para cuáles valores del parámetro m es compatible determinado el siguiente sistema de ecuaciones: (-m)x - y - z = - (m-)x + y - z = m x+y+z= Resuelva el anterior sistema de ecuaciones para m = [EXTR] [JUN-A] a) Encuentre, razonadamente, un valor del parámetro a para el que sea compatible determinado el sistema de ecuaciones ax+y+ z=a+ (a+)x - y - az = - -x + y + z = a Resuelva el sistema para el valor de a encontrado de marzo de 5 Página 4 de 7

5 MasMatescom Selectividad CCNN [EXTR] [JUN-B] Dadas las matrices A = - - -, I =, pruebe que la matriz inversa de A es A - = -A +A+I [MADR] [EXT-A] Dadas las matrices: A = a a a a aa aaa, X = x y z w, O =, se pide: a) Calcular el determinate de A Determinar el rango de A según los valores de a Resolver el sistema homogéneo AX = O en el caso a = c) Resolver el sistema homogéneo AX = O cuando a = - [MADR] [EXT-B] Dado el sistema de ecuaciones lineales: a) Discutirlos según los valores del parámetro Resolverlo para el caso = c) Resolverlo para el caso = - x + y+ z = - x + y +( -)z = -, se pide: ( -)x + y + z = - 4 [MADR] [JUN-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales: a) Discutirlo según los valores de a Resolverlo en el caso a = 4 c) Resolverlo en el caso a = ax+7y+5z= x+ay+ z=, se pide: y+ z=- 5 [MADR] [JUN-B] Dadas las matrices: A = --, B = -, se pide: a) Hallar el valor de para el cual la ecuación matricial XA = B tiene solución única Calcular la matriz X para = 4 c) Calcular el determinante de la matriz A B en función de 6 [MURC] [EXT-A] Clasifique y resuelva, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones: x+y+z = x+y+z = 4x+5y+z = 7 [MURC] [EXT-B] Sabiendo que a b c 6 indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes está utilizando a) a b c a b c a+6 b c+ a+ b+ c+ =, calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes, 8 [MURC] [JUN-A] Discuta, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones: x+y+z = x-ay+z = ax+y+z = 4 de marzo de 5 Página 5 de 7

6 MasMatescom Selectividad CCNN No hay que resolverlo en ningún caso 4 9 [MURC] [JUN-B] a) Compruebe que la matriz A = es regular (o inversible) y calcule su matriz inversa - - Resuelva la ecuación matricial AX + A = B, siendo A la matriz anterior 4 4 [RIOJ] [EXT] Encuentra los valores de a y b para los que A A t = I, donde A = orden y A t la matriz traspuesta de A cos b sen b -sen b cos b a, I es la matriz identidad de 4 [RIOJ] [EXT-A] Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius En función del parámetro a, discute y resuelve cuando sea posible el sistema de ecuaciones lineales: x+y+z = a x+y+az = x+ay+z = 4 [RIOJ] [JUN] Sea A una matriz cuadrada de orden con determinante A = Calcula los determinantes de la matriz A, la inversa A - y la traspuesta A t 4 [RIOJ] [JUN-B] Discute el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro a y resuelve cuando sea compatible determinado: (a-)y+4z = y-z = - ax-y+z = a 44 [VALE] [EXT-A] Comprobar razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado que: a) Si el producto de dos matrices cuadradas A y B es conmutativo, es decir que AB = BA, entonces se deduce que A B = (AB) Que la matriz A = -4-7 satisface la relación A -A+I = O, siendo I y O, respectivamente, las matrices de orden x unidad y nula, y que una matriz A tal que A -A+I = O tiene matriz inversa c) Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, los valores de y tales que A = A+ I, sabiendo que la matriz A verifica la igualdad A -A+I = O 45 [VALE] [EXT-B] Se da el sistema de ecuaciones escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Todas las soluciones del sistema cuando = 7 Los valores de para los que el sistema es compatible indeterminado c) Los valores de para los cuales el sistema es compatible determinado x+ y+z= x+ y+z=, donde es un número real Obtener razonadamente, x+5y+z= 46 [VALE] [JUN-A] Se tiene el sistema de ecuaciones escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La relación que deben verificar los números a, b y c para que el sistema sea compatible La solución del sistema cuando a = -, b = y c = c) La solución del sistema cuando los números a, b y c verifican la relación a = c = -b x+5y = a -x-4y = b, donde a, b y c son tres números reales Obtener razonadamente, x+y = c de marzo de 5 Página 6 de 7

7 MasMatescom Selectividad CCNN 47 [VALE] [JUN-B] Dadas las matrices A = siguientes, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) A+B y (A+B)- (A+B) - A y A - (A+B) c) ABA - y A B - -5, obtener razonadamente el valor de los determinantes Soluciones a) A - = m=:(-k,-k,k) 6 a {-,}: cd = - -; 4 a) c) ,,- 8 5,- 5 49, 8 a), a) m {,} a) m=: inc; m=: ci; m {,}: cd k-6,k,4-k 7A 5 a) 4 =4: inc; =: (,,) 6 a) a -, ; no 8 a) a=: ; a : , (-,,) a) m {-,} m {-,}:; m {-,}: c) a) m {,}: ci; m {,}:cd; m=-:(,,); 9 a) -, a {-,}: ci; a {-,}: cd c) (k,k,m) a) (,7,7) -5 a) a {-,}: inc; a, : ; a, : a) m {,}: ci; m {,}: cd (,,k) 4 a) a) a a=: ; a : c) 7 a) B(A-I) a) m=: ci; m : cd a) CB t = 8k-,7k-,k 9 a) 5, a) m {,}: ci; m {,}: cd (,,) a) m=-: inc; m=: ci; m {-,}:cd (k,-k-,) ,, 6,, 7 8 -, 9 a) m 7, 7,- -a +a a) a -, a, a +a - - a, -5a -a+ - a a) (a-) -a ; a=: - k+4 a; a=-: ; a {-,}: 4 (-k-m-n,k,m,n) c) (,k,,k) a) =: inc; =-: ci; {-,}: cd (,-,) c),k+,k 4 a) a=-:inc; a=: ci; a {-,}:cd (,,-) c) (k+7,-k-,k) 5 a) - -5 c) - -k ci 5,,k 7 a) - 8 a=: inc; a=-:ci; a {-,}:cd 9 a) 5 4 a=, b 4 a=: ci (-k-m,k,m); a : cd (a+,-,-) 4 6, a-, 4 a=: inc; a=:ci; a {,}: cd a,, 44 A - = - (A-I) c) 7, a) -k 8,-k,k 8 {,7} c) {,7} 46 a) 7a+8b-c= (,-) c) (-b,) 47 a) 4, 9, 6 c) -, ; B t C -, de marzo de 5 Página 7 de 7