x y z, X =, O = a a x y z, X =, B =

Transcripción

1 [4] [EXT-A] Dadas las matrices A = a a a a- a, X =, O = a) Determinar el valor o valores de a para los cuales no eiste la matri inversa A - b) Para a = -, hallar la matri inversa A - c) Para a =, calcular todas las soluciones del sistema AX = O a [4] [EXT-B] Dada la ecuación matricial =, donde B es una matri cuadrada de tamaño 7 B a) Calcula el valor o valores de a para los que esta ecuación tiene solución b) Calcular B en el caso a = [4] [EXT-B] Estudiar el rango de la matri A = a 6-4 a según los valores del parámetro a 4 [4] [JUN-A] Dadas las matrices A =, X =, B =, O = a) Calcula,, para que sea locición del sistema AX = B b) Si = =, qué condición o condiciones debe cumplir para que el sistema lineal homogéneo AX = O sea compatible determinado? c) Si = -, = =, resuleve el sistema AX = B - - a 5 [4] [JUN-B] Dada la matri A = - a a - a) Hallar el valor o valores de a para que la matri A tenga inversa b) Calcular la matri inversa A - de A, en el caso a = 6 [4] [JUN-B] Por la compra de cinco cuadernos, dos rotuladores tres bolígrafos se han pagado veintidós euros Si se compran dos cuadernos, un rotulador seis bolígrafos, el coste es de catorce euros Se pide: a) Epresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno lo que costaría un rotulador b) Calcular lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos tres rotuladores 7 [] [EXT-A] Dadas las matrices: A = a a a a aa aaa, X = w, O = a) Calcular el determinate de A Determinar el rango de A según los valores de a b) Resolver el sistema homogéneo AX = O en el caso a = c) Resolver el sistema homogéneo AX = O cuando a = - 8 [] [EXT-B] Dado el sistema de ecuaciones lineales: a) Discutirlos según los valores del parámetro b) Resolverlo para el caso = c) Resolverlo para el caso = = - + +( -) = - ( -) + + = - 4 de mar<o de 5 Página de

2 9 [] [JUN-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales: a) Discutirlo según los valores de a b) Resolverlo en el caso a = 4 c) Resolverlo en el caso a = a+7+5= +a+ = + =- [] [JUN-B] Dadas las matrices: A = --, B = - a) Hallar el valor de para el cual la ecuación matricial XA = B tiene solución única b) Calcular la matri X para = 4 c) Calcular el determinante de la matri A B en función de [] [EXT-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales a) Discutir el sistema segun los valores de a b) Resolverlo para a = - + a+4= 6 + (a+) + = (a-) - a - = - [] [EXT-B] Dado el sistema de ecuaciones lineales a) Discutir el sistema según los valores de a b) Resolverlo para a = -5 -= a - + = -8 + a = 4 [] [JUN-A] Dadas las matrices A = k k k - k k -, B = a) Hallar el rango de A en funcion de los valores de k b) Para k =, hallar, si eiste, la solucion del sistema AX = B c) Para k =, hallar, si eiste, la solucion del sistema AX = C 6 8, C = 4, X = 4 [] [JUN-B] Dadas las matrices A = - -, B = a a) Estudiar el rango de la matri B en función de a b) Para a =, calcular la matri X que verifica AX = B a +a 5 [] [JUN-B] Calcular el valor del determinante 6 [] [EXT-A] Calcular el rango de la matri A = - - a -a a+ a según los valores del parámetro a 7 [] [EXT-A] Dada la matri M = sen cos cos -sen 4 de mar<o de 5 Página de

3 a) Calcular el determinante de la matri M b) Hallar la matri M c) Hallar la matri M 5 8 [] [EXT-B] Dado el sistema de ecuaciones lineales a) Discutirlo en función del valor del parámetro k b) Resolver el sistema para k = b) Resolver el sistema para k = + 4 = 4k -k +k +k= + k = k a - a 9 [] [JUN-A] Dada la matri A = - a -, a a) Calcular el rango de A en función de los valores de a b) En el caso a =, discutir el sistema A c) En el caso a =, resolver el sistema A = = b - en función de los valores de b, resolverlo cuando sea aposible [] [JUN-B] a) Discutir el sistema de ecuaciones AX = B, donde A = de m b) Resolver el sistema en los casos m = m = m- m- m-, X =, B = m m m-, según los valores m- m [] [EXT-A] Dada la matri: A = m- m m- a) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro m b) En el caso m =, resolver el sistema A t = +-= [] [EXT-B] Dado el sistema: - += a) Estudiar la compatibilidad del sistema b) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado Raonar la respuesta c) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible Raonar la respuesta -a a [] [EXT-B] Dada la matri: A = a a- a a+ a) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a b) Para qué valores de a eiste la matri inversa A -? Calcular A - para a = 4 [] [JUN-A] Dado el sistema homogéneo de ecuaciones: +k- = - += -4+k= 4 de mar<o de 5 Página de

4 a) Determinar para qué valores del parémetro k el sistema tiene soluciones distintas de = = = b) Resolverlo para el caso k = 5 [] [JUN-A] Dadas las matrices: A = -, I = a) Hallar dos constantes a; b, tales que A = aa+bi b) Sin calcular eplícitamente A A 4, utiliando sólo la epresión anterior, obtener la matri A 5 6 [] [JUN-B] Dado el sistema de ecuaciones: a) Discutirlo según los valores del parámetro a b) Resolverlo en el caso a = +a- = a a + = - + =- mm 7 [9] [EXT-A] Dada la matri M = m a) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matri A es invertible b) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matri A 5 es invertible c) Para m = - calcular, si es posible, la matri inversa M - de M ++ = 8 [9] [EXT-B] Dado el sistema -+ = - + = a) Obtener los valores del parámetro para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de = = = b) Resolver el sistema para = 5 9 [9] [EXT-B] Dadas las matrices A = 4- matricial AXB = A+B B = 4 - -, obtener una matri cuadrada X de orden que verifique la ecuación [9] [JUN-A] Dado el sistema = +- = = 9 a) Discutir el sistema según los valores del parámetro b) Resolver el sistema para = - - = [9] [JUN-B] Dado el sistema - = 4 - = a) Discutir el sistema según los valores del parámetro b) Resolver el sistema cuando sea posible [9] [JUN-B] Dada la matri A = a a a a) Estudiar el rango de la matri A según los valores del parámetro a b) Obtener la matri inversa de A para a = - 4 de mar<o de 5 Página 4 de

5 a+ [8] [EXT-A] Dada la matri A = a a+ a) Determinar el rango de A según los valores del parámetro a b) Decir cuándo la matri A es invertible Calcular la inversa para a = 4 [8] [EXT-B] Resolver el siguiente sistema: - + -v = v = v = -8 + = 5 [8] [EXT-B] El cajero automático de una cierta entidad bancaria sólo admite billetes de 5, de de euros Los viernes depositan en el cajero 5 billetes por un importe de 7 euros Averiguar el número de billetes de cada valor depositado, sabiendo que la suma del número de billetes de 5 de euros es el doble que el número de billetes de euros -a = 6 [8] [JUN-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales a- = a+ (a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a Resolverlo cuando la solución sea única (b) Determinar para qué valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que = 7 [8] [JUN-B] Dada la siguiente matri de orden n: A n = (a) Calcular el determinante de la matri A (b) Calcular el determinante de la matri A (c) Calcular el determinante de la matri A [7] [EXT-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales +(k+)+ = - k++ = k (k-)-- = k+ a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro k b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones 9 [7] [EXT-B] Calcular una matri cuadrada X sabiendo que verifica XA +BA = A, siendo: A= B= = 4 [7] [EXT-B] Dado el sistema de ecuaciones ++ = 5 a) Calcular a b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma a++b = el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4 4 [7] [JUN-A] Estudiar el rango de la matri A = m m- m(m-) m m m m- según los valores del parámetro m 4 de mar<o de 5 Página 5 de

6 4 [7] [JUN-A] Sean las matrices A = - B = Hallar una matri X tal que XAX- = B 4 [7] [JUN-B] Dadas las matrices A = 5 5 B = a b c c se pide: a) Encontrar las condiciones que deben cumplir a, b c para que se verifique AB = BA b) Para a = b = c =, calcular B 44 [6] [EXT-A] Dadas las matrices A = -8 -, I = a) Comprobar que det A = det(a) que det(a+i) = det(a)+det(i) b) Sea M una matri cuadrada de orden Se puede asegurar que se cumple que det M = det(m)? Raonar la respuesta c) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden, tales que: det(m+i) = det(m)+det(i) +- = 45 [6] [EXT-B] a) Resolver el sistema de ecuaciones +- = 5 b) Hallar la solución del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a cada una de las tres incógnitas sea igual a 4 46 [6] [EXT-B] a) Hallar todas las matrices A = a a b distintas de la matri tales que A = A b) Para una cualquiera de las matrices A obtenidas en el apartado a), calcular M = A+A ++A 47 [6] [JUN-A] Dado el sistema homogéneo Resolverlo en tales casos +k- = k-+ = averiguar para qué valores de k tiene soluciones distintas de === (k+)+ = 48 [6] [JUN-A] Dada la matri a = encontrar todas las matrices P = ab cd tales que AP = PA -a 49 [6] [JUN-B] Dada la matri M = a - a a) Determinar el rango de M según los valores del parámetro a b) Determinar para qué valores de a eiste la matri inversa de M Calcular dicha matri inversa para a = 5 [5] [EXT-A] Dadas las matrices A = e I = a) Hallar dos constante tales que: A = A+ I b) Calcular A 5 utiliando la epresión obtenida en el apartado anterior c) Hallar todas las matrices X que satisfacen: (A-X)(A+X) = A -X 5 [5] [EXT-B] Dadas las matrices A = a) Hallar A b) Hallar la matri inversa de B c) En el caso particular de k =, hallar B k t k B = k t k : 4 de mar<o de 5 Página 6 de

7 (m-)++ = 5 [5] [JUN-A] Dado el sistema de ecuaciones m+(m-)+ = m- ++(m-) = 4 a) Discutirlo según los distintos valores de m b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado ++ = 5 [5] [JUN-B] a) Resolver el sistema de ecuaciones +- = b) Hallar dos constante de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación: 5++ = el sistema resultante sea compatible indeterminado 54 [5] [JUN-B] Hallar una matri X tal que: A - XA = B, siendo A = - - B = - 55 [4] [EXT-A] Dadas las matrices A = a) Determinar la matri inversa de B b) Determinar una matri X tal que A = X B B = - : 56 [4] [EXT-A] a) Si A es una matri tal que A =, cuál es el valor del determinate de A? b) Calcular un número k tal que k = 57 [4] [EXT-B] a) Discutir según los valores del parámetro real el sistema b) Resolver el sistema anterior para el caso = ++ = + + = +- = (-a)-+4 = 58 [4] [JUN-A] Dado el sistema -(+a)+ = -+a- = a) Estudiar la compatibilidad según los valores del parámetro a b) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado 59 [4] [JUN-B] Dadas las matrices A = B = - a) Hallar A - b) Hallar la matri X tal que A X A t = B (A t significa la matri traspuesta de A) + = 6 [4] [JUN-B] a) Dado el sistema, escribir una tercera ecuación de la forma a+b = c (distinta de las dosanteriores) - = de manera que el sistema de tres ecuaciones dos incógnitaas resultante siga siendo compatible +- = b) Dado el sistema, escribir una tercera ecuación de la forma + + = (distinta de las dos anteriores) de forma ++ = que el sistema de tres ecuaciones tres incógnitas resultante sea compatible indeterminado 4 de mar<o de 5 Página 7 de

8 6 [] [EXT-A] Se considera el sistema de ecuaciones +4+ = 9 m++ = 5 ++ = Se pide: a) Determinar el valor de m para que el sistema dado tenga solución única b) Resolverlo para m = 6 [] [EXT-B] Un maorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A, billetes a destinos nacionales, billetes a destinos etranjeros europeos comunitarios billetes a destinos internacionales no comunitarios cobrando por todo ello euros A una segunda agencia B le vende billetes a destinos nacionales a internacionales no comunitarios cobra euros A una tercera agencia C le vende billetes a destinos nacionales a destinos etranjeros europeoscomunitarios, cobrando 7 euros Se pide: a) Hallar el precio de cada tipo de billete b) Por raones de mercado, el maorista se ve obligado a bajar un por ciento el precio de todos los billetes nacionales Hallar en qué porcentaje debe incrementar el precio de todos los billetes etranjeros europeos comunitarios (suponiendo que mantiene constante el precio de todos los billetes internacionales no comunitarios) para mantener constantes sus ingresos totales por las ventas a las tres agencias 6 [] [EXT-B] a) Sean A B dos matrices invertibles que verifican la igualdad A+B = AB Comprobar que entonces se tiene la fórmula: (I-B) - = B - A (donde I denota la matri identidad) b) Dada la matri A = -, hallar la matri B para la cual se verifica A+B = AB - 64 [] [JUN-A] Se considera el sistema de ecuaciones a) Resolverlo para m = b) Discutirlo para los distintos valores de m (m+)+(m-)- = m-+ = +m- = 65 [] [JUN-B] Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la igualdad: a ab b a a+b b = (a-b) 66 [] [JUN-B] Encontrar un número real todas las matrices B de dimensión (distintas de la matri nula) tales que B = B 9 67 [] [EXT-B] Sea A una matri real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A = I, siendo I la matrid identidad de orden n Se pide: a) Epresar A - en términos de A b) Epresar A n en términos de A e I, para cualquier número natural n c) Calcular A para que A = I, siendo A la matri : A = a 68 [] [JUN-A] Calcular las edades actuales de una madre sus dos hijos sabiendo que hace 4 años la edad de la madre era cinco veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento que cuando el hijo maor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 4 años 69 [] [JUN-A] Calcular el rango de la matri A según los valores del parámetro real a: A = a a de mar<o de 5 Página 8 de

9 7 [] [JUN-B] Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: - = a++ = -+a = Se pide: a) Discutir el sistema según los diferentes valores del parámetro a b) Resolver el sistema para a = - c) Resolver el sistema para a = 7 [] [EXT-A] Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a b) Resolver el sistema para a = c) Resolver el sistema para a = a++4 = -+a- = + = a 4 7 [] [EXT-B] Dada la matri A = a) Comprobar que se verifica la igualdad A +I = O, siendo I la matri identidad O la matri nula b) Justificar que A tiene inversa obtener A - c) Calcular A 7 [] [JUN-A] Dado el sistema de ecuaciones a) Discutirlo, según los valores del parámetro a b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones ++ = -+ = 5-+a = 6 74 [] [JUN-A] Sea k un número natural sean las matrices A = a) Calcular A k b) Hallar la matri X que verifica la ecuación: A k X = BC, B = -, C = 75 [] [JUN-B] Se considera el sistema de ecuaciones a) Discutirlo según los valores del parámetro real b) Resolverlo para = - c) Resolverlo para = = 76 [] [EXT-A] Considerar el sistema de ecuaciones a) Discutirlo, según los valores del parámetro b) Resolverlo para = c) Resolverlo para = + = ( -)++ = +( -)- =, donde es un número real 4 de mar<o de 5 Página 9 de

10 77 [] [EXT-B] a) Discutir en función de los valores de k resolver el sistema S ++5 = -k = -+ = b) Discutir en función de los valores de resolver en los casos de compatibilidad el sistema S ++5 = - = -+ = ++ = 78 [] [JUN-A] Para una matri cuadrada se define su traa como la suma de los elementos de la diagonal principal En lo que sigue, A B son matrices cuadradas a) Comprobar que se verifica Traa(A+B) = Traa(A)+Traa(B) b) Comprobar que Traa(AB) = Traa(BA) c) Utiliando los resultados anteriores, demostrar que es imposible tener AB-BA = I, donde I denota la matri identidad d) Encontrar dos matrices A B para las que Traa(AB) Traa(A) Traa(B) a++ = (a-)(a+) 79 [] [JUN-B] Se considera el sistema de ecuaciones +a+ = (a-) (a+) ++a = (a-) (a+) a) Comprobar que es compatible para todo valor de a b) Describir en términos geométricos el conjunto de soluciones para a = para a = - c) Resolverlo para a = - Soluciones a) a {,,} b) k c) -k a) a b) 5 5 a=6: ; a 6: 4 4 a), 9 - -, - b) a {,} c) 5 a) a b) a) =9-6; -8 8 k 6-5 =6-4 b) 7 a) (a-) -a k+4 ; a=: a; a=-: ; a {-,}: 4 b) (-k-m-n,k,m,n) c) (,k,,k) 8 a) =: inc; =-: ci; {-,}: cd b) (,-,) c),k+,k 9 a) a=-:inc; a=: ci; a {-,}:cd b) (,,-) c) (k+7,-k-,k) a) - b) -5 c) a) a= -5 5 : inc; a= -: ci; a -5,- : cd b) (-k,+k,k) a) a = 7 4-4: ci; a -4: cd b) (,-,) a) k {-,,}: ; k {-,,}: b) 8 c) no 4 a) a=: ; a : b) (-)(-)(-) 6, a 7 a) - b) c) M 8 a) k {,}: ci; k {,}: cd b) (,,-) c) (4-m,m,6-m) 9 a) a {-,}: ; a {-,}: b) b = :ci (-k,,k); b : inc c) (,,-) a) m = : inc; m = : ci; m {,}: cd b) m = : (-,k,k); m = : (-,,) a) m=: ; m=-: ; m {-,}: b) (-k,-k,k,) a) ci a) a {,}: ; a {,}: b) a {,}; a) -5, b) -5m 7,4m - 9,m 5 a) -, b) a), 5 b) (k,-k,-k) 9 a {-,}: b) a) a=: inc; a=: ci; a {,}: cd b) (-,k,-) 7 a) m {,} b) m {,} c) , 5, : inc;,, : cd b) (-,-,-) {,6}:inc; {,6}: cd b) =: (,-); =6: (-4,-4) a) a=: ; a=-: ; 5 a) a -, -- 5, (a) a = -: inc a = : comp ind a {-,}: compdet a+ a+, - a+ : rg(a) = ; a -, -- 5,-+ 5 : rg(a) = b) k,,k, de, 75 de de (b) -, 7 (a) (b) (c) 8 a) k = : inc ; k = : ci ; k, : cd b) - 7-k 5,-4-k 5,k 9-4 a) a =, b = -7 b) 5,-,- 4 m {,}: ; m {,}: 4 c/ d 5 5 c, d 4 a) a = b = c b) 5 5 c d - 44 c) a b 45 a) 8k-5,5-5k,k, k b),, 46 a) c -a, b) A 47 k = -: m,,m ; k = : m,-m,-5m, m 48 a b a 49 a) a {-,,}: ; a {-,,}: b) a {-,,}: k k a b -t t a), - b) c) ; a,b 5 a) b) -k c) a a) m = 4: comp ind; m {-,}: incomp; m {-,,4}: comp det b) 5,9-5k 5,k 5 a) 5k+,-7k,k b) -6, a) b) a) b) 57 a) - {-,}: comp ind {-,}: comp det b) (,-k,k) 58 a) a = -: comp ind; a -: comp det b) (k,,-k) 59 a) b) a) m b) (--k,,k) de mar<o de 5 Página de

11 k 6 a), 4, 5 b) '5% 6 b) B = - 64 a),, b) m {-,]: inc ; m {-,}: cd 66 = B = a c a,c 67 a) A- = A b) A n = I si n par A si n impar c) , 8, 6 69 a = -4: ; a -4: 7 a) a = : incomp; a = -: comp indet; a {-,}: compdet b) (+k,k,) c),-,- 7 a) a = : comp indet; a = -: incomp; a {-,}: comp det b) 5, 5,7 4-5k c) (-k,-k,k) 7 b) c) a) a = 8: compindet; a 8: compdet b) 5,-k,k a) k k b) a) = : compindet; = -: compdet; {-,}: incomp b) (-,-,-) c) (a,b,-a-b) 76 a) {,}: compindet; {,}: compdet b) (,-k,k) c) (,,) 77 a) k = : compindet (-c,-c,c) ; k : compdet (,,) b) = 7 : incomp 7 : compdet - -7, - -7, -7 coincidentes; a = -: se cortan en una recta; a {-,}: se cortan en un punto c) (k,k,k) 79 b) a = : planos 4 de mar<o de 5 Página de