Semana 14 [1/28] Matrices. 22 de julio de Matrices

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Antonia Morales Muñoz
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1 Semana 14 [1/28] 22 de julio de 2007

2 Definiciones básicas Semana 14 [2/28] Definiciones básicas Matriz Una matriz A, de m filas y n columnas con coeficientes en el cuerpo Ã (en este apunte Ã será Ê ó C) es una tabla de doble entrada: A = a 11 a 1n.., a ij Ã, i = 1,..., m, j = 1,..., n. a m1... a mn Notación A = (a ij ). M mn (Ã): de m n a coeficientes en Ã.

3 Definiciones básicas Semana 14 [3/28] Definiciones básicas Matriz Una matriz A, de m filas y n columnas con coeficientes en el cuerpo Ã (en este apunte Ã será Ê ó C) es una tabla de doble entrada: A = a 11 a 1n.., a ij Ã, i = 1,..., m, j = 1,..., n. a m1... a mn Notación A = (a ij ). M mn (Ã): de m n a coeficientes en Ã.

4 Definiciones básicas Semana 14 [4/28] Definiciones básicas Matriz Una matriz A, de m filas y n columnas con coeficientes en el cuerpo Ã (en este apunte Ã será Ê ó C) es una tabla de doble entrada: A = a 11 a 1n.., a ij Ã, i = 1,..., m, j = 1,..., n. a m1... a mn Notación A = (a ij ). M mn (Ã): de m n a coeficientes en Ã.

5 Definiciones básicas Semana 14 [5/28] Igualdad de matrices Igualdad de matrices A M mn (Ã), B M m n (Ã), son iguales si y sólo si: (m = m ) (n = n ) ( i {1,..., m}, j {1,..., n}, a ij = b ij )

6 Definiciones básicas Semana 14 [6/28] Igualdad de matrices Igualdad de matrices A M mn (Ã), B M m n (Ã), son iguales si y sólo si: (m = m ) (n = n ) ( i {1,..., m}, j {1,..., n}, a ij = b ij )

7 Definiciones básicas Semana 14 [7/28] Estructura Suma de matrices A, B M mn (Ã), A + B = (a ij + b ij ) (M mn (Ã), +) tiene estructura de grupo Abeliano.

8 Definiciones básicas Semana 14 [8/28] Estructura Suma de matrices A, B M mn (Ã), A + B = (a ij + b ij ) (M mn (Ã), +) tiene estructura de grupo Abeliano.

9 Definiciones básicas Semana 14 [9/28] Estructura Producto de matrices A = (a ij ) M mr (Ã), B = (b ij ) M rn (Ã) se define C = AB como C M mn (Ã) tal que c ij = r a ik b kj, k=1 i = 1,..., m, j = 1,...,n. (M nn (Ã), +, ) es un anillo con unidad (existe neutro para ). Atención La multiplicación de matrices NO es conmutativa.

10 Definiciones básicas Semana 14 [10/28] Estructura Producto de matrices A = (a ij ) M mr (Ã), B = (b ij ) M rn (Ã) se define C = AB como C M mn (Ã) tal que c ij = r a ik b kj, k=1 i = 1,..., m, j = 1,...,n. (M nn (Ã), +, ) es un anillo con unidad (existe neutro para ). Atención La multiplicación de matrices NO es conmutativa.

11 Definiciones básicas Semana 14 [11/28] Estructura Producto de matrices A = (a ij ) M mr (Ã), B = (b ij ) M rn (Ã) se define C = AB como C M mn (Ã) tal que c ij = r a ik b kj, k=1 i = 1,..., m, j = 1,...,n. (M nn (Ã), +, ) es un anillo con unidad (existe neutro para ). Atención La multiplicación de matrices NO es conmutativa.

12 Definiciones básicas Semana 14 [12/28] invertible Matriz invertibles A M nn (Ã) es invertible si y sólo si existe B M nn (Ã) tal que: AB = BA = I. (1) De existir una matriz B que satisfaga (1), esta es única. Por ende la notaremos B = A 1.

13 Definiciones básicas Semana 14 [13/28] invertible Matriz invertibles A M nn (Ã) es invertible si y sólo si existe B M nn (Ã) tal que: AB = BA = I. (1) De existir una matriz B que satisfaga (1), esta es única. Por ende la notaremos B = A 1.

14 Definiciones básicas Semana 14 [14/28] particulares particulares A M nn (Ã) es: Diagonal si y sólo si a ij = 0 i j: A = a 11 0 a a nn. En este caso la matriz es notada A = diag(a 11, a 22,..., a nn ). Triangular superior si y sólo si a ij = 0 si i > j: a 11 a 12 a 1n A = 0 a 22 a 2n a nn

15 Definiciones básicas Semana 14 [15/28] particulares particulares A M nn (Ã) es: Diagonal si y sólo si a ij = 0 i j: A = a 11 0 a a nn. En este caso la matriz es notada A = diag(a 11, a 22,..., a nn ). Triangular superior si y sólo si a ij = 0 si i > j: a 11 a 12 a 1n A = 0 a 22 a 2n a nn

16 Definiciones básicas Semana 14 [16/28] particulares Triangular inferior si y sólo si a ij = 0 si i < j: a A = a 21 a a n1 a n2 a nn

17 Definiciones básicas Semana 14 [17/28] Notación por filas y columnas Notación Dada una matriz A M mn (Ã) notaremos su i-ésima fila como: A i = (a i1 a i2... a in ) y su j-ésima columna: Entonces: A = (A 1, A 2,..., A n ), A = A 1 A 2. A m, A j = a 1j a 2j. a mj llamada notación por columnas. llamada notación por filas.

18 Definiciones básicas Semana 14 [18/28] Notación por filas y columnas Notación Dada una matriz A M mn (Ã) notaremos su i-ésima fila como: A i = (a i1 a i2... a in ) y su j-ésima columna: Entonces: A = (A 1, A 2,..., A n ), A = A 1 A 2. A m, A j = a 1j a 2j. a mj llamada notación por columnas. llamada notación por filas.

19 Definiciones básicas Semana 14 [19/28] Mutiplicación por diagonales Ponderación de matrices Dada una constante λ Ã, definimos la matriz A ponderada por λ: λa = (λa ij ). Si D = diag (λ 1,..., λ n ) M nn (Ã), A M np (Ã), B M mn (Ã), se tiene que λ 1 A 1 DA =., (2) λ n A n BD = (λ 1 B 1,..., λ n B n ). (3)

20 Definiciones básicas Semana 14 [20/28] Mutiplicación por diagonales Ponderación de matrices Dada una constante λ Ã, definimos la matriz A ponderada por λ: λa = (λa ij ). Si D = diag (λ 1,..., λ n ) M nn (Ã), A M np (Ã), B M mn (Ã), se tiene que λ 1 A 1 DA =., (2) λ n A n BD = (λ 1 B 1,..., λ n B n ). (3)

21 Definiciones básicas Semana 14 [21/28] Multiplicación entre matrices triangulares El producto de matrices triangulares inferiores (superiores) es triangular inferior (superior).

22 Definiciones básicas Semana 14 [22/28] Potencias Potencias de una matriz Dada A M nn (Ã) A 0 = I, A n = AA n 1, n 1. Matriz traspuesta Dada A = (a ij ) M mn (Ã), se define la traspuesta de A como aquella matriz de n m que denotaremos por A t tal que (A t ) ij = a ji. Matriz simétrica A M nn (Ã) es simétrica si y sólo si A = A t Es fácil verificar que A es simétrica si y sólo si: a ij = a ji i, j = 1,.., n

23 Definiciones básicas Semana 14 [23/28] Potencias Potencias de una matriz Dada A M nn (Ã) A 0 = I, A n = AA n 1, n 1. Matriz traspuesta Dada A = (a ij ) M mn (Ã), se define la traspuesta de A como aquella matriz de n m que denotaremos por A t tal que (A t ) ij = a ji. Matriz simétrica A M nn (Ã) es simétrica si y sólo si A = A t Es fácil verificar que A es simétrica si y sólo si: a ij = a ji i, j = 1,.., n

24 Definiciones básicas Semana 14 [24/28] Potencias Potencias de una matriz Dada A M nn (Ã) A 0 = I, A n = AA n 1, n 1. Matriz traspuesta Dada A = (a ij ) M mn (Ã), se define la traspuesta de A como aquella matriz de n m que denotaremos por A t tal que (A t ) ij = a ji. Matriz simétrica A M nn (Ã) es simétrica si y sólo si A = A t Es fácil verificar que A es simétrica si y sólo si: a ij = a ji i, j = 1,.., n

25 Definiciones básicas Semana 14 [25/28] Propiedades traspuesta 1 (A t ) t = A, A M mn (Ã). 2 (AB) t = B t A t. 3 Si D M nn (Ã) es diagonal, entonces D t = D.

26 Definiciones básicas Semana 14 [26/28] Propiedades traspuesta 1 (A t ) t = A, A M mn (Ã). 2 (AB) t = B t A t. 3 Si D M nn (Ã) es diagonal, entonces D t = D.

27 Definiciones básicas Semana 14 [27/28] Propiedades traspuesta 1 (A t ) t = A, A M mn (Ã). 2 (AB) t = B t A t. 3 Si D M nn (Ã) es diagonal, entonces D t = D.

28 Definiciones básicas Semana 14 [28/28] Propiedades inversa Sean A, B M nn (Ã) invertibles entonces: 1 La inversa de A es invertible y (A 1 ) 1 = A. 2 El producto AB es invertible y (AB) 1 = B 1 A 1. 3 n 0, (A n ) 1 = (A 1 ) n. 4 A t es invertible y (A t ) 1 = (A 1 ) t.

29 Definiciones básicas Semana 14 [29/28] Propiedades inversa Sean A, B M nn (Ã) invertibles entonces: 1 La inversa de A es invertible y (A 1 ) 1 = A. 2 El producto AB es invertible y (AB) 1 = B 1 A 1. 3 n 0, (A n ) 1 = (A 1 ) n. 4 A t es invertible y (A t ) 1 = (A 1 ) t.

30 Definiciones básicas Semana 14 [30/28] Propiedades inversa Sean A, B M nn (Ã) invertibles entonces: 1 La inversa de A es invertible y (A 1 ) 1 = A. 2 El producto AB es invertible y (AB) 1 = B 1 A 1. 3 n 0, (A n ) 1 = (A 1 ) n. 4 A t es invertible y (A t ) 1 = (A 1 ) t.

31 Definiciones básicas Semana 14 [31/28] Propiedades inversa Sean A, B M nn (Ã) invertibles entonces: 1 La inversa de A es invertible y (A 1 ) 1 = A. 2 El producto AB es invertible y (AB) 1 = B 1 A 1. 3 n 0, (A n ) 1 = (A 1 ) n. 4 A t es invertible y (A t ) 1 = (A 1 ) t.

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