UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA ÁLGEBRA LINEAL. Apunte del Curso

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1 UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA ÁLGEBRA LINEAL Apunte del Curso Mauricio Vargas S. mauvarga@fen.uchile.cl

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3 Apunte del Curso Álgebra Lineal 1 Mauricio Vargas S. Universidad de Chile 9 de agosto de Este apunte se encuentra en estado de corrección y evolución. Los contenidos se basan en las clases del profesor Máximo Lira y de ninguna forma este apunte reemplaza las clases. La finalidad es reforzar las ideas principales y entregar demostraciones que no se tratan en clase. Puede contener y seguramente contiene errores, favor de comunicarlos a mauvarga@fen.uchile.cl. Derechos reservados bajo licencia CreativeCommons (CC-BY-NC-ND)

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5 Índice general Contenidos I 1. Definiciones Previas Ley de Composición Interna Ley de Composición Externa Estructuras Algebraicas Grupo Grupo Abeliano o Conmutativo Anillo Cuerpo Propiedades de los Números Reales Axiomas en R Matrices Matrices Igualdad de Matrices Operaciones con Matrices Suma de Matrices Propiedades de la Suma de Matrices Ponderación de Matriz por Escalar Propiedades de la Ponderación de Matriz por Escalar

6 ii ÍNDICE GENERAL Producto de Matrices Propiedades del Producto de Matrices Transposición de matrices Propiedades de la Transposición de Matrices Operaciones Elementales de Fila Determinante de una Matriz Operaciones Inversas Tipos de Matrices Matriz Fila Matriz Cuadrada Matriz Triangular Matriz Diagonal Matriz Escalar Matriz Identidad Matriz Simétrica Matriz Antisimétrica Matriz Nula Matriz Inversa Propiedades de la Inversa Polinomios de Matrices Polinomio Característico Métodos Para Invertir Matrices Matriz Ampliada Matriz Adjunta Teorema de Cayley-Hamilton Equivalencia por Filas de una Matriz Valores y Vectores Propios Sistemas de Ecuaciones Lineales 41

7 iii 3.1. Notación Matricial de un Sistema de Ecuaciones Rango por Filas Algoritmo tipo solución Soluciones de un S.E.L Solución general de un S.E.L Solución Particular de un S.E.L Sistemas Homogéneos Formas de Resolución Método de Gauss Regla de Cramer Escalares, Vectores y Espacios Vectoriales Escalar Vector Espacio Vectorial Espacios Vectoriales Usuales Espacio Vectorial R 2 /R R n /R R n [x]/r (Polinomios reales de grado n sobre R) C[a, b] (Funciones reales continuas sobre [a, b]) Base de V/K Bases Canónicas Dimensión de V/K Vector de Coordenadas de x Subespacio Vectorial Combinación Lineal Independencia Lineal de un Conjunto Operatoria Vectorial Suma de Vectores

8 iv ÍNDICE GENERAL Ponderación por Escalar Producto Cartesiano Norma de un Vector Normas en R n /R Ángulo Entre Vectores Producto Punto (ó Producto Interno) Propiedades del Producto Punto Productos Punto Usuales Producto Cruz (ó Producto Vectorial) Propiedades del Producto Cruz Transformaciones Lineales Transformación Lineal Núcleo de una Trasformación Lineal Imagen de una Transformación Lineal Teorema de las Dimensiones (Núcleo - Imagen) Tranformaciones Lineales e Independencia Lineal Transformación Lineal Inyectiva Transformación Lineal Biyectiva Matriz Reprensentante de una Transformación Lineal Propiedades de Transformaciones Lineales Cómo se Aplica la Matriz Representante? Matriz de Pasaje Cómo se Relacionan las Matrices Representantes? Matrices Similares Cambio de Base y Similaridad Formas Bilineales Formas Bilineales

9 v 6.2. Cambio de Base Simetría y Antisimetría Formas Cuadráticas Referencias 99

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11 Capítulo 1 Definiciones Previas 1.1. Ley de Composición Interna Sean A, B conjuntos no vacíos. Una LCI sobre A es cualquier aplicación o función de la forma: f A A A (a, b) f(a, b) A a A, b B También se usa la denominación operación para una LCI. En ese caso, en lugar de la notación funcional f(a, b) se usa la notación operacional (Ejemplo: a b ). Así la operación se denota: A A A (a, b) a b A a A, b B 1.2. Ley de Composición Externa Sean A, B conjuntos no vacíos. Una LCI sobre A es cualquier aplicación de la forma: g A A B (a, b) g(a, b) B a A, b B En este caso la LCE tiene dominio de operadores en A

12 2 Definiciones Previas 1. La LCE opera sobre otro conjunto 2. En este dominio de operadores no llega la función También se usa la notación operacional para una LCI : A A B (a, b) a b B a A, b B Ejemplos : 1. R p(x) p(x) 3(1 + 3x x 2 ) 3 + 9x 3x 2 Los operadores son reales y polinomios El dominio es de polinomios 2. (a + bx + cx 2, d) ad + (a + b + c) (1 + 3x 5x 2, 2) 2 + ( 1) = Estructuras Algebraicas Una estructura algebraica es un ente matemático construido por: 1. Un conjunto y una o más LCI 2. Dos o más conjuntos, una o más LCI y una o más LCE Grupo Sea (A, ) una estructura algebraica. Se cumple que es grupo si y sólo si: 1. posee neutro, es decir: e A/a e = e a = a a A 2. es asociativa, es decir: a (b c) = (a b) c a, b, c A 3. es simetizable, es decir cada elemento de A posee un inverso a 1 y se cumple: a a 1 = a 1 a = e

13 Grupo Abeliano o Conmutativo Sea (A, ) una estructura algebraica que tiene estructura de grupo y ademas es conmutativa. Se cumple que es grupo abeliano si y sólo si: 1. posee neutro, es decir: e A/a e = e a = a a A 2. es asociativa, es decir: a (b c) = (a b) c a, b, c A 3. es simetizable, es decir cada elemento de A posee un inverso a 1 y se cumple: a a 1 = a 1 a = e 4. es conmutativa, es decir para todos los elementos de A, a b c... n genera un mismo resultado independientemente de como se altere el orden en que operan los elementos. Tomando (a, b) A se cumple que a b = b a Anillo Sea (A,, ) una estructura algebraica con 2 LCI. Se cumple que esta es estructura de anillo si y sólo si: 1. (A, ) es grupo abeliano 2. es asociativa. 3. distribuye con respecto a Cuerpo Sea (A,, ) una estructura algebraica con 2 LCI y que ambas tienen estructura de grupo abeliano. Se cumple que esta es estructura de cuerpo 1 si y sólo si: 1. posee un neutro, todos sus elementos tienen un inverso contenido en A y esta operación es conmutativa 1 Para la conmutatividad y clausura estas necesariamente se extienden para el caso en que se aplica ó a (a, b, c,..., n). Es decir a+b+c+...+n A a b c... n A como también a+b+c...+n = n+...+c+b+a a b c... n = n... c b a y todas las combinaciones posibles para la suma y el producto. En el caso de la distributividad es análogo, la propiedad se cumple para a (b c... n), (a b) c... n y todas las combinaciones posibles.

14 4 Definiciones Previas 2. posee un neutro, todos sus elementos tienen un inverso contenido en A y esta operación es conmutativa 3. A,, es distributiva de la forma a (b c) = (a b) (a c) 4. Tanto como cumplen con la propiedad de clausura, es decir al efectuar una operación entre dos o más elementos de A el resultado debe pertenecer a A Ejemplos : 1. (R, +, ) a) Neutro: a + 0 = 0 + a = a a 1 = 1 a = a b) Inverso: a + ( a) = ( a) + a = 0 a a 1 = a 1 a = 1 c) Conmutatividad: a + b = b + a a b = b a d) Distributividad: a(b + c) = (a b) + (a c) e) Clausura: (a + b) R (a b) R 2. (C, +, ) a) Neutro: (a + bi) + (0 + 0i) = (0 + 0i) + (a + bi) = a + bi (a + bi) (1 + 0i) = (1 + 0i) (a + bi) = a + bi b) Inverso: (a + bi) + [ (a + bi)] = [ (a + bi)] + (a + bi) = 0 + 0i (a + bi) (a + bi) 1 = (a + bi) 1 (a + bi) = 1 + 0i c) Conmutatividad: (a + bi) + (c + di) = (c + di) + (a + bi) (a + bi) (c + di) = (c + di) (a + bi) d) Distributividad: (a + bi)[(c + di) + (e + fi)] = [(a + bi) (c + di)] + [(a + bi) (e + fi)]

15 5 e) Clausura: [(a + bi) + (c + di)] C [(a + bi) (c + di)] C Observación : El neutro y el inverso deben estar contenidos en el conjunto. De esta forma los números reales tienen estructura de cuerpo (R, +, ) y el neutro de la suma se asocia con 0, el neutro de la multiplicación se asocia con 1 como también el inverso de la suma se asocia con a, b, c, etc y el inverso del producto (siempre que a 0) estará contenido en R Propiedades de los Números Reales Con lo expuesto anteriormente se sabe que los números reales forman un conjunto con estructura de grupo y por lo tanto están sujetos a las propiedades de esta estructura. Sin embargo, estas propiedades pueden o no cumplirse dado un grupo cualquiera pero para el caso de los números reales se garantiza que estas propiedades se cumplen definiendo axiomas (propiedades tautológicas que no se demuestran) pero que si permiten demostrar propiedades del conjunto R Axiomas en R 1. Conmutatividad a) Dados dos números reales x, y cualquiera, su suma tiene como resultado un número real, es decir: ( x, y R) x + y = y + x b) Para el producto se cumple la misma propiedad, es decir: ( x, y R) x y = y x 2. Asociatividad a) Dados tres números reales x, y, z cualquiera, su suma tiene como resultado un número real, es decir: ( x, y, z R) x + (y + z) = (x + y) + z

16 6 Definiciones Previas b) Para el producto se cumple la misma propiedad, es decir: ( x, y.z R) x (y z) = (x y) z Demostración : x + (y + z) = (x + z) + y El axioma de asociatividad no dice que x + (y + z) = (x + z) + y pero usando los axiomas ya dados se tiene que: x + (y + z) = x + (z + y) x + (y + z) = (x + z) + y /conmutatividad /asociatividad En relación con lo anterior se concluye que la suma con n terminos es conmutativa sin alterar el resultado y es análogo para la multiplicación. 3. Distributividad a) ( x, y, z R) x(y + z) = xy + xz b) ( x, y, z R) (x + y)z = xz + yz 4. Existencia de elementos neutros a) Elementos neutros para la suma Con las propiedades de grupo se sabe que en R se cumple que ( x R) x + e = x Esta propiedad garantiza a lo menos la existencia de un elemento neutro (puede haber más de uno) pero para el caso de la suma en R se sabe que el neutro es 0 y por lo tanto es único. Demostración : El neutro para la suma es único En base al axioma anterior sabemos que existe al menos un neutro e 1 que corresponde al cero. Supongamos que por otro camino hemos encontrado otro neutro e 2 para la suma, de forma tal que se cumple: ( x R) x + e 1 = x x + e 2 = x Si el neutro es único entonces necesariamente e 1 = e 2, formando un sistema con las ecuaciones enteriores se obtiene:

17 7 x + e 1 = x x + e 2 = x Reemplazando x = e 2 en (1) y x = e 1 en (2) nos queda: De lo anterior se tiene que: e 2 + e 1 = e 2 e 1 + e 2 = e 1 e 1 = e 1 + e 2 = e 2 + e 1 = e 2 b) Elementos neutros para el producto Es análogo al caso de la suma. Con las propiedades de grupo se sabe que en R se cumple que ( x R) x e = x Demostración : El neutro para el producto es único En base al axioma anterior sabemos que existe al menos un neutro e 1 que corresponde al uno. Supongamos que por otro camino hemos encontrado otro neutro e 2 para la suma, de forma tal que se cumple: ( x R) x e 1 = x x e 2 = x Si el neutro es único entonces necesariamente e 1 = e 2, formando un sistema con las ecuaciones enteriores se obtiene: x e 1 = x x e 2 = x Reemplazando x = e 2 en (1) y x = e 1 en (2) nos queda: De lo anterior se tiene que: e 2 e 1 = e 2 e 1 e 2 = e 1 e 1 = e 1 e 2 = e 2 e 1 = e 2 5. Existencia de elementos inversos a) Elementos inversos para la suma Con las propiedades de grupo se sabe que en R se cumple que ( x R) x + opuesto(x) = 0

18 8 Definiciones Previas Esta propiedad señala que existen elementos neutros asociados a x pero para el caso de la suma en R se sabe que el opuesto es x y por lo tanto es único. Demostración : El inverso para la suma es único En base al axioma anterior sabemos que existe al menos un inverso c 1 que corresponde al cero. Supongamos que por otro camino hemos encontrado otro neutro c 2 para la suma, de forma tal que se cumple: ( x R) x + c 1 = 0 x + c 2 = 0 Si el neutro es único entonces necesariamente c 1 = c 2, formando un sistema con las ecuaciones enteriores se obtiene: x + c 1 = 0 x + c 2 = 0 Lo que se debe demostrar es que c 1 = c 2 PD c 1 = c 2 En efecto, usando los axiomas anteriores: c 1 = c1 + 0 c 1 = c 1 + (x + c 2 ) c 1 = (c 1 + x) + c 2 c 1 = (x + c 1 ) + c 2 c 1 = 0 + c 2 c 1 = c 2 b) Elementos inversos para el producto Es análogo al caso de la suma. Con las propiedades de grupo se sabe que en R se cumple que ( x R) x reciproco(x) = 1 Demostración : El inverso para el producto es único En base al axioma anterior sabemos que existe al menos un neutro c 1 que corresponde al uno. Supongamos que por otro camino hemos encontrado otro neutro c 2 para la suma, de forma tal que se cumple: ( x R) x c 1 = 1 x c 2 = 1 Si el inverso es único entonces necesariamente c 1 = c 2, formando un sistema con las ecuaciones enteriores se obtiene:

19 9 x c 1 = 1 x c 2 = 1 PD c 1 = c 2 En efecto, usando los axiomas anteriores: c 1 = c 1 1 c 1 = c 1 (x c 2 ) c 1 = (c 1 x) c 2 c 1 = (x c 1 ) c 2 c 1 = 1 c 2 c 1 = c 2

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21 Capítulo 2 Matrices 2.1. Matrices Una matriz es una tabla de doble entrada de m filas y n columnas con coeficientes en el cuerpo K (que puede ser R ó C). Considerando los subconjuntos de N: { Toda matriz es, además, una función del tipo: I = {1, 2, 3,..., m} J = {1, 2, 3,..., n} M I J K (i, j) M ij K Sea la matriz A mn, se denota genericamente: A = a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a m1 a m2 a m3... a mn a ij K, i = {1, 2, 3,..., m}, j = {1, 2, 3,..., n} M mn (K) corresponde a todas las matrices de m filas, n columnas y coeficientes en el cuerpo K incluyendo a la matriz A mn.

22 12 Matrices Igualdad de Matrices Dadas dos matrices A mn M mn (K), B m n M m n (K), diremos que son iguales si y sólo si: (m = m ) (n = n ) ( i = {1, 2, 3,..., m}, j = {1, 2, 3,..., n}, a ij = b ij ) 2.2. Operaciones con Matrices Suma de Matrices Definiendo una aplicación (o función) sobre M mn (K) a partir de las operaciones definidas en el cuerpo K de la forma: M mn M mn M mn (A mn, B mn ) (A + B) mn Se define la suma de matrices como: A, B M mn (K), A + B = a ij + b ij Observación : La suma de matrices (M mn, +) tiene estructura de grupo abeliano. Demostración : Es directa (lo cual no quiere decir que es trivial o evidente) con las propiedades del cuerpo K se cumple que la suma es asociativa y conmutativa Propiedades de la Suma de Matrices 1. Admite un neutro aditivo tal que A mn + 0 mn = A mn El neutro aditivo corresponde a M es decir: 0 = M mn (K) Es sumamente importante señalar que el neutro aditivo para las matrices no es único. Como se define la suma de matrices, la operación suma sobre estas genera

23 13 otra matriz si y sólo si sumamos matrices de igual orden ya que de otra manera la operación no está definida. El neutro aditivo para las matrices de 2 3 es 0 M = 0 2 3, para las de de 5 2 es 0 M = 0 5 2, etc. Generalizando para las matrices de m n es 0 M = 0 m n con cualquier m, n N. Por lo tanto, a diferencia de las propiedades de R en que el neutro aditivo es único para M mn K existen tantos neutros como órdenes de matrices posibles. 2. Admite un inverso aditivo tal que A mn + ( A mn ) = 0 mn El inverso aditivo de M mn = m mn es M mn = m mn Por ejemplo en M 23 (C) ( 1 + i i i 1 0 ) + ( 1 i 0 2 3i i 1 0 ) = ( ) = 0 M Por lo tanto, ( 1 + i i i 1 0 ) = ( 1 i 0 2 3i i 1 0 ) 3. La suma de matrices es asociativa tal que: A mn + (B mn + C mn ) = (A mn + B mn ) + C mn Ponderación de Matriz por Escalar Definiendo una aplicación (o función) sobre M mn (K) a partir de las operaciones definidas en el cuerpo K de la forma: K M mn M mn (α, A mn ) αa mn Sea la matriz P mn = αa mn esta se define por: P ij = αa ij Propiedades de la Ponderación de Matriz por Escalar Las siguientes propiedades se cumplen A, B M mn, α, β K : 1. α(a mn + B mn ) = αa mn + αb mn

24 14 Matrices 2. (α + β)a mn = αa mn + βa mn 3. α(βa mn ) = (αβ)a mn 4. 1A mn = A mn Estas propiedades son las mismas de las de un espacio vectorial y su demostración particular puede hacerse en forma análoga al caso de un espacio vectorial R 2 /R tomando dos matrices cualquiera con n vectores de 2 componentes. El conjunto de las matrices M mn sobre el cuerpo K con la LCI suma de matrices y la LCE ponderación por escalar constituye un espacio vectorial M mn /K Producto de Matrices Dadas las matrices: Se define la aplicación A = a ij M mr (K), B = b ij M rn M mr M rn M mn (A mn, B mn ) (A + B) mn y el producto C = AB como la matriz C M mn (K) tal que: C mn = r k=1 a ik b kj, i = {1, 2, 3,..., m} j = {1, 2, 3,..., n} Propiedades del Producto de Matrices 1. Asociatividad Dadas las matrices A M pq, B M qr, C M rs, entonces: A(BC) = (AB)C M ps Demostración : Para la matriz A en (i, j) se tiene a ij = n k=1 a ij

25 15 Para la matriz B en (j, k) se tiene b jk = n k=1 b jk Para la matriz C en (k, l) se tiene c kl = n k=1 c kl En efecto, Para la matriz AB en (i, k) se tiene AB = n k=1 a ij b jk Luego, (AB)C = n k=1 (a ij b jk )c kl De manera análoga, para la matriz BC en (j, l) se tiene BC = n k=1 b jk c kl Luego, A(BC) = n k=1 a ij b jk c kl Finalmente, (AB)C = n k=1 (a ij b jk )c kl A(BC) = n A(BC) = n k=1 (a ij b jk )c kl = (AB)C k=1 a ij (b jk c kl ) 2. Distributividad con Respecto a la Suma Dadas las matrices A M pq, B, C M qs, se cumple que: A(B + C) = (AB) + (AC) M ps Demostración : Definiendo D pr = A pq (B qr + C qr ) se tiene que: e ij = n k=1 a ik (b kj + c kj ) i {1, 2, 3,... p, }, j {1, 2, 3,..., s}

26 16 Matrices En efecto, d ij = d ij = d ij = n k=1 n k=1 n k=1 a ik (b kj + c kj ) a ik b kj + a ik c kj n a ik b kj + a ik c kj Con la definición de producto de matrices se puede formar una expresión equivalente a la anterior: k=1 D pr = (AB) ps + (AC) ps Observación : La multiplicación de matrices no es conmutativa, nótese que como se define la aplicación y la distributividad el producto entre matrices con distinto número de columnas no está definido. En el caso de matrices con igual número de columnas o de matrices cuadradas de igual orden el producto tampoco es una conmutativo. Se puede observar claramente con el siguiente ejemplo: ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) Como se señalo existe el caso particular de la matriz cuadrada y la matriz identidad, para este caso la matriz identidad es un neutro en la estructura algebraica (M nn (K), ) En efecto, dada A M nn (K) se tiene que A nn I nn = A nn Demostración : n k=1 a ik i kj = a ij i jj = a ij = A nn Se concluye que para el caso de las matrices cuadradas la suma y el producto constituyen una estructura algebraica (M nn (K), +, ) que es un anillo con unidad (existe un neutro para )

27 Transposición de matrices Dada una matriz A = a ij M mn se define la aplicación: M mn M nm A T (A) = A T Es decir, la matriz transpuesta de A, A T, corresponde a una matriz de orden n m a partir de una matriz de orden m n de igual cantidad de elementos. En esta aplicación la transpuesta de A P Q = n k=1 a ij se define: Ejemplos : 1. ( T ) = A T = n k=1 Para este caso la matriz es simétrica 3. x = (2, 4, 1) A = ( ) A T = a ji A = n a ij k= Propiedades de la Transposición de Matrices 1. (A T ) T = A Demostración :

28 18 Matrices ((A) T ij )T = (A) T ji = A ij 2. (A + B) T = A T + B T Demostración : Sean A, B M mn A + B M mn y definiendo C = A + B En efecto, Para la matriz C en (i, j) se tiene c ij = n k=1 a ij + b ij = n k=1 a ij + n k=1 b ij Para la matriz C T en (i, j) se tiene c ji = n k=1 a ji + b ij = n k=1 a ji + n k=1 b ji Luego, para A, B en (i, j) (A) T ij = A ji = n k=1 a ji (B) T ij = B ji = n k=1 b ji A T + B T = n k=1 a ji + n k=1 b ji = C T 3. (αa) T = aa T Demostración : Sea A mn = A = Entonces, α A mn = A = (A) T mn = A nm = αa nm = a a 1n a m1... a mn αa αa 1n αa m1... αa mn a a m1 a 1n... a nm αa αa m1 αa 1n... αa nm = α = α a a 1n a m1... a mn a a m1 a 1n... a nm = αa T

29 19 4. (AB) T = B T A T Demostración : Sean las matrices A M pq y B M qr tal que C = AB En efecto, Para (i, j) de la matriz C se tiene que c ij = n k=1 a ik b kj mientras que para (i, j) de la matriz C T se tiene que debido a la transposición. c ji = n k=1 a ki b jk Luego, c ji = n k=1 a ki b jk = n k=1 b jk a ki Sea la matriz D = B T A T Para (i, j) se cumple que d ij = n k=1 (B) T qr(a) T pq d ij = k = 1 n (B) T ik (A)T kj d ij = k = 1 n b ki a jk d ij = k = 1 n b ki a jk = k = 1 n a jk b ki = (AB) ji = (C T ) ij Finalmente, C = AB C T = (AB) T

30 20 Matrices Operaciones Elementales de Fila Se definen como aplicaciones del tipo: Existen 3 clases de operaciones inversas: M mn M mn A P Q e(a P Q ) 1. Operación e ij Consiste en intercambiar de posición las filas (i, j). Ejemplo : A P Q = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 e 13 BP Q = a 31 a 32 a 33 a 34 a 21 a 22 a 23 a 24 a 11 a 12 a 13 a 14 a 41 a 42 a 43 a 44 Observación : A P Q B P Q = B P Q 2. Operación e j (λ) Consiste en ponderar la fila j por el escalar λ 0 Ejemplo : A P Q = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 e 2 ( 5) B P Q = a 31 a 32 a 33 a 34 5a 21 5a 22 5a 23 5a 24 a 11 a 12 a 13 a 14 a 41 a 42 a 43 a Operación e ij (λ) Consiste en sumar a la fila i, la fila j ponderada por el escalar λ 0. El resultado queda en la fila i Ejemplo : A P Q e 31 ( 5) B P Q

31 21 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 e 31 ( 5) a 31 a 32 a 33 a 34 a 21 a 22 a 23 a 24 a 11 5a 31 a 12 5a 32 a 13 5a 33 a 14 5a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 También se definen operaciones inversas. Cada operación elemental de fila posee una inversa que es también una operación de fila. En efecto, 1. (e ij ) 1 = e ij 2. [e j (λ)] 1 = e j (λ) 3. [e ij (λ)] 1 = e ij (λ) Determinante de una Matriz Esta aplicación de define: M mn /K K A P Q det(a P Q ) K El determinante ses la suma de todos los productos posibles entre elementos de AP Q, a los que se atribuye un signo, con la condición de no repetir filas ni columnas en cada producto. El signo atribuido a cada producto es del de ( 1) n en el que n es el número de cmabios al orden de columnas. Ejemplos : 1. A P P = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) Los productos posibles son: b 11 b 22, (n = 0) signo+ b 12 b 21, (n = 1) signo Luego, det(a P P ) = b 11 b 22 b 12 b 21

32 22 Matrices 2. B P P = ( ) det(a P P ) = = Operaciones Inversas Cada operación elemental de fila posee una inversa que también es una operación elemental de fila. Ya definidas las operaciones elementales de fila, se tiene que: 1. (e ij ) 1 = e ij 2. [e j (λ)] 1 = e j (λ 1 ) 3. [e ij (λ)] 1 = e ij ( λ) 2.3. Tipos de Matrices Matriz Fila El caso especial de las matrices de 1 n es una notación alternativa para un vector k K n es decir, la matriz M 1 n contiene las componentes (k 1, k 2, k 3,..., k n ) del vector k. De esto fluye que una matriz de orden m n contiene las componentes de m vectores K n. Ejemplo : k K 3 = (x, y, z) M 1 3 = ( a 11 a 21 a 31 ) = ( x y z ) Matriz Cuadrada Son aquellas matrices M mn tal que m = n es decir, el número de filas es igual al número de columnas. En las matrices cuadradas se denomina diagonal principal al subconjunto de elementos (entradas) de la matriz a mn que cumplen que i = j. Ejemplo :

33 23 A = Diagonal principal: {a 11, a 22, a 33 } = {1, 5, 4} Matriz Triangular Matriz Triangular Superior Sea B mn una matriz cuadrada, esta es además triangular superior si: { b ij = 0 si i > j m = n Ejemplo : B = Matriz Triangular inferior Sea B mn una matriz cuadrada, esta es además triangular inferior si: { b ij = 0 si i < j m = n Ejemplo : B = Matriz Diagonal Sea C mn una matriz cuadrada, esta es además diagonal si es superior e inferior a la vez si: { c ij = 0 si i j m = n

34 24 Matrices Ejemplo : C = Matriz Escalar Sea D mn una matriz cuadrada y diagonal, esta es además escalar si: d ij = 0 si i j d ij = k si i = j m = n Ejemplo : C = = Matriz Identidad Sea I mn una matriz escalar, esta es además identidad si y sólo si: d ij = 0 si i j d ij = 1 si i = j m = n Ejemplo : C = Que corresponde a una matriz identidad de 3 3. Observación: La matriz identidad se denota I mn y se cumple que siempre es una matriz cuadrada. La matriz identidad no es única, existen matrices identidad de orden m n que puede ser 1 1, 2 2, etc.

35 Matriz Simétrica La matriz S mn es simétrica si y sólo si: { Es una matriz cuadrada (m = n) s ij = s ji i, j Ejemplo : C = Que corresponde a una matriz simétrica de Matriz Antisimétrica La matriz S mn es antisimétrica si y sólo si: Es una matriz cuadrada (m = n) s ij = s ji si i j s ij = 0 si i = j Ejemplo : C = Se verifica que a 31 = 3 a 13 = 3, a 24 = 1 a 42 = 1, etc Matriz Nula La matriz N mn correponde al neutro aditivo para las matrices, es decir correponde al 0 M y se cumple que: n ij = 0 i, j Ejemplo:

36 26 Matrices C = Que corresponde a una matriz de 3 2 Observación : La matriz nula no es única, existen matrices nulas de orden m n pero a diferencia de la matriz identidad esta no necesariamente es cuadrada Matriz Inversa Para algunas matrices cuadradas existe la matriz inversa y esta cuando existe al multiplicarse con su inversa (la matriz original) genera una matriz identidad. Tal condición se expresa: Sea A nn esta matriz es invertible si y sólo si A 1 nn tal que: A nn A 1 nn = A 1 nn A nn = I nn Observación : Este es un caso particular en que se cumple la conmutatividad en el producto de matrices. Ejemplos : 1. Sea A = ( ) De manera temporal supondremos que existe A 1 Sea A 1 = ( x 1 y 1 x 2 y 2 ) Entonces, A A 1 = ( ) ( x 1 y 1 x 2 y 2 ) = ( ) ( x 1 + 5x 2 y 1 + 5y 1 x 2 + 6x 2 y 2 + 6y 2 ) = ( )

37 27 x 1 + 5x 2 = 1 x 2 + 6x 2 = 0 y 1 + 5y 1 = 0 y 2 + 6y 2 = 1 x 1 + 5x 2 = 1 x 2 + 6x 2 = 0 x 1 = 6, x 2 = 1 y 1 + 5y 1 = 0 y 2 + 6y 2 = 1 y 1 = 5, y 2 = 1 Por lo tanto, A 1 = ( ) A es invertible. 2. Sea B = ( ) De manera temporal supondremos que existe A 1 Sea A 1 = ( x 1 y 1 x 2 y 2 ) Entonces, A A 1 = ( ) ( x 1 y 1 x 2 y 2 ) = ( ) ( x 1 + 2x 2 y 1 + 2y 1 2x 2 + 4x 2 2y 2 + 4y 2 ) = ( ) x 1 + 2x 2 = 1 2x 2 + 4x 2 = 0 y 1 + 2y 1 = 0 2y 2 + 4y 2 = 1 x 1 + 2x 2 = 1 2x 2 + 4x 2 = 0 2x 1 + 4x 2 = 1 2x 2 + 4x 2 = 0 Contradiccción Por lo tanto,

38 28 Matrices A no es invertible ya que el sistema no tiene solución Propiedades de la Inversa 1. Si A es invertible, entonces A 1 es única Demostración : Sea A M nn (K) es invertible si y sólo si existe A 1 M nn (K) tal que: AA 1 = A 1 A = I nn Supongamos que existen dos inversas para A tal que: AB = AC = I nn BA = CA = I nn Luego, B = B(AC) B = (BA)C B = I nn C B = C 2. (A 1 ) 1 = A Demostración : Sea A M nn (K) tal que det(a) 0 entonces A 1 está definida. Entonces, (A 1 ) 1 A 1 = A A 1 (A 1 ) 1 A 1 = I nn [(A 1 ) 1 A 1 ]A = I nn A (A 1 ) 1 [A 1 A] = A (A 1 ) 1 [A A 1 ] = A (A 1 ) 1 I nn = A

39 29 (A 1 ) 1 = A 3. (AB) 1 = B 1 A 1 Demostración : Sea A nn y B nn entonces AB está definida y AB M nn (K) Luego, si A y B admiten inversa ya que ambas M nn (K) con n cualquier entero finito. AB(B 1 A 1 ) A(BB 1 )A 1 A(I nn )A 1 AA 1 I nn También se debe demostrar para B 1 A 1 (AB) [B 1 A 1 (AB)] T (AB) T (B 1 A 1 ) T (B T A T )[(A T ) 1 (B T ) 1 ] B T [A T (A T ) 1 ](B T ) 1 B T I nn (B T ) 1 B T (B T ) 1 I nn 4. (A T ) 1 = (A 1 ) T Demostración : Sea A M nn (K) y det(a) 0 entonces, A es invertible. Para A T M nn si det(a T ) 0 entonces A T es invertible. A T (A T ) 1 = A T (A 1 ) T I nn = A T (A 1 ) T

40 30 Matrices (A T ) 1 I nn = A T (A 1 ) T (A T ) 1 = (A T ) 1 [A T (A 1 ) T ] (A T ) 1 = [(A T ) 1 A T ](A 1 ) T (A T ) 1 = [A T (A T ) 1 ](A 1 ) T (A T ) 1 = I nn (A 1 ) T (A T ) 1 = A 1 ) T 5. (A + B) 1 A 1 + B 1 salvo en casos particulares Observación : Sólo algunas matrices son invertibles, como ya se vio existen casos en que una matriz no admite inversa y que algunas matrices cuadradas son invertibles. Se puede comprobar que existe la inversa verificando que el determinante sea distinto a cero para una matriz dada Polinomios de Matrices Tomando la forma genérica de un polinomio p(x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 se define, a partir de esto, el polinomio de matrices de la forma: p M nn (K) M nn (K) A nn p(a) De esta forma se tiene que p(a) = b n A n + b n 1 A n b 1 A + b 0 (b n corresponde a un coeficiente cualquiera como puede ser a n, c n, etc. Se denota b para evitar confusiones con algún a ij A nn.) 2.5. Polinomio Característico Sea la matriz A M nn (K). El polinomio característico de A se define: p(λ) = det(a λi nn ) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0

41 31 El polinomio característico cumple las siguientes propiedades: 1. Es de grado n 2. Es mónico 3. det(a) = a 0 tal que si λ = 0 entonces, det( A) = a 0 4. Como consecuencia del item anterior, ( 1) n det(a) = a 0 Sustituyendo λ por la matriz A se tiene que: p(a) = A n + a n 1 A n a 1 A + a 0 A partir de esta sustitución se tiene la ecuación característica de una matriz que consiste en igualar el polinomio característico de esta a cero Métodos Para Invertir Matrices Matriz Ampliada Para una matriz A M nn (K) se puede escribir la matriz identidad correspondiente anexa a la matriz A, es decir: A = a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a n1 a n2 a n3... a nn Luego se aplican operaciones elementales hasta obtener una matriz identidad al lado izquierdo (la matriz original) y el resultado que se obtiene a partir de la matriz identidad anexa corresponde a la inversa de A. Ejemplo :

42 32 Matrices Invertir, si es posible, la matriz A = e 1 (1/2) e 2 ( 2) e 23 (1) e 12 ( 1/2) e 21 ( 5) e 32 ( 2) e 3 ( 1) e 13 (1/2) A 1 =

43 Matriz Adjunta Sea la matriz A M nn (K) se define la adjunta como la transpuesta de la matriz de cofactores. Cada cofactor A ij corresponde al determinante de la matriz A T M nn (K) sin considerar la columna i y la columna j cuyo resultado se multiplica por ( 1) i+j : a 11 a 12 a a 1n a 11 a 21 a a n1 a 21 a 22 a a 2n a 12 a 22 a a n2 A = A T = a n1 a n2 a n3... a nn a 1n a 2n a 3n... a nn A modo de simplificar se pueden renombrar los elementos de la matriz A T tal que: b 11 b 12 a b 1n b 21 b 22 b b 2n A T = b n1 b n2 b n3... b nn A 11 A 12 A A 1n A 21 a 22 A A 2n adj(a) = A n1 A n2 A n3... A nn T A 11 A 21 A A n1 A 12 A 22 A A n2 adj(a) = A 1n A 2n A 3n... A nn

44 34 Matrices adj(a) = ( 1) i+j det ( 1) i+j det Considerando el producto P = A adj(a) = Si i = j entonces, b b 2n b n2... b nn... ( 1) i+j det b b 1n b i2... b in a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a n1 a n2 a n3... a nn... ( 1) i+j det b b 2i b n1... b nj b b 1j b ij... b ij A 11 A 21 A A n1 A 12 A 22 A A n2 A 1n A 2n A 3n... A nn Si i j entonces, p jj = a j1 A j1 + a j2 A j a jn A jn = n 1 a jk A jk = det(a) p ij = a i1 A j1 + a i2 A j a in A jn Para este caso p ij = 0 ya que corresponde al determinante de una matriz con filas repetidas (filas L.D ). A adj(a) = det(a) det(a) det(a) = det(a) Por lo tanto, A adj(a) es una matriz diagonal y se tiene que: A adj(a) = det(a) I nn A 1 [A adj(a)] = A 1 det(a)

45 35 A 1 = adj(a) det(a) Teorema Una matriz A M nn (K) es invertible si y sólo si det(a) 0 Ejemplo : Invertir (si es posible) la matriz A = det(a) = adj(a) = det ( ) det ( ) det ( ) det ( ) det ( ) det ( ) det ( ) det ( ) det ( ) T = T adj(a) = A 1 = adj(a) det(a) = Teorema de Cayley-Hamilton A partir de la definición de polinomio característico de una matriz, se puede enunciar el teorema de Cayley-Hamilton :

46 36 Matrices Teorema Toda matriz cuadrada es raíz de su polinomio característico que se define p A (λ) = det(a λi) Es decir, A + a n 1 A n a 1 A + a 0 I = 0 Sea la matriz A M nn (K). Entonces por definición de polinomio característico se tiene: p(λ) = det(a λi nn ) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 Sustituyendo λ por la matriz A e igualando a cero se tiene que: Ejemplo : A 3 2 = ( ) p(a) = A n + a n 1 A n a 1 A + a 0 ) = 0(x) p(λ) = det(a λi) = det ( 1 λ λ ) = (1 λ)(4 λ) 6 = λ2 5λ 2 Luego, λ 2 5λ 2 = 0 Reemplazando λ por la matriz A e igualando a cero A 2 5A 2I = 0 ( ) ( ) ( ) = ( ) Se comprueba que: ( ) = ( ) Aplicando el teorema de Cayley-Hamilton para invertir la matriz del ejemplo anterior se tiene que para el polinomio característico 1 p(λ) = λ 2 5λ 2 si λ = 0 entonces, det(a) = 2 1 El polinomio característico de una matriz corresponde a p(λ) = λ n +a n 1 λ n a 1 λ+a 0 mientras que la ecuación característica corresponde al polinomio λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0

47 37 Luego, a partir de A 2 5A 2I = 0 se puede formar la expresión A 5I 2A 1 = 0 En consecuencia, A 1 = A 5I 2 A 1 = A 1 = ( ) ( ) 2 ( ) 2 A 1 = Comprobando, ( ) = ( ) 2.7. Equivalencia por Filas de una Matriz Sea A P Q definimos el espacio fila de A como el subespacio K Q /K generado por sus filas leídas como n-tuplas. Ejemplo : A 3 2 = El espacio fila de A equivale a lin(a) = {(1, 2), (3, 5), (1, 8)} R 2 /R y es L.D. La dimensión del espacio fila se denomina rango por filas.

48 38 Matrices 2.8. Valores y Vectores Propios Para una matriz de n n. A partir del polinomio característico se obtiene un valor λ que corresponde a las soluciones del polinomio característico tal. A partir de los valores propios se obtiene un vector propio asociado de la forma λ ± a λ ± b λ ± c... λ ± z Ejemplo : Sea A = ( ) El polinomio característico corresponde a P (λ) = A = ( 4 λ 5 ) = (4 λ)( 3 λ) + 10 = (4 λ)(3 + λ) + 10 = λ P (λ) = (12 + λ λ 2 ) + 10 = λ 2 λ 2 = (λ 2)(λ + 1) Los valores propios son: λ 1 = 2 con multiplicidad algebraica igual a 1 λ 2 = 1 con multiplicidad algebraica igual a 1 El vector propio se obtiene a partir de (A λi) ( x y ) = ( 0 0 ) Para λ 1 se obtiene el vector propio (A λi) ( x y ) = ( ) ( x y ) ( 0 0 ) 2x + 5y = 0 2x y = 0

49 39 y = 0 x = 0 v λ1 = ( 0 0 ) Propuesto : Resolver para λ 2

50

51 Capítulo 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales 3.1. Notación Matricial de un Sistema de Ecuaciones Un sistema de ecuaciones tiene una notación de la forma: a 11 x 1 + a 12 y a 1n z 1 = b 1 a 21 x 2 + a 22 y a 2n z 2 = b 2 a m1 x m + a m2 y m a mn z m = b m La notación matricial de esta forma es: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x y z = b 1 b 2 b m Esto último se puede expresar como A x = b. De esta forma, aplicando operaciones elementales se puede resolver un sistema de ecuaciones ya que mediante esta operación se puede despejar una componente (o incógnita) y también se pueden encontrar incompatibilidades determinando los tipos de solución encontrando filas L.D.

52 42 Sistemas de Ecuaciones Lineales Ejemplo : x + y = 3 2x + 2y = 6 La notación matricial es: ( ) ( x y ) = ( 3 6 ) Para la matriz A se obtiene: ( ) e 21( 2) ( ) Con esto se obtiene: ( ) ( x y ) = ( 3 6 ) x + y = 3, 0 = 6 Por lo tanto el sistema es incompatible y no hay solución. Otra forma de saber las soluciones o si existe solución es usando el determinante de la matriz det ( ) = = 0 Si el determinante es cero entonces hay filas L.D y no se puede determinar la solución Rango por Filas Definiendo r = rango y n = número de incógnitas. El rango por filas de una matriz corresponde al número de filas L.I que contiene. Se determina escalonando la matriz y según el número de filas L.I que se encuentren se dan los siguientes casos:

53 43 1. Solución única: Si y sólo si existe un vector c que es solución del sistema. Ejemplo : 3x + y = 5 5x + 2y = 8 Como se señaló, si la solución es única se debe buscar un vector solución c. Para esto se puede obtener [I c]. Es decir, se obtiene x = c 1, y = c 2,..., z = c n ( ) e 1 1( 3 ) ( ) e 2( 5) ( ) e 12( 1) ( ) e 2(3) ( ) ( x y ) = ( 2 1 ) 2. Infinitas soluciones: Si se da el caso de que se pueda formar uno o más pivotes irreparables, vale decir, una fila que inevitablemente contendrá al 0 entonces el rango de la matriz será menor a la cantidad de filas y para esta situación se tiene que r < n Ejemplo : x + 2y 3z = 6 2x y + 4z = 2 4x + 3y 2z = 14 Para desarrollar esto se escalona el sistema A x = b y se obtiene [A b] e 21 ( 2) e 32 ( 1) e 31 ( 4) Entonces, r = 2, n = 3 r < n y las soluciones son infinitas.

54 44 Sistemas de Ecuaciones Lineales 3. No hay solución: Si el sistema es incompatible y esto se puede verificar luego de escalonar o directamente. Ejemplo : x + 2y = 6 2x + 4y = 2 ( ) e 21( 1) ( ) ( ) ( x y ) = ( 6 4 ) x + 2y = 6 x + 2y = 4 C 3.2. Algoritmo tipo solución Para el sistem A x = b si r = n entonces hay solución única y si r < n soluciones. Para determinar las soluciones de un sistema de puede realizar lo siguiente: 1. Definir la matriz ampliada [A I] 2. Escalonar y obtener el rango. 3. Si se obtiene [0 M c] c 0 entonces el sistema es incompatible. 4. En caso de que no ocurra lo señalado en el punto (3) entonces se tienen dos casos posibles: r = n r < n Para r = n existen soluciones particulares y una solución general Soluciones de un S.E.L Solución general de un S.E.L El conjunto de todas las soluciones particulares del S.E.L solución general del sistema. A x = b corresponde a la Ejemplos :

55 45 1. x + y + z = 0 2x + 3y z = 4 De la ecuación (1) se obtiene z = x y Reemplazando en (2) se obtiene 3x + 4y = 4 y = 4 3x 4 = 1 3x 4 La solución general será x y z = x 1 3x 4 1 x 4 2. x + 2y 3z = 6 2x y + 4z = 2 4x + 3y 2z = 14 La matriz aumentada queda: e 21 ( 2) e 31 ( 4) La variable libre es z por lo que despejando se obtiene: x = 6 2y + 3z e 32 ( 1) y = 10 10z 5 x = 2 z = 2 + 2z La solución general del sistema es: S = x y z R 3 / x y z = 2 z 2 + 2z z = z 1 2 1

56 46 Sistemas de Ecuaciones Lineales Solución Particular de un S.E.L Las soluciones particulares son todos los valores que se admiten en la solución general. Para el caso anterior una solución particular está dada por un valor de x que este definido en las componentes (x, y, z). El ejemplo anterior admite, entre otros valores, x = 0 tal que x 1 = 1 1 x 1 = y x = 1 tal que Estos valores corresponden a soluciones particulares del sistema y existen tantas soluciones como valores que no indefinan las ecuaciones dadas Sistemas Homogéneos Para un sistema de la forma A x = b si se cumple que b = 0 se tiene A x = 0 y entonces el sistema será homogeneo. Entonces, todo sistema homogéneo tiene como solución x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0,..., x n = 0. Si las filas de A son L.I, es decir det(a) 0, entonces el sistema admite otras soluciones. Teorema La solución de un sistemas homogéneo es s.e.v en K n. Si llamamos S al conjunto solución de A x = b entonces: 1. 0 S 2. a, b S ( a b) S 3. c S α c S

57 Formas de Resolución Método de Gauss Si el sistema A x = b es un S.E.L compatible y tiene tantas ecuaciones como incógnitas, es decir que tiene solución única se tienen la siguiente implicancia: Las filas de la matriz A son L.I det(a) 0 Dadas estas condiciones se puede invertir la matriz A y se obtiene: A x = b A 1 A x = A 1 b x = A 1 b Otra forma de obtener la solución es de la siguiente forma: 1. Se escribe la matriz aumentada [A b] 2. Se aplican operaciones elementales hasta obtener [I c] 3. x = c es la solución del sistema. Ejemplo : Obtener las soluciones para el sistema: 1 x = 10 y z 2 x 3 y 4 z = 22 3 x + 2 y 1 z = 12 Primero, se puede aplicar un cambio de variable para simplificar la resolución: Sea 1 x = 1 x, y = 1 y, z = z

58 48 Sistemas de Ecuaciones Lineales x + y + z = 10 2x 3y 4z = 22 3x + 2y z = 12 Luego, la notación matricial corresponde a: e 21 ( 2) e 31 ( 3) e 21 ( 5) e 2 ( 1 14 ) e 32 (4) e 3 ( 1) e 3 ( 1) e 13 ( 1) e Entonces, x = 4, y = 6, z = 12 x = 1 4, y = 1 6, z = Regla de Cramer Tal como en el caso anterior se tiene que si el sistema A x = b es un S.E.L compatible y tiene tantas ecuaciones como incógnitas, es decir que tiene solución única se tienen la siguiente implicancia: Las filas de la matriz A son L.I det(a) 0 Dadas estas condiciones se puede invertir la matriz A y se obtiene: A x = b A 1 A x = A 1 b

59 49 x = A 1 b Bajo estas condiciones la solución x = A 1 b se determina a partir de la matriz A 1 tal que: A 1 = adj(a) det(a) Sea la matriz A = A 1 = adj(a) det(a) = a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a m1 a m2 a m3... a mn A 11 A 12 A A 1n A 21 A 22 A A 2n A m1 a m2 A m3... A mn det(a) Se tiene que A ij = ( 1) i+j det(a ) siendo A la matriz resultante de aplicar el desarrollo de Laplace a la columna j. Es decir, A l.c j a ij A En la matriz adjunta no se consideran los factores que ponderan a la matriz A. Considerando la componente j-ésima de la ecuación anterior se obtiene: T x j = ( A j1 A j2 A j3... A jn ) det(a) b 1 b 2 b 3 b n = A j1b 1 + A j2 b 2 + A j3 b A jn b n det(a) x j = n 1 A jn b n 1 det(a) Entonces, x j = j con j = det(a ) siendo A la matriz que se obtiene reemplazando la columna j por el vector b, es decir:

60 50 Sistemas de Ecuaciones Lineales A = Ejemplo : a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a m1 a m2 a m3... a mn A b = Resolver el sistema usando la Regla de Cramer a 11 a 12 a b 1 a 21 a 22 a b 2 a m1 a m2 a m3... b n 1 x + 1 y + 1 z = 5 2 x 3 y 4 z = 11 3 x + 2 y 1 z = 6 Como en el caso anterior se puede aplicar un cambio de variable para simplificar la resolución: Sea 1 x = x, 1 y = y, 1 z = z x + y + z = 5 2x 3y 4z = 11 3x + 2y z = 6 x = x = det det = ( 22) 18 ( 40) ( 12) + 4 ( 9) ( 2) ( 8) = = 2 x = 1 x = 1 2

61 51 y = y = det det y = 1 y = 1 3 z = y = det det = = ( 22) 18 ( 40) = = ( 33) + 20 ( 45) ( 22) ( 12) 14 = = 6 z = 1 z = 1 6

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63 Capítulo 4 Escalares, Vectores y Espacios Vectoriales 4.1. Escalar Se define escalar como toda maginitud que queda expresada cuando se conoce su magnitud y la unidad de medición. Ejemplos : 1. Masa: 50kg, 16oz 2. Temperatura: -6 C, 32 F, 273K 3. Tiempo: 5 segundos 4. Rapidez: 10 km/h, 36 m/s 5. Volumen: 4 m Vector Se define vector como una magnitud que se define con tres propiedades que le son características:

64 54 Escalares, Vectores y Espacios Vectoriales a 1. Módulo: La longitud del vector (un vector contiene un segmento). En este caso es el segmento OA y corresponde a Dirección: Recta que contiene al vector. En este caso el vector está contenido en la recta de forma canónica y = 4 3 x 3. Sentido: La orientación que toma el vector. En este caso es desde el punto (0,0) hasta el punto (3,4) y se ubica en el cuadrante I). Por convenio se divide el plano cartesiano en cuatro cuadrantes de la forma siguiente: II) I) III) IV)

65 55 Si no se especifican las 3 propiedades anteriores, el vector no está definido. Los vectores se denotan a, b, c,..., n y su expresión en el plano es de la forma a = {a x, a y, a z,..., a n }. Ejemplos : 1. Velocidad: Un móvil se mueve en uno o más ejes respecto de un centro de referencia. La velocidad es la variación de distancia respecto del tiempo y puede tomar valores negativos, no así la rapidez que correponde al módulo de la velocidad. 2. Desplazamiento: Un móvil puede ir de A a B que no es lo mismo que de B a A. Entonces, es importante especificar el sentido de la flecha que describe el vector desplazamiento. 3. Aceleración: Dependiendo del sentido una fuerza puede acelerar o desacelerar un móvil por lo que el módulo por si sólo no define la aceleración. Los vectores de la figura son todos de igual módulo pero su dirección y sentido no son iguales. Por esto que es importante definir que un vector se define mediante estas tres propiedades.

66 56 Escalares, Vectores y Espacios Vectoriales Los vectores son n-dimensionales, es decir, están contenidos en planos en K n (K puede ser R ó C) pero por razones geométricas (no es posible graficar en más de tres dimensiones) todo vector en el espacio está contenido en planos en R 2 ó R 3. Todo vector en K n se denota a = (a 1, a 2,..., a n ) y también se puede denotar en forma de matriz. Un vector de n-componentes, en este caso 3, se denota mediante una matriz fila como se vió en el capítulo 2 tal que: a R 3 = ( a x a y a z ) Para esclarecer aún más sirve como ejemplo el caso de un alumna que llamaremos Trixi. El desplazamiento de su casa, que queda en Diagonal Paraguay, desde un punto A a la facultad ubicada en un punto B es el vector AB que no es lo mismo que el desplazamiento opuesto BA. Ambas distancias tienen igual módulo, misma dirección pero sentido inverso. Mediante graficos esto queda expresado claramente en los ejes (x, y) y (x, y, z). Existen muchos más ejemplos como el de la velocidad de una piedra que cae con móudulo igual a su rapidez, dirección vertical y sentido hacia el centro de la tierra Espacio Vectorial Sea V un conjunto de vectores { a, b, c,..., n} dotado de una LCI denominada suma y que además este conjunto tiene estructura de grupo abeliano. Sea además, K un conjunto de escalares {α, β, γ,..., λ} dotado de dos LCI (+, ) tal que (K, +, ) tiene estructura de cuerpo. Entonces, V/K es un ejjespacio vectorial Espacios Vectoriales Usuales Espacio Vectorial R 2 /R Consideremos V = R 2 = R R = {(x, y)/x R y R} que corresponde a vectores pares ordenados de números reales. La suma en este caso se define: a = (x, y) b = (p, q) } a b = (x, y) (p, q) = (x + p, y + q)