Derivadas en variedades

Transcripción

1 Derivadas en variedades Luis Guijarro UAM 19 de mayo de 2010 Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

2 Curvas suaves en una variedad Definición Una curva suave en una variedad M es una alicación diferenciable c : I M donde I es un intervalo abierto en R. Exresión local de una curva suave en una carta (U, φ): Sea (U, φ) una carta de M con ( I ) U. La exresión local de c en (U, φ) es la alicación c = (φ c) : I R n, Como es una alicación de R a R n tiene el asecto c(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) donde todas las funciones son diferenciables. Se llaman las coordenadas de c. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

3 Vectores tangentes en un unto M Sea M un unto. Definición Sea O M un entorno abierto de, y f : O R una función diferenciable. La derivada direccional de f a lo largo de c en es (f c) (0). Cálculos locales: Escribimos la exresión local de la curva c : I M usando las cartas (I, Id) en R, y (U, φ) en M: Escribimos la exresión local de f : c(t) = φ c Id 1 (t) = (x 1 (t),..., x n (t)) f = f φ 1 : φ(u) R, f (x1,..., x n ) = f φ 1 (x 1,..., x n ) Escribimos f c : I R usando lo anterior: f c(t) = (f φ 1 ) (φ c)(t) = (f φ 1 )(x 1 (t),..., x n (t)) = = f (x 1 (t),..., x n (t)) = f c(t) (1) Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

4 Vectores tangentes en un unto M f y c son ambas alicaciones entre abiertos de esacios eucĺıdeos y se ueden diferenciar de la forma usual: (f c) (0) = n i=1 D i f ( c(0))x i (0) Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

5 Vectores tangentes en un unto M Ahora vamos a fijar la curva c : I M con c(0) =, y a derivar direccionalmente funciones diferenciables en un abierto de. F denota el conjunto de funciones diferenciables con dominio un entorno de. Si f F, denotaremos or c (0) : F R, c (0)(f ) = (f c) (0) al funcional que deriva direccionalmente funciones de F. Definición Un vector tangente a M en es un funcional v : F R donde v = c (0) ara alguna curva suave c : I M con c(0) =. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

6 Vector tangente en M Proiedades de vectores tangentes: 1 v(f + g) = v(f ) + v(g) 2 v(af ) = av(f ) ara cualquier a R, f F 3 v(fg) = v(f )g() + f ()v(g) 4 v(a) = 0, donde a denota la función constante que toma el valor a R. Definición El lano tangente de M en es el conjunto cuyos elementos son los vectores tangentes a M en. Lo denotaremos T M. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

7 Curvas coordenadas Sea (U, φ) una carta de M en. Suongamos que las coordenadas de en M son φ() = (a 1,..., a n ) Definición La curva coordenada i-ésima or es la curva c i : ( ε, ε) M, c i (t) = φ 1 (a 1,..., a i 1, a i + t, a i+1,..., a n ) Lema Las curvas coordenadas or un unto son curvas suaves. Demostración. φ c i (t) = φ φ 1 (a 1,..., a i 1, a i + t, a i+1,..., a n ) = = (a 1,..., a i 1, a i + t, a i+1,..., a n ) (2) y or lo tanto sus funciones coordenadas son diferenciables. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

8 Vectores coordenados en Sea (U, φ = (x 1,..., x n ) una carta de M en. Las curvas coordenadas or son suaves y tienen un vector tangente corresondiente. Le damos un nombre esecial: Definición El vector coordenado i-ésimo en en la carta (U, φ) es el vector tangente a la i-ésima curva coordenada en. Lo denotaremos como x i Cómo actúa x i? (i.e, cómo se calcula x i (f )?) Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

9 Vectores coordenados en Lo calculamos usando la definición: x i (f ) = d dt f φ 1 (a 1,..., a i +t,..., a n ) = d t=0 dt ((a1,..., a i +t,..., a n ) = t=0 f = D i f (a) (3) donde f es la exresión local de f en (U, φ). Como esto lo tenemos que usar reetidamente, aquí va otra vez la fórmula ero recordando que φ() = a: x i (f ) = D i (f φ 1 )(φ()) y or favor, no confundáis x i con una derivada arcial. Es un vector. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

10 T M es un esacio vectorial Vamos a definir dos oeraciones en el lano tangente T M que lo convierten en esacio vectorial: Una suma de vectores, definida como (v + w)(f ) = v(f ) + w(f ), ara v, w T M, f F Un roducto or números reales, definido como (av)(f ) = a(v(f )), donde a R, v T M Es fácil (ero aburrido y largo) comrobar que estas oeraciones hacen de T M un esacio vectorial. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

11 Una base de T M Si (U, φ) es una carta de M en, entonces los vectores coordenados { } x 1,..., x n forman una base de T M. Para demostrar esto, necesitamos rimero el siguiente lema: Lema donde δ ij vale 1 si i = j, 0 si i j. Demostración. x i (x j ) = δ ij La función x j : U R coincide con π j φ, donde π j (u 1,..., u n ) = u j. Por lo tanto su exresión local en (U, φ) será x j φ 1 (u 1,..., u n ) = π j (u 1,..., u n ) = u j Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

12 Una base de T M 1. Los vectores coordenados son linealmente indeendientes: Suongamos que hay reales a i R con a 1 x x n = 0 Entonces ara cualquier f F, (a 1 x x n )(f ) = 0, y or tanto (a 1 x x n )(x j ) = = a 1 x 1 (x j ) + + a j x j (x j ) + + x n (x j ) = a j = 0 (4) Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

13 Una base de T M 2. Los vectores coordenados generan todo T M: Si v = c (0) ara alguna curva con c(0) =, entonces de lo visto anteriormente, v(f ) = (f c) (0) = n i=1 D i f (φ(c(0)))x i (0) donde (x 1 (t),..., x n (t)) son las coordenadas de c(t) en (U, φ). Como c(0) =, y D i f (φ()) = x i (f ), obtenemos v(f ) = n i=1 x i (0) x i (f ) ara cualquier f F y or lo tanto v = n i=1 x i (0) x i Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

14 Coordenadas de un vector en una base de vectores coordenados 1. El vector está dado como v = c (0): Este es el caso que hemos tratado anteriormente, y ya vimos que si (x 1 (t),..., x n (t)) eran las coordenadas de c(t) en (U, φ), entonces n v = x i (0) x i i=1 El vector v está dado como como un funcional: Primero veamos cuáles deberían ser las coordenadas de un vector dado: n n v = a i x i = v(x j ) = a i x i (x j ) = a j y or tanto i=1 v = i=1 n v(x i ) x i i=1 Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

15 Cambio de base en T M Suongamos que (U, φ) es una carta con φ = (x 1,..., x n ), (V, ψ) es una carta con ψ = (y 1,..., y n ) U V Tomamos un U V. Entonces en T M tenemos dos bases de T M: x 1,..., x n ; y también y 1,..., y n ; Cómo odemos cambiar coordenadas de una base a la otra? Está dada or una matriz de cambio de base, y ara hallarla debemos escribir los miembros de una base en la otra. Para esto usamos la sección anterior: x j = n x j (y i ) y i i=1 Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

16 Cambio de base en T M (cont.) Ahora calculamos los términos x j (y i ): x j (y i ) = D j (y i φ 1 )(φ()) or la definición de vectores coordenados y de su forma de actuar (que estudiamos anteriormente). { } La matriz de cambio de la base y 1,..., y n a la base { } x 1,..., x n es D 1 (y 1 φ 1 )(φ())... D n (y 1 φ 1 )(φ())..... D 1 (y n φ 1 )(φ())... D n (y n φ 1 )(φ()) que no es más que la matriz Jacobiana de la alicación de cambio de coordenadas ψ φ 1 evaluada en φ(). Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

17 Cambio de base en T M (cont.) Y or recordarlo, si v T M tiene { } coordenadas (a 1,..., a n ) en la base x 1,..., x n, { } y coordenadas (b 1,..., b n ) en la base y 1,...,, entonces y n b 1. b n = D 1 (y 1 φ 1 )(φ())... D n (y 1 φ 1 )(φ())..... D 1 (y n φ 1 )(φ())... D n (y n φ 1 )(φ()) a 1. a n Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

18 Algunos ejemlos: 1. R n : Sea = (x 1,..., x n ) en R n. Tomo la carta (U, φ = Id). Los vectores coordenados actúan como x i (f ) = D i (f Id 1 )(Id()) donde f : R n R es una función diferenciable. En este caso, f Id 1 (x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x n ), or lo que (y sólo en este caso) x i (f ) = D i (f )() y el vector actúa como una derivada arcial. Si c : I R, c(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) es una curva con c(0) =, entonces las coordenadas de la curva c en la carta mencionada son: Id c(t) = Id(x 1 (t),..., x n (t)) = (x 1 (t),..., x n (t)) y c (0) se calculará como c (0) = x 1(0) x x n(0) x n Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

19 Algunos ejemlos: 2. S 2 : Sea S 2 un unto diferente del olo norte. S 2 \ {N}, con lo que (S 2 \ {N}, φ N ) es una carta en, donde φ N era la royección estereográfica desde el olo norte. x φ(x, y, z) = ( 1 z, y 1 z ), ( φ 1 2u (u, v) = u 2 + v 2 + 1, 2v u 2 + v 2 + 1, u2 + v 2 ) 1 u 2 + v Sea c : ( ε, ε) S 2 la curva c(t) = (cos t, sin t, 0). Vamos a calcular sus funciones coordenadas en la carta anterior: ( cos t (u(t), v(t)) = φ(c(t)) = 1 0, sin t ) = (cos t, sin t, 0) 1 0 Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

20 Algunos ejemlos (cont). La base de vectores coordenados en un unto está dada or u, v Si = c(0) = (1, 0, 0), vamos a escribir c (0) en esta base. Por lo visto anteriormente, c (0) = u (0) u +v (0) v = v Como actúan los vectores coordenados: sea f : S 2 R una función suave. u (f ) = D u (f φ 1 (u, v))(φ()) = D u ( f )(φ()) Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

21 Alguno ejemlos (cont.) Si or ejemlo, f (x, y, z) = x + y + z, entonces ( f (u, v) = f φ 1 (u, v) = f 2u u 2 + v 2 + 1, 2v u 2 + v 2 + 1, u2 + v 2 ) 1 u 2 + v 2 = + 1 = 2u + 2v + u2 + v 2 1 u 2 + v 2 (5) + 1 y ara hallar u (f ) tendríamos que diferenciar esa exresión en u, y sustituir en lo obtenido u y v or las coordenadas de en la carta (U, φ), i.e, φ(). Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

22 Camos de vectores Definición Sea O un abierto de una variedad diferencial M. Un camo de vectores X en O es una corresondencia que asigna cada unto O un vector X tangente a M en. Si f : O R es una función diferenciable, entonces odemos definir una nueva función combinando X y f como sigue: X (f ) : O R, X (f )() := X (f ) Definición Diremos que el camo de vectores X es suave si ara cualquier función f : O R, la función X (f ) : O R es diferenciable. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

23 Oeraciones con camos de vectores 1. Suma de camos de vectores: Sean X e Y camos de vectores suaves. La suma de X e Y es el camo X + Y definido como (X + Y ) = X + Y X + Y es suave, ya que si f F, (X + Y )(f )() = (X + Y ) (f ) = X (f ) + Y (f ) = = X (f )() + Y (f )() = (X (f ) + Y (f ))() (6) que es diferenciable orque X (f ) y Y (f ) son diferenciables. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

24 Oeraciones con camos de vectores (cont). 2. Producto de un camo de vectores or una función: Sea g : M R función diferenciable. Definimos el roducto de X or g como el camo de vectores gx definido como (gx ) = g()x gx es un camo de vectores suave orque (gx )(f )() = (gx ) (f ) = (g()x )(f ) = g() X (f ) = así que como funciones en, tenemos que es diferenciable. (gx )(f ) = (g X (f )) = g() X (f )() = (g X (f ))() (7) Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

25 Camos de vectores coordenados Definición Sea (U, φ) una carta de M, donde φ = (x 1,..., x n ). Los camos de vectores coordenados en U son los camos de vectores que asignan a cada U, los vectores tangentes x i, i = 1,..., n Los denotamos como x i. Si f : U R es una función diferenciable, entonces x i (f ) : U R es una función que en un unto U toma el valor (f )() = x i x i (f ) = D i ( f )(φ()) o también x i (f )() = ( D i ( f ) φ ) () Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

26 Camos de vectores coordenados De lo anterior, se sigue que como funciones en U, x i (f ) = D i ( f ) φ Y or lo tanto su exresión local en (U, φ) es x i (f ) φ 1 = ( D i ( f ) φ ) φ 1 = D i ( f ) que es diferenciable en φ(u) R n or serlo f. Hemos demostrado Lema Si (U, φ = (x 1,..., x n )) es una carta en M, sus camos de vectores coordenados son suaves en U. x 1,..., x n Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

27 Exresión local de un camo de vectores X en una carta Sea X un camo de vectores en M. Sea (U, φ) una carta de M, con φ = (x 1,..., x n ). { } Para cada U, X T M, y x 1...., x n es una base de T M, así que or lo ya visto, X = X (x 1 ) x X (x n ) x n Pero X (x i ) = X (x i )() or la forma en que definimos funciones del tio X (f ), así que X = X (x 1 )() x X (x n )() x n Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

28 Exresión local de un camo de vectores X en una carta X = donde hay que recordar que U. ( X (x 1 ) x X (x n ) x n ) Definición La exresión local del camo de vectores X en U es X U = X (x 1 ) x X (x n ) x n Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

29 Proosición Un camo de vectores X es suave si y sólo si ara todo M hay una carta (U, φ = (x 1,..., x n )) de M en con X (x 1 ),..., X (x n ) funciones diferenciables. Demostración. Si X es suave, entonces la defnición de camo suave nos da que las funciones X (x i ) : U R son diferenciables. Por otra arte, si las funciones X (x i ) : U R son diferenciables, entonces ara cualquier función diferenciable f : M R, en untos de U, X (f ) = X (x 1 ) (f ) + + X (x n ) (f ) x 1 x n que es diferenciable or ser suma de roductos de funciones suaves. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

30 Ejemlo: Sea M = R 2. Tomamos la carta (R 2, φ(x, y) = (x, y)), que nos da los vectores coordenados x, y. Sea ξ : A = (0, ) (0, 2π) R 2 la arametrización definida como que induce una carta (ξ(a), ψ = ξ 1 ) ξ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ), Ésta nos da otros dos camos de vectores (definidos en ξ(a)): escribir su exresión local en x, y : r, θ. Vamos a Primero hallamos el cambio φ ψ 1 (r, θ) = (r cos θ, r sin θ). Esto nos da (x, y) como x(r, θ), y(r, θ). Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

31 Ejemlo (cont.): A continuación alicamos lo que ya sabemos de cómo escribir un camo de vectores con resecto a los camos coordenados: De forma similar r = r (x) x + r (y) y = cos θ x + sin θ y θ = θ (x) x + θ (y) y = r sin θ x + r cos θ y Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

32 Ejemlo (cont.): Vamos a hacer el camino inverso y a buscar la exresión local de x (R 2, φ(x, y) = (x, y)): Primero necesitariamos el cambio de coordenadas ψ φ 1 (x, y) = (r(x, y), θ(x, y)). en la carta arctan y/x, x > 0 r = arctan y/x + π, x < 0, y > 0 x 2 + y 2, θ(x, y) = arctan y/x π, x < 0, y < 0 arccot(x/y), y > 0 arccot(x/y) π, y < 0 Pero en x = ξ(a) x (r) r + x (θ) θ, hallar (θ) es un oco costoso. x Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

33 Ejemlo (cont.): En este caso, es más fácil resolver x y y de la antalla anterior: r [ ] cos θ sin θ = x r sin θ r cos θ θ y y desejando x cos θ = sin θ y sin θ r cos θ r r θ Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

34 Ejemlo (cont.): Para dejarlo en coordenadas (x, y), usamos que r = x 2 + y 2, cos θ = x/r = x/ x 2 + y 2, etc. ara tener ( x = ( y = ) x x 2 + y 2 ) y x 2 + y 2 ( ) y r x 2 + y 2 θ ( ) x r x 2 + y 2 θ Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

35 La diferencial de una alicación entre variedades Sea F : O M N una alicación diferenciable. Tomamos un M y queremos diferenciar F en. Si α : ( ε, ε) M es una curva con α(0) =, entonces α (0) T M. La curva β = (F α : ( ε, ε) N es suave y β(0) = F () N. Por lo tanto, β tiene vector tangente β (0) T F () N Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

36 La diferencial de una alicación entre variedades:definición. Definición La diferencial de F en es la alicación lineal df : T M T F () N definida como df (v) = (F α) (0) donde α es una curva α : ( ε, ε) M con α(0) = y α (0) = v. Para que la definición sea correcta, hay que comrobar dos cosas: hay que ver que df (v) no deende de la curva α : ( ε, ε) M escogida siemrre y cuando α(0) =, α (0) = v; hay que comrobar que, efectivamente, df : T M T F () N es lineal. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

37 La diferencial de una alicación (cont.) Vamos a comrobar ambas a la vez. Para ello onemos coordenadas: Tomo una carta (U, φ = (x 1,..., x n )) de M en, tomo otra (V, ψ = (y 1,..., y m )) de N en F (), con F (U) V ; suongo que la curva α : ( ε, ε) M tiene coordenadas (x 1 (t),..., x n (t)) en (U, φ). Recordad que así que (x 1 (t),..., x n (t)) = φ(α(t)), α(t) = φ 1 (x 1 (t),..., x n (t)) Como α(0) =, (x 1 (0),..., x n (0)) son las coordenadas de. Además α (0) = v, con lo que v = x 1(0) x x n(0) x n Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

38 La diferencial de una alicación (cont.) La curva β: Sus coordenadas en la carta (V, ψ) están dadas or ψ β(t) = (y 1 (t),..., y m (t)) con lo que β (0) = y 1(0) y y m(0) F () y m F () De la definición, β = (F α), y α(t) = φ 1 (x 1 (t),..., x n (t)), así que (y 1 (t),..., y m (t)) = ψ F φ 1 (x 1 (t),..., x n (t)) Pero ψ F φ 1 : φ(u) R n R m es la exresión local de F en las cartas (U, φ) y (V, ψ). La denotamos F, y como va de R n a R m, se escribe como: F = ( F 1,..., F m ) Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

39 La diferencial de una alicación (cont.) Sustituyendo en lo anterior (y 1 (t),..., y m (t)) = F (x 1 (t),..., x n (t)) = = ( F 1 (x 1 (t),..., x n (t)),..., F m (x 1 (t),..., x n (t)) (8) que está escrita como comosición de alicaciones entre esacios eucĺıdeos, y or tanto se uede derivar usando la regla de la cadena: y 1 (0) D 1 F1... D n F1 x 1. =.... (0).. y m(0) D 1 Fm... D n Fm x n(0) donde la matriz D F está evaluada en (x 1 (0),..., x n (0)), que eran las coordenadas de. φ() Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

40 La diferencial de una alicación (cont.) Esta fórmula tiene dos consecuencias: 1 df (v) no deende de la curva α usada: Si α : ( ε, ε) M fuera otra curva con α(0) = α(0) =, y con α (0) = α (0) = v, entonces en la exresión anterior, φ() y (x 1 (0),..., x n(0)) coincidirían, así que (F α) (0) = (F α) (0). { } 2 Las coordenadas de df (v) en la base y 1,..., F () y m se obtienen F () multilicando { or una matriz las coordenadas de v en la base } x 1,...,. Por lo tanto df es una alicación lineal. x n Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

41 La diferencial de una alicación (cont.) Para futura referencia, onemos como roosición el resultado obtenido: Proosición Sea F : M N diferenciable. Si (U, φ) es una { carta de M en, (V, ψ) es una } carta de N en F (), entonces en las bases x 1,..., x n de T M y { } y 1,..., F () y m de T F () N, la alicación lineal df : T M T F () N F () se escribe mediante la matriz D 1 F1... D n F1 D(ψ F φ 1 )(φ()) =..... D 1 F m... D n F m φ() Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

42 La diferencial de una alicación: definición equivalente Si v = α (0) T M, df (v) T F () N es tangente a β = F α. Por ello, es un funcional df (v) : F F () R Cómo actúa? Sea f F F () una función diferenciable en F (). Entonces [df (v)](f ) = (f β) (0) = (f F α) (0) = [(f F ) α] (0) = v(f F ) Podíamos haber emezado con esta definición y haber deducido la otra. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

43 Regla de la cadena en variedades Teorema Si F : M N, G : N P son diferenciables con F () = q, G(q) = r, entonces Demostración. d(g F ) = dg q df Si v T M, tomamos α : ( ε, ε) M con α(0) =, α (0) = v. Entonces d(g F ) (v) = ((G F ) α) (0); or la definición de diferencial, β = F α es una curva con β(0) = F () = q, β (0) = df (V ), así que γ = G β = G (F α) : ( ε, ε) P, es una curva con γ (0) = dg q (β (0)) = dg q (df (v)). Como (G F ) α = G (F α), tenemos que d(g F ) (v) = ((G F ) α) (0) = (G (F α)) (0) = dg q (df (v)) Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

44 Teorema de la función inversa en variedades Primero demostramos un lema fácil ero necesario: Lema Si Id : M M es la alicación identidad Id() =, entonces su diferencial d(id) : T M T M es la identidad en T M (i.e, d Id (v) = v ara todo v T M) Demostración. Si α : ( ε, ε) M tiene α(0) =, α (0) = v, entonces Id α(t) = α(t) or lo que d Id (v) = (Id α) (0) = α (0) = v Ahora enunciamos la versión del teorema de la función inversa ara variedades: Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

45 Teorema de la función inversa en variedades Teorema Sea F : M N diferenciable. F es un difeomorfismo local en M si y sólo si df : T M T F () N es un isomorfismo lineal. Demostración: Suongamos que F es un difeomorfismo local en M. Entonces hay entornos U de, V de F (), tal que F U : U V es invertible con inversa (F U ) 1 : V U diferenciable. Comoniendo (F U ) 1 F U = Id U Si U, la definición de diferencial da df = d(f U ) Tomando la diferencial, y alicando la regla de la cadena, d(f U ) 1 F () df = d(f U ) 1 F () d(f U ) = d((f U ) 1 F U ) = d (Id) = Id TM De forma similar, df d(f U ) 1 F () = Id T F () N, y df es isomorfismo lineal. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

46 Teorema de la función inversa en variedades (cont.) Ahora suongamos que df : T M T F () N es un isomorfismo lineal; entonces su matriz (tras tomar bases en T M y T F () N) debe ser cuadrada y no singular. En articular, tomando cartas (U 1, φ = (x 1,..., x n )) en, (V 1, ψ = (y 1,..., y m )) en N, sabemos que en las bases de vectores coordenados en y en F (), la matriz de df es D F (φ()) = D(ψ F φ 1 )(φ()) = Como la matriz es cuadrada, dim M = n = m = dim N. D 1 F 1... D n F D 1 F m... D n F m Además, como D F (φ()) es no singular, el teorema de la función inversa en R n asegura la existencia de entornos Ū de φ(), V de F (φ()) tal que F Ū : Ū V es invertible con inversa diferenciable. φ() Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

47 Teorema de la función inversa (cont.) Pero en Ū, tenemos F = ψ F φ 1, así que en el abierto φ 1 (Ū) = U F U = ψ 1 F φ Ū y (F U ) 1 = φ 1 ( F Ū) 1 ψ nos da una inversa ara F U. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

48 Teorema de la función inversa en variedades La demostración se ve más clara con los siguientes diagramas: U F U φ Ū F Ū (F U ) 1 V U V V ψ 1 φ 1 Ū ( F Ū ) 1 El rimero indica como escribir F U usando F ; el segundo indica cómo escribir su inversa usando la inversa de F. La demostración sólo indica cómo escribir la inversa (local) de F usando la inversa (local) de F, la cuál existe gracias al teorema de la función inversa en R n. V ψ Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

49 Vectores y camos de vectores en subvariedades Sea S M una subvariedad. Un vector tangente a S en es tangente a alguna curva α : I S, con α(0) =, α (0) = v T S. Pero como S M, odemos ver la curva α como yendo a arar a M. Para esto nos hace falta la inclusión i : S M, q q Proosición i : S M es diferenciable, con diferencial di : T S T M inyectiva. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

50 Vectores y camos de vectores en subvariedades Demostración. La rimera arte estaba demostrada en el aartado de subvariedades del caítulo anterior, donde vimos que si (U, φ = x 1,..., x n )) era una carta adatada a S en, entonces la exresión local de i en ella, y en la carta que induce en S era (φ i φ 1 )(x 1,..., x k, 0..., 0) que tiene diferencial [ ] Ik k 0 Como tiene rango igual a la dimensión de T S, di es inyectiva. Por ser di : T S T M inyectiva, se suele identificar T S con di (T S) T M, y considerarlo como un subesacio vectorial de T M. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

51 Vectores y camos de vectores en subvariedades En el caso de subvariedades Eucĺıdeas, es fácil identificar T S dentro de T M: 1. Si S está definida imĺıcitamente mediante F : R n R n k : Suongamos que S = F 1 (a), a R n k, donde a es un valor regular de F. Proosición En la situación anterior, T S = ker DF Demostración. Si α : I S cumle α(0) =, α (0) = v T S, entonces F (i α))(t) = a, ya que S = F 1 (a). Por ello, DF (di (v)) = d dt t=0(f (i α))(t) = d dt t=0(a) = 0 Esto imlica di (T S) ker df, y como ambos son subesacios vectoriales de dimensión k, deben coincidir. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

52 Vectores y camos de vectores en subvariedades 2. S está en el entorno coordenado corresondiente a una arametrización ξ : A S: Suongamos que ξ(a) = ara algún a A. En este caso, i ξ : A R k R n es una alicación diferenciable en el sentido usual, y odemos trabajar con su matriz diferencial (calculada como en Cálculo II) En la siguiente roosición, identificamos T R n con R n gracias a la base de vectores coordenados de la carta (R n, Id), i.e, (a 1,..., a n ) R n corresonde a a 1 x a n x n T R n Proosición di (T S) T R n R n coincide con el subesacio vectorial img(d(i ξ)(a)). Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

53 Vectores y camos de vectores en subvariedades Demostración. Si v T M con v = α (0), entonces la curva α = ξ 1 α : I A es una curva con ξ α = α, así que dξ a ( α (0)) = α (0) = v Y or tanto di (v) = di (dξ a ( α (0)) = d(i ξ) a ( α (0)) or lo que di (T S) img(d(i ξ)(a)). Como ambos subesacios tienen la misma dimensión, son iguales. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

54 Camos de vectores en variedades Teorema Sea X un camo de vectores suave en una variedad M. Suongamos que ara una subvariedad S M tenemos que X T S ara todo S. Entonces X S es un camo suave en S. La condición X T S quiere decir que X di (T S), de acuerdo con la identificación anterior, así que X = di ( X ) ara algún X T S. El teorema dice que X es un camo suave en S. Demostración. Usaremos sin demostar que dada una función diferenciable f : O S R, existe una extensión diferenciable f : Ō M R (al menos localmente, que es todo cuanto nos hace falta). X S (f )() = X ( f ) i() que es una comosición de funciones diferenciables, or lo que X S es suave en S. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

55 Flujo global Definición Un flujo global en una variedad M es una alicación diferenciable θ : R M M, tal que θ(0, ) = ara todo M; θ(t, θ(s, )) = θ(s + t, ) Para cada M tenemos una curva c : R M c (t) = θ(t, ) Tomando su vector tangente en t = 0 nos da un camo de vectores X en M: X = c (0) Definición X se llama el generador infinitesimal de θ. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

56 Flujo de un camo de vectores Para un M, vamos a examinar la curva c (s) = θ(s, ) que describe dónde se mueve mediante el flujo θ. Proosición La curva c es siemre tangente al camo X, i.e, c (s) = X c(s). Demostración. Tomo la curva c(t) = θ(t, c (s)). Por las roiedades de θ, c(t) = θ(t, c (s)) = θ(t, θ(s, )) = θ(t + s, ) = c (t + s) Calculo el vector tangente a cada una cuando t = 0: X c(s) = c (0) = c (s) Curvas integrales: c : R M se llama una curva integral de X. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

57 Curvas integrales Si queremos hallar la curva integral or de un camo de vectores X, usamos una carta (U, φ = (x 1,..., x n ) de M en. Suonemos que: la exresión local de X en la carta es X = X X n, donde cada X i es una función en U. x 1 x n Suonemos que c (t) es la curva buscada; la escribimos en coordenadas: (x 1 (t),..., x n (t)), que son las funciones que queremos hallar. La condición de curva integral es X c(t) = i X i (c(t)) x i = i x i (t) x i Recordando que c (t) = φ 1 (x 1 (t),..., x n (t)), esto nos da el sistema de EDO s de la siguiente antalla: Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

58 Curvas integrales con una condición inicial x 1 (t). x n(t) = X 1 φ 1 (x 1 (t),..., x n (t)). X n φ 1 (x 1 (t),..., x n (t)) (x 1 (0),..., x n (0)) = φ() corresondiente a la condición c (0) =. Este sistema tiene solución al menos ara equeños valores de t. Además es única. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

59 Ejemlo de cálculo de curvas integrales Sea M = S 2. Consideramos el camo de vectores X en R 3 definido como X = y x x y, (x, y, z) R3 Como S 2 = F 1 (1) ara F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 y 1 es valor regular de F, T S 2 = ker DF y al tener DF (X ) = 0 ara untos S 2, tenemos que Y = X S 2 es un camo de vectores en S 2. Vamos a calcular sus curvas integrales de dos formas: Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

60 Ejemlo de cálculo de curvas integrales 1. Usando una carta: Tomamos, or ejemlo, la arametrización ξ(u, v) = (cos u sin v, sin u sin v, cos v), (u, v) (0, 2π) (0, π). con inversa φ(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z)), u = u(x, y, z), v = arc cos z, donde la fórmula ara u(x, y, z) es similar a la del ángulo olar. En esta carta, la exresión del camo de vectores Y es Y = Y (u) u + Y (v) v y como no hay una buena fórmula ara u, uede ser un oco esado de calcular. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

61 Ejemlo de cálculo de curvas integrales En este caso, hay otra forma más conveniente de hacer este cálculo: o tras identificar R 3 con T R 3, Por otra arte, ξ u = ( sin u sin v, cos u sin v, 0) = u, ξ v = (cos u cos v, sin u cos v, sin v) = v ξ u = sin u sin v + cos u sin v x y = u, ξ v = cos u cos v + sin u cos v x y sin v z = v Y ξ(u,v) = y(u, v) x(u, v) x y = sin u sin v cos u sin v x y = ξ u = u Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

62 Ejemlo de cálculo de curvas integrales Si ξ(u, v) =, entonces las ecuaciones del flujo de Y son [ ] [ ] u 1 v = 0 con condición inicial (u(0), v(0)) = (u, v), lo que da y ara obtener el flujo en S 2, (u(t), v(t)) = (u t, v) θ(t, ξ(u, v)) = ξ(u(t), v(t)) = (cos (u t) sin v, sin (u t) sin v, cos v) Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

63 Ejemlo de cálculo de curvas integrales Otra forma de hallar el flujo de un camo tangente a una subvariedad es usar este resultado: Proosición Si S es una subvariedad de M, e Y es un camo de vectores en S obtenido como restricción de un camo de vectores X de M que es tangente a S en untos de S, entonces las curvas integrales de Y coinciden con las curvas integrales de X que emiezan en untos de S. Demostración. Sea S. Denotamos or α : I S la curva integral de Y con α(0) =. La condición de curva integral da α (t) = Y α(t) = X α(t) or la definición de Y como restricción de X ; luego α es curva integral de X. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

64 Ejemlo de cálculo de curvas integrales Volviendo al ejemlo, Y se obtenía restringiendo X = y x x y desde R3 a S 2, así que nos basta calcular las curvas integrales de X. Usamos la carta usual de R 3 : que tiene soluciones x y = y x z 0 (x(t), y(t), z(t)) = (x cos t + y sin t, x sin t + y cos t, z) Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

65 Aéndice: La derivada direccional en R n Sea O un abierto en R n y una función f : O R, f = f (x 1,..., x n ) Sea M, y v R n un vector. La recta que asa or en la dirección v es c(t) = + tv, que cumle c(0) =, c (0) = v. La variación de f a lo largo de la recta c(t) es la derivada (f c) (t) y si la queremos calcular en, entonces es (f c) (0). Definición La derivada direccional de f en la dirección v es D v (f ) = (f c) (0) Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

66 Aéndice: La derivada direccional en R n (cont) La calculamos usando la regla de la cadena: f (c(t)) = f (x 1 +tv 1,..., x n +tv n ), d dt t=0(f c) = f ()v f ()v n x 1 x n Por razones que serán claras más adelante, denotaremos la derivada arcial como D i f Proiedades: D v (f + g) = D v (f ) + D v (g). D v (fg) = f ()D v (g) + g()d v (f ). f x i Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

67 Aéndice: La derivada direccional en R n (cont) Si c : I R n es una curva suave con c(0) =, c (0) = v, odíamos haber hecho un cálculo similar: (f c) (0) = (f (x 1 (t),..., x n (t))) t=0 = D 1 f ()x 1(0) + + D n f ()x n(0) = = D 1 f ()v D n f ()v n (9) que demuestra que una derivada direccional a lo largo de v no deende de la curva usada ara calcular (f c) (0), siemre que esta curva satisfaga c(0) =, c (0) = v. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68

68 Teorema de la función inversa Teorema Sea F : O R n R n una alicación diferenciable donde O es un abierto. Si det DF (a) 0, entonces existen entornos A de a, B de F (a), tal que F (A) = B, y F a : A B es invertible con inversa diferenciable. F : O 1 O 2 es un difeomorfismo si es diferenciable, biyectiva, con inversa diferenciable. F es un difeomorfismo local en a A si existen entornos A de a, B de F (a) tal que F (A) = B, y F a : A B es invertible con inversa diferenciable. Luis Guijarro ( UAM) Derivadas en variedades 19 de mayo de / 68