SEGUNDA PRUEBA. 26 de febrero de 2010 INSTRUCCIONES. Esta prueba consiste en la resolución de un problema de tipo experimental

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1 SEGUNDA PRUEBA 6 de febrero de 010 : INSTRUCCIONES Esta rueba consiste en la resolución de un roblema de tio exerimental Razona siemre tus lanteamientos No olvides oner tus aellidos, nombre y datos del Centro en la rimera hoja! Subvenciona:

2 Problema exerimental. Deteración de la viscosidad de un líquido. Cuando un cuero sólido se mueve en el seno de un fluido (gas o líquido), exerimenta una fuerza de fricción, llamada habitualmente fuerza de arrastre, que frena su movimiento. Si la velocidad del cuero es suficientemente equeña, se encuentra que la fuerza de arrastre es directamente roorcional a dicha velocidad. La constante de roorcionalidad deende de la forma del cuero y de la viscosidad del fluido. En el caso articular de un cuero esférico, se demuestra que la fuerza de arrastre F a 6π η R v F a (1) es (Ley de Stokes) donde v es la velocidad, R es el radio de la esfera y η es el llamado coeficiente de viscosidad del fluido. En este roblema exerimental vamos a trabajar con uno de los métodos más comunes de deterar el coeficiente η de un líquido: medida de la velocidad límite de caída de esferas en una columna de ese líquido. Cuando una esfera cae moviéndose en el seno de un líquido, sobre ella actúan dos fuerzas: su eso aarente, que tiende a acelerar el movimiento hacia abajo, y la fuerza de arrastre (1) que tiende a frenar este movimiento, es decir dirigida hacia arriba. Como la rimera es constante y la segunda crece con la velocidad, la aceleración disuye conforme la esfera cae y gana velocidad. Al cabo de un tiemo y un recorrido suficientemente grandes, las dos fuerzas llegan a igualarse y la aceleración se anula, de forma que la esfera se mueve con velocidad uniforme. Ésta es la llamada velocidad límite. El eso aarente de la esfera es igual al eso real, m e g, menos el emuje de Arquímedes, igual al eso del líquido desalojado, m l g. Poniendo estos esos en función de las densidades resectivas, ρ e y ρ l, y recordando que el volumen de una esfera es 4π R 3 / 3, la fuerza F que tiende a acelerar el movimiento es F 4 π R 3 ( ρ e ρ l )g 3 Igualando esta fuerza con la de arrastre dada en (1) se deduce la velocidad límite ( ρ e ρ l ) g v lim R () 9η Esta velocidad es fácil de medir exerimentalmente, si no es muy grande, cronometrando el tiemo que tarda la esfera en recorrer una distancia L a lo largo del líquido (figura 1) una vez alcanzada la velocidad límite, es decir sin tener en cuenta la rimera arte del recorrido. Imagina que en el laboratorio disones de una robeta grande llena de glicerina 1 y siete bolitas de acero, de radios diferentes y conocidos. Con un cronómetro manual mides el tiemo t que tarda cada bolita en recorrer una distancia L 30,0 cm. Los radios de las esferas y los resectivos tiemos medidos se resentan en la siguiente tabla. R (mm) 1,00 1,5 1,50 1,75,00,5,50 t (s) 0,8 13,38 9,0 6,75 5,6 4,17 3,8 a) Construye una tabla con los valores de R y v lim de las diferentes esferas. Dibuja en el ael milimetrado una gráfica con los untos ( x, y) ( R, v lim ). b) Detera la endiente de la recta que mejor se ajusta a estos untos. Ten en cuenta que, según (), la recta debe asar or el origen. c) Detera el coeficiente de viscosidad, η, de la glicerina. d) Haz una estimación de la incertidumbre (margen de error) de la endiente de la recta. Calcula la incertidumbre transmitida al coeficiente de viscosidad. Datos: ρ e 7, kg/m 3 ; ρ 3 l 1, kg/m ; g 9,81m/s. 1 La viscosidad de la glicerina a temeratura ambiente es bastante alta, de forma que al cabo de unos ocos milímetros de recorrido la velocidad de las bolitas ya es uniforme, es decir se ha alcanzado la velocidad límite. Para mejorar la recisión del resultado sería conveniente medir varias veces cada tiemo de caída y romediarlos, ero sólo se disone de una bolita de cada radio y no es fácil sacarlas del fondo de la robeta ara reetir la medida. OAF 010 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA v lim Fig. 1 L

3 Problema exerimental. Deteración de la viscosidad de un líquido. Solución a) En la siguiente tabla se recogen los valores edidos de R y v lim L / t de las diferentes bolitas. ( 10-6 m ) R 1,00 1,56,5 3,06 4,00 5,06 6,5 lim ( m/s ) v 0,0144 0,04 0,036 0,0444 0,0570 0,0719 0,0915 x, y ( R lim ) tener dibujada en ael milimetrado Los untos ( ), v se reresentan en la siguiente gráfica, con un asecto similar al que odría v lim (m/s) 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,01 0,00 0,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 R (x10-6 m ) b) En la misma gráfica también se ha dibujado la recta que, asando or el origen, mejor se ajusta a estos untos. La endiente de esta recta uede calcularse como el cociente de las coordenadas de un unto cualquiera de la recta. y x Para mejorar la recisión relativa de la lectura sobre la gráfica de estas coordenadas, y or tanto de la endiente, es conveniente tomar un unto alejado del origen. Tomando, or ejemlo, las coordenadas del unto más alejado (extremo suerior derecho de la recta dibujada) 0,100 m/s 6, m 1, m s Nota: un ajuste analítico or el método de "mínimos cuadrados" conduce a un resultado muy similar: 4 1, m s OAF 010 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA

4 c) En la exresión () del enunciado se observa que la endiente de la recta obtenida es ( ρ ρ ) e l g 9η Por tanto, la viscosidad de la glicerina que se obtiene es 1 ( ρ ) e ρ l g η η, kg m d) La incertidumbre de la endiente uede estimarse trazando sobre la gráfica las rectas que, con endientes máxima y m ínima, se ajustan razonablemente a los untos exerimentales. En la siguiente figura se resenta una estimación de estas rectas. v lim (m/s) 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,01 0,00 0,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 R (x10-6 m ) Las endientes de estas rectas ueden calcularse como en el aartado b). 0, 100 m/s max 1, m s 6, m 0, 100 m/s 1, m s 7, m Por tanto, una estimación de la incertidumbre de la endiente sería max Δ Δ, m s 1 Las unidades de la viscosidad en el S.I., 1 kg m s, suelen exresarse en la forma equivalente Pa s. OAF 010 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA

5 La incertidumbre transmitida a η uede calcularse numéricamente en la forma η η max ( ρ e ρ l ) g ( ρ e ρ l ) 9( Δ ) g, kg m ( ρ e ρ l ) g ( ρ e ρ l ) 9( + Δ ) g, kg m max η max η Δ η En total, el resultado final del exerimento sería ( 0, 995 ± 0 01 ) kg m η, Δ η, 0 01 kg m De una forma matemáticamente más elegante, aunque no mas exacta, la incertidumbre transmitida a η también uede calcularse tomando incrementos (en valor absoluto) en la exresión que ermite calcular η a artir del valor de. ( ρ ) e ρ l g η ( ρ e ρ l ) g Δ kg m s Δ η, OAF 010 PRUEBAS DEL DISTRITO UNIVERSITARIO DE ZARAGOZA