MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SOCIALES

Transcripción

1 UNIVERSIDDES PÚLICS DE L COMUNIDD DE MDRID PRUE DE CCESO ESTUDIOS UNIVERSITRIOS (LOGSE) (Setiembre) MTERI: MTEMÁTICS PLICDS LS CC. SOCILES INSTRUCCIONES GENERLES Y VLORCIÓN INSTRUCCIONES: El alumno deberá elegir una de las dos ociones o que figuran en el resente eamen y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha oción. Para la realización de esta rueba uede utilizarse calculadora científica, siemre que no disonga de caacidad de reresentación gráfica o de cálculo simbólico.. CLIFICCIÓN: La untuación máima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. TIEMPO: 90 minutos. OPCIÓN Ejercicio. (Puntuación máima: untos) Una emresa instala casas refabricadas de tres tios, y C. Cada casa de tio necesita 0 horas de albañilería, de fontanería y de electricista. Cada casa de tio necesita horas de albañilería, de fontanería y de electricista. Cada casa de tio C necesita 0 horas de albañilería, 6 de fontanería y de electricista. La emresa emlea eactamente 0 horas de trabajo al mes de albañilería, 68 de fontanería y 8 de electricista. Cuántas casas de cada tio instala la emresa en un mes? Variables: número de casas tio y número de casas tio z número de casas tio C Los datos se ueden reunir en un cuadro de contingencia. lbañilería Fontanería Electricista Tio 0 Tio Tio C 0 6 Totales Cada tio de trabajo ermite lantear una ecuación. 0 y 0z 0 y z SIMPLIFICNDO y 6z 68 y z y z 8 y z 8 Para resolver el sistema se calcula el determinante de la matriz de coeficientes, si 0, sistema comatible determinado, se resuelve or el método de Cramer. det 0 8 ( 8 6) : y Solución: 0 casas tio, 6 casas tio y casas tio C. y 8 6 : z z 8

2 Ejercicio. (Puntuación máima: untos) Se desea fabricar un acuario con base cuadrada y sin taa, de caacidad 00 dm. La base y las aredes del acuario han de estar realizadas en cristal. Cuáles deben ser sus medidas ara minimizar la suerficie total del cristal emleado? Se ide dimensionar un risma de base cuadrada ara que el área lateral del risma sin taa sea mínima. El volumen del risma ermite relacionar las variables e y, y obtener el área en función de una sola variable y y El mínimo se calcula derivando e igualando a cero : : : 000 : 00 Si 0: y Comrobación. 000 : 000 ( 0) 6 > 0 mínimo 0 Ejercicio : (Puntuación máima: untos) Se consideran dos actividades de ocio: ver televisión y visitar centros comerciales. En una ciudad, la robabilidad de que un adulto ractique es igual a 0,6; la robabilidad de que ractique es igual a 0, y la robabilidad de que ractique y es igual a 0,. a) Se selecciona al azar un adulto de dicha ciudad. Cuál es la robabilidad de que no ractique ninguna de las dos actividades anteriores? b) Se elige al azar un individuo de entre los que ractican alguna de las dos actividades. Cuál es la robabilidad de que ractique las dos actividades? Datos: () 0,6 () 0, () 0, Leyes MORGN COMPLEMENTRIO a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,6 0, 0,) 0, 6

3 ( ) YES b. ( ) ( ) ( ) Lo común a la unión y la intersección es la intersección. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0, 0, 0,6 0, 0, 0,6 Ejercicio. (Puntuación máima: untos) Se suone que la calificación en Matemáticas obtenida or los alumnos de una cierta clase es una variable aleatoria con distribución normal de desviación tíica, untos. Se elige una muestra aleatoria simle de tamaño 0 y se obtiene una suma de sus calificaciones igual a 9, untos.. a) Determínese un intervalo de confianza al 9% ara la calificación media de la clase b) Qué tamaño ha de tener la muestra ara que el error máimo de la estimación sea de 0, untos, con el nivel de confianza del 9%? a. calificación matemáticas. Variable continua que sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación,. : N(µ, σ) σ, Se ide calcular un intervalo de robabilidad ara la media de las calificaciones conocida la suma de las notas de diez alumnos. Para ello se genera la variable media muestral ( ) con muestra de tamaño 0. : N µ, σ N µ, n σ 0 Intervalo de robabilidad a artir de una media muestral. σ o Zα, o Z n α σ n Z α se calcula a artir del nivel de confianza; Nivel de confianza α 0 9 α 0,0 α 0,0 Z φ α φ φ ( 0,90), 96 La media muestral se calcula conocida la suma de las calificaciones de 0 alumnos. 0 i 9, i 9, o,9 0 0 σ σ,, o Z, o Z,9,96,,9,96 α α (,0, 6,88) n n 0 0 Se uede estimar con una robabilidad del 9% que la calificación media de matemáticas de la clase va a estar en el intervalo (,0, 6,88). b. El tamaño muestral se calcula a arir del error máimo admitido. σ σ, ε má Zα n Z α,9, n má 0, ε n 0

4 OPCIÓN Ejercicio. (Puntuación máima: untos) Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 000 euros, distribuidos entre acciones del tio y del tio. Las acciones del tio garantizan una ganancia del 0% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 0000 euros y un máimo de 8000 euros. Las acciones del tio garantizan una ganancia del % anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 000 euros. La cantidad invertida en acciones del tio no uede suerar el trile de la cantidad invertida en acciones del tio. Cuál debe ser la distribución de la inversión ara maimizar la ganancia anual? Determínese dicha ganancia máima. Variables. Dinero invertido en bonos tio. y Dinero invertido en bonos tio. Restricciones. - Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 000 euros y En acciones tio es obligatorio invertir en ellas un mínimo de 0000 euros y un máimo de 8000 euros En acciones tio es obligatorio invertir en ellas un mínimo de 000 euros y La cantidad invertida en acciones del tio no uede suerar el trile de la cantidad invertida en acciones del tio y - Variables no negativas. 0; y 0 y Restriccio nes : y 000 y 0 0; y 0 Función objetivo. Ganancia máima. Las acciones del tio garantizan una ganancia del 0%, las acciones del tio garantizan una ganancia del %. 0 F (, y) y Región factible. Para determinar la región factible se toma un unto cualquiera y se comrueba cuales restricciones cumle, la región que cumla todas las restricciones es la región factible. Tomando como unto P(0000, 0000): La cumle La cumle P ( 0000, 0000) : La cumle La cumle ; La cumle Vértices. - (0000, 000) : (0000, 90000) y 0

5 y C: (0, 90) y 0 y D: (8000, 000) E: (8000, 000) Otimación. Vértice ( ) y ( ) F(, y) 0, 0,0 y C , D E Cumliendo las restricciones rouestas se obtiene un beneficio máimo de 000 invirtiendo 8000 en acciones tio y 000 en acciones tio. Ejercicio. (Puntuación máima: untos) Se considera la función real de variable real definida or: f a) Determínense las asíntotas de f. b) Calcúlense los máimos y mínimos relativos de f y determínense sus intervalos de crecimiento. c) Calcúlese la integral definida: ( ) f a. síntotas verticales. Son rectas de la forma o tales que o D y Lím f d o Posibles asíntotas verticales: ± 6 6 Lím -. Lím. síntota vertical Lím Lím -. Lím. síntota vertical Lím 0 K 0 síntota horizontal. y L, donde L Lím f finito Lím ± ± ( ) Lím ± 0 0 síntota oblicua. No tiene or tener horizontal. y b. Estudio de la rimera derivada. En los untos donde se haga cero la derivada y además cambie de signo eistirá un etremo relativo, con el siguiente criterio: f Si ( o ) > 0 f o 0 : ( o, f ( o )) Máimo f ( o ) < 0

6 f Si ( ) f o o 0 : f ( ) Monotonía: o < 0 > 0 En los intervalos donde f > 0 En los intervalos donde f < 0 f Ceros y signos de la derivada. Ceros: 0: 0 Polos: ( ) 0: ± (, f ( )) Mínimo o o, la función será creciente., la función será decreciente. ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) (, ) (, 0) f > 0 f es creciente ( 0, ) (, ) f < 0 f es decreciente En 0, se anula la derivada, asando de ositiva (creciente) a negativa (decreciente). En (0, f(0)) la función tiene un máimo relativo. 0 f ( 0) 0 Máimo en 0, c. ( ) f d ( ) d ( ) d 0 u 6

7 Ejercicio. (Puntuación máima: untos) Se suone que las señales que emite un determinado telégrafo son unto y raya y que el telégrafo envía un unto con robabilidad y una raya con robabilidad. Los errores en la transmisión ueden hacer que cuando se envíe un unto se reciba una raya con robabilidad y que cuando se envíe una raya se reciba un unto con robabilidad. a) Si se recibe una raya, cuál es la robabilidad de que se hubiera enviado realmente una raya? b) Suoniendo que las señales se envían con indeendencia, cuál es la robabilidad de que si se recibe untounto se hubiera enviado raya-raya Para entender el enunciado se uede reresentar el enunciado mediante un diagrama en árbol definiendo dos sucesos y sus comlementarios. Enviar Punto; Enviar Raya; Recibir Punto; Recibir Raya a. Recibido Raya Enviar Raya YES 8% b. Recibido Punto Enviar Raya Recibido Punto Enviar Raya INDEPENDIENTES Calculo de, 6 Sustituyendo: 0,

8 Ejercicio. (Puntuación máima: untos) La duración de la vida de una determinada esecie de tortuga se suone que es una variable aleatoria, con distribución normal de desviación tíica igual a 0 años. Se toma una muestra aleatoria simle de 0 tortugas y se obtienen las siguientes duraciones, en años: 6 ; 8 ; 9 ; 9 ; ; ; 8 ; ; ; a) Determínese un intervalo de confianza al 9% ara la vida media de dicha esecie de tortugas. b) Cuál debe ser el tamaño de la muestra observada ara que el error de la estimación de la vida media no sea suerior a años, con un nivel de confianza del 90%? a. Vida en años de una esecie de tortuga. Variable continua con distribución Normal : N µ, σ ; σ 0 años Para muestras de tamaño 0 elementos, las medias muestrales también siguen una distribución Normal. σ : N µ, 0 Intervalo de robabilidad a artir de una media muestral es: σ o Zα, o Zα n σ n Z α se calcula a artir del nivel de confianza; Nivel de confianza α 0 9 α 0,0 α 0,0 Z φ α φ φ ( 0,90), 96 La media muestral se calcula conocida la muestra. 0 i o 0 0, 0 0,,96,,, (,,,) Se uede estimar con una robabilidad del 9% que la vida media de las tortugas de dicha esecie va a estar comrendida entre, y años. b. El tamaño muestral se calcula a arir del error máimo admitido. Nivel de confianza α 0 9 α 0, α 0, Z φ α φ φ 0,90 ε, 6 0 má Zα,6 má σ σ n Zα n ε n 0,89 8