1Tema 11 Representación de funciones

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1 1Tema 11 Representación de funciones 1. Del estudio a la gráfica. a) Representa una función y f () sabiendo que: Dominio: 0 Corta a OX en = 1. Asín. horizontal y = 0: Asín. vertical = 0: Si Si Si Si, y 0, y 0 0 0, y, y Mínimo en (,-1) b) Di dónde crece y donde decrece. a) Dibujamos las tendencias que nos señala el enunciado y los puntos por los que pasa la curva: - -1 b) Crece en (,0) (, ). Decrece en (0,). Estos ejercicios no serán resueltos con Wiris, pero consideramos que son de interés para el alumno.. Descripción de una gráfica. Describe esta gráfica de una función: Su dominio es,. si, y = - es asíntota vertical: si, y si, y = es asuntota vertical: si, y -

2 Matemáticas II Tema 11. si, y 0 y = 0 es asíntota horizontal: si, y 0 Es creciente. Tiene un punto de infleión en (0, 0). No tiene máimos ni mínimos. Estos ejercicios no serán resueltos con Wiris, pero consideramos que son de interés para el alumno. 3. Estudio de una función. 4 Dada la función: f ( ) estudia su dominio de definición, asíntotas, intervalos de 1 crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos. Represéntala gráficamente. Su dominio es 1,1. 1 Es simétrica respecto al eje Y porque f ( ) f ( ). = 1 es asíntota vertical porque lim 1 f ( ) si si 1 1, f ( ), f ( ) = -1 es asíntota vertical porque lim si 1, f ( ) f ( ) 1 si 1, f ( ) -1 No tiene asuntotas horizontales ni oblicua porque: 4 lim 1 y lim f ( ) Reuniendo la información anterior, observamos que la curva debe tener un mínimo entre las asíntotas = 1 y =-1. Buscamos los puntos singulares ( f ( ) 0) : 4 ( f ) ( 1) ( ) f ( ) Estudio del signo de la derivada: ( 1) y ( ) son siempre positivos. El signo -1 1 de la derivada solo depende del.

3 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato y 0 y 0 y 0 y Crece en ( 0,1) (1, ). Decrece en (, 1) ( 1,0) Tiene un mínimo en (0, 0): = 0, f ( 0) 0 La representación gráfica es: Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En primer lugar, comprobamos la simetría de la función, escribiéndola con su nombre y luego, escribiendo f(-), para cambiar el signo a todos los coeficientes de las incógnitas: Figura 1.. Ahora calcularemos el límite de 1 en el punto, por la izquierda y por la derecha: 3

4 Matemáticas II Tema 11. Figura. 3. Después calcularemos igual que en el paso anterior, el límite en el punto, por la izquierda y por la derecha, pero esta vez, de -1: Figura 3. 4

5 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato 4. Ahora calcularemos dos límites para comprobar si hay asíntotas horizontales u oblicuas: Figura En este paso, derivaremos la función y luego la resolveremos para conocer los puntos singulares: Figura Por último, representaremos la función: Figura 6. 5

6 Matemáticas II Tema 11. Figura 7. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 4. Estudio de una función. Estudia el dominio, las asíntotas, la simetría y los puntos singulares de esta función y haz su gráfica. 4 y 4 ( ) 4 Simetría f ( ) f ( ) Es una función impar y, por tanto, simétrica respecto al origen de coordenadas. Asíntota vertical : = 0: lim 0 4, lim Asíntota oblicua y = -. La obtenemos escribiendo la función así: y 4 si, f ( ) f ( ) ( ) - si, f ( ) 6

7 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Del estudio de las asíntotas deducimos que la curva no va a tener máimos ni mínimos. Lo comprobamos estudiando la derivada: 4 y, y No tiene solución. La derivada es negativa para cualquier valor de, luego la función es decreciente en todo su dominio. Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En primer lugar, comprobamos la simetría de la función, escribiéndola con su nombre y luego, escribiendo f(-), para cambiar el signo a todos los coeficientes de las incógnitas: Figura 8.. Ahora calcularemos el límite de 0 en el punto, por la izquierda y por la derecha: Figura 9. 7

8 Matemáticas II Tema En este paso, comprobaremos que no tiene ni máimos ni mínimos derivando la función y luego igualándola a 0: Figura Por último, representaremos la función: Figura 11. 8

9 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 1. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 5. Representación de una función. Estudia el dominio de definición, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos de la función 3 y 3( 1) Dominio de definición: 1. No tiene simetrías. -1 Asíntota vertical: = -1 lim 3 1 3( 1 ), lim 1 3( 3 1) f ( ) Tiene ramas parabólicas: lim lim 3 3( 1) 9

10 Matemáticas II Tema 11. La curva debe tener un mínimo a la izquierda de = -1. ( 3) 3 Puntos singulares: y 0 0,. 3( 1) Signo de la derivada y 0 y 0 y 0 y Es decreciente en 3, y creciente en el resto del dominio Tiene un mínimo en,. En = 0 tiene un punto de infleión Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En primer lugar, veremos si hay asíntota vertical, calculando el límite de -1 en el punto, por la izquierda y por la derecha: Figura

11 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato. Ahora nos centraremos en las ramas parabólicas calculando otro límite: Figura En este paso, conoceremos cuáles son los puntos críticos resolviendo la función: Figura Por último, representaremos la función: Figura

12 Matemáticas II Tema 11. Figura 17. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 6. Representación de una función. 4 Estudia y representa la función y Dominio de definición: 0. No es simétrica. 3 si Asíntota vertical: = 0 si 0, 0, y y Asíntota oblicua: y =, porque 4 y 1

13 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato 4 Posición: f ( ) ( ) si si,, f ( ) f ( ) 3 8 y y 0 3 y 0 y 0 y Tiene un mínimo en f ( ) 5. Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Calcularemos el límite cuando tiende a 0 por ambos lados, y para ello utilizamos la función de límite dentro de la pestaña Análisis. Después calcularemos f()-(-), y la derivada de la función que luego igualaremos a 0 como en ejercicios anteriores. Por último, representamos la función: Figura

14 Matemáticas II Tema 11. Figura 19. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 7. Función logarítmica. Estudia el dominio de definición, las asíntotas y la posición de la curva respecto a ellas de la función y ln 3. Represéntala gráficamente. 1 3 La función esta definida si 0. 1 Dominio de definición: (,1) (3, ) 1 3 Comportamiento de la función en las proimidades de = 1 y = 3: 3 3 lim ln ln lim ln lim ln ln lim ln Las rectas = 1 y = 3 son asíntotas verticales. 14 La curva tiene también una asuntota horizontal, ya que:

15 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato lim ln 3 ln lim 1 3 ln1 0 1 por tanto y = 0 es asíntota horizontal. si si,, y 0 y La curva no corta al eje OX, ya que si hacemos: 3 3 y 0, ln No tiene solución. 1 1 Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Primero veremos si hay asíntotas verticales en 1 calculando los límites en el punto, por la izquierda y por la derecha: Figura 0.. Ahora haremos el mismo paso que el anterior pero en vez de con 1 con 3: 15

16 Matemáticas II Tema 11. Figura A continuación comprobaremos la eistencia de una asíntota horizontal calculando otro límite: Figura. 4- Debemos comprobar que la función no corta al eje OX y para ello comprobamos que el sistema no tiene solución: 16

17 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura Representaremos la función: Figura 4. Figura 5. 17

18 Matemáticas II Tema 11. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 8. Estudio y gráfica. Estudia y representa las siguientes funciones: a) a) y b) y e ( ) ln Dominio: ( 0,1) (1, ). Comportamiento de la función cerca de = 0: lim 0. 0 ln No tiene asíntota en = 0. c) y e Asíntota vertical: 1 lim 1 ln, lim 1 ln 1 Ramas infinitas: lim ln lim 1/ 1 f ( ) 1 Tiene rama parabólica: lim lim 0 ln ln 1 y 0 ln 1 e f ( e) e (ln ) y 0 y 0 y 0 Signo de y : 0 1 e Crece en ( e, ). Decrece en ( 0,1) (1, e). Mínimo ( e, e) Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Primero veremos cómo se comporta la función en 0: 18

19 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 6.. Ahora comprobaremos si hay asíntotas verticales en 1 calculando los límites en el punto, por la izquierda y por la derecha: Figura A continuación comprobaremos la eistencia de ramas infinitas y parabólicas calculando otros dos límites: Figura En este paso, calcularemos los puntos críticos: 19

20 Matemáticas II Tema 11. Figura Representaremos la función: Figura 30. Figura 31. 0

21 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Enlace con el ejercicio resuelto en la web: b) Dominio:. No tiene asíntotas verticales. Para hallar las ramas infinitas, debemos tener en cuenta que: lim e y lim e 0 lim e 1 ( ) lim lim e e lim e ( ) lim 0 e ( ) - Tiene asíntota horizontal y = 0 hacia y rama parabólica hacia. - Estudio de la derivada: y e ( 1) e ( 1) 0 1 f (1) e Signo de y : y 0 y 0 1 Recuerda que e 0 para todo. Decrece en (,1). Crece en ( 1, ). Mínimo: ( 1, e). Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Lo primero que debemos hacer es calcular las ramas infinitas, y para ello calcularemos los límites: 1

22 Matemáticas II Tema 11. Figura 3. Figura 33. Figura 34. Figura 35.

23 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 36. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 1 c) Dominio:. No tiene asíntotas verticales Ramas infinitas: lim e 0, lim e -3 Tiene asíntota horizontal y = 0 cuando y rama parabólica cuando. Estudio de la derivada y y 0,. e 3

24 Matemáticas II Tema 11. y 0 y 0 y 0 Signo de y : Crece en: (, ). Decrece en: (, ) (, ) Mínimo:, e Máimo:, e Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Lo primero que debemos hacer es calcular las ramas infinitas, y para ello haremos dos límites: Figura 37.. Después estudiamos la derivada, igualándola a 0: 4

25 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura Por último, representamos la función: Figura 39. 5

26 Matemáticas II Tema 11. Figura 40. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 9. Función trigonométrica. Estudia los puntos de corte con los ejes y los máimos y mínimos de la función: y cos cos, 0, Representa la función utilizando esa información. Dominio: [ 0, ] es continua y derivable. 0, y 0 Puntos de corte con los ejes: y 0 cos cos 0 cos sen cos 0 cos cos 1 0 6

27 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato cos 1 0 (0,0) (,0) 1 cos / 3 ( / 3,0) 4 / 3 (4 / 3,0) Máimos y mínimos: y sen sen sen 0 0,, y 0 4 sencos sen 0 sen( 4cos 1) 0 4cos 1 0 cos 1/ 4 1,3; 4,96 Estudiamos el signo de y 4cos cos en esos puntos: y 0 en 0, y Máimos: ( 0,0),(,),(,0) 1 y 0 en 1,3, y 4,96 Mínimos: ( 1,3; 1,1), (4,96; 1,1) -1 Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Escribimos la función, a la que le damos un nombre, que será f(). A continuación, para sustituir cada de la función por 0, escribimos f(0). A continuación, resolvemos una ecuación igualando la función a 0 (para ello pinchamos en Resolver ecuación dentro de la pestaña de Operaciones. Después derivamos la función escribiendo f (), y resolvemos una ecuación (de la misma manera que la anterior) igualando el resultado de la derivada a 0: Figura 41.. Por último, representamos la función. Para ello, escribimos representar y después la función entre paréntesis, com o veremos a continuación: 7

28 Matemáticas II Tema 11. Figura 4. Figura 43. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 10. Estudio y gráfica. Estudia y representa la función y. e 1 8 Dominio de definición: 0

29 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato lim 0 e lim 0 e 1. No tiene asíntota vertical. f ( ) 1 Ramas infinitas: lim lim lim 1 m 1 e 1 e 1 Tiene asíntota horizontal y = 0 cuando y asíntota oblicua cuando. e 1 n lim f ( ) m lim lim lim 0 La asíntota oblicua es: y = e e e Estudio de la derivada: e (1 ) 1 y ( e 1) No tiene puntos singulares. Es decreciente. - Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Comprobaremos que no tiene asíntota vertical calculando el límite en 0: Figura 44.. En segundo lugar, estudiaremos las ramas infinitas haciendo dos límites: 9

30 Matemáticas II Tema 11. Figura Ahora calcularemos n para que junto con m obtengamos la ecuación de la asíntota oblicua: Figura En este paso estudiaremos los puntos críticos: 30

31 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura Por último, representaremos la función: Figura

32 Matemáticas II Tema 11. Figura 49. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 3