) tan tan + tan tan + tan tan = (10 puntos c/u) Resuelva cada ecuación siguiente:

Transcripción

1 Universidad Católica de Valaraíso. a Prueba de Cátedra Instituto de Matemáticas MAT Licenciatura y Pedagogía en Matemáticas. lunes 6 de octubre, 009 Tiene 90 ara resolver la rueba. Justi que todas sus resuestas. Debe contestar 80 untos con al menos 0 untos de comlejos. Debe resonder al menos una regunta entre la y la 6.. (0 untos c/u) Pruebe que: (a) + + ) tan tan + tan tan + tan tan (b) arccos arctan e (c) i i +e tan i. (0 untos c/u) Resuelva cada ecuación siguiente: (a) sin () sin (4) + sin () sin () 0 (b) cos()+ ( sin ) sec (c) arcsin arccos arcsin ( ). (0 untos c/u) Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente: sin cos y 0: cos sin y 0:7 4. (0 untos) A artir de la grá ca de unaa función sinusoidal f (),sabiendo que Rec (f) [ ; ] y que P reim ()\[0; [ ; ; 7 4 ; encuentre una fórmula ara f () y determine su eríodo y amlitud.. (0 untos) Demostrar que en un triángulo ABC en donde (ABC) reresenta la medida del área del triángulo, se cumle que: 4(ABC)(cot + cot + cot ) a + b + c 6. (0 untos) Dos chimeneas AB y CD tienen la misma altura. Una ersona que está entre ellas en la recta AC que une sus bases observa que la elevación de la más cercana es de 60 o. Desués de caminar 4 m. en una dirección erendicular a AC observa que las elevaciones son de 4 o a la más cercana y 0 o a la otra. Hallar la altura de las chimeneas y la distancia que las seara. 7. (0 untos c/u) Resuelva en C (a) Determine z; w C; tales que ( + i) z iw + i ( + i) z + ( i) w i (b) Determine z C; tales que: z + (i ) z + ( i) 0

2 8. (0 untos c/u) Pruebe que: (a) Si w 6 es una raíz cúbica de ; entonces + w 4 w calcule antes + w + w ) (b) Si z C; tal que z i ^ Re (z) < 0; entonces jz ij (Ayuda: "Piensa, cree, sueña y atrevéte." W: Disney "Hay una fuerza motriz más oderosa que el vaor y la electricidad, la voluntad." A: Ei nstein "Quien roduce con alegría y se alegra de lo roducido es feliz." J:W:Von Goethe

3 . (0 untos c/u) Pruebe que: Desarrollo (a) + + ) tan tan + tan tan + tan tan Se tiene que tan tan + tan tan + tan tan sin sin sin sin sin sin + + sin sin cos + cos sin sin + cos sin sin sin (sin cos + cos sin ) + cos sin sin sin sin ( + ) + cos sin sin sin ( + ) sin + cos sin sin cos ( + ) cos + cos sin sin cos [(cos cos sin sin ) + sin sin ] cos [cos cos ] cos cos cos cos (b) arccos arctan En este caso, se uede asegurar que: h arccos arctan tan i arccos arccos arccos arctan 4 sin cos cos (arccos ) arctan sin (arccos ) arctan 4q sin (arccos ) " arctan cos (arccos ) arctan #

4 e i (c) i + e i tan Sabemos que: e i cos i sin i + e i i + cos + i sin cos i sin + cos i sin i + cos + i sin + cos i sin! ( i sin ) cos i ( + cos ) + sin i sin sin cos i + cos + cos + sin i sin i sin i i ( + cos ) + cos sin cos + cos sin cos cos sin cos tan. (0 untos c/u) Resuelva cada ecuación siguiente: (a) sin () sin (4) + sin () sin () 0 Restricciones: R: Luego: sin () sin (4) + sin () sin () 0 ) cos (7) cos () cos () cos (7) + 0 ) cos () cos () 0 ) cos (9 6) cos (9 + 6) 0 ) sin (9) sin (6) 0 ) sin (9) sin (6) 0 ) 9k k _ 6k k ) k k 9 _ k k 6 ) k S G 9 ; k 6 : k Z (b) cos () + ( sin ) sec 4

5 Restricciones: R: Luego: cos () + ( sin ) ) sec cos + cos ( sin ) ) cos cos ( sin ) 0 ) cos + sin cos 0 ) cos + sin _ cos 0 ) sin _ cos 0 ) cos _ cos 0 ) cos k _ 6 + k _ + k ) + k _ 6 + k _ + k ) n S G 6 + k; o + k : k Z (c) arcsin arccos arcsin ( ) Rest: ^ ) [ ; ] ^ ) [ ; ] \ ; ; : Luego: alicando seno a la igualdad: arcsin arccos arcsin ( ) ) sin (arcsin arccos sin (arcsin ) cos (arccos ) sin (arccos ) cos (arcsin ) ) qsin (arccos ) cos (arcsin ) ) q cos (arccos ) sin (arcsin ) ). (0 untos c/u) Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente: ) + 0 ) _ ) S G sin cos y 0: cos sin y 0:7 Sumando las dos ecuaciones se tiene que sin ( + y) ) + y + k; k Z: Restando ambas ecuaciones se tiene que sin ( y) ) y 6 + k; k Z _ y 7 + k; k Z: Resolviendo 6 ;

6 ambos sistemas que quedan se tienen dos conjuntos de solución: S n (; y) 6 + k; o + k : k Z ; S (; y) 6 + k; + k 4. (0 untos) A artir de la grá ca de unaa función sinusoidal f (),sabiendo que Rec (f) [ ; ] y que P reim ()\[0; [ ; ; 7 4 ; encuentre una fórmula ara f () y determine su eríodo y amlitud. Como el recorrido es un conjunto de medida 8, tenemos que la amlitud de la función es 4. Como el romedio del recorrido es -, este valor corresonde al coe ciente de traslación. Como P reim ()\[0; [ ; ; 7 4 y sabemos que Ma (Re c (f)) ; entonce vemos que el eríodo de la función es : Luego vemos que, or ejemlo, f ; luego en el unto medio entre 4 4 y que es la imagen será : Luego en el unto medio entre y que es la imagen será : De este modo, odemos considerar la función 4 como: f () 4 sin con grá ca: 4 : k Z y 4. (0 untos) Demostrar que en un triángulo ABC en donde (ABC) reresenta la medida del área del triángulo, se cumle que: 4(ABC)(cot + cot + cot ) a + b + c Sabemos que el área del triángulo corresonde a base or altura artido or.si escogemos el lado a como base, la altura será igual a c sin ; or 6

7 ac sin lo que (ABC) : De este modo, odemos asegurar que: ac sin cos 4(ABC)(cot + cot + cot ) 4 sin + cos sin + cos sin cos ac sin sin + cos sin + cos sin ac cos sin sin + ac cos + ac cos sin sin ac cos b a + ac cos + ac cos b c bc cos + ac cos + ab cos b + c a + a + c b + a + b c a + b + c 6. (0 untos) Dos chimeneas AB y CD tienen la misma altura. Una ersona que está entre ellas en la recta AC que une sus bases observa que la elevación de la más cercana es de 60 o. Desués de caminar 4 m. en una dirección erendicular a AC observa que las elevaciones son de 4 o a la más cercana y 0 o a la otra. Hallar la altura de las chimeneas y la distancia que las seara. El dibujo asociado al roblema es el siguiente: Como ]AF B es de 4 o ; sabemos que AF AB: Como ]AEB es de 60 o ; sabemos que AE AB. Como AEF es rectángulo en E; entonces AE + EF AF ) AB + 4 AB ) AB 4 ) AB 6m que corresonde a la altura de las chimeneas. Por otrolado, como ]DF C es de 0 o ; sabemos que CF CD AB : Como CEF es rectángulo en E; entonces CE + EF CF ) CE + 7

8 4 AB ) CE AB 4 r m Finalemente AC AE + EC AB m 7. (0 untos c/u) Resuelva en C (a) Determine z; w C; tales que ( + i) z iw + i ( + i) z + ( i) w i Si multilicamos la rimera ecuación or i y la segunda or i, se ( + i) z i ( i) w tiene que: (i ) z + i ( i) w Sumando se obtiene que ( + i) z ) z ( i) ( + i) ( i) 6 9i Reemlazando en la rimera ecuación: 6 9i i 6i ( + i) iw +i ) wi i ) w i 6 9i De modo que la solución del sistema es: S (z;w) ; 6 + i (b) Determine z C; tales que: z + (i ) z + ( i) 0 Usando la fórmula de la ecuación de segundo grado, se obtiene que: q (i ) (i ) 4 ( i) z ) z i i S z f i; + ig 8. (0 untos c/u) Pruebe que: i _ z i + i (i ) 4i + 4i + i: (a) Si w 6 es una raíz cúbica de ; entonces + w 4 w calcule antes + w + w ) (Ayuda: Si w ) w cis _w cis4 : En el rimer caso w +w + cis + cis4 + + i + i + 0: En el segundo caso w + w + cis 4 + cis8 + cis4 + cis + i + + i + 0: Ahora, note que: + w 4 + w + w 4 + w + w + w w 4 w 6 + i (i ) 9 8

9 (b) Si z C; tal que z i ^ Re (z) < 0; entonces jz ij 0 Tenemos que z cis ) z k + k A con k 0; ; : En este caso z uede tomar los valores: z 0 cis 6 ; z cis 6 ; z cis : De los casos, Re (z) < 0, z cis 6 jz ij + v i i! i u t + + i: Luego 9