REAL SOCIEDAD MATEMÁTICA ESPAÑOLA

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1 REL SOCIEDD MTEMÁTIC ESPÑOL LII OLIMPID MTEMÁTIC ESPÑOL Comunidad de Madrid FSE CERO: viernes 7 de noviembre de 05 En la hoja de resuestas, escribe la letra de la oción que creas correcta. Cada resuesta correcta te aortará 5 untos, cada resuesta en blanco unto y cada resuesta errónea 0 untos. No está ermitido el uso de calculadoras, instrumentos de medida o de cualquier aarato electrónico. TIEMPO: horas.. Cuál de los siguientes números es el mayor? ) 777 B) Javier tarda 6 minutos en llegar desde casa al Instituto. Sus asos son de 75 cm cada uno y da 90 asos or minuto. Su hermano Santiago va or el mismo camino, da 00 asos or minuto ero cada aso es de solo 60 cm. Cuántos minutos tarda Santiago en llegar al Instituto? ) B) l simlificar ) obtenemos: B) b c. Si y, cuál es el cociente a b a b? b c ) B) Si, q y r son rimos diferentes, cuál de los siguientes números es el menor cubo erfecto que tiene a n q r como uno de sus divisores? ) q r q r B) q r 6 q r q r m 6. Si 8 7, cuál es el valor de m? ) B) 9,5 No existe ese m 7. En el interior de un cuadrado dibujamos cuatro triángulos rectángulos de hiotenusa el cuádrule de la altura sobre ella, como se muestra en la figura. Cuál es el cociente entre la longitud del lado del cuadrado sombreado y el lado del cuadrado inicial? ) B) 5

2 8. Cuál es el área de un sector circular cuyo erímetro coincide con la longitud de la circunferencia a la que ertenece si el área del círculo corresondiente es? ) B) En la caja hay a monedas de y en la B, b monedas también de. Los números a y b son imares y a > b. Cuál es el menor número de monedas que hay que asar de la caja a la B ara que en la caja B haya más monedas que en? ) b a B) a b b a a b a b 0. li y Bea juegan un cierto número de artidas de un determinado juego. Por cada artida jugada (no hay emates) el ganador recibe untos y el erdedor recibe unto. l final, li ganó artidas y Bea obtuvo 0 untos. Cuántas artidas jugaron? ) 5 B) No es osible determinarlo. Desués de ir aseando durante 8 km a una velocidad de km/h, Isa emieza a correr a una velocidad de 8 km/h. Cuántos minutos debe estar corriendo ara que la velocidad media a lo largo de todo el recorrido sea de 5 km/h? ) 5 B) Si la media de dos números ositivos es el 0 % menor que el mayor, qué orcentaje será mayor que el menor? ) 75% B) 70% 0% 5% 0%. En el cuadrado de la figura, E y F son los untos medios de los lados a los que ertenecen. Qué fracción del área del cuadrado reresenta el entágono GECFH? ) B) D F G Figura. Figura. B E C. En el interior de un cuadrado de cm de lado dibujamos cinco rectángulos iguales, como muestra la figura. Cuál es el área, en cm, de cada uno de ellos? ) B) El volumen de un araleleíedo recto de cm de área total es 8 cm. Si las tres dimensiones están en rogresión geométrica, la suma, en cm, de las longitudes de todas las aristas es: ) 8 B) Si lanzamos un dado normal seis veces consecutivas, cuál es la robabilidad de obtener un número mayor o igual que 5 al menos cinco veces? ) 79 H B) Nada de lo anterior

3 7. Cuántos números odemos escribir como suma de dos enteros ositivos distintos, si cada uno de ellos debe ser menor o igual que 00? ) 96 B) Cuántos números de cuatro cifras tienen al menos una cifra reetida? ) 6 7 B) Dos coches, y B, recorren la misma distancia. El coche recorre la mitad de la distancia a k km/h y la otra mitad a v km/h. El coche B va la mitad del tiemo a k km/h y la otra mitad a v km/h. Si la velocidad media de ha sido x km/h y la de B y km/h, entonces: ) x y B) y x x = y x < y x > y 0. Cuántas soluciones tiene la ecuación x x? ) 0 B). En el lado BC del triángulo BC marcamos un unto D tal que C D ˆ Dˆ B 60º. Si C = y B = 6, la longitud de D es: ) B),5,5. Si, B y C no están alineados, cuál es el valor mínimo del área del triángulo BC si (0, 0), B(6, 5) y las coordenadas de C son números enteros? ) B). Si x x y 0 y x y y, x + y es igual a: No existe tal mínimo 8 ) B) 5. Si tg y tg son las soluciones de la ecuación x x q 0 y de la ecuación x r x s 0, r s es necesariamente igual a: tg y son las soluciones tg ) q B) q q q q 5. En la sucesión,,, -, -, en la que cada término, desués de los dos rimeros, es igual al anterior menos el anterior al anterior, es decir, a n an an ara n >. Cuál es la suma de los 00 rimeros términos de esta sucesión? ) 5 B) - 6. En un rectángulo de lados 6 y, trazamos las bisectrices de cada uno de los ángulos en los extremos de uno de los lados de longitud. Dichas bisectrices dividen al otro lado de longitud en tres artes. Las longitudes de estas artes son: ), 9, B) 6,, 6, 5,,, 5,, 5 7. Si es rimo y las dos raíces de la ecuación x x 0 son enteros, entonces: ) < B) < < < < 5

4 8. En el traecio rectángulo PQRS trazamos las diagonales, siendo 5 y 0 las áreas de dos de los triángulos que determinan, como se muestra en la figura. Cuál es el área del traecio? P 0 5 S Q R ) 60 B) María escribió varios enteros ositivos distintos, ninguno mayor que 00, tales que su roducto no era divisible or 8. Cuántos escribió como mucho? ) 5 B) Cuál es el valor de la suma log log... log 0 log 0 log? ) 89 B) ! (Recuerda. [x] reresenta la arte entera de x). log Nada de lo anterior

5 LII OLIMPID MTEMÁTIC ESPÑOL Hoja de resuestas FSE CERO-COMUNIDD DE MDRID Primera sesión, viernes 7 de noviembre de 05 Nombre y aellidos:.. Tfno.. Centro Curso.. Fecha de nacimiento Esacio reservado ara el equio calificador. CORRECTS (5) EN BLNCO () INCORRECTS PUNTUCIÓN