Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.I

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1 Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.I Jueves, 4 de mayo de hora y 15 minutos. NOMBRE Y APELLIDOS CALIFICACIÓN 1. Sea cos θ 5, donde θ es agudo, halle correctamente las siguientes razones trigonométricas, sin utilizar calculadora, si los ángulos se dan en radianes. (1,5 puntos) a) sen θ b) sen (θ + θ ) c) cos (θ + ) d) sen θ e) cos θ f) sen. Sea el punto A ( m ), el punto B ( y v i + (m )j k. m 1 ) y los vectores u i mj + (m 1)k a) Calcule todos los valores de m para que los vectores u y v son ortogonales. b) Calcule AB. c) Calcule todos los valores de m para que los que el módulo de AB es. (0,5 puntos) d) Calcule los todos los valores de m para los que u v redondeando las soluciones hasta las milésimas. Responda a las siguientes cuestiones considerando siempre que m 1. e) Calcule el ángulo θ que forman los vectores u y v. Escriba el ángulo en grados, minutos y segundos. (0,5 puntos) f) Calcule el ángulo que forman w y AB si w v 1u.. La siguiente figura muestra el cuadrilátero ABCD. a) Halle AC con tres cifras decimales. (0,5 puntos) b) Halle el área del triángulo ABC. (0,5 puntos) El área del triángulo ACD es la mitad del área del triángulo ABC. c) Halle el área del triángulo ACD. (0,5 puntos) d) Halle los dos posibles valores de θ en grados, minutos y segundos. (1 punto) AD cm, AB 15cm, ABC 44, ACB 8 DAC θ e) Sabiendo que θ es obtuso, halle CD con tres cifras decimales. (0,5 puntos) ATENCIÓN: SIGUE A LA VUELTA

2 4. La siguiente figura muestra un círculo de centro O y radio cm. Los puntos A, B, y C pertenecen a la circunferencia y AOC 1, radianes. a) Halle la longitud del arco ABC. (0,5 puntos) b) Halle la longitud del arco ADC. (0,5 puntos) c) Halle el área de la región sombreada. (0,5 puntos) 5. Resuelva correctamente el siguiente sistema por el método de Gauss-Jordan. (1 punto) x y z x 4z y + 4z }

3 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DEL CONTROL NÚMERO 11 DE 1º MATEMÁTICAS NM 1. Sea cos θ 5, donde θ es agudo, halle correctamente las siguientes razones trigonométricas, sin utilizar calculadora, si los ángulos se dan en radianes. (1,5 puntos) a) sen θ b) sen (θ + ) θ c) cos (θ + ) d) sen θ e) cos θ f) sen Solución. a) sen θ Por la igualdad fundamental de la trigonometría, b) sen (θ + ) sen θ 1 cos θ 1 ( 5 ) Por la fórmula de la adición, sen (θ + ) sen θ cos ( ) + cos θ sen ( ) c) cos (θ + ) cos (θ ) cos θ cos ( ) sen θ sen ( ) d) sen θ sen θ sen θ cos θ e) cos θ f) sen θ cos (θ) cos θ sen θ ( 5 ) ( ) sen ( θ ) 1 cos θ

4 . Sea el punto A ( m ), el punto B ( y v i + (m )j k. m 1 ) y los vectores u i mj + (m 1)k a) Calcule todos los valores de m para que los vectores u y v sean ortogonales. b) Calcule AB. (0,5 puntos) c) Calcule todos los valores de m para que los que el módulo de AB es. d) Calcule los todos los valores de m para los que u v redondeando las soluciones hasta las milésimas. (1 punto) Responda a las siguientes cuestiones considerando siempre que m 1. e) Calcule el ángulo θ que forman los vectores u y v. Escriba el ángulo en grados, minutos y segundos. (0,5 puntos) f) Calcule el ángulo que forman w y AB si w v 1u. (0,5 puntos) Solución a) Calcule todos los valores de m para que los vectores u y v sean ortogonales. Para que los vectores sean ortogonales (perpendiculares) el producto escalar tiene que ser 0. Calculamos el producto escolar, u v m (m ) + (m 1) ( ) 18 m + m m + m + m + 0 Por lo tanto, si son perpendiculares, u v 0 m + m + 0 Resolvemos la ecuación de segundo grado, m b ± b 4ac a 1 ± (+1) 4 ( 1) 0 ( 1) 4

5 1 ± ± 81 1 ± 9 { m m Por lo tanto, los vectores u y v son ortogonales si m 4 o m 5. b) Calcule AB. (0,5 puntos) AB B A ( m 1 ) ( m ) ( m m ) c) Calcule todos los valores de m para que los que el módulo de AB es. Calculamos el módulo del vector AB, AB (m ) + ( m) + ( ) m + 4 4m + m + 4 4m + 4 AB m 8m + 1 Igualamos el módulo a dos y resolvemos la ecuación, AB m 8m + 1 Elevamos al cuadrado en ambos lados de la ecuación, ( m 8m + 1 ) m 8m m 8m m 4m Resolvemos la ecuación de segundo grado, m b ± b 4ac a ( 4) ± ( 4) ± ± 0 4 ± 0 4 El único valor para que AB es m. 5

6 d) Calcule los valores de m para los que u v redondeando las soluciones hasta las milésimas. Calculamos los módulos de los dos vectores e igualamos ambos, u v + ( m) + (m 1) + (m ) + ( ) 9 + m + m + 1 m + m + 9 m + 4 ( 10 + m m ) ( 49 + m m ) 10 + m m 49 + m m m + 4m 9 0 Resolvemos la ecuación de segundo grado, m + 4m 9 0 m b ± b 4ac a 4 ± (+4) 4 (+1) ( 9) 1 4 ± ± m m { 4,557 8,557 Por lo tanto, los vectores u y v son ortogonales si m 8,557 o m 4,557. e) Calcule el ángulo θ que forman los vectores u y v. Escriba el ángulo en grados, minutos y segundos. (0,5 puntos) Sea m 1 entonces u i + j k y v i 4j k. Calculamos el ángulo que forman los vectores anteriores, cos θ cos θ u v u v + 1 ( 4) + ( ) ( ) cos θ ( ) + ( 4) + ( ) θ arccos ( 9 ) ,8 14 Por lo tanto, el ángulo pedido es θ , 8

7 f) Calcule el ángulo que forman w y AB si w v 1u. Sea m 1 entonces u i + j k y v i 4j k. Calculamos w, w v 1u (, 4, ) 1 (, 1, ) (, 4, ) (9,1, ) (, 17,4) Como, para m 1, AB (,, ), Calculamos el producto escalar de w y AB, w AB ( ) + ( 17) + 4 ( ) Por lo tanto, los vectores son perpendiculares y el ángulo que forman es recto.. La siguiente figura muestra el cuadrilátero ABCD. a) Halle AC con tres cifras decimales. (0,5 puntos) b) Halle el área del triángulo ABC. (0,5 puntos) El área del triángulo ACD es la mitad del área del triángulo ABC. c) Halle el área del triángulo ACD. (0,5 puntos) d) Halle los posibles dos valores de θ en grados, minutos y segundos. (1 punto) e) Sabiendo que θ es obtuso, halle CD con tres cifras decimales. (0,5 puntos) AD cm, AB 15cm, ABC 44, ACB 8 DAC θ Solución. a) Halle AC. (0,5 puntos) Por el teorema del seno tendremos que, AC sen(abc) AB sen(acb) AC sen(44 ) 15 sen(8 ) AC 15 sen(44 ) sen(8 ) 10,498 cm Por lo tanto, AC 10, 498 cm 7

8 b) Halle el área del triángulo ABC. (0,5 puntos) El ángulo CAB mide, CAB 180 ACB ABC Aplicando la razón seno sobre el ángulo CAB, calculamos la altura sobre el lado AB, sen CAB CE AC sen 5 h 10,498 Por lo tanto, el área del triángulo ABC será, h 10,498 sen 5 8,84 cm Área(ABC) AB CE 15 8,84,881 cm En conclusión, Área(ABC), 881 cm. c) Halle el área del triángulo ACD. (0,5 puntos) Puesto que el área del triángulo ACD es la mitad del área del triángulo ABC entonces, Área(ADC) Área(ABC),881 1,441 cm d) El área del triángulo ACD es la mitad del área del triángulo ABC. Halle los dos posibles valores de θ. (1 punto) Calculamos la altura h DF del triángulo ACD sobre el lado AC, Área(ACD) AC DF En tal caso, la altura h mide, 1,441 10,498 h h 1,441 10,498 5,99 Aplicando la razón seno sobre el ángulo θ en el triángulo AFD señalado en el dibujo, sen θ h sen θ 5,99 0,998 θ { arcsen (0,998) 8 8 5, arcsen (0,998) 9 1 7,11 8

9 e) Sabiendo que θ es obtuso, halle CD. (0,5 puntos) Por el teorema del coseno, CD AC + AD AC AD cos CAD CD 10, ,498 cos (9 1 7,11 ) 15,57 En conclusión, CD 1, 9 cm. CD 15,57 1,9 cm 4. La siguiente figura muestra un círculo de centro O y radio cm, Los puntos A, B, C, y D pertenecen a la circunferencia y AOC 1, radianes. a) Halle la longitud del arco ABC. (0,5 puntos) b) Halle la longitud del arco ADC. (0,5 puntos) c) Halle el área de la región sombreada. (0,5 puntos) Solución. a) Halle la longitud del arco ABC. (0,5 puntos) Puesto que el ángulo AOC 1, radianes, Medida Longitud en radianes de arco rad cm 1, rad x cm x 1,,9 cm Por lo tanto, la longitud del arco pedida ACB mide, 9 cm. b) Halle la longitud del arco ADC. (0,5 puntos) L,9 14,95 cm C) Halle el área de la región sombreada. (0,5 puntos) Calculamos el área del sector circular AOC, Medida en radianes Área sector circular rad 1, rad y y 9 1, 5,85 cm 9

10 Por lo tanto, el área de la región sombreada es, aproximadamente, A cm 5,85 cm,44 cm 5. Resuelva correctamente el siguiente sistema por el método de Gauss-Jordan. (1 punto) x y z x 4z } y + 4z Solución. Reescribimos el sistema para que sea más fácil de resolver por el método de Gauss, x y z x 4z } y + 4z x y z y + 4z } x 4z Escribimos la matriz de Gauss-Jordan, x y z y + 4z } ( x 4z Transformamos dicha matriz mediante cambios lineales, x y z y + 4z x 4z 1 1 } ( ) F F + F 1 ) 1 1 ( ) 0 4 F F +4 F 1 1 ( ) x y z y + 4z } 10z 10 x y z y + 4z z 10 } 10 x y ( 1) y + 4 ( 1) } z 1 x + 1 y } z 1 x 1 y } z 1 x y + 1 y 4 } z 1 Por lo tanto, la solución es x 1, y, z 1 10