Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.I

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1 Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.I Martes, 1 de abril de 01 1 hora y 15 minutos. NOMBRE Y APELLIDOS CALIFICACIÓN 1. La superficie de un triángulo isósceles mide cm y uno de sus lados iguales mide 10 cm. Escribe un sistema de ecuaciones correcto que permita calcular la longitud de la base y la altura de dicho triángulo. Resuelve dicho sistema calculando las medidas de la base y de la altura del triángulo. ( puntos). La siguiente figura muestra un círculo de centro O y radio 5 cm. Los puntos A, B y C pertenecen a la circunferencia y AOC 0,7 radianes. a) Halle la longitud del arco ABC. (0,5 puntos) b) Halle el perímetro del sector circular sombreado.(0,5 puntos) c) Halle el área del sector circular sombreado. (0,5 puntos) d) Calcule la medida en grados, minutos y segundos del ángulo de la figura. (0,5 puntos) 3. Resuelve las siguientes inecuaciones correctamente. (1 + 1 punto) a) x (x + ) < 3 5x b) 5 x x + 9 6x 1. En un coro, la suma de sopranos, mezzosopranos y contraltos es igual a 15. Un día que tuvieron que cantar faltaron mezzosopranos y 1 contralto debido a la gripe, de tal forma que ese día el número de sopranos era igual a la media aritmética de mezzosopranos y contraltos. Y además ese día el número de mezzosopranos y el número de contraltos coincidían. a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el número total de sopranos, mezzosopranos y contraltos que tiene el coro asiduamente. (0 75 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss-Jordan. 5. El siguiente diagrama muestra el triángulo PQR, donde RQ 9 cm, PRQ 70 y PQR π rad a) Calcule el ángulo RPQ (0,5 puntos) b) Halle PQ. (1 punto) c) Halle el perímetro del triángulo PQR. (0,5 puntos) d) Halle el área del PQR. (0,5 puntos) (1 punto)

2 SOLUCIONES LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DEL CONTROL Nº 9 DE MATEMÁTICAS NM 1. La superficie de un triángulo isósceles mide cm y uno de sus lados iguales mide 10 cm. Escribe un sistema de ecuaciones correcto que permita calcular la longitud de la base y la altura de dicho triángulo. Resuelve dicho sistema calculando las medidas de la base y de la altura del triángulo. ( puntos) Solución. Sean los dos números x e y la base y la altura del triángulo isósceles. En ese caso, el área de la figura vendrá dada por la fórmula, A base altura Por tanto, una ecuación del sistema es, x y xy 96 Por otra parte, aplicando el teorema de Pitágoras sobre uno de los dos triángulos rectángulos que forma la altura al dividir en dos al triángulo isósceles, ( x ) + y 10 x + y 100 x + y 00 x + y 00 Por lo tanto, un sistema NO lineal que cumple con las condiciones descritas es, xy 96 x + y 00 } Resolvemos por el método de sustitución despejando x en la primera ecuación, 96 xy 96 x + y 00 } x y x + y 00 Resolvemos la segunda ecuación en una incógnita, } x 96 y ( 96 y ) + y 00 } ( 96 y ) + y y + y y + y y 00y y y 00y y 00y

3 Se trata de una ecuación bicuadrada. Resolvemos mediante el cambio de variable t y, y 00y t 00t t ( 00) ± ( 00) ± ± ± t 1 { 00 1 t Deshacemos el cambio de variable, Si t 6 entonces, y 6 y en ese caso, y ± 6 ± Si t 36 entonces, y 36 y en ese caso, y ± 36 ±6 Descartando previamente los valores negativos al tratarse de las longitudes de la base y la altura de un triángul calculamos las respectivas x asociadas a cada y, Si y entonces, x 96 1 Si y 6 entonces, x En conclusión, hay dos soluciones diferentes para el problema. O bien el triángulo isósceles tiene por longitud de su base 1 cm y su altura mide cm; o bien su base mide 16 cm y cada lado igual mide 6 cm.. La siguiente figura muestra un círculo de centro O y radio 5 cm. Los puntos A, B y C pertenecen a la circunferencia y AOC 0,7 radianes. Solución. a) Halle la longitud del arco ABC. (0,5 puntos) b) Halle el perímetro del sector circular sombreado. (0,5 puntos) c) Halle el área del sector circular sombreado. (0,5 puntos) d) Calcule la medida en grados, minutos y segundos del ángulo de la figura. (0,5 puntos) a) Halle la longitud del arco ABC. (0,5 puntos) Realizamos una regla de tres, Radianes Longitud π rad π 5 0,7 rad l(abc) 3 l(abc) 0,7 10π π 3,5 cm

4 b) Halle el perímetro del sector circular sombreado. (0,5 puntos) Sumando el contorno de la figura, P 5 cm + 3,5 cm 13,5 cm c) Halle el área del sector circular sombreado. (0,5 puntos) Realizamos una regla de tres, Radianes Área π rad π 5 0,7 rad S(ABC) S(ABC) 0,7 5π π,75 u d) Calcule la medida en grados, minutos y segundos del ángulo de la figura. (0,5 puntos) Realizamos una regla de tres, Radianes Grados π rad 360 0,7 rad x x 0,7 360 π 0 6 5,36 3. Resuelve las siguientes inecuaciones correctamente. (1 + 1 punto) a) x (x + ) < 3 5x b) 5 x x + 9 6x 1 Solución a) x (x + ) < 3 5x x (x + ) < 3 5x x 3 + x < 3 5x x 3 + x < 3 5x x 3 + x < 3 5x x 3 + x + 5x + 1 < 0 Procedemos a resolver la ecuación polinómica de tercer grado, x 3 + x + 5x + 1 0

5 mediante el método de Ruffini, Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante mediante la fórmula general, x + x x ± 1 ± 0 { x x 0 0,5 0,5 ± 16 6 Establecemos intervalos y probamos el signo en cada uno de ellos, Intervalo Valor rep. (x 0,5) (x + 1) < 0 (, 1) 10 (+) (+) ( ) ( ) Sí ( 1, 0,5) 0,75 (+) (+) (+) (+) No ( 0,5, + ) 0 (+) (+) (+) (+) No La solución es x (, 1) b) 5 x x + 9 6x 1 Operamos para dejar uno de los dos miembros en cero, 5 x x + 9 6x 1 5 x x + 9 6x 0 5 x x 9 + 6x x + 9 6x x + x x + 9 6x 0 0 Tanto en el numerador como en el denominador hay productos notables (en el numerador hay que sacar factorcomún al menos) x + x x + 9 6x 0 (x x + ) x x (x ) (x 3) 0 La raíz doble del numerador es x y la del denominador, también doble es x 3. 5

6 Creamos intervalos y estudiamos el signo de la fracción en cada uno de ellos. Recordar que, al ser la desigualdad no estricta, las raíces del numerador entran en la posible solución y, por tanto, las colocamos con corchete. Intervalo Valor representante (, +] 0 [+, +3) +,5 (+3, + ) +10 (x ) (x 3) 0 ( )(+) ( ) (+) Sí ( )(+) ( ) (+) Sí ( )(+) ( ) (+) Sí La solución es x (, +] [+, +3) (+3, + ) R {+3}. En un coro, la suma de sopranos, mezzosopranos y contraltos es igual a 15. Un día que tuvieron que cantar faltaron mezzosopranos y 1 contralto debido a la gripe, de tal forma que ese día el número de sopranos era igual a la media aritmética de mezzosopranos y contraltos. Y además ese día el número de mezzosopranos y el número de contraltos coincidían. a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el número total de sopranos, mezzosopranos y contraltos que tiene el coro asiduamente. (0 75 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss-Jordan. Solución. (1 punto) a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el número total de sopranos, mezzosopranos y contraltos que tiene el coro asiduamente. (0 75 puntos) Llamamos x al número de sopranos; y al número de mezzosopranos; y z al número de contraltos. En ese caso, las ecuaciones que describen el problema vienen determinadas por las siguientes afirmaciones, En un coro, la suma de sopranos, mezzosopranos y contraltos es igual a 15 Un día, faltaron mezzosopranos y 1 contralto debido a la gripe, de tal forma que ese día el número de sopranos era igual a la media aritmética de mezzosopranos y contraltos x y + z ese día el número de mezzosopranos y el número de contraltos coincidían y z 6

7 Por lo tanto, el sistema que describe el problema viene determinado por, y + z x y z } x y + z 3 } y z x y z 3 } y z 1 b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0 5 puntos) Escribimos la matriz de Gauss-Jordan, x y z 3 y z } ( Transformamos dicha matriz mediante cambios lineales, 15 3 ) 1 x y z 3 y z } ( ) F F F 1 ( ) F 33 F 3 +F ( ) 30 F F /( 3) F 3F 3 /( 6) ( ) y + z 11 } x + y y } x + y 15 5 y 11 5 } x + y 10 y 6 } x y 6 } x 10 6 y 6 } x y 6 } Por tanto, en el coro hay sopranos, 6 mezzosopranos y 5 contraltos. 5. El siguiente diagrama muestra el triángulo PQR, donde RQ 9 cm, PRQ 70 y PQR π rad a) Calcule el ángulo RPQ (0,5 puntos) b) Halle PQ. (1 punto) c) Halle el perímetro del triángulo. (0,5 puntos) d) Halle el área del PQR. (0,5 puntos) Solución. a) Calcule el ángulo RPQ (0,5 puntos) Ponemos a todos los ángulos en la misma medida angular. En este caso elijo grados. En ese caso, el ángulo PQR π 10 rad 5 7

8 Como la suma de los ángulos de cualquier triángulo son 10 entonces, RPQ 10 PQR PRQ b) Halle PQ. (1 punto) Resolvemos llamando h a la altura del triángulo sobre RQ y x a la distancia entre la base de la altura y Q. Planteamos el siguiente sistema que luego resolvemos por igualación. El objetivo es calcular x para luego aplicar coseno a 5 y obtener PQ. Resolvemos, tg 5 h x tg 70 h } 9 x tg 5 h x tg 70 h } 9 x x tg 5 h } x tg 5 (9 x) tg 70 (9 x) tg 70 h x tg 5 9 tg 70 x tg 70 x tg 5 + x tg 70 9 tg 70 x (tg 5 + tg 70 ) 9 tg 70 x Para calcular PQ, aplicamos el coseno de 5, 9 tg 70 6,59 cm tg 5 + tg 70 cos 5 6,59 PQ PQ 6,59 9,33 cm cos 5 Por lo tanto, PQ 9, 33 cm c) Halle el perímetro del triángulo. (0,5 puntos) Sabiendo que x 6,59 cm entonces la base del triángulo rectángulo que forman los puntos P, R y la base de la altura sobre QR medirá, 9 x 9 6,59, cm Para calcular el segmento RP, aplicamos el coseno a 70, cos 70, RP, RP 7,0 cm cos 70 Por lo tanto, el perímetro del triángulo será, PQ + RP + RQ 9, , , 35 cm

9 d) Halle el área del PQR. (0,5 puntos) Calculamos la altura h sobre el lado RQ mediante trigonometría. sen 5 h PQ PQ sen 5 h h 9,33 sen 5 6,6 cm El área pedida vendrá dada por, A RQ PS 9 6,6 9,69 cm Por lo tanto, el área es A 9, 69 cm 9