Es bien conocido que tres números e; f; g están en progresión aritmética (AP) si f e = g f: Además, f = e+g
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- Alberto Fuentes Ortíz
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1 TRIÁNGULOS ARMÓNICOS K.R.S.SASTRY, Bangalore, India Es bien conocido que tres números e; f; g están en rogresión aritmética (AP) si f e = g f: Además, f = e+g 2 es la media aritmética de los números e; g: Algunos triángulos ueden tener las longitudes de los lados en rogresión aritmética. Tales triángulos se llaman triángulos de Hoe [1; 2] : Ejemlos de estos triángulos son los de lados (3; 5; 7) ; (3; 4; 5) o (13; 14; 15) : El segundo ejemlo es un triángulo rectángulo, llamado itagórico, como es bien conocido. Además, el segundo y el tercer ejemlo tienen área entera, que se uede comrobar or medio de la fórmula de Herón. Esos triángulos se llaman heronianos. m Tres números (l; m; n) están en rogresión geométrica(gp) si l = n m ; y m = ln es la media geométrica de l y n: Algunos triángulos ueden tener las longitudes de sus lados en GP; tales triángulos se llaman auto-alturas (selfaltitude)[3; 4] : Un ejemlo de tales triángulos es (4; 6; 9) : Tres números (x; y; z) están en rogresión armónica (HP) si sus inversos están en PA, es decir, 1 1 y x = 1 1 2xz z y ; y entonces y = x+z es la media armónica de x; z: Es osible que las longitudes de los lados de un triángulo sean números naturales en HP. Por ejemlo, (15; 12; 10) : Por lo que el autor conoce, estos triángulos no han sido estudiados hasta ahora. Nuestro roósito es estudiar triángulos con lados en HP, que llamaremos triángulos armónicos. El rimer y segundo teoremas que robaremos más adelante son válidos ara triángulos armónicos con números reales ositivos como longitudes de los lados, mientras que el tercero es alicable sólo a triángulos cuyas longitudes de los lados son números naturales. Reresentaciones aramétricas de triángulos armónicos Es relativamente sencillo deducir exresiones aramétricas que generen el conjunto de los triángulos armónicos. Demostraremos esto en el Teorema 1. Utilizaremos la notación habitual de a; b; c ara las longitudes de los lados BC,CA y AB, resectivamente, y ara el área del triángulo. Teorema 1.El triángulo ABC es armónico si y sólo si sus lados son de la forma (a; b; c) = (u (u + v) ; 2uv; v (u + v)) ; donde u; v son números reales ositivos tales que 2 1 v < u < v: Demostración Sin érdida de generalidad se uede suoner los lados en orden a; b; c: Entonces el triángulo será armónico si y solo si a; b; c están en rogresión armónica, es decir 1
2 1 1 b a = 1 1 c a : Desejando de aquí b en función de a y c se obtiene b = 2ac a + c (1). Luego ABC será armónico si y sólo si sus lados son a; 2ac a + c ; c: Para evitar la fracción, multilicamos los tres términos or a+c y obtenemos así un triángulo semejante al anterior. Para obtener exresiones aramétricas ara los lados, y generar así un conjunto in nito de triángulos armónicos, reemlazamos a or u y c or v;siendo estos u; v números reales ositivos, lo que daría (a; b; c) = (u (u + v) ; 2uv; v (u + v)) : (2) Pero (2) or sí solo no garantiza que así se obtengan triángulos armónicos cualesquiera que sean u y v: Por ejemlo, si u = 5; v = 2 da (a; b; c) = (35; 20; 14) que no son los lados de un triángulo orque b + c = 34 < 35 = c: Considerando las desigualdades triangulares a + b > c; b + c > a; c + a > b obtenemos sucesivamente: i) a + b > c () u (u + v) + 2uv > v (u + v) () u 2 + 2uv v 2 > 0 () (u + v) 2 > 2v 2 ; es decir u > 2 1 v: ii) b + c > a () 2uv + v (u + v) > u (u + v) () u 2 2uv v 2 < 0 () (u v) 2 < 2v 2 ; es decir u < v: iii) c + a > b () v (u + v) + u (u + v) > 2uv, que siemre es cierto. Combinando entonces i) y ii) tenemos las condiciones del teorema 1. Un ejemlo numérico. Suongamos que v = 4: Entonces debemos encontrar un número real u tal que < u < : Puesto que hay in nitos números reales entre estas dos cotas, habrá in nidad de triángulos armónicos generados or un valor dado de v: Si elegimos el valor u = 3 entonces obtenemos el triángulo armónico (a; b; c) = (21; 24; 28) : 2
3 Para ese mismo v odríamos usar u = 11; obteniendo ahora (a; b; c) = ( ; 8 11; ): Ahora deduciremos el corolario 1, que da la caracterización de los triángulos armónicos en función de las alturas. (Es claro que el teorema 1 la daba en función de los lados). Corolario 1: El triángulo ABC es armónico si y sólo si sus alturas h a ; h b ; h c están en rogresión aritmética. Demostración Es una consecuencia inmediata de las fórmulas En efecto, = 1 2 a h a = 1 2 b h b = 1 2 c h c; es decir h a = 2 a ; h b = 2 b ; h c = 2 c : ABC armónico () 1 a ; 1 b ; 1 c en AP () 2 a ; 2 b ; 2 c en AP. En el teorema siguiente consideraremos otra caracterización. Recordemos el teorema de la bisectriz: Cada bisectriz del triángulo ABC divide al lado ouesto en segmentos que son roorcionales a los lados contiguos. Teorema 2.Sean AD, BE, CF las bisectrices interiores del triángulo ABC. Entonces ABC es armónico si y sólo si AF F B + CD DB = 2: Demostración. De acuerdo con el teorema de la bisectriz, AF F B = b a ; CD DB = b c : Por lo tanto, AF F B + CD DB = 2 si y sólo si b a + b c = 2 () 1 a + 1 c = 2 () ABC es armónico. b Al nal roonemos al lector otra caracterización de los triángulos armónicos en términos de las áreas de los triángulos BIC,CIA,AIB, siendo I el incentro de ABC. En lo que sigue, requeriremos que u y v sean números naturales. 3
4 Triángulos armónicos cuyos lados son números naturales Si restringimos los arámetros u; v de los Teoremas 1 y 2 a tomar valores naturales, obtendremos triángulos armónicos cuyos lados son números naturales. Por ejemlo, si u = 2; v = 1; uesto que < 2 < ; las exresiones aramétricas a = u (u + v) ; b = 2uv; c = v (u + v) conducen al triángulo armónico (a; b; c) = (6; 4; 3) : Los triángulos armónicos con lados naturales tienen una roiedad intrínseca interesante, que veremos en el Teorema 3. En el ejemlo citado, será útil observar dos cosas: i) mcd (6; 4; 3) = 1; es decir, ABC es un triángulo armónico rimitivo. ii) a + c = = 9; que es un cuadrado imar. Para comrender bien el argumento que se utiliza en la demostración del teorema 3, invitamos al lector a demostrar las siguientes desigualdades: 1) Sea w un número natural. Entonces se tiene 2 1 w < w + 1 < w (3). 2) Sea w un número natural imar mayor que 3. Entonces 2 1 (w 2) < w + 2 < (w 2) (4). 3) Sea wun número ar mayor que 2. Entonces 2 1 (w 1) < w + 1 < (w 1) (5). Teorema 3. Un triángulo ABC es armónico rimitivo si y sólo si la suma de sus lados AB y BC es, o bien un cuadrado imar mayor que uno, o bien el doble de un cuadrado. Demostración. Del teorema 1 tenemos a = u (u + v) ; b = 2uv; c = v (u + v) ; donde u y v son rimos entre sí, tales que 2 1 v < u < v: Hay dos casos a considerar: Caso 1: u y v tienen distinta aridad, es decir, uno de ellos es ar y el otro imar. En este caso u + v es imar. Ahora bien, b = 2uv es siemre ar, ero uno de los otros lados, a o c; será ar y el otro imar, deendiendo de que u o v sea ar. Entonces mcd (a; b; c) = 1 y el triángulo ABC será rimitivo. En este caso se tiene a + c = u (u + v) + v (u + v) = (u + v) 2 ;un cuadrado imar mayor que 1. Para establecer el recíroco, suongamos que en el triángulo ABC, a + c es un cuadrado imar mayor que 1. Demostaremos que existe un ar de números naturales u; v; de aridad ouesta, que veri can las condiciones del Teorema 1. 4
5 Como a + c = (2w + 1) 2 ;ara algún número natural w > 1; y necesitamos que esto sea igual a (u + v) 2 ; odemos tomar u = w + 1; v = w: Es claro que w y w + 1 son de aridad ouesta y además rimos entre sí. Ya que esos u y v veri can (3), dan lugar aun triángulo armónico rimitivo ABC. Caso 2: Suongamos que u y v tienen la misma aridad. Para que uedan ser rimos entre sí, tienen que ser los dos imares. En este caso, u + v es ar, así que mcd(a; b; c) = 2: (La justi cación de ésto se deja al lector). Para tener un triángulo ABC rimitivo, dividimos or 2 y tomamos el nuevo triángulo con En este triángulo se veri ca a = 1 2 u (u + v) ; b = uv; c = 1 v (u + v) 2 a + c = 1 2 u (u + v) v (u + v) = 1 2 (u + v)2 : Como u + v = 2w; con w 1;se tiene a + c = 2w 2 ; el doble de un cuadrado. Recírocamente, suongamos que a + c = 2w 2 en el triángulo ABC. Si w = 1;se tiene el triángulo equilátero armónico rimitivo (1; 1; 1) : Si w > 1; entonces w uede ser ar o imar. Suongamos rimero que es imar. Si w = 3;entonces u + v = 6:El único ar osible es u = 5; v = 1; que no da lugar a ningún triángulo. Luego w > 3:En este caso odemos tomar u = w +2; v = w 2; que satisface (4) y construir un triángulo rimitivo armónico ABC. Si w es ar, entonces tiene que ser mayor que 2 ( or qué?). En este caso odemos tomar los números imares u = w +1; v = w 1; que veri can (5) ara generar un triángulo armónico rimitivo ABC. Esto concluye la demostración. Para mayor clari cación del argumento, roorcionamos una ilustración numérica: (i) Suongamos que (u + v) 2 = 121 = 11 2 ; un cuadrado imar. Se tiene u + v = 11: Podemos tomar u = 6; v = 5; que dan (a; b; c) = (66; 60; 55) : También odemos tomar u = 7; v = 4; que da un triángulo diferente, (a; b; c) = (77; 56; 44) : El lector uede comrobar que no hay más con u+v = 11: (ii) Suongamos a + c = 98 = 2 (7) 2 ; el doble de un cuadrado imar. Ahora u + v = 2 7 = 14: Luego odemos tomar u = = 9; v = 7 2 = 5; que genera el triángulo (a; b; c) = (63; 45; 35) : (iii) Suongamos a + c = 288 = 2 (12) 2 ; el doble de un cuadrado ar. Aquí, u + v = 24; u = = 13; v = 12 1 = 11; y (a; b; c) = (156; 143; 132) : Problemas rouestos Finalizamos nuestra disertación con roblemas rouestos a los lectores. 1.Suongamos que ABC es un triángulo de Hoe (sus lados AB,BC,CA están en rogresión aritmética), inscrito en una circunferencia. AD es la bisectriz del ángulo A, con D en el lado BC. Se rolonga la bisectriz hasta que corte de 5
6 nuevo a la circunferencia circunscrita en D. Demostrar que : i) AD = 1 2 3bc: ii) AD =BD +D C. 2.Sea ABC un triángulo "autoalturas" en el que los lados AB,BC,CA están en rogresión geométrica. Probar que los lados son roorcionales a las alturas, en un cierto orden. 3.Sea I el incentro de ABC. Demostrar que ABC es armónico si y sólo si las áreas de los triángulos BIC,CIA y AIB están en rogresión armónica. 4.Sea w un número natural dado. Es osible encontrar una fórmula cerrada como función de w que roorcione el número de a) triángulos armónicos con lados naturales, rimitivos, en los que (i) a+c = (2w + 1) 2 ; (ii) a + c = 2w 2 ; b) triángulos armónicos con lados naturales, rimitivos o no, en los que (i)a + c = (2w + 1) 2 ; (ii) a + c = 2w 2? Bibliografía 1. Dickson,L.E. History of the Theory of Numbers, vol. II, Chelsea, New York (1971), Sastry, K.R.S. Analogies are interesting!. Elemente der mathematik, 59(2004), Sastry, K.R.S. Pythagoras strikes again!.crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, 24(1998), Sastry, K.R.S. Self-Altitude triangles, Mathematical Sectrum, 22( ),
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