EL PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT Y APLICACIONES. Un enfoque heurístico, una demostración elemental y algunas aplicaciones del mismo

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1 EL PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT Y APLICACIONES Un enfoque heurístico, una demostración elemental y algunas alicaciones del mismo FRANCISCO BELLOT ROSADO La lección de rearación olímica que resento a continuación ha sido exuesta en el Seminario de Problemas de Valladolid, el miércoles 14 de octubre de UN PROBLEMA PARA EMPEZAR Un disco, dividido en (, rimo) sectores iguales, se desea colorear con n colores, udiendo estar varios, o todos los sectores, intados del mismo color. No se consideran distintas dos coloraciones tales que se ueda deducir una de otra girando el disco alrededor de su centro, en un cierto sentido (horario o antihorario, ero no los dos). De cuántas maneras se uede hacer esto? (Origen del roblema : la Olimiada de la antigua Unión Soviética) Tras unos momentos de reflexión, hago la siguiente sugerencia a los alumnos: F.B.: Por si alguno no se siente cómodo or no haberos dado valores articulares de n y, sería erfectamente razonable emezar a ver lo que sucede con valores equeños de n y, ara comrender bien el roblema. Primer caso: n=2, =2. Varios alumnos contestan en seguida : 3 coloraciones. Las dibujo en el encerado, siguiendo las resuestas de los alumnos. Segundo caso: n=2, =3. La resuesta es igualmente ráida : 4 coloraciones, que igualmente se dibujan en el encerado. Tercer caso : n=3, =3. Ahora tarda un oco más en aarecer la resuesta correcta; tras una resuesta de 10, otro alumno justifica que ha de considerarse una más, orque los giros se hacen en un solo sentido : 11 coloraciones. Cuarto caso : n=4, P=3. Alguno aventura 24, sin mucha convicción les digo que sí, que esa es la resuesta.

2 Escribo entonces en el encerado las igualdades ( obvias!) 3=1+2; 4=2 + 2; 11 = 8 + 3; 24 = Hago ver que el segundo sumando de cada suma coincide con n. Para contar las coloraciones utilizaremos, en todos los casos, el siguiente rocedimiento: Primero se considera el disco fijo, y los sectores numerados, de 1 a ; y se cuentan las coloraciones osibles así, que resultan ser n. (Para los no convencidos, hago el tíico ejemlo de las quinielas: Cuántas columnas de 14 artidos hay que rellenar ara estar seguros de que en una de ellas tenemos 14 aciertos?). Salvo los alumnos de 2º de Bachillerato, en el gruo de Olimiadas hay alumnos de 3º, 4º de E.S.O. y 1º de Bachillerato; la Combinatoria se estudia en 4º, ero no tan ronto. Por lo tanto, refiero obviar el tecnicismo de llamarle número de variaciones con reetición. Desués se restan las que corresonden a un solo color, que son n. Así, con el disco fijo y los sectores numerados, tenemos n -n coloraciones en donde or lo menos se utilizan dos colores. A continuación se eliminan los números de los sectores. Qué efecto tiene esto sobre las coloraciones que inicialmente eran diferentes? Cuántas coloraciones que eran diferentes coincidirán al borrar la numeración de los sectores? Los alumnos van examinando los casos vistos hasta ahora y contestan: Primer caso: 2 Segundo caso: 3 Tercer caso: 3 Cuarto caso: 3 La suresión de los números de los sectores equivale a hacer giros de ki360º grados de amlitud alrededor del centro del disco; o lo que es lo mismo, cada coloración no monocromática se cuenta veces: la inicial y las que resultan de los -1 giros de amlitudes ( ) 1i360º 2i360º 1 i360º,,,.

3 Es instructivo ver cuáles son esos giros en los casos articulares estudiados. En el rimer caso hay un solo giro (-1=1) y en todos los demás hay 2. Entonces arece que ya estamos en condiciones de formular la resuesta a la regunta del roblema, con generalidad : el número de coloraciones es +. n n n La resuesta al roblema es un número natural; or lo tanto, como consecuencia se obtiene que n -n es múltilo de, si es un número rimo. Doy nombre a esta roosición : Pequeño teorema de Fermat, enunciado en una carta de Fermat del 18 de octubre de 1640 a su amigo Frénicle de Bessy, naturalmente sin demostración (en esto, Fermat era un verdadero exerto) y con una formulación ligeramente diferente. Leibniz dejó una demostración en un manuscrito no ublicado, antes de 1683, y Euler ublicó la suya en 1736 (Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Sectantium Demonstratio). La exresión Pequeño teorema de Fermat se usó or rimera vez en 1913 en un libro alemán de Teoría de Números. Retrato de Fermat

4 FB ante la estatua de Fermat en el ueblo natal de Fermat, Beaumont de Lomagne, en el Sur de Francia, verano de 2002 Acto seguido regunto: qué ocurriría si no fuera rimo, or ejemlo si tenemos el caso n=2,=6? Una alumna mete los datos en su calculadora ara ver el valor de la fracción que da el número de coloraciones no monocromáticas y encuentra un número decimal. Le digo : acabas de comrobar que el resultado no es válido si no es rimo. Gráficamente la situación se uede visualizar como

5 y aquí un giro de 120º transforma la figura en sí misma. A continuación lanzo la regunta Os arece que hemos demostrado algo? No hay unanimidad en las resuestas; los que me conocen de años anteriores se inclinan or el NO; a otros les arece que el argumento se debilita al decir que de las coloraciones coinciden cuando se surimen los números de los sectores; algunos se muestran convencidos de la bondad del argumento. Con objeto de eliminar cualquier sombra de duda, exongo una de las demostraciones del libro Selected Problems and Thorems in Elementary Mathematics, de D.O.Schklyarsky, N.N.Chentsov e I.M. Yaglom, MIR, Moscú 1979, que considero al alcance de todos los alumnos de la audiencia. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA Se uede suoner, sin érdida de la generalidad, que n no es divisible or (orque en tal caso el resultado es evidente). Entonces los números n, 2n, 3n,, (-1)n tamoco son divisibles or, y los restos de su división or son DIFERENTES. Justifiquemos esta última afirmación. Si kn y ln (con 1 k > l ) dieran el mismo resto al ser divididos or, entonces su diferencia kn i ln i = ( k l) n tendría que ser divisible or, ero eso es imosible orque es rimo, n no es divisible or, y k l <. Como los osibles restos de la división or son 1,2,3,,-1, se tiene ( ) n= q1+ a1;2 n= q2+ a2,, 1 n= q 1+ a 1, donde los números a 1, a 2,, a 1 son 1,2,,-1 en algún orden. Multilicando todas esas igualdades se obtiene

6 o lo que es igual De aquí que ( 1 n 1 ( ) 123 i i i i 1 n = N+ a1ia2i i a 1, ) 1 1 ( ) ( ) 123 i i i i 1 n 1 = N. es divisible or (esta es la forma en que Fermat formuló su teorema) y multilicando or n se obtiene el resultado. Finalizada la demostración, ido a los alumnos que enuncien el resultado recíroco (ara algunos era la rimera vez que oían esa exresión). Se formula como Si n -n es múltilo de, entonces es rimo. Acto seguido señalo que, desafortunadamente, esta roosición es falsa, como lo rueba el contraejemlo (tomado de Problem Solving strategies, de Arthur Engel, un libro indisensable en la rearación de Olimiadas): 341 divide a , ero 341=31x11 no es rimo; y la exresión en negrita se justifica escribiendo ( ) ( ) 34 ( ) ( )( ) ( ) = = = = i i i. Este es el menor contraejemlo al recíroco, or lo que a mi entender no resultaría conveniente haberles edido que fueran comrobando algunos casos ara valores equeños de y n. En el libro de Engel antes citado se incluyen tres demostraciones del teorema: or inducción, utilizando congruencias y de tio combinatorio (con collares, ero utilizando el conceto de ermutaciones cíclicas, no aroiado ara esta audiencia en este momento). En el de los tres autores rusos mencionados antes se incluye una segunda demostración, or inducción y el teorema del binomio. Una búsqueda en Internet da como resultado siete demostraciones, una de ellas or teoría de gruos, otra sistemas dinámicos y una tercera con la fórmula de Leibniz ara la otencia de un olinomio, también conocida como fórmula multinomial. Personalmente, mi favorita es la que acabo de exoner. ALGUNOS PROBLEMAS DONDE SE APLICA EL TEOREMA Observación revia

7 Para agilizar la alicación del teorema de Fermat es necesario utilizar el conceto y roiedades de las congruencias. Resumo, sin demostración, algunas de sus roiedades. Si los enteros a y b dan el mismo resto al ser divididos or el entero k, se dice que ambos son congruentes resecto al módulo k, y se escribe a b(mod k). Las rinciales roiedades de las congruencias son: a a(mod k) (roiedad reflexiva) Si a b(mod k), entonces b a(mod k) (roiedad simétrica) Si a b(mod k), y b c(mod k), entonces a c(mod k) (roiedad transitiva) Las congruencias se ueden sumar y multilicar: Si a b(mod k) y c d(mod k), entonces ( a± c) ( b± d)(mod k) Si a b(mod k) y c d(mod k), entonces ( ac) ( bd )(mod k). Pero en general no se ueden dividir los términos de una congruencia, salvo or un número que sea rimo con el módulo de la congruencia. 1.- Calcular el resto de la división or 13 del número Por el equeño teorema de Fermat, es múltilo de 13, lo cual significa que 7 12 da resto 1 al ser dividido or 13. De aquí resulta que 7 36 =(7 12 ) 3 también da resto 1 al ser dividido or 13. Entonces 7 44 y 7 8 dan el mismo resto al ser divididos or 13. Pero 7 2 da resto 10 al ser dividido or 13, 7 4 da el mismo resto que 10 2, es decir, 9. Entonces 7 8 da el mismo resto que 9 2 =81, es decir, da resto 3 cuando se divide or 13, y esta es la resuesta. 2.- Demostrar que es divisible or 13. Por el equeño teorema de Fermat, 2 12 da resto 1 al ser dividido or 13, así que 2 60 = (2 12 ) 5 dará resto 1 5 = 1. Como 2 5 da resto 6, 2 10 dará resto -3 al ser dividido or 13. Entonces 2 70 da resto -3 al ser dividido or 13. Por otra arte, 3 3 da resto 1, y lo mismo ocurre con De aquí que 3 70 dará resto 3. Entonces, sumando dará resto -3+3 =0, es decir, será divisible or Demostrar que los osibles restos de la división or 7 de un cubo erfecto son 0, 1 ó 6. Sea n un número natural cualquiera. 7 es evidentemente rimo. Si n no es divisible or 7, entonces or el teorema de Fermat,

8 ( ) ( ) ( )( ) ( ) n 1 mod 7 n 1 0 mod 7 n 1 n mod 7 Luego, o bien ( ) ( 3 3 n 1 0 mod7), o bien ( n + 1) 0( mod7). 3 3 n 1 0( mod7) 1mod7 ( ) Si ( ), esto es lo mismo que Si ( ), esto es lo mismo que n n + 1 0( mod7) n 1mod7 ( ) n ( 6mod7). Por último, si n es divisible or 7, n 3 3 también lo es, y 0( mod7) 4.- Calcular el resto de la división de 2 98 or 101. n. Como 101 es rimo, utilizando el teorema de Fermat tenemos que ( ) i ( ) i ( ) mod mod mod101 Como 4 y 101 son rimos entre sí, odemos dividir la última congruencia or 4 y obtenemos Por lo tanto, el resto es 76. ( ) ( ) mod mod Demostrar que si es rimo, entonces, cualquiera que sea el número natural n, se tiene Se verifica mcd ( k, ) n 0( mod ). k = 1 mcd ( k, ) n = n+ n+ + n+ n k = 1 (-1 sumandos iguales a n), es decir ( ) 1 n+ n = n+ n n. Ahora bien, (1) n 0( mod ) (2) n n( mod ) ( TeoremadeFermat) n n 0( mod ) Y de (1) y (2) se obtiene el resultado. 6.- Si es un número rimo mayor que 5, demostrar que 4-1 es divisible or 240. Sea rimo mayor que 5. Se tiene que 240 = 8x5x6 = 16x5x3.

9 ( )( ) ( )( )( ) = = Como es imar, entonces -1 y +1 son dos números ares consecutivos, así que su roducto es múltilo de 8. Pero también es ar, así que el roducto de los tres es múltilo de Por el teorema de Fermat, 1 0( mod5). Por otra arte, si >5 es rimo, no uede ser divisible or 3, así que lo será uno de los números -1 ó +1. Finalmente, 16, 5 y 3 son rimos entre sí dos a dos, así que si 4-1 es divisible or 16, or 5 y or 3, lo será or su roducto, que es Si m es rimo, y a,b son dos números enteros ositivos menores que m, demostrar que Es múltilo de m. a + a b+ a b + + b m 2 m 3 m 4 2 m 2 Se verifica 2 ( )( ) a b = a b a + a b+ a b + + b m 1 m 1 m 2 m 3 m 4 2 m. Puesto que m es rimo, y a<m,b<m, or el teorema de Fermat se tiene que m ( ) ( ) m 1 1 a 1mod m ; b 1modm ; or lo tanto su diferencia será múltilo de m: ( ) m 1 m 1 a b 0 modm. Como a-b no uede ser múltilo de m (de hecho, el mcd(a-b,m)=1),se obtiene el resultado. PROCEDENCIA DE LOS PROBLEMAS El roblema 1 está tomado del libro Introduction to Number Theory and Inequalities, de C.J. Bradley (ublicado or UKMT, 2006). El roblema 2 rocede de uno de los libros míticos en Teoría de Números: 250 roblèmes de théorie élémentaire des nombres, de Waclaw Sierinski (ublicado en francés or Ed. Jacques Gabay, 1992), y cuya edición original en inglés se ublicó en Varsovia en Los restantes roblemas roceden de una lección de Olimiadas de la Prof. hisano-cubana María Emilia Santibáñez Piñera sobre el teorema de Fermat, no ublicada (sin fecha; robablemente alrededor de 1987).

10 BIBLIOGRAFÍA Además de las tres fuentes recién mencionadas, resento a continuación algunos libros válidos ara la rearación de Olimiadas en lo que se refiere a Teoría de Números: 1) Arthur Engel: Problem solving strategies; Sringer ) Enzo Gentile : Aritmética Elemental en la formación matemática; Olimiada Matemática Argentina, ) Saulo Rada Aranda : Aritmética; CENAMEC, Caracas ) Waclaw Sierinski: Elementary Theory of Numbers; North Holland&PNN, Amsterdam y Varsovia ) Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery : An Introduction to the Theory of Numbers; John Wiley, 1991.