ARITMÉTICA ENTERA LOS NÚMEROS ENTEROS. = {..., n,..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,..., n,...} (Zahlen, en alemán, números)

Transcripción

1 LOS NÚMEROS ENTEROS ARITMÉTICA ENTERA = {..., n,..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,..., n,...} (Zahlen, en alemán, números) Recordamos la estructura de sus propiedades aritméticas la relación de orden usual, compatible con esas operaciones 1

2 Operaciones en : suma y producto que verifican las propiedades: 1) asociativa a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c 2) conmutativa a + b = b + a a b = b a 3) existencia de elemento neutro a + 0 = a a 1 = a 4) existencia de elementos opuestos a a a + (a) = 0 5) distributiva a (b + c) = a b + a c 6) cancelativa Si a 0 y si a b = a c b = c 2

3 Relación de orden total en (, ) compatible con las operaciones definidas en : si a b entonces a + c b + c y a c b c, si c Axioma de buena ordenación Si S es un subconjunto no vacío de y S tiene una cota inferior, entonces S tiene un elemento mínimo. En el conjunto de los números racionales Q no es cierto: S = {x = tal que n } no tiene mínimo. 3

4 PRINCIPIO DE INDUCCIÓN El conjunto de los números naturales es el menor conjunto inductivo: 1) 1 2) si n, entonces n + 1, n Principio de inducción (B. Pascal, Tratado del triángulo aritmético, 1665) Sea S un subconjunto no vacío de tal que 1) 1 S 2) si k S, entonces k + 1 S, k Entonces S =. 4

5 Ejercicios 1) Demostrar, por inducción, que n n a) ( 2k k1 1) n 2 n 2 b) ( 2k 1) = k 1 n c) k k 1 2 n( n 1)(2n 6 n ( 2n 1)(2n 1) 3 1) d) n k 1 k 3 n k 1 k 2 2) Probar que si n 1, entonces n se puede expresar como suma de treses y ochos. 5

6 Principio de inducción fuerte Sea z 0 y S un subconjunto de 0 = {z / z z 0 } tal que 1) z 0 S 2) si {z 0, z 0 + 1,, n} S, entonces n + 1 S Entonces S = 0. 6

7 Ejercicios 1) Demostrar, por inducción, que a) 2 n > n + 1, n 2 b) 2n + 1 < n 2, n 3 c) n! 2 n, n 4 2) Probar que a) n 2 + 3n es par b) n 3 + 3n 2 + 2n = n (n + 1) (n + 2) es múltiplo de 6 c) 4 2n 1 es divisible por 15 7

8 DIVISIBILIDAD Relación de orden parcial en (, ) Sean a, b, b 0. b divide a a ( ba ) si y sólo si existe c / a = b c. Propiedades Sean a, b, c se tiene que 1) 1a 2) a0 3) Si ca y cb entonces ca + b El recíproco no es cierto: y 4 no divide a 9 ni a 3 4) Si ca y cb entonces ca x + b y, x, y 8

9 5) Si a b = 1 entonces a = b = 1 ó a = b = 1 6) Si a b y b a entonces a = b o a = b En se puede dividir: a = b q + r 0 r b Ejemplos a) 27 = = = = =... R = {3, 7, 11, 15,...} = {3 + 4 k / k } b) 27 = 4 (7) + 1 = 4 (8) + 5 = 4 (9) + 9 =... R = {1, 5, 9, 13,...} = {1 + 4 k / k } 9

10 Consecuencia del axioma de buena ordenación: El conjunto R de los restos de la división entera de a entre b es un subconjunto no vacío de y R tiene una cota inferior, entonces R tiene un resto mínimo r tal que 0 r b. Teorema de la división entera Sean a, b, b Existen unos únicos q, r, tales que a = b q + r con 0 r b. 10

11 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Una consecuencia importante del teorema de la división entera es la justificación del sistema de numeración. Teorema Sean b y b 2. Cualquier n se escribe de manera única como con 0 r j < b, j {0, 1,, k} y r k 0. En este caso se dice que n está expresado en base b. 11

12 Demostración Por el teorema de la división entera n = b q 0 + r 0 0 r 0 b 0 q 0 n q 0 = b q 1 + r 1 0 r 1 b 0 q 1 q 0 n q 1 = b q 2 + r 2 0 r 2 b 0 q 2 < q 1 q 0 n... q k1 = b q k + r k 0 r k b 0 q k < q k1 < q 0 n q k = 0 El conjunto de los cocientes R = {q i / i = 0, 1,..., k} está acotado inferiormente por 0. Por el axioma de buena ordenación, existe mín R = 0. n = b q 0 + r 0 = b (b q 1 + r 1 ) + r 0 = b (b (b q 2 + r 2 ) + r 1 ) + r 0 = = r b j k j0 j 12

13 Ejemplo 1006 = = = = = = = = = = = = = = = = = =

14 ALGORITMO DE EUCLIDES (c a C.) Definición Sean a, b, se dice que d = mcd (a, b) si y sólo si 1) d 1 2) d a y d b 3) c tal que c a y c b, se tiene que c d. Teorema Si a, b tales que a = b q + r, entonces mcd (a, b) = mcd (b, r) Demostración Si d = mcd (a, b) entonces d a y d b d a b q = r. Sea c tal que c b y cr c b q + r = a c d. Por tanto, d = mcd (b, r). 14

15 Algoritmo a = b q 1 + r 1 0 r 1 b b = r 1 q 2 + r 2 0 r 2 r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3 0 r 3 r 2... r k-2 = r k-1 q k + r k 0 r k r k-1 r k-1 = r k q k+1 0 = r k+1 El conjunto de los restos R = {r i / i = 0, 1,..., k} está acotado inferiormente por 0. Por el axioma de buena ordenación, existe mín R = 0. mcd (a, b) = mcd (b, r 1 ) = mcd (r 1, r 2 ) =... = mcd ( r k-1, r k ) = r k 15

16 Teorema de Lamé ( ) El nº de pasos del algoritmo de Euclides es k < 5. nº de dígitos mín (a, b). Ejemplo Hallar el mcd (654, 444) El número de pasos es k < 5. nº de dígitos mín (654, 444) = = = = = = 6.3 mcd (654, 444) = 6 16

17 Teorema de Bézout Si a, b, entonces x, y tales que a x + b y = d = mcd (a, b) Demostración Por el algoritmo de Euclides, d = mcd (a, b) = mcd ( r k1, r k ) = r k Entonces, sustituyendo los restos, d = r k = (r k2 r k1 q k ) = r k2 (r k3 r k2 q k1 ) q k = (1 + q k1 q k ) r k2 q k r k3 =... Ejemplo d = mcd (a = 654, b = 444) = 6 d = 6 = = 24 ( ) = = = ( ) = = = 19 ( ) = Existen x = 19, y = 28 tales que d = 19 a + 28 b. 17

18 Definición a, b son primos entre sí si y sólo si mcd (a, b) = 1. En este caso, x, y tales que a x + b y = 1. Lema de Euclides Sean a, b, c tales que ab.c y mcd (a, b) = 1, entonces ac. Demostración Si mcd (a, b) = 1 entonces x, y tales que a x + b y = 1 c a x + c b y = c. Si ab.c ac b y y como ac a x, entonces ac. 18

19 Si ab.c no implica que ab o ac : 428 = 2.14 y 4 no divide a 2 ni a 14. Proposición Si se dividen dos números enteros por su mcd, resultan dos números primos entre sí. Sean a, b mcd (a, b) = d d, d a, db y, 1 19

20 Demostración ) Si mcd (a, b) = d d a, d b y x, y con a x + b y = d x, y tales que 1, 1. ) Si da, db, mcd, 1 d a d b x, y con 1 a x + b y = d. Sea c tal que ca y cb ca x + b y = d d = mcd (a, b). 20

21 ECUACIONES DIOFÁNTICAS Diofanto de Alejandría (s. III a C.) Aritmética (se conservan 6 de los 13 volúmenes) a x + b y = c a, b, c conocidos x, y incógnitas 21

22 Teorema La ecuación diofántica a x + b y = c tiene solución en si y sólo si d = mcd (a, b) c. Si ( x 1, y 1 ) es una solución particular obtenida mediante el algoritmo de Euclides, entonces todas las soluciones son de la forma, 22

23 Demostración ) Si la ecuación a x + b y = c tiene solución en y mcd (a, b) = d entonces da, db dc. ) Si mcd (a, b) = d x 0, y 0 tales que ax y d 0 b 0 Si dc entonces a c d c x0 b y0 c, por tanto d es una solución particular de la ecuación a x + b y = c. 23

24 Si (x, y) es otra solución de la ecuación, entonces a x + b y = c a b a (x x 1 ) + b (y y 1 ) = 0 ( x x1 ) ( y y1). d d a b Como mcd, 1 d d t tal que. Por tanto,, 24

25 Ejemplos 1) Hallar las soluciones enteras de la ecuación 150 x y = 200 Solución mcd (150, 100) = entonces existe solución de la ecuación 150 x y = mcd (150, 100) = 50 = = x y x y 4 4 2t 3t, t 25

26 2) Hallar las soluciones enteras de la ecuación 84 x 30 y = 60 Solución mcd (84, 30) = 660 entonces existe solución de la ecuación 84 x 30 y = mcd (84, 30) = 6 = = 30 ( ) = = x1 10 y 30 1 x y 10 5t 30 14t, t 26

27 NÚMEROS PRIMOS Definición p 1 es primo si los únicos divisores positivos de p son {1, p}. Si n no es primo se dice que es compuesto. Un número n es compuesto si y sólo si a, b { 2, 3,..., n 1 } tales que n = a b. Teorema fundamental de la aritmética (Euclides) Todo n 1 es primo o se puede expresar de forma única como producto de números primos, salvo el orden de los factores. 27

28 Teorema de Euclides Existen infinitos números primos. Demostración Si el conjunto de los números primos P es finito entonces P = { p 1,..., p n }. Se considera el número p = p 1... p n + 1 p i divide a p 1... p n = p 1 i n p i no divide a p i n p es primo y p P. 28

29 Proposición de Fermat ( ) Si n es un número compuesto, entonces tiene un divisor primo p n. Demostración Si n es compuesto, entonces a, b {2, 3,..., n 1} tales que n = a b. Si a b, entonces a 2 a b = n a n. Si a es primo, ya está demostrado. Si a es compuesto a = p 1... p r con p i números primos p i a n y p i a n. Consecuencia Sea n 1. Si para todo número primo p n se cumple que p no divide a n, entonces n es primo. 29

30 DISTRIBUCIÓN DE NÚMEROS PRIMOS El método de la criba de Eratóstenes (s. III a C.) para obtener los números primos < n, se aplica con los números n, exclusivamente. Este método de división es inviable porque el método proporciona la factorización del número como producto de números primos. n = es primo y tiene cifras. Un computador que se pare en n, necesitaría años. El Big-Bang ocurrió hace años La estrella más antigua tiene años El Sol tiene años. 30

31 Teorema de Marin Mersenne ( ) Si 2 n 1 es primo, entonces n es primo. Demostración Si n es compuesto, entonces a, b {2, 3,..., n 1} tales que n = a b y como 2 ab 1 = (2 a 1) (2 a (b 1) + 2 a (b 2) a + 1), entonces 2 n 1 es compuesto. Los primeros números primos de Mersenne son: (los marcados no los encontró Mersenne) 31

32 El recíproco no es cierto : = 2047 = no es primo Mersenne afirmó que y eran primos y no lo son. En 1903, Frank Nelson Cole, de la Universidad de Columbia, en la conferencia Sobre la factorización de números grandes en la Sociedad Americana de Matemática demostró a mano que = = = El 48º número primo de Mersenne, el mayor conocido es , tiene dígitos y ha sido hallado con el proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), formado en