Tarea 2 de Álgebra Superior II

Transcripción

1 Tarea 2 de Álgebra Superior II Divisibilidad 1. Sean a, b, c, d Z. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Si son verdaderos, probar el resultado, y si son falsos, dar un contraejemplo. (1) Todo número entero tiene un número finito de divisores. (2) Si a b + c, entonces a b y a c. (3) Si a b y a c, entonces a b c. (4) Si a b + c y a b, entonces a c. (5) Si a bc, entonces a b ó a c. (6) Si a bc, entonces a b y a c. (7) Si a b y c d, entonces ac bd. 2. Encuéntrense los números q y r, garantizados por el algoritmo de la división, para las siguientes parejas de números a, b: (1) a = 434, b = 31. (2) a = 23, b = 7. (3) a = 47, b = 6. (4) a = 59, b = 12. (5) a = 12, b = 59. (6) a = 59, b = Usando el algoritmo de la división, demuestre que (1) Todo entero impar es de la forma 4k + 1 o 4k + 3 donde k Z. (2) Todo entero impar es de la forma 6k + 1, 6k + 3 o 6k + 5 donde k Z. 4. Demuestre que (1) Cualquier entero de la forma 6k + 5 es también de la forma 3m + 2, pero no al revés. (2) El cuadrado de cualquier entero es de la forma 3k o 3k + 1. (3) El cuadrado de cualquier número impar se puede expresar como un número de la forma 8n + 1. (4) El cubo de cualquier entero es de la forma 9k, 9k + 1 o 9k Demuestre que para todo n Z se cumple: (1) 2 n 2 n (2) 6 n 3 n (3) 30 n 5 n (4) 4 n (5) 4 n Sea n es un entero impar. Demuestre que (1) 8 n 2 1; (2) Si 3 n, entonces 6 n Sean n un natural y a y b enteros cualesquiera. Demuestre que (1) a b a n b n. (2) Si n es impar, entonces a + b a n + b n. (3) Si d n, entonces a d b d a n b n. 8. Demuestre los siguientes criterios de divisibilidad: (1) Un número es divisible por 2 si y sólo si su último dígito es par. (2) Un número es divisible por 3 si y sólo si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. (3) Un número es divisible por 4 si y sólo si sus últimos dos dígitos son 00 o forman un número divisible por 4. (4) Un número es divisible por 5 si y sólo si su último dígito es 0 ó 5. 1

2 (5) Un número es divisible por 8 si y sólo si sus últimos tres dígitos son 000 o forman un número divisible por 8. (6) Un número es divisible por 9 si y sólo si la suma de sus dígitos el múltiplo de 9. (7) Un número es divisible por 10 si y sólo si su último dígito es Encuentre criterios para determinar si un número entero es divisible por 6, 7, 11, 12 ó 13, y demuéstrelos. 10. En cada uno de los siguientes casos exprese n en base b. (1) n = 328, b = 8; (2) n = 723, b = 7; (3) n = 1207, b = 11; (4) n = 2770, b = 2; (5) n = 541, b = 3; (6) n = 224, b = Sea b una base tal que (120) b + (211) b = (331) b. Encuentre los posibles valores de b. 12. Demuestre que Máximo común divisor y mínimo común múltiplo (1) (a, b) = a si y sólo si a b. (2) Si d > 0, d a, d b y ( a d, b d ) = 1, entonces d = (a, b). (3) (a, a + k) k para todos los enteros a, k no ambos cero. (4) c a y c b si y sólo si c (a, b). (5) Si c > 0, entonces [ca, cb] = c[a, b]. 13. Considere las siguientes parejas de números enteros. (1) 15 y 21 (2) 14 y 400 (3) 527 y 765 (4) 329 y 1005 (5) 132 y 473 (6) 1024 y 1000 (7) 2024 y 1024 (8) 2076 y 1076 (a) Usando el algoritmo de Euclides, determine para cada pareja de enteros su máximo común divisor y expréselo como una combinación lineal de éstos. (b) Encuentre para cada pareja su mínimo común múltiplo. 14. Calcule: (1) (a, a + 1); (2) [a, a + 1]; (3) (a, a + 2); (4) (a + b, a 2 b 2 ); (5) (a 2 b 2, a 3 b 3 ); (6) (a 2 b 2, a 4 b 4 ). 15. Sean a, b, c, r Z. Demuestre que (1) (a, b) = 1 si y sólo si (a + b, ab) = 1. (2) Si (b, c) = 1 y r b entonces (r, c) = 1. (3) Si (a, b) = 1 y c a + b, entonces (a, c) = 1 y (b, c) = 1. (4) Si (a, b) = 1, a c y b c, entonces ab c. 16. Sean a, b Z {0} con (a, b) = 1. Demuestre que (1) (a + b, a b) = 1 o 2; 2

3 (2) (a + 2b, 2a + b) = 1 o 3; (3) (a 2 + b 2, a + b) = 1 o 2; (4) (a 2 3ab + b 2, a + b) = 1 o Si (a, 4) = 2 y (b, 4) = 2, pruebe que (a + b, 4) = Sea n un entero positivo. Pruebe que (n! + 1, (n + 1)! + 1) = Sean a, b, c enteros positivos. Demuestre que (1) Si (a, b) = (a, c) y [a, b] = [a, c], entonces b = c. (2) Si (a, b) = [a, b], entonces a = b. 20. Probar que (a, b, c) = ((a, b), c). En general, pruebe que (a 1, a 2,..., a n ) = ((a 1, a 2,..., a n 1 ), a n ). Ecuaciones diofantinas 21. Sean a, b, c, d Z. Demuestre que ax + by = b + c tiene solución en Z si y sólo si ax + by = c también tiene solución en Z. 22. Encuentre todas las soluciones enteras (si las hay) de las ecuaciones diofantinas siguientes: (1) 243x + 198y = 9 (2) 43x + 64y = 1 (3) 35x + 17y = 14 (4) 14x + 21y = 10 (5) 121x + 88y = 572 (6) 2520x y = 108 (7) 2520x y = 108 (8) 93x + 81y = 3 (9) (6n + 1)x + 3ny = 12 (10) (2n + 1)x + 4ny = n 23. Determine los valores de c con 10 < c < 20, para los que la ecuación diofantina 8x + 990y = c no tiene solución. Determine las soluciones para los valores restantes. 24. Demuestre que Números primos (1) 2 es el único número par que es primo. (2) 2 y 3 son los únicos enteros consecutivos (positivos) que son primos. (3) 3, 5 y 7 son los únicos impares consecutivos (positivos) que son primos. 25. Encuéntrese el error en la siguiente demostración, la cual afirma que no hay primos más grandes que 101. Suponga que n > 101. Si n es par, entonces no es primo, de modo que podemos suponer que n es impar. Así, los números x = n+1 2 e y = n 1 2, son enteros. Luego, n = x2 y 2 = (x y)(x + y) y por lo tanto n no es primo. Así que no hay primos > Demuestre que los siguientes números son compuestos. (1) n 4 1, n > 1 (2) n 4 + 4, n > 1 (3) 8 n + 1, n Sean a, b, c, d enteros positivos tales que ab = cd. Muestre que a + b + c + d es compuesto. 28. Sea n N. Demuestre que (1) Si n > 4 y n es compuesto, entonces n (n 1)!. (2) Si n > 1 y n (n 1)! + 1, entonces n es primo. (3) n es primo si y sólo si n (n 1)!. 29. Sea n N. Demuestre que 3

4 (1) Si 2 n + 1 es un número primo impar, entonces n es una potencia de 2. (2) Si 2 n 1 es primo, entonces n también lo es. 30. Sean a y n enteros positivos. (1) Demuestre que, si n > 1 y a n 1 es un número primo, entonces a = 2 y n es un número primo. (2) Suponga que a > 1. Demuestre que, si a n + 1 es un número primo, entonces a es par y n es una potencia de Demuestre que (1) Todo número primo de la forma 3n + 1 es de la forma 6k + 1. (2) Todo entero de la forma 3n + 2 tiene un factor primo de esa forma. (3) Todo entero de la forma 4m + 3 tiene un factor primo de esa forma. 32. (1) Demuestre que hay un número infinito de primos de la forma 4n + 3. (2) También es cierto que hay un número infinito de primos de la forma 4n + 1; sin embargo, la demostración no es tan sencilla como la que seguramente obtuvo para el caso de primos de la forma 4n + 3. Podría decir dónde falla esa demostración para el caso 4n + 1? 33. Encuentre la factorización en números primos de los siguientes números: (1) 8! (2) 10! (3) 945 (4) Sean a = ±p α 1 1 pα 2 2 pα n n y b = ±p β 1 1 pβ 2 2 pβn n, donde α i, β i 0, para todo i; y p 1 < p 2 < < p n son primos. Demuestre que a b si y sólo si α i β i, para todo i. 35. Encuentre todas las parejas de enteros a y b tales que (1) (a, b) = 12 y [a, b] = 360; (2) (a, b) = 20 y [a, b] = 840; (3) (a, b) = 18 y [a, b] = 3780; (4) ab = y [a, b] = Encuentre el valor de (ab, p 4 ) y (a + b, p 4 ) si se sabe que (a, p 2 ) = p y (b, p 3 ) = p 2 donde p es un número primo. 37. Sean a, b Z {0} tales que (a, b) = 1 y a b = c 2, para algún c Z {0}. Demuestre que a y b son cuadrados perfectos, esto es, a = c 2 1 y b = c2 2 para algunos c 1, c 2 Z {0}. 38. Demuestre que (1) [(a, b), c] = ([a, c], [b, c]), para todo a, b, c Z no nulos. (2) ([a, b], c) = [(a, c), (b, c)], para todo a, b, c Z no nulos. 39. Sean p 1, p 2,..., p m primos distintos, y sean a 1, a 2,..., a n Z + {1} tales que, para cada 1 i n, a i = p α i1 1 p α i2 2 p α im m con α ij 0, para todo 1 j m. Demuestre lo siguiente: (1) (a 1, a 2,..., a n ) = p γ 1 1 pγ 2 2 pγ m (2) [a 1, a 2,..., a n ] = p δ 1 1 pδ 2 2 pδ m m, donde γ j = mín{α 1j, α 2j,..., α nj }, para toda 1 j m. m, donde δ j = máx{α 1j, α 2j,..., α nj }, para toda 1 j m. 40. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Si son verdaderos, probar el resultado, y si son falsos, dar un contraejemplo. (1) Si (a, b) = (a, c), entonces [a 2, b 2 ] = [a 2, c 2 ]. (2) Si p es un primo, p a y p (a 2 + b 2 ), entonces p b. (3) Si p es un primo y p a n, n > 1, entonces p a. (4) Si a n c n, entonces a c. (5) Si a m c n, m > n, entonces a c. (6) Si a m c n, n > m, entonces a c. 4

5 (7) Si p es un primo y p 4 a 3, entonces p 2 a. Congruencias 41. Sean a, b, c, d Z y m, n Z +. Demuestre que (1) Si a b (mód m) y c d (mód m), entonces ax + cy bx + dy (mód m) para todo x, y Z; (2) a b (mód m) si y sólo si a + c b + c (mód m); (3) Si a b (mód m), entonces (a, m) = (b, m); (4) Si ca cb (mód m) y (c, m) = 1, entonces a b (mód m); (5) ca cb (mód m) si y sólo si a b ( mód m (c,m) (6) Si a b (mód m) y d = (a, b, m), entonces a d b d (mód m d ); (7) Si a b (mód m) y d m, d > 0, entonces a b (mód d); (8) Si a b (mód m) y c d (mód n), entonces a + c b + d (mód (m, n)); (9) Si a b (mód m), entonces a n b n (mód m); (10) Si a b (mód m) y c d (mód n), entonces ac bd (mód (m, n)). (11) a b (mód m) y a b (mód n) si y sólo si a b (mód [m, n]). 42. Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos, justificando su respuesta. (1) 7 5 (mód 2); (2) 8 12 (mód 3); (3) 18 2 (mód 4); (4) Si a b (mód m) y a b (mód n), entonces a b (mód m + n); (5) Si a b (mód m) y a b (mód n), entonces a b (mód mn); (6) Si ac bc (mód m), entonces a b (mód m); (7) Si a + c b + d (mód m), entonces a b (mód m) y c d (mód m); (8) Si ac bc (mód m), entonces a b (mód m); (9) Si ab 0 (mód m), entonces a 0 (mód m) o b 0 (mód m). 43. Encontrar el residuo de (1) 157 módulo 11; (2) 531 módulo 89; (3) 5 18 módulo 7; (4) módulo 7; (5) módulo 5; (6) módulo 3; (7) módulo 7; (8) 1! + 2! + 3! ! módulo 11; (9) 1! + 2! + 3! ! módulo 13; (10) 1! + 2! + 3! + + (10 10 )! módulo 24; (11) módulo Usando congruencias resuelva los ejercicios 8 y Demuestra, usando congruencias, que (a 2n + 1, a 2m + 1) = ) ; { 1 si a es par 2 si a es impar donde a, m, n son enteros positivos con m n. (Sugerencia: si d es un divisor común, a 2m 1 (mód d). Elevar esto a la potencia 2 n m, suponiendo m < n) 46. Sean a, b Z, y sea p un primo. Demuestre que (1) Si a 2 b 2 (mód p), entonces a b (mód p) o a b (mód p). (2) Si a 2 a (mód p), entonces a 0 (mód p) o a 1 (mód p). 47. Sea p un primo y k un número entero con 1 k p 1. Demuestre (1) ( p k ) 0 (mód p); 5

6 (2) ( ) p 1 k ( 1) k (mód p). 48. Sea p un primo. Demuestre (a + b) p a p + b p (mód p). 49. Sea p es un número primo impar. Demuestre que (1) (p 2) 2 ( 1) p+2 2 (mód p); (2) (p 1) 2 ( 1) p+2 2 (mód p). 50. Demostrar que si a b (mód n), entonces a 2 b 2 (mód n 2 ). Es cierto el resultado inverso? 51. Sean a y b dos enteros no divisibles por el número primo p. Demuestre que (1) Si a p b p (mód p), entonces a b (mód p). (2) Si a p b p (mód p), entonces a p b p (mód p 2 ). El anillo Z m 52. Construya la tabla de la suma y del producto para Z 2, Z 3, Z 4, Z 5 y Z Encuentre, si es posible, el inverso multiplicativo de (1) 7 en Z 13 ; (2) 7 en Z 11 ; (3) 2 en Z 6 ; (4) 53 en Z 111 ; (5) 41 en Z Usando las tablas de la suma y del producto en Z 6, encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones en Z 6. (1) x + 1 = 3; (2) 2x = 4; (3) 5x = 2; (4) 3x + 5 = 4. (5) x 2 = 0. Congruencias lineales y sistemas de congruencias 55. Diga si las siguientes ecuaciones tienen solución, y si sí tienen solución dé todas las soluciones incongruentes según el módulo: (1) 16x 9 (mód 35); (2) 20x 4 (mód 30); (3) 20x 30 (mód 4); (4) 200x (mód 441); (5) 4x x (mód 3); (6) 9x + 2 3x 2 (mód 4); (7) 3x x 4 (mód 20); (8) 362x 236 (mód 24). 56. Demuestre que para cualesquiera a, b Z, si p es primo y p a, entonces la congruencia ax b ( mód p) tiene solución y todas las soluciones son congruentes módulo p. 57. Construir congruencias lineales ax b (mód 20) con ninguna solución, con exactamente una solución incongruente y con más de una solución incongruente. 58. Un astrónomo sabe que un satélite orbita la Tierra en un período que es un múltiplo exacto de una hora y que es menor que un día. Si el astrónomo observa que el satélite completa 11 órbitas en un intervalo de tiempo que comienza cuando un reloj (de 24 horas) marca las 0 horas de un día dado y termina cuando el reloj marca las 17 horas de otro día. Cuánto dura el período de órbita del satélite? 6

7 59. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas de congruencias. { { x 4 (mód 6) x 10 (mód 60) (a) (b) x 13 (mód 15) x 80 (mód 350) { x 2 (mód 910) (c) x 93 (mód 1001) (e) (g) x 5 (mód 6) x 3 (mód 10) x 8 (mód 15) 3x 2 (mód 4) 4x 1 (mód 5) 6x 3 (mód 9) (d) (f) (h) 2x 0 (mód 3) 3x 2 (mód 5) 5x 4 (mód 7) x 2 (mód 9) x 8 (mód 15) x 10 (mód 25) 5x 3 (mód 7) 2x 4 (mód 8) 3x 6 (mód 9) 60. Halle cuatro enteros consecutivos que sean múltiplos de 5, 7, 9 y 11 respectivamente. 61. Diga qué hora indica en este momento un reloj de manecillas si: (1) dentro de 29 horas marcaría las 11 horas y (2) dentro de 100 horas marcaría las 2 y (3) hace 50 horas marcaba las Una banda de 17 ladrones roba un gran saco de billetes. Tratan de repartir los billetes equitativamente, pero sobran 3 billetes. Dos de los ladrones empiezan a pelear por el sobrante hasta que uno dispara al otro. El dinero se redistribuye, pero esta vez sobran 10 billetes. De nuevo empieza la pelea y otro ladrón resulta muerto. Cuando el dinero se redistribuye, no sobra nada. Cuál es la menor cantidad posible de billetes que los ladrones robaron? 7