2. Determine los números enteros n que satisfacen la relación planteada:

Transcripción

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2 1 1. Divisibilidad. 1. a) ( ) El producto de dos números naturales m y n aumenta en 132 si cada uno de ellos aumenta en 6. Determine todos los posibles valores de m y n, sabiendo además que n es múltiplo de m. b) Aumentando en 7 los dos factores de un producto se aumenta el producto en 364. Encuentre ambos factores sabiendo que su diferencia es Determine los números enteros n que satisfacen la relación planteada: a) n n + 1. b) n 1 n. c) ( ) n 2 n + 2. d) ( ) 3n 11 3n 1. e) n 3 n f ) ( ) n + 1 n g) n 1 n h) n 2 n Halle el mayor n N tal que n + 5 n Demuestre que los únicos divisores comunes que tienen 3n+2 y 5n+3 son +1 y 1, cualquiera sea el entero n. 5. Analice si las siguientes ecuaciones tiene alguna solución entera. Sugerencia: por lema de Gauss o por un análisis de la paridad. a) ( ) x x = 0 b) x 7 + x 5 + x 3 + x + 1 = 0 1 El alumno estudioso no debería dejar de practicar aquellos ejercicios marcados con una daga ( ). 1

3 6. Pruebe que los siguientes números son naturales: a) b) c) d) ( ) Resuelva en N: a) 3 ( ) ( n 4 = 5 n 1 ) 5. b) (18 2n) ( ) ( n 6 = n n 2 ). 8. ( ) Sea u n = (3 + 5) n + (3 5) n. a) Pruebe que ( n N)u n Z. b) Pruebe que ( n N)u n+1 = 6u n 4u n 1. c) Pruebe que ( n N)2 n u n. 4 d) Pruebe que el menor entero mayor que (3 + 5) n es divisible por 2 n. Sugerencia: 0 < (3 5) n < 1 9. Demuestre que las siguientes proposiciones son válidas ( n N). a) ( ) 3 4 n 1. b) 7 3 2n n+2. c) n n+1. d) (n!) 2 (2n)!. Además (2n)! (n!) 2 e) 24 n(n 2 1)(3n + 2). es un número par. 10. Pruebe que ( n N) el producto de n enteros consecutivos es divisible por n!. 11. Decimos que un punto del plano tiene coordenadas enteras si (x, y) Z 2. Dados cinco puntos distintos del plano con cooordenadas enteras, trazamos los segmentos que estos puntos determinan. Demuestre que al menos uno de los puntos medios de estos segmentos tiene coordenadas enteras. 2

4 2. División entera. 1. ( ) Indique para cuáles valores de n los siguientes enteros son pares. a) 5n b) (n 1)n c) n(n + 1) d) (n 1)(n + 1) e) (n 2 1)(n 2 + 1) f ) (n 2 2)(n 2 + 2) g) (n 2 1)(n 2 2) h) n 3 + n i) n 3 + n 2 + n + 1 j ) ( 1) n 5 + ( 1) n+1 7 k) (n + 1)(5n + 3) l) (3n + 1)(7n + 4) 2. Demuestre: a) La suma de dos números impares consecutivos es múltiplo de 4. b) La suma de tres números impares consecutivos es divisible por 3 pero no por 6. c) El producto de dos números pares consecutivos es divisible por Pruebe que para cualquier valor de n N se cumple que a) 2 n 4 n 2 + 2n + 4. b) 3 n c) 2 n 48 n n. 4. Pruebe las siguientes proposiciones. a) Todo primo impar tiene una de las formas 4m + 1 o 4m + 3, con m Z. b) Todo primo que no sea ±2, ±3 es de la forma 6m + 1 o 6m 1, con m Z. c) Todo primo de la forma 3k + 1 es de la forma 6m + 1, con k, m Z. d) ( ) Todo primo mayor que 5 es de la forma 30m+n, con m N 0 y n {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. 5. El resto de la división de un número por 4 es 3, y el resto de la división del mismo número por 9 es 5. Encontrar el resto de la división del mismo número por 36. (Se verá otra resolución de este ejercicio en el capítulo Sistemas de ecuaciones lineales de congruencia.) 3

5 6. Calcule el cociente y el resto de la división entera de b por a. a) b = 7, a = 3. b) b = 7, a = 3. c) b = 7, a = 3. d) b = 7, a = 3. e) b = 3, a = 7. f ) b = 3, a = 7. g) b = 3, a = 7. h) b = 3, a = ( ) Calcule el cociente y el resto de la división entera de b por a. a) b = n 2 1, a = n, para n N. b) b = n 2, a = n + 1, para n N. 8. Sea n un número impar tal que su resto en la división por 10 no es 3, ni 5 ni 7. Halle el resto de dividir n 2 por ( ) Para cuáles números n N la fracción 3n+4 5 es un número entero?. 10. Tenemos una lista de once números enteros consecutivos. Al dividir cada uno de ellos por 9 se obtienen tres cocientes diferentes. Cuáles son los restos de dividir por 9 cada uno de los números de la lista? 11. Dos números enteros m y n (m < n) difieren en 110. El resto de dividir m por 9 es mayor que el resto de dividir n por 9, y ninguno de los dos es múltiplo de 9. Cuáles son esos restos? 12. Halle n sabiendo que el cociente de dividir n por 29 es 5 y que el resto de dividir n + 10 por 29 es Sea a un número entero de la forma 60k 27. Determine el cociente y el resto de dividir a por 3, 4, 5, 10 y ( ) En cada uno de los siguientes casos, determine el mayor número natural n que satisface la condición requerida. a) El cociente de dividir n por 15 es el doble de su resto. b) El resto de dividir n por 18 es el doble de su cociente. 15. Sea un entero b tal que el resto de su división por 7 sea 4. Halle: a) El resto de dividir 2b 11 por 7. b) El resto de dividir 2b 2 5 por 14. 4

6 16. Sean a N, b Z. Conociendo el cociente y el resto de b dividido a, halle el cociente y el resto de a b dividido a. 17. ( ) Dados los enteros a, b, c, d, pruebe que 12 (a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d) 5

7 3. Operaciones con restos. 1. El resto de la división del número entero a por 11 es 7. Calcule el resto de la división por 11 de los siguientes números. a) a + 74 b) a c) 51 a d) 97a e) a 22 f ) a + 3a 2 g) a 3 + a 2 + a + 1 h) 10a a a 19 72a 18 i) 7(a + 1) 17 j ) 7(a 1) 17 Este ejercicio vuelve a aparecer en el capítulo Congruencias. 2. ( ) Pruebe que un número no puede ser simultáneamente múltiplo de 12 aumentado en 5 y múltiplo de 15 aumentado en Dados m Z, m 0, halle los restos posibles de m 2 y m 3 en la división por 3, 4, 5, 7, 8 y Sean a y b enteros, b 0. Si a b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y resto 7, halle a y b. 5. Halle, para cada n N, el resto de la división de n k=1 ( 1)k k!, por Pruebe que: a) ( ) La suma de los cuadrados de tres números no divisibles por 3 es un múltiplo de 3. b) ( ) La diferencia de cuadrados de dos números no divisibles por 3 es un múltiplo de 3. 6

8 4. Máximo común divisor. 1. Halle el MCD de a y b y expréselo como CLE de ambos números. a) ( ) a = 2001, b = 368. b) a = 84, b = ( ) El MCD de 84 y un cierto número natural n es 14. Cuál puede ser el resto de dividir n por 84? 3. Calcule los siguientes máximos comunes divisores. a) (120 : 84). b) (1159 : 665). c) (n : n + 1) donde n es un número natural impar. d) ( )(10 n 1 : 495) 4. Demuestre las siguientes proposiciones, para n N. { a) (n 2 2 si 2 n + 1 : n 1) = 1 si 2 n b) (n 2 n : 2(n + 1)) {2, 4}. 5. Pruebe ( n N): a) ( ) (2 n + 3 n : 2 n n+1 ) = 1 b) (2 n + 5 n : 2 n 5 n ) = 1 c) (9 n 5 n+1 : 9 n n ) {2, 46} d) (2 n + 5 n+1 : 2 n n ) {3, 9} e) (3 n + 5 n+1 : 3 n n ) {2, 14} 6. Demuestre que (a : b) = 1 (a b : a + b) = { 1 si a y b tienen diferente paridad 2 si a y b son ambos impares 7

9 5. Coprimalidad. 1. Demuestre que si a 1 b 1 a 2 b 2 = ±1 entonces no se puede realizar ninguna cancelación en la fracción a 1 + a 2 b 1 + b 2 2. Demuestre que la fracción 15n n + 3 es irreducible, cualquiera sea el número natural n. 3. Sean a, b, c, d N, tales que a b, c d y b d. Pruebe que a b + c d Z 4. Sean a y b enteros positivos coprimos. Calcule los posibles valores de los siguientes MCD. a) ( ) (3a b : 2a + b). b) (2a 5b : 4a + 3b). 5. ( ) Pruebe que no existe ningún polinomio f(t) con coeficientes enteros tal que f(1) = 2 y f(3) = Sea f(t) un polinomio con coeficientes enteros tal que 3 f(0), f(1), f(2). Pruebe que ( t 0 Z)f(t 0 ) 0. 8

10 6. Mínimo común múltiplo. 1. Halle todos los números naturales a y b tales que (a : b) = 225 y [a : b] = Este ejercicio vuelve a aparecer en el capítulo Descomposición primaria. 2. Encuentre los números naturales que satisfacen cada una de las siguientes igualdades. a) ( ) [n : 84] = 30(a : 84) b) [n : 42] = 30(a : 84) 9

11 7. Ecuación diofántica lineal. 1. Resuelva la ecuación diofántica 2. Resuelva en Z 2. 5x + 22y = x y = Cuántos números naturales menores que son múltiplos de 7 y tienen a 26 como sus últimas dos cifras? 4. Analice para cuáles valores de n N las siguientes ecuaciones tienen solución en Z 2. a) 15x 4y = n b) 15x + 5y = n c) ( ) 12x 5y = 3n d) 12x + 15y = 3n e) 12x + 15y = 20n f ) ( ) 12x + ny = 1 g) 5x + 3ny = 3 h) 5n 2 x + 3ny = 1 i) 5n 2 x + 3ny = 2n j ) 5(n 2 + 1)x + 3ny = 2 5. Analice cuál es el mayor valor de n N para el cual la ecuación 9x + 14y = n tiene solucion única en N Escriba el número como suma de dos enteros, uno de ellos divisible por 1183 y el otro divisible por Analice, si hay solución, su unicidad. 7. Cuántos números enteros entre 1 y 1000 inclusive pueden descomponerse en suma de un múltiplo positivo de 7 más un múltiplo positivo de 4? 8. Escriba, si existe, el coeficiente del término x 11 en el desarrollo de (5x 3 + 6x 2 ) Escriba, si existe, el coeficiente del término x 11 en el desarrollo de ( 5x ) 17 x 2 (11x 4 + 2x )

12 8. Primos. 1. Pruebe que 2, 3, 5 son números primos. 2. Pruebe que si n > 1, ninguno de los siguientes números son primos. a) n 4 + n Sugerencia: (a 2 + a + 1)(a 2 a + 1) = a 4 + a Intente llegar a esta factorización resolviendo la ecuación bicuadrada z 4 + z = 0 en C. b) ( ) n c) n Halle todos los primos p de modo que 2p 1 y 2p + 1 también sean primos. 4. ( ) Pruebe que si p es primo y 0 < a < p, entonces p ( p a). 5. ( ) Sea el polinomio de coeficientes enteros x 2 + ax + p, con p P. Cuáles son los posibles valores de a para que las raíces del polinomio sean enteras? 6. Se quiere construir una tabla que contenga todos los primos menores que 10 6, utilizando el algoritmo de la criba de Eratóstenes. Con cuántos primos hay que probar la divisibilidad? 7. Halle todos los primos que tengan las siguientes formas, para n N: a) n 3 1 b) n

13 9. Congruencias. 1. El resto de la división del número entero a por 11 es 7. Calcule el resto de la división por 11 de los siguientes números. a) a + 74 b) a c) 51 a d) 97a e) a 22 f ) a + 3a 2 g) a 3 + a 2 + a + 1 h) 10a a a 19 72a 18 i) 7(a + 1) 17 j ) 7(a 1) 17 Este ejercicio se ha resuelto en el capítulo Operaciones con restos. 2. Teniendo en cuenta que = = 641, demuestre que (mód 641). 3. Pruebe, para a, b, c Z: a) 2 a 8 a 2 1 b) 2 a 16 a 4 1 c) ( ) 5 a 2 + b a 5 b d) a 2 + b 2 3, 6, 7 (mód 8) e) a 2 + b 2 + c 2 7 (mód 8). O también 8 a 2 + b 2 + c O también que ningún entero de la forma 8k + 7 es la suma de los cuadrados de tres enteros. 4. Pruebe que 3 2 n 1 2 n. 5. a) Si a 39 (mód 15), calcule el resto de la división de a por 3, 5, y 15. b) Si a 62 (mód 12), calcule el resto de la división de a por 2, 3, 4, 6 y 12. c) Si a 39 (mód 15), calcule el resto de la división de a 3 + a 2 + a + 1 por Sea f(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 un polinomio con coeficientes enteros. Demuestre que si para d enteros consecutivos x 1, x 2,, x d se tiene que sus valores a través de f son todos divisibles por d, i.e. d f(x i ) con i = 1, 2,, d entonces ( x Z)d f(x). 7. Demuestre que no hay ningún cuadrado cuya expresión decimal termine en Encuentre todos los m naturales tales que (mód m). 12

14 9. Sea = b 2 4ac el discriminante de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Demuestre que 0 o 1 (mód 4). 10. Demuestre que si (x : 6) = 1 entonces x 2 1 (mód 24). 11. Demuestre que si p es un primo mayor que 2, entonces (p 1) 0 (mód p) Es válida la expresión para algún p compuesto? 12. Considere la sucesión de Fibonacci F 1 = 1 F n = F 2 = 1 F n = F n 1 + F n 2 si n > 2 a) Qué términos de la sucesión de Fibonacci son múltiplos de 7? Y de 14? b) Determine el último dígito de F a) Demuestre que, dados 5 números naturales, siempre existen 3 de ellos cuya suma es divisible por 3. Qué ocurre si son 4 los números naturales? b) Demuestre que, dados 17 números naturales, siempre existen 5 de ellos cuya suma es divisible por 5. c) Demuestre que, dados 2001 números naturales, siempre existe un subconjunto de ellos cuya suma es divisible por ( ) Pruebe que para ningún n N el número 3 n n es un cuadrado perfecto. 15. ( ) Demuestre que si p es un primo positivo y si a y b son enteros, entonces (a + b) p a p + b p (mód p) llamada por Fraleigh la exponenciación estudiantil. Este ejercicio vuelve a aparecer en el capítulo Teoremas de la aritmética modular. Sugerencia: Recuerde el siguiente ejercicio, que aparece repetido en los capítulos Primos y Coprimalidad: Pruebe que si p es primo y 0 < a < p, entonces p ( p a). 16. Halle todos los primos p tales que p + 4 es primo y p + 8 es primo. Este ejercicio ya apareció en el capítulo División entera con otra resolución. 13

15 10. Ecuación lineal en congruencia. 1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales de congruencia a) 2x 21 (mód 8). b) 2x 12 (mód 7). c) 3x 15 (mód 4). d) 10x 15 (mód 35). e) 25x 15 (mód 29). f ) 36x 18 (mód 102). 2. Analice la existencia y cantidad de soluciones en Z m de la ecuación ax b (mód m), y resuélvala. a) 5x 7 (mód 11) b) 5x 5 (mód 11) c) ( ) 5x 5 (mód 10) d) 4x 6 (mód 10) e) ( ) 9x 6 (mód 10) f ) 9x 6 (mód 5) g) 5x 6 (mód 10) h) 8x 6 (mód 10) 3. Resuelva en Z m la ecuación ax b (mód m). a) x (mód ) b) x (mód ) c) x (mód ) 4. Resuelva los siguientes sistemas de dos incógnitas en Z m Z m. a) En Z 7 Z 7. { x + 3y 2 (mód 7) 2x + y 3 (mód 7) b) En Z 10 Z 10. { x + 2y 3 (mód 10) 3x + y 2 (mód 10) c) En Z 10 Z 10. { x + 2y 3 (mód 10) 3x + y 2 (mód 10) 14

16 d) En Z 19 Z 19. { 3x + 7y 5 (mód 19) 17x + 18y 13 (mód 19) 15

17 11. Sistemas de ecuaciones lineales en congruencia. 1. ( ) Resolver en Z m, donde m = i m i 3x 1 (mód 2) a) ( ) x 3 (mód 5) 2x 3 (mód 7) x 4 (mód 6) b) 3x 1 (mód 5) x 3 (mód 8) { x 4 (mód 6) c) x 2 (mód 8) 2. ( ) El resto de la división de un número por 4 es 3, y el resto de la división del mismo número por 9 es 5. Encontrar el resto de la división del mismo número por 36. Este ejercicio ya se ha resuelto en el capítulo Division entera. 3. Calcule el resto de dividir por a el número b. a) ( ) b = , a = 21 b) b = , a = 99 Se volverá a resolver este ejercicio en el capítulo Teoremas de la aritmética modular. 4. Este problema está mencionado por Oystein Ore, quien lo ha recogido de la obra de Brahmagupta (matemático indio, quien vivó entre +598 y 670) intitulada Brahma-Sphuta- Siddhanta (El sistema revisado de Brahma). Una anciana va en carro al mercado y en el viaje un caballo golpea su canasta, quebrando todos los huevos que llevaba consigo. El conductor del carro ofrece pagarle los daños y le pregunta cuántos huevos llevaba en la canasta. La anciana no recuerda la cantidad exacta, pero sí recuerda que cuando los estaba guardando de a dos, sobraba uno. Lo mismo ocurrió cuando ella los tomaba de a tres, de a cuatro, de a cinco y de a seis por vez, siempre sobraba uno. Pero cuando los separó de a siete no sobró ninguno. Cuál es la mínima cantidad de huevos que pudo haber llevado en su canasta? 5. a) Halle cuatro enteros consecutivos que sean divisibles, respectivamente, por 7, 9, 11 y 13. b) Halle cuatro números impares consecutivos que sean divisibles, respectivamente, por 7, 9, 11 y Un mago adivina el día y el mes del cumpleaños de una persona con sólo conocer el resultado de calcular 12d + 31m (donde d es el día y m el número de mes). Una persona del público le dice que el resultado del cálculo anterior es el número 435. Qué día cumple años? 16

18 12. Teoremas de la aritmética modular. 1. Analice si existe el inverso multiplicativo de a en el anillo (Z m, +, ). a) a = 2, m = 5 b) a = 3, m = 4 c) ( ) a = 2, m = 4 d) a = 12, m = 17 e) a = 55, m = 101 f ) a = 55, m = 102 g) ( ) a = 51, m = 102 h) a = 71, m = i) ( ) a = 7 3, m = j ) a = , m = Calcule los valores que se indican. a) ϕ(77) b) ϕ(18000) c) ϕ(10!) d) ( ) ϕ(340200) 3. Halle el resto de 15! en la división por ( ) Halle el resto de 2 26! en la división por Calcule el resto de dividir por a el número b. a) ( ) b = , a = 21 b) b = , a = 99 Este ejercicio fue resuelto en el capítulo Sistemas de ecuaciones lineales en congruencias. 6. Calcule el resto de b en la división por a. Resuélvalo utilizando si es posible el Pequeño teorema de Fermat y el Teorema de Fermat-Euler (ambos). a) b = 7 10, a = 11. b) b = 7 12, a = 11. c) b = , a = 11. d) b = , a = 11. e) ( ) b = , a = 165. f ) b = , a = 7. g) b = , a =

19 5. Cuáles son las 3 últimas cifras del desarrollo decimal de ? 6. a) Pruebe que ( n N)2 5n 1 (mód 31) b) Halle el resto de la división de por 31. c) Sea k N. Sabiendo que 2 k 39 (mód 31), halle el resto de la división de k por 5. 18