Relaciones de orden. Definición 1. Llamamos conjunto ordenado a un par (E, ) donde E es un conjunto y es un orden definido en E

Transcripción

1 Relaciones de orden Diremos que una relación R es de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Generalmente usaremos la notación en lugar de R para expresar relaciones de orden. Definición 1. Llamamos conjunto ordenado a un par (E, ) donde E es un conjunto y es un orden definido en E Orden total o lineal Un conjunto ordenado (E, ) se dice que es totalmente ordenado o linealmente ordenado si cumple la propiedad conexa, es decir si para cada par de elementos a, b E se tiene o bien a b o bien b a. Un conjunto ordenado que no es totalmente ordenado se dice que es parcialmente ordenado. I. Fortes, J. Medina. Dpto. Matemática Aplicada 1

2 Ejemplo 1. (R, ), siendo la relación ser menor o igual habitual. Es totalmente ordenado. (Z +, ) siendo la relación ser divisor de definida sobre los enteros positivos. Es parcialmente ordenado. (P(A), ) siendo la relación estar incluido definida sobre los subconjuntos de A. Es parcialmente ordenado. I. Fortes, J. Medina. Dpto. Matemática Aplicada 2

3 Diagramas de Hasse Si E es finito, se puede representar un grafo, poniendo los elementos posteriores a otros, en escalones superiores unidos por una sucesión ascendente de arcos Ejemplo 2. Dado (A, ), donde A = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 15, 16, 20, 30} su diagrama de Hasse se puede representar I. Fortes, J. Medina. Dpto. Matemática Aplicada 3

4 Teoría de números. Divisibilidad Teorema 1. Sean a, b Z, con b > 0. Entonces existen q, r Z tales que a = bq + r donde 0 r < b. Definición 2. Dados a, b Z, con b > 0, se llama división entera de a entre b a la operación que consiste en encontrar b y r asegurados por el teorema anterior. a dividendo, b divisor, q cociente y r resto. Observación: El cociente y el resto de una división entera son únicos. Consecuencia: Representación en base t de un número entero. Aplicando repetidamente el teorema anterior, se puede obtener que todo número entero x se puede expresar de la forma: x = r n t n + r n 1 t n r 1 t + r 0 I. Fortes, J. Medina. Dpto. Matemática Aplicada 4

5 Según lo anterior hemos representado x en base t de la forma x = (r n, r n 1,..., r 1, r 0 ) t Ejemplo 3. El número 109, se representa en base 2 como Definición 3. Dados x, y Z, se dice que y es un divisor de x, y lo escribimos y x, si x = yq para algún q Z. También se dice que y divide a x, que y es un factor de x, que x es divisible por y, o que x es un múltiplo de y. Ejemplo 4. Demostrar que x 0, para todo x Z, pero que 0 x sólo si x = 0. Demostrar que si c a y c b, entonces c xa + yb, para todo x, y Z. Demostrar que si a, b Z tales que ab = 1, entonces a = b = 1 ó a = b = 1 (Indicación: o bien a y b son positivos, o bien son negativos). Deducir que si x e y son enteros tales que x y e y x, entonces x = y ó x = y. I. Fortes, J. Medina. Dpto. Matemática Aplicada 5

6 Algoritmo de Euclides Definición 4. Dados a, b Z, donde al menos uno es distinto de cero, decimos que el entero d es un máximo común divisor (mcd) de a y b si cumple las dos condiciones siguientes: d a y d b si c a y c b, entonces c d. Si d > 0 entonces el m.c.d. de a y b es único. Teorema 2. Sean a, b Z +, tales que a = bq + r. Entonces mcd(a, b) = mcd(b, r) Este teorema anterior, aplicado reiteradas veces, proporciona un método para calcular el m.c.d. de dos números, conocido por el nombre de Algoritmo de Euclides. Ejemplo 5. Hallar el m.c.d. de 2406 y 654. I. Fortes, J. Medina. Dpto. Matemática Aplicada 6

7 El algoritmo de Euclides tiene importantes consecuencias teóricas, resumidas en el siguiente teorema: Teorema 3. Dados a, b Z donde al menos uno es distinto de cero, tales que d = mcd(a, b). Entonces existen m y n enteros tales que d = ma + nb. Definición 5. se cumple que Dos enteros a y b se dice que son primos entre sí cuando mcd(a, b) = 1 Corolario 1. Sean a, b Z con b 0. a y b son primos entre sí si y sólo si existen m y n enteros tales que 1 = ma + nb (Igualdad de Bézout). Ejemplo 6. Hallar el mcd de 721 y 448 y expresarlo de la forma 721m + 448n con m y n enteros. I. Fortes, J. Medina. Dpto. Matemática Aplicada 7

8 Ecuaciones Diofánticas Sean a, b, c Z +. La ecuación ax + by = c tendrá soluciones enteras x, y Z si mcd(a, b) = d divide a c (d c). Ejemplo 7. Hallar todos los enteros x e y tales que 966x + 686y = 70 Nota: Sean a y b enteros positivos. Se define el mínimo común múltiplo de a y b como el entero j = ab/mcd(a, b). I. Fortes, J. Medina. Dpto. Matemática Aplicada 8

9 Números Primos Definición 6. Se dice que un entero positivo p es primo si p 2 y los únicos enteros positivos que dividen a p son 1 y el propio p. Teorema 4. Sea p primo, y x 1, x 2,..., x n enteros tales que p x 1 x 2... x n. Entonces p x i para algún x i con 1 i n. Obsérvese que m 2 no es primo si, y sólo si, puede escribirse como m = m 1 m 2, donde m 1 y m 2 son enteros comprendidos estrictamente entre 1 y m. Teorema 5. Sea a un número entero mayor o igual que 2. Entonces a puede escribirse como producto de números primos. Teorema 6. [Fundamental de la aritmética] Sea n 2 entero. Entonces n se puede escribir como producto de números primos de forma única salvo el orden de los factores. I. Fortes, J. Medina. Dpto. Matemática Aplicada 9

10 Descomposición en factores primos Cualquier número entero n 2 se puede escribir como producto de potencias de primos, de la forma: n = p e 1 1 pe pe r r. Y esta expresión es única salvo el orden de los factores. Ejemplo 8. Demostrar que si p y p son primos y p p, entonces p = p. Si n 2 no es primo, entonces existe un primo p n y tal que p 2 n. Utilizar esto para deducir que 467 es primo. I. Fortes, J. Medina. Dpto. Matemática Aplicada 10