Capítulo IV. Divisibilidad y Primalidad. Algoritmo de la División

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1 Capítulo IV Divisibilidad y Primalidad IV.1. Algoritmo de la División (Aquí se enuncia con la posibilidad de divisor negativo y la prueba incluye el caso de dividendo negativo.) Teorema 1 Dados m, d Z, d 0, existen q, r Z únicos tal que 0 r < d y m = qd + r. Prueba. Unicidad: Supongamos que m = qd + r y m = q d + r. Entonces qd + r = q d + r. Si qd = q d entonces q = q y r = r. En caso contrario, q q y por tricotomía tenemos que qd > q d o qd < q d. En estos casos obtenemos respectivamente que r = r + qd q d = r + (q q )d 0 + d = d y r = r + q d qd = r + (q q)d 0 + d = d, lo que está en contradicción con 0 r, r < d. Entonces concluímos que q = q y r = r. Existencia: Es suficiente considerar d > 0 porque si d < 0 entonces podemos aplicar la existencia para el caso positivo a d y de esta forma obtenemos que existe q, r tal que 0 r < d y m = q d + r. Pero entonces m = ( q )( d ) + r = qd + r con q = q. Primero probamos para m 0 por inducción sobre m. Para 0 m < d se tiene m = 0 d + m = qd + r con q = 0 y r = m. Para m d sea m = m d. Aplicando la hipótesis de inducción a m y d se tiene que existen q y r con m = q d + r. Entoces m = m + d = (q + 1)d + r = qd + r con q = q + 1 y r = r. Ahora probamos para m < 0 por inducción sobre m (recuerde que estamos considerando d > 0). Para m con d m < 0 se tiene que m = qm + r con 1

2 2 CAPÍTULO IV. DIVISIBILIDAD Y PRIMALIDAD q = 1 y r = m + d. De d m < 0 se deduce que 0 m + d < d y por lo tanto 0 r < d. Para m < d, consideremos m = m + d. Se tiene que m < 0 y m = m + d < m porque m + d = m d < m = m, y por lo tanto podemos la hipótesis de inducción para concluir que m = q d + r con 0 r < d. Entonces m = m d = (q 1)d + r = qd + r con q = q 1 y r = r IV.2. Divisibilidad Definición. Para a, b Z, se dice que a divide b, denotado a b, si existe q Z tal que b = qa. Si a no divide b se escribe a b. Las siguientes propiedades se deducen fácilmente de la definición (ver [DB] ó [JS]) Proposición 2 Sean a, b, c, d Z, (i) a 0, 1 a, a a (ii) si a b y b 0 entonces a b (iii) a b y b a si y sólo si a = ±b, (iv) a 1 si y sólo si a = ±1 (v) si a b y b c entonces a c (vi) si a b y c d entonces ac bd (vii) si d a y d b entonces d xa + yb para todo x, y Z. IV.3. Máximo Común Divisor El conjunto de divisores comunes de dos enteros a, b no es vacío porque contiene 1 (proposición 2 (i)) y es finito si al menos uno de los enteros a, b no es cero (proposición 2 (ii)). Definición. Sean a, b Z, al menos uno distinto de cero. El máximo común divisor de a, b Z, denotado mcd(a, b), es el entero positivo d que satisface (i) d a y d b, y (ii) si c N satisface c a y c b, entonces c d. Es decir, mcd(a, b) es el máximo de los divisores comunes de a y b.

3 IV.3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR 3 Una caracterización importante del mcd es la identidad de Bezout. Para esto, dados a, b Z se define el conjunto de combinaciones lineales enteras de a y b: I(a, b) = {am + bn : m, n Z} y el subconjunto de las combinaciones positivas I + (a, b) = {am + bn : m, n Z, am + bn > 0} Teorema 3 Sean a, b Z, al menos uno distinto de cero, entonces mcd(a, b) = mín I + (a, b). En particular, existen enteros s, t tal que mcd(a, b) = as + bt. Prueba. El conjunto I + (a, b) no es vacío (si a 0, I + contiene a = as donde s = 1 si a > 0 y s = 1 si a < 0). Por lo tanto, por el principio del buen orden, existe d = mín I + (a, b). Además existen s, t Z tal que d = as + bt. Usando el algoritmo de la división podemos escribir a = qd + r, b = q d + r donde q, q, r, r Z con 0 r, r < d. Pero, despejando se obtiene que r = a qd = a q(as + bt) = a(1 qs) + b( qt), r = b q d = b q (as + bt) = a( q s) + b(1 q t) están en I(a, b). Puesto que 0 r, r < d, por la minimalidad de d se deduce entonces que r = r = 0. Por lo tanto, a = qd y b = q d, es decir, d a y d b. Pero por proposición 2 (vii,ii) se tiene que si c a y c b entonces c d y entonces c d. Es decir d = mcd(a, b). En esta prueba se observa que la definición original de mcd es equivalente a la siguiente, la cual sólo usa divisibilidad, en contraste con el uso del orden en la definición original. Definición. (Alternativa) Sean a, b Z, al menos uno distinto de cero. El máximo común divisor de a, b Z, denotado mcd(a, b), es el entero positivo d que satisface (i ) d a y d b, y

4 4 CAPÍTULO IV. DIVISIBILIDAD Y PRIMALIDAD (ii ) si c N satisface c a y c b, entonces c d. Veamos la equivalencia: por una parte, si (i ) y (ii ) se satisfacen entonces (i) y (ii) se satisfacen porque c d implica c d; y por otra si (i) y (ii) se satisfacen entonces (i ) y (ii ) se satisfacen porque d = mín I + (a, b) y por lo tanto c d. Corolario 4 Sean a, b, c, d Z. (i) sea d = mcd(a, b) y dz = {nd : n Z}, entonces I(a, b) = dz (ii) mcd(a, b) = 1 si y sólo si existen s, t Z tal que as + bt = 1 (iii) si d = mcd(a, b) entonces mcd(a/d, b/d) = 1 (iv) si mcd(a, b) = 1 y a c, b c entonces ab c (v) si mcd(a, b) = mcd(a, c) = 1 entonces mcd(a, bc) = 1 (vi) si a bc y mcd(a, b) = 1 entonces a c (lema de Euclides) Prueba. (i) Por el teorema existen s, t Z tal que d = as + bt. Entonces dn = a(sn) + b(tn) y entonces dz I(a, b). Por otra parte, puesto que d a y d b, se tiene que existen u, v Z tal que a = du y b = dv y entonces para todo x, y Z, ax + by = dux + dvy = d(ux + vy) = dn donde n = ux + vy Z; por lo tanto I(a, b) dz. (ii) ( ) El teorema garantiza la existencia de s, t Z. ( ) Puesto que existen s, t Z tal que as + bt = 1, entonces mín I + (a, b) = 1 y d = I + (a, b) por el teorema. (iii) si d = mcd(a, b) entonces existen s, t Z tal que as+bt = d; dividiendo por d se obtiene (a/d)s + (b/d)t = 1 y por la parte anterior se deduce que mcd(a/d, b/d) = 1 (iv) si mcd(a, b) = 1 entonces existen s, t Z tal que as + bt = 1; si a c, b c entonces existen q, q Z tal que c = aq, c = bq. Entonces Por lo tanto ab c. c = c(as + bt) = cas + cbt = (bq )as + (aq)bt = ab(q s + qt).

5 IV.4. ALGORITMO DE EUCLIDES 5 (v) si mcd(a, b) = mcd(a, c) = 1 entonces existen s, t, u, vız tal que as + bt = au + cv = 1. Multiplicando estas ecuaciones, se tiene que 1 = 1 1 y por lo tanto mcd(a, bc) = 1 = (as + bt)(au + cv) = a(sau + scv + btu) + bc(tv) (vi) a bc implica que existe q Z tal que bc = aq, y mcd(a, b) = 1 implica que existen s, t Z tal que as + bt = 1, entonces es decir, a c. c = 1 c = (as + bt)c = asc + aqt = a(sc + qt); IV.4. Algoritmo de Euclides Lema 5 Sean a, b enteros con a 0 y b > 0. Entonces mcd(a, b) = mcd(b, a mód b) Prueba. La afirmación del teorema se deriva del hecho de que el conjunto de divisores comúnes de a y b es igual al conjunto de divisores comúnes de b y a mód b. Por lo tanto, los máximos de esos conjuntos deben ser los mismos. Verifiquemos que los dos conjuntos son los mismos: ) Sea d un divisor de a y b. Puesto que a = (a div b) b + (a mód b) ( ) entonces a mód b = a (a div b) b. Como d divide a y d divide b se deduce entonces que d divide a (a div b) b, y por lo tanto a a mód b. Es decir d divide b y divide a mód b. ) Sea d un divisor de b y a mód b. Similarmente a la anterior dirección, puesto que d divide b y a mód b y se satisface ( ), se concluye que d divide a. Por lo tanto, d divide a y divide b.

6 6 CAPÍTULO IV. DIVISIBILIDAD Y PRIMALIDAD Este lema lleva a formular el siguiente algoritmo recursivo para a, b 0, no ambos cero: { a si b = 0 E(a, b) = E(b, a mód b) si b 0 Podemos asumir que a b, porque de lo contrario E(b, a mód b) simplemente intercambia los argumentos (de tal manera que la condición se satisface). Con esto, podemos probar por inducción sobre b que E(a, b) = mcd(a, b). Prueba. Para el caso base b = 0, E(a, 0) = a y mcd(a, 0) = a (recuerde que ambos no pueden ser cero). Para el paso inductivo, sea b > 0, entonces E(a, b) = E(b, a mód b) primer caso del algoritmo = mcd(b, a mód b) por hipótesis de inducción ya que a mód b < b = mcd(a, b) por el lema anterior Este resultado se puede usar para calcular el mcd de dos enteros recursivamente. Ejemplo. E(950796, 82320) = E(82320, 45276) = E(45276, 37044) = = E(37044, 8232) = E(8232, 4116) = E(4116, 0) = 4016 Es interesante saber que tantas evaluaciones recursivas pueden ser necesarias al evaluar E(a, b). En este sentido, tenemos lo siguiente. Aquí, lo que llamamos evaluación recursiva es el caso b 0 en el algoritmo. Proposición 6 Sean F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1, F 3 = 2,... los números de Fibonacci. Entonces, para k 2, la evaluación de E(F k+1, F k ) realiza exactamente k 1 evaluaciones recursivas. Prueba. Por inducción sobre k. Para k = 2, F 3 = 2 y F 2 = 1, y E(2, 1) realiza una evaluación recursiva (porque E(2, 1) = E(1, 0) y no se realizan más evaluaciones recursivas). Para k > 2 pero E(F k+1, F k ) = E(F k, F k+1 mód F k ) F k+1 mód F k = F k 1 y por lo tanto la evaluación de E() en la derecha realiza k 2 evaluaciones recursivas por hipótesis de inducción. Entonces la evaluación de E(F k+1, F k ) realiza (k 2) + 1 = k 1 evaluaciones recursivas.

7 IV.4. ALGORITMO DE EUCLIDES 7 Se enuncia sin prueba también el teorema de Lamé, el cual da más información sobre el número de evaluaciones recursivas que realiza E(a, b) en general. (Se hizo en clase, pero lo pueden ignorar.) Teorema 7 (Teorema de Lamé) Para todo k 1, si a > b 1 y b < F k+1 entonces E(a, b) realiza menos de k evaluaciones recursivas. Descripción Iterativa del Algoritmo (Esto no se hizo en clase, pero si han mirado [DB] y [JS], ellos presentan la versión iterativa, más no la recursiva, por eso la incluyo acá, de tal manera que se vea que son lo mismo.) La descripción arriba del algoritmo de Euclides es recursiva. Con frecuencia, se da más bien una descripción iterativa: Consideramos a, b N con a b y escribimos n 0 = a, n 1 = b. Para k > 1, dados n k 1, n k 2 con n k 1 < n k 2 y n k 1 0, obtenemos n k usando el algoritmo de la división aplicado a n k 1, n k 2 : n k 2 = q k n k 1 + n k con 0 n k < n k 1 ( ) Este iteración debe terminar, o de lo contrario obtendríamos una secuencia infinita n 1, n 2, n 3,... con cada n k N y n k+1 < n k, lo cual sería una contradicción. Entonces sea l tal que n l 0 y n l+1 = 0, y n l 1 = q l+1 n l ( ) De la discusión para la versión recursiva del algoritmo de Euclides, sabemos ya que n l = mcd(a, b). Sin embargo, damos a continuación una prueba independiente. Proposición 8 El número n l satisface (i) n l a, n l b, y (ii) n l I(a, b), y por lo tanto n l = mcd(a, b). Prueba. (i) Primero, de ( ), claramente n l n l y n l n l 1. Además, la relación n k 2 = q k n k 1 + n k

8 8 CAPÍTULO IV. DIVISIBILIDAD Y PRIMALIDAD implica que si n l n k y n l n k 1 entonces n l n k 2. Se deduce entonces que (con una inducción hacia atrás ) n l n 1 = b y n l n 0 = a. (ii) Como caso base, n 0, n 1 I(a, b). Para k > 1, la relación ( ) escrita como n k = n k 2 q k n k 1 implica que si se tiene que n k 2, n k 1 I(a, b), entonces n k I(a, b). Se deduce que n l I(a, b). Sea d = mcd(a, b). Entonces n l a, n l b implica que n l d. Finalmente, puesto que n l I(a, b), n l d y I(a, b) = dz, se deduce que n l = d. IV.4.1. Algoritmo de Euclides Extendido El algoritmo anterior puede ser extendido para evaluar los coeficientes enteros para el mcd garantizados por la identidad de Bezout. De hecho, esto resulta en un argumento independiente de que existen enteros s, t tal que mcd(a, b) = sa + tb. Prueba. Asumimos a b y probamos por inducción fuerte sobre b: Caso base b = 0: Entonces mcd(a, b) = 0 a + 1 b. Paso de inducción b > 0: Por el lema anterior mcd(a, b) = mcd(b, a mód b). Sea d = mcd(b, a mód b). Entonces d a mód b < b y por lo tanto aplica la hipótesis de inducción: Existen enteros s y t tal que d = s b + t (a mód b) Pero por definición, existe un entero q tal que a = qb + a mód b. Reemplazando esto en la ecuación anterior se obtiene que d = s b + t (a qb) = t a + (s qt) b.

9 IV.5. ECUACIONES DIOFANTINAS LINEALES 9 Con s = t t = s qt se tiene mcd(a, b) = d = s a + t b lo que se quería verificar. La prueba anterior muestra como se pueden determinar s y t por medio de una modificación del algoritmo de Euclides. Para la versión recursiva, puesto que dados a, b se evaluan tres valores, mcd(a, b), s, t, entonces definimos una función como ^E(a, b) = ^E : N 2 N 3, donde N 2 = {(a, b) N 2 : a b, (a, b) (0, 0)} { (a, 1, 0) si b = 0 (d, t, s t(a div b)) donde (d, s, t) = ^E(b, a mód b) si b > 0 donde a div b es el cociente entero. (Omitimos la versión iterativa.) IV.5. Ecuaciones Diofantinas Lineales Para a, b, c Z, con al menos uno de a, b distinto de 0, la ecuación ax + by = c ( ) para la cual se buscan soluciones (x, y) Z 2, se llama una ecuación diofantina lineal. Teorema 9 La ecuación diofantina lienal ( ) tiene solución si y sólo si d c donde d = mcd(a, b). Además, si (x 0, y 0 ) es una solución entonces el conjunto de todas las soluciones es T = {(x 0 + t(b/d), y 0 t(a/d)) : t Z}. Prueba. Primero la caracterización sii. ( ) Sea (x 0, y 0 ) una solución de ( ), y sean q, q Z tal que a = qd, b = q d. Entonces c = ax 0 + by 0 = qdx 0 + q dy 0 = d(qx 0 + q y 0 )

10 10 CAPÍTULO IV. DIVISIBILIDAD Y PRIMALIDAD y por lo tanto d c. ( ) Si d c sea q tal que c = qd. Por la identidad de Bezout existen x, y Z tal que ax + by = d; multiplicando por q se obtiene que c = qd = q(ax + by ) = a(qx ) + (qy ); esto es, (qx, qy ) es una solución de ( ). Ahora la segunda parte. Sea(x 0, y 0 ) una solución de ( ) y sea S el conjunto de todas las soluciones. Queremos probar que S = T: ( ) Sea (x 1, y 1 ) otra solución de ( ). Entonces ax 0 + by 0 = ax 1 + by 1. De aquí que, dividiendo por d y moviendo términos, a d (x 1 x 0 ) = b d (y 0 y 1 ). ( ) Puesto que mcd(a/d, b/d) = 1 se concluye que a/d y 0 y 1 y por lo tanto existe t Z y 0 y 1 = t a d Por lo tanto y 1 = y 0 t a d. Regrasando a la ecuación ( ), se tiene de donde a d (x 1 x 0 ) = b d ta d, x 1 = x 0 + t b d. Por lo tanto (x 1, y 1 ) T y entonces S T. ( ) Para cualquier t Z, a(x 0 + t(b/d)) + b(y 0 t(a/d)) = ax 0 + by 0 = c. Es decir, (x 0 + t(b/d), y 0 t(a/d)) S y por lo tanto T S.

11 IV.6. NÚMEROS PRIMOS 11 IV.6. Números Primos Definición. Un número p N, p > 1, es primo si sus únicos divisores (factores) positivos son 1 y p, y de lo contrario es compuesto. Equivalentemente, un entero p > 1 es primo si p = ab implica que a = 1 ó b = 1. Lema 10 Todo n Z, n > 1, tiene un divisor primo. Prueba. Supongamos por contradicción que existe n > 1 sin divisor primo, y sea T = {n Z : n > 1, n no tiene un divisor primo}, y, usando el principio del buen orden, sea n = mín T. Entonces n no es primo (porque sería un divisor primo de si mismo) y entonces n = ab donde 1 < a, b < n. Puesto que n = mín T entonces a tiene un divisor primo p. Pero entonces p es también divisor de n, lo que es una contradicción. Teorema 11 (Euclides; Infinitud de los primos) Existen infinitos números primos. Prueba. Por contradicción, supongamos que el conjunto de números primos y sean estos p 1, p 2,..., p n. Definimos N = p 1 p 2 p n + 1. Por el lema anterior, N tiene un divisor primo. Sin embargo para cada i = 1, 2,..., n, p i N porque dado que p i p 1 p 2 p n, eso implicaría que p i 1, lo que no es posible. Pero entonces debe existir un primo que es diferente de p 1, p 2,..., p n, lo que es una contradicción. La siguiente proposición facilita la búsqueda de un divisor primo de un n > 1 dado, porque restringe la búsqueda a los números 2, 3, 4,..., n. Proposición 12 Si n es compuesto, entonces n tiene un divisor (factor) primo menor o igual que n. Prueba. Supongamos que cualquier divisor primo de n es mayor que n. Puesto que n es compuesto, existe enteros a, b > 1 tal que n = ab. Pero a debe tener un divisor primo p, y entonces p también es divisor de n. Por lo tanto, p > n y como a p entonces a > n. Similarmente b > n. Pero entonces a = ab > n n = n, lo que es una contradicción. Por lo tanto existe un divisor primo de n que es menor o igual a n, y como es entero entonces debe ser menor o igual que n.

12 12 IV.7. CAPÍTULO IV. DIVISIBILIDAD Y PRIMALIDAD Teorema Fundamental de la Aritmética Lema 13 Sea p primo. (i) Si p ab entonces p a ó p b (ii) Si p a 1 a 2 a k entonces existe i con 1 i k tal que p a i (iii) Si p q 1 q 2 q k, donde cada q i es primo, entonces existe i con 1 i k tal que p = q i Prueba. (i) Puesto que p es primo, si p a entonces mcd(p, a) = 1 y, por el lema de Euclides, se debe tener que p b. (ii) Generalización de (i) usando inducción. (iii) Por (ii), existe i tal que p q i. Pero, como q i es primo, entonces p = q i. Teorema 14 (Teorema Fundamental de la Artitmética) Todo entero n > 1 se puede escribir como un producto único de números primos. Prueba. La prueba es por inducción. Si n > 1 es primo, lo que incluye el caso base n = 2, entonces n es el producto de un sólo número primo, n, y no hay otra forma. Si n > 2 no es primo, sea p un divisor primo de n. Sea entonces n = n/p, Entonces por hipótesis de inducción, n tiene una expresión única como producto de números primos Entonces n = p 1 p 2 p r. n = p p 1 p 2 p r es una expresión de n como producto de primos. Esta expresión es única porque, por la parte (iii) del lema anterior, p debe aparece en cualquier expresión de n como producto de primos, y si n = p q 1 q 2 q s fuera una expresión diferente para n, entonces n = q 1 q 2 q s sería una expresión diferente para n, una contradicción. De este teorema, agrupando los factores primos iguales en la representación de n, se obtiene el siguiente corolario (una prueba formal requiere inducción).

13 IV.8. DISTRIBUCIÓN DE LOS PRIMOS 13 Corolario 15 Cualquier entero n > 1 tiene una representación única n = p k 1 1 pk 2 2 pkr r donde p 1 < p 2 < < p r son primos, y k 1, k 2,..., k r son enteros positivos. En algunos casos es conveniente extender la factorización prima de tal manera que incluye otros primos cuyos exponentes son 0. Esto se usa en el siguiente resultado bien conocido. Corolario 16 Sean a, b 2 enteros con factorizaciones primas a = p k 1 1 pk 2 2 pkr r, b = a = p l 1 1 p l 2 2 p lr r extendidas de tal manera que los p i son todos los primos divisores de a ó de b. Entonces mcd(a, b) = p m 1 1 pm 2 2 p mr r donde para i = 1,..., r. m i = mín(k i, l i ) Prueba. Sea d = p m 1 1 pm 2 2 pr mr con m i = mín(k i, l i ). Claramente, d a y d b. Sea c a y c b. Sea p n una potencia prima en la factorización prima de c. Entonces p n a y p n b. Entonces p n debe aparecer en la factorizción prima de a y de b. Así que c debe ser de la forma c = p n 1 1 pn 2 2 pnr r con n i mín(k i, l i ). Por lo tanto c d. Es decir, d = mcd(a, b). IV.8. Distribución de los Primos La función de distribución de los primos π(x), para x > 0 real, es el número de primos menores ó iguales a x, es decir π(x) = {n N : n primo, n x} El siguiente es un teorema famoso, cuya prueba no está al alcance de este curso. Teorema 17 (Teorema de los Números Primos) lím x π(x) x/ ln x = 1.

14 14 CAPÍTULO IV. DIVISIBILIDAD Y PRIMALIDAD Esto afirma que para x suficientemente grande, la fracción de números naturales que son primos es cercana a 1/ ln x. El límite en el teorema significa que Para todo ɛ > 0 existe R > 0 suficientemente grande, de tal manera que para todo x > R se satisface C x ln x donde C = 1 ɛ, C = 1 + ɛ x < π(x) < C ln x La prueba es más sencilla para una versión más débil en que se fija el ɛ pequeño, ó más bien, C, C independientemente. Por ejemplo, el teorema de Chebyshev tiene C = 0,929 y C = 1,1. Aquí ya hemos probado que el número de primos es infinito, es decir lím π(x) =, x vamos a probar lo siguiente, algo más fuerte pero mucho más débil que el teorema de los números primos. (Esto se hizo en clase pero sin todos los detalles.) Proposición 18 π(x) log 2 2 x. Prueba. Fijemos n 2 y sea r = π(n). Cualquier entero 1 m 2n se puede escribir como un producto de primos menores ó iguales a n (tal m no puede tener un factor primo mayor que n), p 1, p 2,..., p r : m = p k 1 1 pk 2 2 pkr r (en el producto aparecen todos los primos 2n, así que algunos k i deben ser 0). Cada k i es par ó impar: k i = 2m i + δ i donde δ i = 0 ó 1. Entonces donde m = p δ 1 1 pδ 2 2 qδr r M 2 ( ) M = p m 1 1 pm 2 2 p mr r Entonces M 2n (porque de lo contrario m > 2n). Así que tenemos una representación única de la forma ( ) para cada m con 1 m 2n. Pero el número de tales representaciones es a lo más 2 r 2n porque cada δ i tiene dos posibilidades, y M tiene a lo más 2n posibilidades. Así que 2n 2 r 2n

15 IV.8. DISTRIBUCIÓN DE LOS PRIMOS 15 Por lo tanto 2n 2 r y π(n) = r log 2 2n Extendiendo a x no necesariamente entero, se tiene la desigualdad del enunciado. Otro resultado interesante es el hecho de que para todo a, b Z, la progresión aritmética an + b, n N, contiene un número infinito de primos (teorema de Dirichlet). Aquí sólo probamos lo siguiente. Proposición 19 Existe un número infinito de primos de la forma 4n + 3. Prueba. Primero, un número primo sólo puede ser de la forma 4n + 1 ó de la forma 4n + 3. Segundo, observamos que el producto de dos números de la forma 4n + 1 es de la forma 4n + 1: (4n + 1)(4n + 1) = 4(4nn + n + n ) + 1. Ahora, supongamos por contradicción que el número de primos de la forma 4n + 3 es finito, y sea q 1 = 3, q 2,..., q k la lista de estos. Sea N = 4q 1 q 2 q k 1 = 4(q 1 q 2 q k 1) + 3. N es de la forma 4n + 3. Sabemos que N tiene una factorización prima. Pero un factor primo p de n no puede ser uno de los q i porque se llegaría a la contradicción q i 1. Por lo tanto, cada factor primo de N debe ser de la forma 4n + 1. Esto lleva a una contradicción porque el producto de estos primos sería de la forma 4n + 1 (por la observación arriba), mientras que N es de la forma 4n + 3. Por lo tanto existen infinitos primos de la forma 4n + 3.