Capítulo VI. Congruencias, Z n y Z n, Etc.

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1 Capítulo VI Congruencias, Z n y Z n, Etc. En este capítulo se estudian congruencias módulo un entero positivo, y los sistemas de números Z n y Z n. Además del teorema chino del residuo, encontramos de nuevo los teoremas de Fermat, Euler y Wilson. Al final, se dan los primeros pasos en el estudio de teoría de números en el contexto más general de grupos. VI.1. Congruencias Definición. Sea n un entero positivo. Dos enteros a, b se dicen congruentes módulo n, simbolizado por a b (mod n), si n divide a b, o equivalentemente si existe un entero k tal que a b = kn. Cuando sea conveniente, escribimos más brevemente a n b. Ejemplo: 8 0 (mod 2), 3 24 (mod 7), (mod 7), (mod 14). Dado un entero positivo n y un entero a, de acuerdo con el algoritmo de la división, existen enteros q, r únicos con 0 r < n y a = qn + r; lo que quiere decir que cualquier entero es congruente a uno de los posibles residuos módulo n. De hecho, a y b son congruentes si y sólo si tienen el mismo residuo módulo n (de acuerdo con el siguiente teorema). Teorema 1 Para n, a, b Z, n > 0, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1

2 2 CAPÍTULO VI. CONGRUENCIAS, Z N Y Z N, ETC. (i) a b (mod n) (ii) existe k Z tal que a = b + kn (iii) a mod n = b mod n Prueba. La equivalencia de (i) y (ii) es inmediata de la definición. Veamos la equivalencia de (ii) y (iii): ( ) Supongamos que a = b + kn, y sea r = a mod n, es decir, 0 r < n y existe q tal que a = qn + r. Entonces b + kn = qn + r y de aquí que b = (q k)n + r. Esto es b mod n = r = a mod n. ( ) Ahora supongamos que r = a mod n = b mod n. Entonces por definición, existen q, q tal que a = qn+r y b = q n+r. De aquí que a b = (q q )n y a = b + kn con k = q q. Las propiedades en el siguiente teorema son fundamentales. Teorema 2 Sea n, a, b, c, d Z, n > 0. Entonces (i) a a (mod n) (ii) si a b (mod n) entonces b a (mod n) (iii) si a b (mod n) y b c (mod n) entonces a c (mod n) (iv) si a b (mod n) y c d (mod n) entonces a + c b + d (mod n) (v) si a b (mod n) y c d (mod n) entonces ac bd (mod n) (vi) si a b (mod n) entonces a + c b + c (mod n) y ac bc (mod n) (vii) si a b (mod n) entonces a k b k (mod n) para k 0. Todas las afirmaciones son de muy fácil verificación. Sólo indicamos la verificaci on de (v): a b y c d implican que n a b y n c d. Por lo tanto n divide (a b)(c d) lo que podemos reescribir como ac bc ad+bd = ac bd+bd bc ad+bd = (ac bd) b(c d) (a b)d. Por lo tanto, n divide ac bd, es decir ac bd. De acuerdo con (i-iii), congruencia módulo n es una relación de equivalencia. La clase de a Z se denota como a ó [a]. Así [a] = {b Z : a b (mod n)} = {a + kn : k Z}.

3 VI.1. CONGRUENCIAS 3 Si es importante hacer el módulo explícito, escribimos [a] n. Las propiedades (iv-v) nos permiten definir operaciones de suma y producto entre estas clases por medio de [a] n + n [b] n [a] n n [b] n def = [a + b] n def = [a b] n En adelante omitimos el subíndice en + n y n. Estas definiciones no dependen del representante de la clase: si a a (mod n) y b b (mod n) entonces [a] + [b] def = [a + b] teo(iv) = [a + b ] def = [a ] + [b ] y similarmente para el producto. Además, estas operaciones heredan las propiedades de las respectivas operaciones en Z. Por ejemplo, la asociatividad de la suma: ([a]+[b])+[c] = [a+b]+[c] = [(a+b)+c] asoc en Z = [a+(b+c)] = [a]+[b+c] = [a]+([b]+[c]). Es conveniente contar con la terminología de estructuras algebraicas para referirnos al conjunto de propiedades que se satisfacen. Estas se introducen en la siguiente sección. El conjunto de enteros mod n es Z n = {[a] n : a Z}. Este también es denotado por Z/nZ ó Z/(n). Propiedad Cancelativa La propiedad cancelativa de la multiplicaciíon en general no aplica en Z n. Por ejemplo, (mod 6) pero 4 1 (mod 6). El siguiente teorema determina bajo que condiciones se puede cancelar en Z n. Teorema 3 Si ca cb (mod n), entonces a b (mod n/d) donde d = mcd(c, n). Prueba. n c(a b) implica que n/d (c/d)(a b). Puesto que n/d, c/d son coprimos entonces n/d a b. Los siguientes corolarios son inmediatos. Corolario 4 Si ca cb (mod n) y c, b son coprimos, entonces a b (mod n). Corolario 5 Si ca cb (mod p) con p primo p c, entonces a b (mod p).

4 4 CAPÍTULO VI. CONGRUENCIAS, Z N Y Z N, ETC. En el ejemplo de arriba, (mod 6), se tiene que mcd(2, 6) = 2 y por lo tanto 4 1 (mod 3). Otra propiedad importante es la posibilidad de, dado que ab = 0, deducir que a = 0 ó b = 0. El siguiente teorema caracteriza cuando esto es posible. Por ejemplo, (mod 6) pero 4 0 (mod 6) y 3 (mod 6). Teorema 6 El entero n > 1 es primo si y sólo si para todo par de enteros a, b, ab 0 (mod n) implica a 0 (mod n) ó b 0 (mod n). Prueba. Supongamos que n es primo y ab (mod n) = 0. Es decir n ab. Pero esto implica (por ser n primo) que n a ó n b, lo que se puede reescribir como a 0 (mod n) ó b 0 (mod n). Ahora, supongamos que n no es primo. Entonces n = ab para enteros 1 < a, b < n. Entonces ab 0 (mod n), pero a 0 (mod n) y b 0 (mod n) (por la condición 1 < a, b < n). VI.2. Representación de Enteros Base b Sea b > 1 un entero. Cualquier entero N 1 se puede escribir en forma única en términos de potencias de b i con coeficientes a i tal que 0 a i < b: N = a m b m + a m 1 b m a 1 b + a 0. El caso b = 10 es la representación usual base 10, y el caso b = 2 es la representación binaria que ya hemos encontrado. Como en ese caso, la prueba es por inducción, y esta puede ser comenzando por la potencia más alta ó por la potencia más baja. Vamos a usar aquí la segunda opción: Como base de la inducción, si 0 < N < b entonces a 0 = N y a i = 0 para i > 0. Para el paso de inducción consideramos N b. Entonces, por el algoritmo de la división, existen enteros q y a 0 con 0 a 0 < b tal que N = qb + a 0. Puesto que b > 1, se tiene q < N y podemos aplicar la hipótesis de inducción a q. Se obtiene que q tiene una representación de la forma y entonces q = a m bm + + a 1b + a 0 N = qb + a 0 = (a m bm + + a 1b + a 0)b + a 0 = a m bm a 1b 2 + a 0b + a 0 = a m b m + a m 1 b m a 1 b + a 0,

5 VI.2. REPRESENTACIÓN DE ENTEROS BASE B 5 donde m = m +1, a i = a i 1 para i = 1, 2,..., m. Por inducción, esto completa la existencia. Para la unicidad, también por inducción, asumimos (omitiendo el caso base N < b) que N b tiene dos representaciones N = a m b m + a m 1 b m 1 + +a 1 b+a 0 y N = a mb m +a m 1 bm 1 + +a 1 b+a 0. Entonces ((a m a m)b m (a 1 a 1))b = a 0 a 0. Si a 0 a 0 0 entonces 0 < a 0 a 0 < b, pero el término al otro lado de la igualdad en valor absoluto es 0 ó al menos igual a b, lo que es una contradicción. Por lo tanto a 0 = a 0. Por hipótesis de inducción, aplicada a q en N = qb + a 0, también a i = a i para i = 1, 2,..., m. Exponenciación Rápida Usando la representación binaria, se obtiene el siguiente método de exponenciación rápida: 1 si b = 0 exp(a, b) = exp(a 2, b/2) si b es par exp(a 2, (b 1)/2) a si b es impar El paso inductivo de la verificación de este método es a b = a b/2 2+b mod 2 = (a 2 ) b/2 a b mod 2 Ejemplo. Queremos calcular (mod 31). Las potencias relevantes (en el método de exponenciación rápida) son k = k (mod 13) = Puesto que 110 = (la representación binaria de es , donde el subíndice indica la base) se tiene =

6 6 CAPÍTULO VI. CONGRUENCIAS, Z N Y Z N, ETC. Veamos la evaluación recursiva (mod 131): exp(5, 110) 131 exp(25, 55) 131 exp(25 2, 27) exp(101, 27) exp(101 2, 13) exp(114, 13) exp(114 2, 6) exp(27, 6) exp(27 2, 3) exp(74, 3) exp(74 2, 1) exp(105, 1) exp(105 2, 0) Los productos parciales se han dejado indicados, pero se podrían llevar a cabo (mod 131) inmediatamente cuando aparece cada nuevo factor. Reglas de Divisibilidad El siguiente teorema es consecuencia directa de las propiedades de las congruencias. Teorema 7 Sea P(X) = m k=1 c kx k un polinomio en X con coeficientes enteros y n > 0. Si a b (mod n) entonces P(a) P(b) (mod n). Definición. a es una solución de P(X) 0 (mod n) si P(a) 0 (mod n). Corolario 8 Si a es una solución de P(X) 0 (mod n) y a b (mod n), entonces b es también una solución de P(X) 0 (mod n). Como aplicación de esto se pueden obtener condiciones de divisibilidad de enteros. Como ejemplo, tenemos condiciones de divisibilidad por 9 y 11. Teorema 9 N = a m 10 m + a m 1 10 m a a 0, donde 0 a i < 10, es divisible por 9 si y sólo si M = a m + a m a 1 + a 0 es divisible por 9. Prueba. Teniendo en cuenta que 10 1 (mod 9), entonces P(10) P(1) (mod 10). Pero N = P(10) y M = P(1), por lo tanto N M (mod 9). Es decir 9 N M y por lo tanto 9 N si y sólo si 9 M. Teorema 10 N = a m 10 m + a m 1 10 m a a 0, donde 0 a i < 10, es divisible por 11 si y sólo si T = a 0 a 1 + a 2 + ( 1) m a m es divisible por 11. Prueba. Se usa que 10 1 (mod 11) y por lo tanto P(10) P( 1) (mod 11).

7 VI.3. CONGRUENCIAS LINEALES 7 VI.3. Congruencias Lineales Recordemos que la ecuación diofantina lineal ax + by = c tiene solución si y sólo si d c donde d = mcd(a, b). Además, si (x 0, y 0 ) es una solución, entonces el conjunto de todas las soluciones es T = {(x 0 + tb/d, y 0 ta/d) : t Z}. Ahora consideramos el problema de encontrar soluciones a la congruencia lineal ax b (mod n) Esto es equivalente a determinar si existen x y k tal que ax kn = b, ( ) la cual es una ecuación diofantina lineal. Teorema 11 La congruencia lineal ax b (mod n) tiene solución si y sólo si d b donde d = mcd(a, n). Si d b, entonces la congruencia tiene exactamente d soluciones incongruentes (mod n): x t = x 0 + n d t donde x 0 es una solución, y t = 0, 1, 2,..., d 1. Prueba. Ya sabemos que ( ) tiene solución si d b. Ahora supongamos que (x 0, k 0 ) es una solución. Entonces el conjunto de soluciones es T = {(x 0 + tn/d, k 0 + ta/d) : t Z}. Veamos cuando dos de estas soluciones para x 0 son congruentes (mod n): x t x t = n d (t t ) 0 (mod n) implica (usando la cancelabilidad para cancelar n/d) que t t (mod d). Por lo tanto, se tienen exactamente d soluciones incongruentes x t = x 0 + n d t, t = 0, 1,..., d 1. Corolario 12 Si mcd(a, n) = 1 entonces ax b (mod n) tiene una única solución.

8 8 CAPÍTULO VI. CONGRUENCIAS, Z N Y Z N, ETC. Lo anterior corresponde al caso en que existe el inverso multiplicativo a 1 de a (mod n), y entonces la solución es x a 1 b (mod n). Ejemplo. Consideremos la congruencia 18x 30 (mod 42). Tiene solución porque mcd(18, 42) = 6. Antes de resolverla, podemos cancelar y obtener 3x 5 (mod 7). La ecuación diofantina correspondiente es 3x 7k = 5 que tiene solución x = 4, k = 1 ( a ojo ; en general, usando el algoritmo extendido de Euclides). Entonces el conjunto de soluciones incongruentes (mod 7) es x = 4 + 7t, t = 0, 1, 2, 3, 4, 5. VI.4. Teorema Chino del Residuo Teorema 13 Sean m 1, m 2,..., m k enteros positivos relativamente primos (en pares), y a 1, a 2,..., a k enteros cualesquiera. Entonces existen una solución al conjunto de ecuaciones simultáneas x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ). x a k (mod m k ) Si x y x son dos tales soluciones, entonces x x (mod M) donde M = m 1 m 2 m k. Igualmente, si x es una solución y x x (mod M), entonces x también es una solución. Prueba. Sea M = m 1 m 2 m k y para cada i = 1, 2,..., k, sea M i = M/m i. Se tiene que mcd(m i, m i ) = 1 y entonces, por la identidad de Bezout, existen enteros r i, s i tal que r i M i + s i m i = 1. Es decir, Sea x i = r i M i. Entonces r i M i 1 (mod m i ). x i { 1 (mod mi ) 0 (mod m j ) j i ( )

9 VI.4. TEOREMA CHINO DEL RESIDUO 9 Sea Con esto, x = k a i x i. i=1 Es decir x mod m j = = ( k ) a i x i mod m j i=1 ( k ) a i (x i mod m j ) mod m j i=1 = a j mod m j usando ( ) x a j (mod m j ) para j = 1, 2,..., k. Por lo tanto x definido arriba es una solución al sistema de ecuaciones. Por otra parte, supongamos que existe otra solución x del sistema de ecuaciones. Entonces x x (mod m i ) para i = 1, 2,..., k. De aquí que x x (mod M). Finalmente, si x es solución y x x (mod M), entonces x x (mod m i ) para cada i, y por lo tanto x también es una solución. Una prueba alternativa es considerar dos ecuaciones a la vez, las cuales se reducen a una mod el producto de los módulos de estas. De esta manera se puede resolver cualquier número de ecuaciones simultáneas. Esto tiene la ventaja de poder manejar otros casos, como cuando los módulos no son coprimos. Consideremos las ecuaciones x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) Un x que es solución a estas congruencias debe ser simultáneamente de la forma a 1 + kn 1 y a 2 + ln 2. Es decir, buscamos enteros k y l tal que y entonces a 1 + kn 1 = a 2 + ln 2 kn 1 ln 2 = a 2 a 1, la cual es una euación diofantina lineal con incógnitas k y l. Si mcd(n 1, n 2 ) = 1 (la condición en el teorema chino del residuo), entonces esta ecuación siempre tiene solución. Más en general, si d = mcd(n 1, n 2 ) y d a 2 a 1 entonces la

10 10 CAPÍTULO VI. CONGRUENCIAS, Z N Y Z N, ETC. ecuación tiene solución. Digamos que k 0, l 0 es una solución, entonces el conjunto de soluciones es Entonces T = {(k 0 + tn 2 /d, l 0 + tn 1 /d) : t Z}. x = a 1 + kn 1 = a 1 + (k 0 + tn 2 /d)n 1 = a 1 + k 0 n 1 + t n 1n 2 d Entonces, la solución para x es única (mod M) donde M = n 1 n 2 /d: En el caso d = 1, esto es x a 1 + k 0 n 1 (mod M). x a 1 + k 0 n 1 (mod n 1 n 2 ). En cualquier caso, las dos ecuaciones iniciales se han reducido a una sola. Esto da una prueba alternativa del teorema chino del residuo. Ejemplo. Vamos a resolver el sistema x 3 (mod 11) x 6 (mod 8) x 1 (mod 15) usando ambos métodos. Note que 11, 8 y 15 son coprimos en pares. Método 1. Primero, resolvemos los 3 sistemas x 1 (mod 11) x 0 (mod 11) x 0 (mod 11) x 0 (mod 8) x 1 (mod 8) x 0 (mod 8) x 0 (mod 15) x 0 (mod 15) x 1 (mod 15) Para el primer sistema, debemos encontrar x 1 de la forma x 1 = 8 15 r (así se satisfacen la segunda y tercera ecuaciones y tal que 8 15 r + 11s = 1 de tal manera que se satisface la primera ecuación. En general, esta ecuación diofantina se resuelve con el método ya estudiado. Aquí, a ojo, r 0 = 1 y s 0 = 11 es una solución. La solución general para r es r = t

11 VI.4. TEOREMA CHINO DEL RESIDUO 11 de donde x 1 = 8 15 r = ( )t 120 (mod ). Similarmente, para el segundo sistema, x 2 = r y tal que r + 8s = 1. Una solución ( a ojo ) es r 0 = 3 y s 0 = 62, lo que da una solución general r = 3 + 8t x 2 = r = ( )t 495 (mod ). Para el tercer sistema, x 3 = 11 8 r y tal que 11 8 r + 15s = 1. Una solución ( a ojo ) es r 0 = 7 y s 0 = 41, lo que da una solución general r = t x 3 = 11 8 r = ( )t 616 (mod ). Finalmente, la solución (mod ) = (mod 1320) es x = 3x 1 + 6x 2 x 3 3 ( 120) + 6 ( 495) (mod 1320) Método 2. Para satisfacer las dos primeras ecuaciones, debemos encontrar x de la forma r y 6 + 8s simultáneamente. Es decir de donde r = 6 + 8s 11r 8s = 3. Esta ecuación tiene solución, a ojo, r 0 = s 0 = 1, de donde la solución general es r = 1 + 8t, s = t De aquí, Es decir x = r = (1 + 8t) = t. x 14 (mod 88) Ahora nos queda por resolver esta nueva congruencia junto con la tercera original. Para esto x debe ser de la forma r y s simultáneamente, lo que lleva a 15s 88r = 15.

12 12 CAPÍTULO VI. CONGRUENCIAS, Z N Y Z N, ETC. A ojo, una solución es s 0 = 1, r 0 = 0, de donde se obtiene la solución general r = 15t y entonces x = (15t) = t. Es decir x 14 (mod 1320). Ejemplo. Si alguna de las congruencias a resolver es de la forma ax b (mod n), entonces como primer paso, si es posible, se debe cancelar a para llevar la congruencia a la forma x b/a (mod n/d) donde d = mcd(a, n) (b debe ser divisible por a). Si no es posible, se puede determinar la solución, si existe, usando el método para ecuaciones diofantinas lienales. Por ejemplo, consideremos el sistema 3x 2 (mod 5) x 8 (mod 7) De la segunda ecuación, buscamos x de la forma 8 + 7r, de tal manera que 3(8 + 7r) = 2 + 5s para satisfacer la primera. Esto es igual a la ecuación diofantina 21r 5s = 22. VI.5. Teoremas de Fermat y Wilson Teorema 14 (Fermat) Sea p primo y a tal que p a, entonces Prueba. Los enteros son incongruentes (mod p) porque si a p 1 1 (mod p). 1 a, 2 a, 3 a,..., (p 1) a ja ia = (j i)a = kp para 1 i < j < p y algún k, entonces p i j (puesto que p es primo y p a) lo que no es posible. porque j i < p. En lenguaje de congruencias: Si ia ja (mod p) entonces (j i)a 0 (mod p), y puesto que a 0 (mod p) se debe tener que j i 0 (mod p) y i j (mod p); como 0 < i, j < p entonces i = j. Entonces (1 a) (2 a) (3 a)... ((p 1) a) (p 1) (mod p)

13 VI.5. TEOREMAS DE FERMAT Y WILSON 13 y por lo tanto, aplicando cinmutatividad y asociatividad, (p 1)! a p 1 (p 1)! (p 1)! (mod p). Puesto que p (p 1)!, podemos cancelar ese término y obtener a p 1 1 (mod p). Una versión alternativa es que para todo a, a p a (mod p), donde ya no se requiere que p a (la cual se obtiene multiplicando por a en ambos lados). Esta versión también se puede probar por inducción sobre a: Para el caso base 1 p 1 (mod p) y para el paso de inducción, usando el teorema binomial ( p (a + 1) p = a p + 1 ) ( ) ( ) p p a p 1 + a p a p 1 a p + 1 porque ( p i) 0 (mod p) para i = 1, 2,..., p 1 a + 1 por hipótesis de inducción. Teorema 15 (Wilson) Sea p primo, entonces (p 1)! 1 (mod p). Prueba. Para cada a = 1, 2,..., p 1 existe un elemento inverso a 1 tal que aa 1 1 (mod p) (esto se deduce de la identidad de Bezout, ya que mcd(a, p) = 1 y por lo tanto existen enteros s, t tal que sa + tp = 1 y sa = 1 tp). Veamos cuando puede ser a 1 = a: la ecuación a 2 1 (mod p) lleva a a (mod p) y (a 1)(a + 1) 0 (mod p) que tiene como soluciones a ±1 (mod p) (note que 1 p 1 (mod p)). Así que excepto a ±1 (mod p), los otros elementos tienen a 1 a (mod p). Así que el producto 2 3 (p 2) se puede reescribir como un producto de pares aa 1 y se concluye que Multiplicando por (p 1) se obtiene 2 3 (p 2) 1 (mod p). (p 1)! (p 1) 1 (mod p).

14 14 CAPÍTULO VI. CONGRUENCIAS, Z N Y Z N, ETC. VI.6. Función φ y Teorema de Euler Ya hemos encontrado la función φ(n) de Euler, el número de coprimos con n menores que n: φ(n) = {a : 1 a n, mcd(a, n) = 1}. Antes usamos el principio de inclusión-exclusión para determinar φ(n) y de la expresión para φ(n) se verificó que φ(n) es una función multiplicativa. Aquí, vamos a proceder en la otra dirección, primero verificamos que φ es multiplicativa, y entonces determinamos φ(n). Primero un teorema que usamos más adelante (para probar que existen raíces primitivas de p primo). Teorema 16 Para n entero se tiene que n = d n φ(d). Prueba. Tenemos que {1, 2, 3,..., n} = d n {k : 1 k n, mcd(k, n) = d} donde la unión es de conjuntos disyuntos (puesto que mcd(k, n) es un divisor de n). Pero {k : 1 k n, mcd(k, n) = d} porque k < d no es posible = {k : d k n, mcd(k, n) = d} si mcd(k, n) = d = {(k/d) d : 1 k/d n/d, mcd(k/d, n/d) = 1} dividiendo por d = {jd : 1 j n/d, mcd(j, n/d) = 1} substituyendo k/d con j Por lo tanto {1, 2, 3,..., n} = d n {jd : 1 j n/d, mcd(j, n/d) = 1} y de aquí que n = d n φ(n/d) lo cual es equivalente a la identidad que se quiere probar (porque si d n entonces n/d n).

15 VI.6. FUNCIÓN φ Y TEOREMA DE EULER 15 Por ejemplo, si p es primo entonces p = φ(1) + φ(p) y, de hecho, φ(1) = 1 y φ(p) = p 1. Recordemos que una función f(n) es multiplicativa si f(mn) = f(m)f(n) para m, n coprimos (es decir mcd(m, n) = 1). Teorema 17 φ(n) es multiplicativa. Prueba. Sean n, m coprimos. Vamos a verificar que φ(mn) = φ(m)φ(n). Primero, notamos que y entonces mcd(a, n) = 1 sii mcd(a mod n, n) = 1 ( ) mcd(a, mn) = 1 si y sólo si mcd(a, m) = 1 y mcd(a, n) = 1 por ser m, n coprimos si y sólo si mcd(a mod m, m) = 1 y mcd(a mod n, n) = 1 Es decir, a es coprimo con mn si y sólo si a mod m es coprimo con m y a mod n es coprimo con n. Además, por el teorema chino del residuo, sabemos que la función f : Z mn Z m Z n a (a mod m, a mod n) es una biyección: dado (x, y) Z m Z n, las ecuaciones a mod m = x y a mod n = y tienen una solución única a Z mn. Por lo tanto, ( ) implica que la restricción es también una biyección. De aquí que f : Z mn Z m Z n a (a mod m, a mod n) φ(mn) = φ(m)φ(n). Para p primo, φ(p) = p 1. Más general, para determnar φ(p k ), notamos que los números que no son coprimos con p k deben ser múltiplos de p. Es decir los no coprimos menores que p k son p, 2p, 3p,..., (p k 1 1)p Así que el número de coprimos con p k menores que p k es (p k 1) (p k 1 1) = p k p k 1 = p k 1 (p 1) = p k (1 1/p).

16 16 CAPÍTULO VI. CONGRUENCIAS, Z N Y Z N, ETC. Finalmente, usando el teorema anterior, y la factorización prima de n podemos determinar φ(n) para cualquier n: φ(n) = p n = p primo n p k (1 1/p) p n p primo (1 1/p) donde la potencia k de p es la potencia de p en la factorización prima de n. Teorema de Euler Los enteros a y n son coprimos (ó relativamente primos) si mcd(a, n) = 1. El teorema de Euler generaliza el teorema de Fermat. Teorema 18 (Euler) Sean a, n coprimos, entonces a φ(n) 1 (mod n). Prueba. Sean a 1, a 2,..., a φ(n) los enteros positivos menores que n y coprimos con n (así que a es uno de estos). Tenemos que aa 1, aa 2,..., aa φ(n) son incongruentes (mod n) porque si aa i aa j (mod n) entonces, puesto que mcd(a, n) = 1, la propiedad cancelativa es aplicable y resulta en a i a j (mod n). Más aún, a i = a j (y i = j) porque los a i son incongruentes (mod n). Por lo tanto, para cada i existe un g(i), donde g : {1, 2,..., φ(n)} {1, 2,..., φ(n)} es una biyección, tal que Entonces aa i a g(i) (mod p). (aa 1 )(aa 2 ) (aa φ(n) ) a g(1) a g(2) a g(φ(n)) (mod n) y a φ(n) (a 1 a 2 a φ(n) ) a 1 a 2 a φ(n) (mod n). Puesto que n es coprimo con cada a i entonces n es coprimo con a 1 a 2 a φ(n) y por lo tanto este térmimo se puede cancelar, lo que resulta en a φ(n) 1 (mod n).

17 VI.7. GRUPOS 17 VI.7. Grupos Definición. El par (G, ), donde G es un conjunto y : G G G es una operación binaria, es un grupo si para todo a, b, c G, (a b) c = a (b c) (asociatividad) existe e (elemento identidad) t.q. para todo a G, a e = e a = a para todo a G, existe a G t.q. a a = a a = e (elemento inverso) (G, ) es un grupo abeliano si satisface además para todo a, b G, a b = b a (conmutatividad) Ejemplos. (N, +) no es un grupo porque, excepto 0, no existen elementos inversos. (Z, +) es un grupo abeliano, pero (Z, ) no es un grupo porque, excepto 1, no existen elementos inversos. (P n, ), donde P n es el conjunto de permutaciones (biyecciones) p : I n I n y la operación es la composición de funciones, es un grupo no abeliano. VI.8. Grupos Cíclicos Consideremos la secuencia de potencias de 2: 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6,... Los residuos módulo 7 son 2, 4, 1, 2, 4, 1,..., mientras que módulo 6 y 8 son respectivamente: 2, 4, 2, 4, 2, 4,... y 2, 4, 0, 0, 0, 0,... Nos interesa en particular el primer caso en el cual para cierta potencia el residuo es 1 y entonces la secuencia se repite. Formalmente, primero recordamos el principio del palomar (se deduce de que si f : I n I n es inyectiva entonces es sobreyectiva). Teorema 19 (Principio del palomar) (i) Si m > n, entonces f : I m I n no es inyectiva (ii) Si A, B son conjuntos finitos con A > B, entonces f : A B no es inyectiva. Lema 20 Si a y n son coprimos, entonces a l 1 (mod n) para algún l con 1 l < n.

18 18 CAPÍTULO VI. CONGRUENCIAS, Z N Y Z N, ETC. Prueba. Puesto que mcd(a, n) = 1, para cualquier k > 0, a k no es múltiplo de n y por lo tanto a k 0 (mod n). Consideremos entonces [a 0 ] n, [a 1 ] n, [a 2 ] n, [a 3 ] n,..., [a n 1 ] n Estas n clases de congruencia están en el conjunto {[1] n, [2] n,..., [n 1] n } Por el principio del palomar entonces existen 0 s < t n 1 tal que a s a t (mod n). Sea l tal que t = s + l. Entonces 1 l < n y en a s a s+l (mod n) podemos cancelar a s (porque a y n son coprimos). Se obtiene que a l 1 (mod n) con 1 l < n. Definición. Si a y n son coprimos, el orden de a en Z n es el mínimo l tal que a l 1 (mod n), y lo denotamos por ord n (a). Más en general, si g es un elemento de un grupo G (con una operación para la cual usamos notación multiplicativa), entonces podemos formar las potencias g k con k Z. Informalmente, g 0 = e (la unidad) y g k = g g g } {{ } k veces y g k = g 1 g 1 g 1 } {{ } k veces donde g 1 es el inverso de g. Más formalmente, usando recursión, g 0 = e, y g k+1 = g k g, g (k+1) = g k g 1 para k 0 Con esta definición, de pueden probar las propiedades que se espera de la potenciación. Teorema 21 (i) g m+n = g m g n (ii) (g m ) n = g mn (iii) g n = (g n ) 1. Entonces, el conjunto de las potencias g k, k Z forman un grupo contenido en G que se llama el grupo generado por g y el cual denotamos por g : g = {g k : k Z}. También se dice que g es un grupo cíclico. Si existe un entero l > 0 tal que g l = e entonces el mínimo tal l se llama el orden de g en G y lo denotamos por ord G (g). Si no existe tal l, entonces ord G (g) =.

19 VI.8. GRUPOS CÍCLICOS 19 Teorema 22 Si ord G (g) <, entonces los elementos g k, 0 k < ord G (g) son diferentes y g = {g k : 0 k < ord G (g)}. ( ) Prueba. Sea l = ord G (g). Supongamos g i = g j para un par i, j con 0 i < j < l. Entonces g j i = e, lo que contradice la definición de ord G (g). Para cualquier otro g r, por el algoritmo de la división r = ql + k donde 0 k < l y de donde se deduce ( ) g r = g ql+k = (g l ) q g k = e q g k = g k, Similarmente, se prueba que si ord G (g) = entonces g i g j para i j. Teorema 23 Sea g G con ord G (g) <. Entonces g k ord G (g) k. = e si y sólo si Prueba. Sea d = ord G (g). Usando el algoritmo de la división, se obtiene que k = qd + r donde 0 r < d. Entonces e = g k = g qd+r = g qd g r = (g d ) q g r = e q g r = g r. De aquí se deduce que r = 0 ó de lo contrario se tendría una contradicción con el hecho de que d = ord G (g). Por lo tanto k = qd, es decir d k. La otra dirección es más directa: si d k entonces k = qd y g k = (g d ) q = e. Teorema 24 Sea g G con ord G (g) = l <. Entonces ord G (g n ) = l mcd(l, n). Prueba. Sea d = mcd(l, n), k = l/d y t = ord G (g n ). Queremos probar que k = t. Tenemos que (g n ) k = (g l ) n/d = e n/d = e. Por el teorema anterior, se deduce que t = ord G (g n ) k. Por otra parte, e = (g n ) t = g nt y, de nuevo, por el teorema anterior, l = ord G (g) nt. Dividiendo por d, se obtiene que l d n d t. Puesto que mcd(l/d, n/d) = 1 (lo que se deduce de d = mcd(l, n)), por el lema de Euclides se obtiene que k = l d t. Así hemos obtenido t k (arriba) y k t; por lo tanto k = t.

20 20 CAPÍTULO VI. CONGRUENCIAS, Z N Y Z N, ETC. Corolario 25 Sea g G con ord G (g) = l <. Si mcd(l, n) = 1 entonces ord G (g n ) = ord G (g). Ejemplo. Como ejemplo consideremos Z 13 = Z 13 {0} (el grupo de unidades mod 13, definido en la siguiente sección) con la multiplicación como operación. Veamos las potencias 2 k (mod 13): k = k = Vemos que Z 13 = 2. El orden de 2 en Z 13 es 12, y los escribimos ord 13(2) = 12. Los otros elementos que tienen orden 13 son las potencias 2 k con k coprimo con 12. Es decir: 2 1 = 2, 2 5 = 6, 2 7 = 11, 2 11 = 7. Veamos las potencias de 6 k (mod 13): k = k = Lo que confirma que ord 13 (6) = 12. En general, se obtiene la siguiente table de ordenes: k = ord 13 (k) = Como es de esperar, todos son divisores. Más adelante, cuando estudiemos raíces primitivas de un primo, veremos que si d 12 entonces existen exactamente φ(d) elementos con orden d. Por ejemplo φ(4) = 2, φ(6) = 2. VI.9. Unidades Sea n > 1 entero y consideramos el conjunto Z n mod n. de clases de congruencia Proposición 26 Para [a] Z n, existe [a] 1 si y sólo si mcd(a, n) = 1. Prueba. Si [b] = [a] 1 entonces [ab] 1 (mod n), es decir existe q Z tal que ab = 1 + qn y entonces ab qn = 1. Por la identidad de Bezout, mcd(a, n) = 1. Las mismas implicaciones son válidas en la dirección opuesta, lo que nos da el recíproco. Definición. Un elemento [a] Z n para el que existe elemento inverso, es decir mcd(a, n) = 1, se llama una unidad de Z n. El conjunto de unidades de Z n se denota por Z n. Es decir, Z n = {[a] n : a Z, mcd(a, n) = 1}.

21 VI.10. SUBGRUPOS 21 Usando los representantes de los residuos menores que n, podemos escribir Entonces donde φ(n) es la función φ de Euler. Z n = {[a] n : 0 < a < n, mcd(a, n) = 1}. Z n = φ(n) Lema 27 Z n con la operación multiplicación definida en Z n forma un grupo. Prueba. [1] Z n y si [a] n, [b] n Z n entonces [a] n [b] n = [ab] n Z n porque mcd(a, n) = 1 y mcd(b, n) = 1 implica que mcd(ab, n) = 1. Si [a] n Z n entonces [a] 1 n Z n. El elemento inverso de un a Z n se puede determinar usando el algoritmo extendido de Euclides. Alternativamente, de acuerdo con el teorema de Euler, puesto que a φ(n) 1 (mod p), se concluye que a 1 a φ(n) 1 (mod n). Así el problema de determinar el inverso se convierte en un problema de exponenciación (que se puede realizar con el método descrito anteriormente). VI.10. Subgrupos Definición. Sea G, un grupo. Si H G y H, es un grupo donde la operación es la restricción a H de la operación en G, se dice que H, es un subgrupo de G,. Si se entiende la operación, se dice simplemente que H es un subgrupo de G. Lema 28 Sea G, un grupo. H es subgrupo de G si y sólo si (1) H G, (2) H es cerrado bajo la operación, y (3) para cada a H, se tiene que a 1 H. Teorema 29 Si H es un subgrupo de un grupo G finito, entonces H divide G (el orden de H divide el orden de G). Prueba. La prueba usa una construcción importante, la cual es una generalización de la construcción de Z n a partir de Z, y que recordamos por conveniencia con el lenguaje de grupos. Sea nz = {nk : k Z} = {..., 3n, 2n, n, 0, n, 2n, 3n,...}

22 22 CAPÍTULO VI. CONGRUENCIAS, Z N Y Z N, ETC. nz, + es un subgrupo de Z, +. Definimos entonces la relación congruencia mod n, denotada n, como Sabemos ya que y entonces a n b sii n a b a n b sii existe q Z tal que a b = qn a n b sii a b nz, por la definición de nz. La clase de equivalencia de l Z, la cual ya hemos denotado por [l] n, es entonces igual a l + nz donde l + nz = {l + k : k nz} En terminología de grupos, l + nz es la clase de l en nz. Es claro que existe una biyección entre nz y l + nz: kn l + kn. Ahora describimos la construcción general para un grupo G y subgrupo H de G. Utilizamos como es usual notación multiplicativa. Se define una relación H sobre G como a H b sii ab 1 H. H es una relación de equivalencia en G: - para a G, a H a porque aa 1 = e H. - para a, b G, si a H b entonces ab 1 H. Puesto que (ab 1 ) 1 = ba 1, se concluye que ba 1 H y por lo tanto b H a - para a, b, c G, si a H b y b H c, entonces ab 1 H y bc 1 H. Puesto que (ab 1 )(bc 1 ) = ac 1, se concluye que ac 1 H y por lo tanto a H c. Como antes, la clase de b G es entonces Hb = {hb : h H} También aquí se tiene una biyección f entre H y Hb dada por h hb: inyectiva: si f(h 1 ) = f(h 2 ), entonces h 1 b = h 2 b y cancelando se tiene que h 1 = h 2 sobreyectiva: si x Hb entonces existe h H tal que x = hb y por lo tanto f(b) = hb = x

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