Acerca de las matrices elementales y sus inversas

Transcripción

1 Acerca de las matrices elementales y sus inversas Matriz ermutación: Se denomina matriz ermutación a una matriz cuadrada en la que en cada fila y columna hay un único elemento distinto de cero e igual a la unidad.,,,,,, Matriz elemental de rimer género: Una matriz elemental de rimer género es un tio esecial de matriz cuadrada diagonal en la que todos los elementos de la diagonal rincial son 1 exceto el de lugar i-ésimo, que es un número real a 0. La reresentaremos or D i (a). D 1 (a) = D 1 (5) = a , D 2 (a) =, D 2 ( ) = 0 a 0 0, D ( 2) = La matriz inversa de una matriz elemental de rimer genero es también una matriz elemental de rimer genero, donde el elemento i-ésimo de la inversa es el inverso del elemento i-ésimo de la matriz original. Es decir, D i (a) 1 = D i (a 1 ).,... Así, or ejemlo, en las matrices de orden : D 2 (a) 1 = D 2 (a 1 ), ues D 2 (a).d 2 (a 1 ) = 0 a 0. 0 a = 0 a.a = Producto de una matriz elemental de rimer género D i (a) or una matriz A El resultado D i (a).a es una matriz que tiene las mismas filas de la matriz A salvo la i-ésima, que estará multilicada or a. Si es el roducto inverso, A.D i (a), será la columna i-ésima la que quede multilicada or a. Así, veamos un ejemlo: 1

2 D 2 ( ).A = A.D 2 ( ) = = = Matriz elemental de segundo género: Matriz elemental de segundo género P ij es un tio esecial de matriz ermutación. Es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal rincial son iguales a la unidad, salvo los a ii y a jj que son cero, siendo a ij = a ji =1. Los demás elementos son todos nulos. - De orden : - De orden 4: P 2 = P 2 = , P 1 =, P 12 = Estas matrices son inversibles y siemre la inversa coincide con la matriz original. Es decir, P ij 1 = P ij. Veamos dos ejemlos: P 2.P 2 = P 12.P 12 = = = P = P 2 P 1 12 = P 12 Producto de una matriz elemental de segundo género P ij or una matriz A El resultado P ij.a es una matriz que tiene las mismas filas de la matriz A salvo la i- ésima, y la j-sima, que aarecen intercambiadas. Si es el roducto inverso, A.P ij, serán las columnas i-ésima y j-sima las que aarezcan intercambiadas. 2

3 P 12.A = A.P 12 =.. =. = Matriz elemental de tercer género: Matriz elemental de tercer género S ij (a) es una matriz cuadrada en la que todos los elementos de la diagonal rincial son la unidad, mientras que el resto de los elementos son nulos salvo el elemento a ij, que es a. - De orden : - De orden 4: S 1 (a) = S 2 ( 2) = a , S 1 (1 ) =, S 24 ( 1) = La matriz inversa de una matriz elemental de tercer género S ij (a) es también una matriz elemental de tercer género, en la que solamente cambia el signo del elemento a. O sea, S ij (a) 1 = S ij ( a). S 2 (a).s 2 ( a) = a. a = S 2 (a) 1 = S 2 ( a) Producto de una matriz elemental de tercer género S ij (a) or una matriz A El resultado S ij (a).a es una matriz que tiene las mismas filas de la matriz A salvo la i-ésima que se sustituye or la suma de dicha fila i-esima con el roducto de a or la fila j-sima. El resultado A.S ij (a) es una matriz que tiene las mismas columnas de la matriz A salvo la j-ésima que se sustituye or la suma de dicha columna j-esima con el roducto de a or la columna i-sima.

4 S 2 (a).a = A.S 1 (a) = a a 0 0 = = + a. + a. + a + a. + a. + a. La inversa de una matriz cuadrada inversible cualquiera, obtenida mediante un roducto de matrices elementales del mismo orden: Podemos reducir a la matriz identidad a una matriz cualquiera multilicándola a la izquierda sucesivamente or matrices elementales, de cualquiera de los géneros vistos. Lo mismo se uede conseguir si se multilica la matriz or matrices elementales a la derecha. Si desués de k roductos or matrices elementales se tiene que la matriz A se convierte en la matriz identidad.a = I con lo que, multilicando a la derecha or la inversa A 1, se tiene O sea:.a.a 1 = A 1 = A 1 Calculemos usando matrices elementales, la matriz inversa de A = 4 Multilicamos or las matrices elementales S 12 (), P 12, D 2 (4), S 12 (2) : S 12 ().P 12.D 2 (4).S 12 (2).A = = luego, la matriz inversa es S 12 ().P 12.D 2 (4).S 12 (2) = comrobación: = = 10 4

5 10. 4 = Puesto que la inversa de una matriz elemental es también una matriz elemental del mismo orden y tio, se deduce que toda matriz inversible A uede exresarse mediante el roducto de matrices elementales del mismo orden: A 1 = A = ( A 1 ) 1 = ( ) 1 = E 1 k.e 1 k 1...E