Matemática 2 MAT022. Clase 3 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María

Transcripción

1 Matemática 2 MAT022 Clase 3 (Complementos) Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María

2 Tabla de Contenidos 1 Operaciones Elementales de Fila 2 3 4

3 Definición Sean A M m n (K) y r, k K con r 0. Se definen las siguientes operaciones sobre las filas de A: 1 E ij : intercambio o permutación de la fila f i (A) por la fila f j (A) de la matriz A. 2 E i (r): reemplazo de la fila f i (A) por r veces la fila f i (A) de la matriz A. 3 E ij (k): reemplazo de la fila f i (A) por la suma de fila f i (A) más k veces la fila f j (A). Las tres operaciones sobre las filas de A se llaman operaciones elementales de fila. La aplicación de una OEF sobre una matriz, se expresa mediante el símbolo A E A 1.

4 de OEF del tipo 1: A = E La aplicación de la OEF E 13 indica que sobre A se han intercambiado las filas 1 y 3. = A 1.

5 de OEF del tipo 2: A = E3(4) = A Además, si en A 1 amplificamos la primera fila por ( 2), obtenemos: E 1( 2) A = A

6 de OEF del tipo 3: A = E32(2) = A

7 Definición Una matriz elemental es una matriz que resulta al efectuar una operación elemental sobre la matriz identidad I n. Tenemos tres tipos de matrices elementales. Anotaremos por: E ij E ij a la matriz elemental obtenida como: I n Eij. E i (α) a la matriz elemental obtenida como: I n E i(α) E i (α), con α 0. E ij (k) a la matriz elemental obtenida como: I n E ij(k) E ij (k), con k cualquier escalar.

8 Para la matriz I 4 M 4 4 (R), tenemos: E 24 = E 3 ( 2) = 3 E 31 ( 4) =

9 Definición Diremos que las matrices A y B son equivalentes por filas si existe una sucesión finita de OEF: E 1, E 2,..., E r tales que: A E1 E A 2 E r 1 E 1 r Ar 1 B. Anotaremos la equivalencia por filas entre A y B mediante el símbolo A F B, o bien, mediante A B. Observación Sean A, B y C matrices en M m n (K). Se cumple: F A A. Si A F B, entonces B F A. Si A F B y B F C, entonces A F C.

10 Sean A = y B = orden 3. Es A equivalentes por filas con B? matrices de

11 Definición Una matriz se encuentra en forma escalonada por filas si satisface las siguientes propiedades: Cualquier fila que se componga enteramente de ceros se ubica en la parte inferior de la matriz. En cada fila distinta de cero, la primera entrada no nula o coeficiente no nulo (contado desde la izquierda), denominado pivote, se localiza en una columna a la izquierda de cualquier entrada no nula debajo de ella. Si además se cumple que: sus pivotes son todos iguales a 1; y en cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna, decimos que la matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por filas (ERF). Se anota E A.

12 Teorema Sea A M m n (K) una matriz cualquiera, entonces: 1 La matriz ERF de A, E A, es única. 2 A F E A. Son matrices escalonadas: A = , B =

13 Las siguientes matrices son ERF: A = , B =

14 Definición Sea A una matriz. Se denomina rango de la matriz A al número de filas no nulas de la matriz ERF, equivalente por filas, con dicha matriz. Se denota el rango de la matriz A como ρ(a), o bien Rg(A). Es decir: ρ(a) =: n de filas no nulas de E A. Note que ρ(i n ) = n y que ρ(0) = 0.

15 La matriz A = B = es equivalente por fila con la matriz. Por lo tanto decimos que ρ(a) = 2. Observación Si A M n m (K), entonces ρ (A) mín {n, m}.