TEMA I. Un espacio vectorial es una estructura algebraica que se compone de dos conjuntos y de dos operaciones que cumplen 8 propiedades.

Transcripción

1 1 Espacios vectoiales 2 Combinaciones lineales 3 Dependencia e independencia lineal 4 Bases 5 Rango de un conjunto de vectoes 6 Tansfomaciones elementales 7 Método de Gauss TEMA I 1 Espacios vectoiales 1 1 Definición Un espacio vectoial es una estuctua algebaica que se compone de dos conjuntos y de dos opeaciones que cumplen 8 popiedades Conjuntos E = { a, b, c, } vectoes R = {, s, t, } eales Opeaciones Intena a b a + b suma de vectoes R Extena a poducto de eal po vecto a Popiedades 1 a + b = b + a a b 2 ( a + b ) + c = a + ( b + c ) a b c 3 a + 0 = a a 0 = vecto nulo de E 4 a + (- a ) = 0 a - a es el vecto opuesto de a 5 ( a + b ) = a + b R a b 6 ( + s) a = a + s a R s R a 7 (s a ) = ( s) a R s R a 8 1 a = a a 1 2 Popiedades en un espacio vectoial 1 0 a = 0 a 2 0 = 0 R 3 (-1) a = - a a 4 Si a = 0 ó bien = 0 ó bien a = 0 1

2 a 1 3 Ejemplo : Los espacios vectoiales E = R n (n 2) a = (, a 2, a 3 ) Ej : a = (-1, 7 2) (, a 2, a 3 ) + (b 1, b 2, b 3 ) = ( + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) (, a 2, a 3 ) = (, a 2, a 3 ) Vecto nulo de R 3 : 0= (0, 0, 0) Opuesto de (, a 2, a 3 ) = (-, -a 2, -a 3 ) 2 Combinaciones lineales 21 Definición E es un e v, a 2,, a p Se dice que a es una combinación lineal de los vectoes a 1, a 2,, a p si existen númeos eales 1, 2,, p tales que a = 1 a1 + 2 a2 + + p a p 1, 2,, p se llaman coeficientes del vecto a especto de a 1, a 2,, a p 2 2 Definición Se dice que, a 2,, a p son un sistema geneado (s g) de E si cualquie vecto de E se puede pone como combinación lineal de los vectoes, a 2,, a p Ej : (x, y) = 1 (-1, 3) + 2 (2, 1) = x = x = y = -2y 1 = (-x +2y)/ 7 2 = (3x + 4)/7-7 1 = x - 2y (10, 20) = 30/7 (-1, 3) + 50/7 (2, 1) 3 Dependencia e independencia lineal 3 1 Definición E es un e v, a 2,, a p, a 2,, a p son linealmente independientes si de la igualdad 1 a1, 2 a2,, p a p = 0 se deduce necesaiamente que 1 = 0, 2 = 0,, p = Definición E es un e v, a 2,, a p, a 2,, a p son linealmente dependientes si la igualdad 1 a1, 2 a2,, p a p = 0 puede se también cieta aún en el caso de que algún 0 Ejemplos E = R 3 ❶ (1, 2, -1) (0, 3, -2) (0, 0, 4) son linealmente independientes 1 (1, 2, -1) + 2 (0, 3, -2) + 3 (0, 0, 4) = (0, 0, 0) 1 = 0 1 = = 0 2 = = 0 3 = 0 2

3 ❷ (1, 2, -1) (0, 3, -2) (4, -1, 2) son linealmente dependientes 1 (1, 2, -1) + 2 (0, 3, -2) + 3 (4, -1, 2) = (0, 0, 0) = 0 1 = = = = 0 2 = = = = Teoema, a 2,, a p son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede pone como combinación lineal de los estantes 4 Bases 4 1 Definición, a 2,, a p {, a 2,, a p } son una base de E si : 1 {, a 2,, a p } son un sistema geneado de E 2 {, a 2,, a p } son linealmente independientes 4 2 Ejemplos ❶ e 1 = (1, 0, 0) e 2 = (0, 1, 0) e 3 = (0, 0, 1) foman una base de R 3 : base canónica - Son un sistema geneado de R 3? Sea (x, y, z) (x, y, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) (2, -3, 7) = 2 (1, 0, 0) - 3 (0, 1, 0) + 7 (0, 0, 1) - Son linealmente independientes? t 1 (1, 0, 0) + t 2 (0, 1, 0) + t 3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0) t 1 = t 2 = t 3 = 0 ❷ = (1, -1, 0) a 2 = (1, 0, 1) - Son un sistema geneado de R 3? Sea (x, y, z) (x, y, z) = 1 (1, -1, 0) + 2 (1, 0, 1) + 3 (0, 2, 1) = x = x + y 2 = - x - y + 2z = y = -z 1 = 2x + y - 2z = z 3 = x + y - z - Son linealmente independientes? t 1 (1, 0, 0) + t 2 (0, 1, 0) + t 3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0) t 1 + t 2 = 0 - t t 3 = 0 t 1 = t 2 = t 3 = 0 t 2 + t 3 = 0 a existen númeos eales 1, 2,, p tales que a = 1 a1 + 2 a2 + + p a p t 1 a1, t 2 a2,, t p a p = 0 obliga a que t 1 = t 2 = = t p = 0 a 3 = (0, 2, 1) foman una base de R Popiedad En un espacio vectoial E todas sus bases tienen el mismo númeo de vectoes 3

4 4 4 Definición Se llama dimensión de un espacio vectoial E y se escibe dim E al númeo de vectoes cualquiea de sus bases dim R 2 = 2 dim R 3 = 3 dim R 4 = Teoema Sea dim E = n, a 2,, a p entonces se cumple : ❶ a 1, a 2,, a p son linealmente independientes p n ❷ a 1, a 2,, a p son linealmente independientes y p n a 1, a 2,, a p es una base de E ❸ p > n a 1, a 2,, a p son linealmente dependientes 4 6 Definición Si {, a 2,, a n } es una base de E y si a se puede pone como a = 1 a1 + 2 a2 + + n a n entonces 1, 2,, n son coeficientes de vecto a especto de la base, a 2,, a n 5 Rango de un conjunto de vectoes 5 1 Definición, a 2,, a p Se llama ango del conjunto de vectoes, a 2,, a p al máximo númeo de vectoes linealmente independientes que podemos enconta en él 5 2 Ejemplo Rango {(-1, 3, 0) (2, 4, 1) (-8, -6, 3)} = 2 (-1, 3, 0) y (2, 4, 1) (-8, -6, 3) = 2(-1, 3, 0) - 3(2, 4, 1) 1 (-1, 3, 0) + 2 (2, 4, 1) = 0 1 = = 0 2 = 0 Un único vecto es l i excepto si es el nulo Una sucesión de vectoes en la que esté el nulo es l d Una sucesión de vectoes en la que haya uno epetido es l d Una sucesión de vectoes en la que haya un múltiplo de uno de ellos es l d 6 Tansfomaciones elementales 6 1 Definición u 1, u 2,, u p Hace una tansfomación elemental en este conjunto es hace alguno de los siguientes cambios : ❶ Cambia el oden de dos vectoes ❷ Cambia un vecto po el que esulta de multiplica ese vecto po un númeo cualquiea distinto de ceo ❸ Cambia un vecto po el que esulta de suma a ese vecto algunos cualquiea de los otos multiplicado po un númeo cualquiea 4

5 6 2 Ejemplo (3, 1, 0) (-1, 2, 1) (-1, 2, 1) (-1, 2, 1) (-1, 2, 1) (-1, 2, 1) (3, 1, 0) (3, 8, 3) (-6, -18, -6) (-6, -18, -6) (3, 8, 3) (3, 8, 3) (3, 1, 0) (3, 1, 0) (5, 11, 4) 6 3 Popiedad Sean u 1, u 2,, u p y v 1, v 2,, v p dos conjuntos de vectoes de E con la paticulaidad de que el segundo se ha obtenido del pimeo mediante la aplicación de algunas tansfomaciones elementales Entonces se veifica : ❶ Si { u 1, u 2,, u p } son l i { v 1, v 2,, v p } son l i ❷ Si { u 1, u 2,, u p } son l d { v 1, v 2,, v p } son l d ❸ Rango { u 1, u 2,, u p } = Rango { v 1, v 2,, v p } 7 Método de Gauss 7 1 Definición Una matiz de m filas y n columnas es un cuado fomado po m n númeos eales colocados de la foma siguiente : a11 a12 a1 n a21 a22 a2n a a a m1 m2 mn Las m filas son vectoes de R n = vectoes fila Las n columnas son vectoes de R m = vectoes columna 7 2 Ejemplo vectoes fila de R 3 : (2, 0, -1), (4, -2, 3), (0, 0, 2) y (3, 1, -5) 3 vectoes columna de R 4 : , y 2 5 Se suele tabaja con vectoes fila 5

6 7 3 Definición Una matiz escalonada po filas es aquella en la que el númeo de ceos que peceden al pime elemento no nulo de cada fila es mayo que en la fila de encima Popiedad En una matiz escalonada po filas, el ango del conjunto de vectoes fila coincide con el númeo de filas no nulas Rango (1, 2, 0, 1, 3) (0, 3, 1, 0, 4) (0, 0, 0, 1, 1) (0, 0, 0, 0, 2) = 4 Rango (1, 3, 0, 1) (0, 0, 5, 0) (0, 0, 0, 2) (0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0) = Método de Gauss Es un pocedimiento paa calcula el ango de cualquie conjunto de vectoes Consiste en da los siguientes pasos : ❶ Se foma una matiz cuyas filas sean los vectoes del conjunto dado ❷ Se efectúan tansfomaciones elementales sobe los vectoes fila hasta consegui que la matiz quede escalonada po filas ❸ Entonces, según las popiedades 6 3 Y 7 4, El ango del conjunto inicial de vectoes coincide con el númeo de filas no nulas de la matiz que ha quedado escalonada po filas 6