PAUTA CONTROL 3 CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES, 2014/1

Transcripción

1 PAUTA CONTROL CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES, 14/1 (1) (a) Demueste que el máximo de la función x y z sobe la esfea x + y + z = a es (a /) y que el mínimo de la función x + y + z sobe la supeficie x y z = (a /) es a. Consideamos en pime luga el Lagangeano L(x, y, z, λ) = x y z λ(x + y + z a ) y suponemos que (x, y, z) es el máximo de la función x y z. Entonces, po la condición de pime oden paa máximos con esticciones, tenemos: x = xy z λx =, y = x yz λy =, x = x y z λz = y además λ = x + y + z a =.[, 5punto] Como se tata de un máximo de la función x y z, las vaiables x, y y z son distintas de ceo [,5 punto]. Entonces, de las tes pimeas ecuaciones se deduce que λ = x y = x z = y z, lo que implica que x = y = z. Entonces, po la esticción vemos que x = a, de donde el valo del máximo es.[, 5punto] Ahoa consideamos la segunda pate, escibiendo el Lagangeano coespondiente L(x, y, z, λ) = x + y + z λ(x y z ). Si (x, y, z) es mínimo de la función x + y + z sujeto a x y z = (a /), debe tenese que x = x λxy z =, y = y λx yz =, x = z λx y z = 1

2 PAUTA CONTROL CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES, 14/1 y además λ = x y z =.[, 5punto] Como (x, y, z) satisfacen la esticción, sabemos que son todos no nulos, entonces podemos multiplica las tes pimeas ecuaciones po x, y y z, espectivamente obteniendo que y de donde vemos que x = λx y z, y = λx y z z = λx y z, x = y = z, [, 5punto] peo entonces, eemplazando en la última ecuación, la esticción, vemos que (x ) =, así que x = a / = y = z. En consecuencia el valo de la función es x + y + z = a.[, 5punto] (b) Considee la supeficie S definida po F (p) = y un punto q fuea de ella, donde F : R R es una función de clase C 1 y F (p) paa todo p S. Encuente la condición que debe satisface un punto p S que esté a mínima distancia de q. Intepete geométicamente. Se tata de minimiza la función p q sujeto a la condición F (p) =. En un punto de mínimo debe satisfacese que (p, λ) es un punto cítico del Lagangeano L(p, λ) = p q λf (p).[1punto] Entonces, deivando con especto a las componentes de p y a λ vemos que así que (p q ) λ F (p) = y F (p) =, [1punto] p q = λ F (p). Como q no petenece a la supeficie tenemos que p q y λ. Geométicamente, esto significa que p q es nomal a la supeficie o es paalelo al vecto nomal a la supeficie. [1 punto] () (a) Calcula el volumen del sólido que se foma al intesecta el cilindo x + y x con los planos z = y x + y z =. La base del cilindo es la cicunfeencia C : (x ) + y =, [, 5punto] 4

3 V = PAUTA CONTROL CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES, 14/1 que se obtiene completando el cuadado. cuestión se puede escibi como V = 1, que se puede escibi como V = que implica C V = C S x+y 1 x + y. Altenativamente, se puede escibi diectamente V = x + y. C El volumen del sólido S en Paa calcula esta integal podemos enconta los límites de integación paa la cicunfeencia, descibiéndola como C = {(x, y) / x, 4 (x ) y 4 (x ) }, lo que pemite escibi la integal V = Integando obtenemos = = (xy + y ) x 4 (x ) (x + y)dydx.[1punto] 4 (x ) 4 (x ) dx 4 (x ) 4 (x ) dx (x ) 4 (x ) dx + 4 (x ) dx[, 5punto] Paa la pimea de estas integales hacemos un cambio de vaiables u = x y vemos que (x ) 4 (x ) dx = u 4 u du = po simetía. Con especto a la ota integal podemos ve que 4 (x ) dx = 1 π( ), [, 5punto] intepetando la integal como el áea bajo la cuva (media cicunfeencia). Esta integal también se puede hace usando un cambio de vaiable tigonomético, po ejemplo. Con todo esto, el volumen pedido es V = π( ) [, 5punto]

4 4 PAUTA CONTROL CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES, 14/1 x y (b) Suponga que f es una función continua y que a >. Demueste que x y f(z)dzdydx = 1 Usando el teoema de Fubini obtenemos f(z)dzdydx = = = z z = 1 z y f(z) f(z)(z a) dz. f(z)dxdydz [1, 5punto] y dxdydz f(z)(a y)dydz f(z)(a y) a zdz = 1 f(z)(a z) dz. [1, 5punto] () (a) Dé condiciones paa que las ecuaciones x = u + v, y = u + v, z = u + v definan a z como función de x e y. Calcule x, y. Consideamos el sistema de ecuaciones x u v = y u v = z u v = y buscamos una condición paa pode despeja las vaiables (z, u, v) en función de (x, y). Paa ello es necesaio que el deteminante de Jacobiano de la función que define el lado izquiedo de la ecuación, con especto a las vaiables que queemos despeja ((z, u, v)) sea no nulo, es deci, 1 1 u v = 1 ( v + u) = (u v). 1 u v Así la condición es u v [1, 5punto]. Paa enconta x, deivamos la ecuación con especto a x, consideando (z, u, v) funciones de (x, y). Obtenemos el sistema de ecuaciones lineales u x v x = 1, u u v v x x =, u v u v x x x =. De las pimeas dos ecuaciones despejamos fácilmente u x = v u v, v x = u u v

5 PAUTA CONTROL CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES, 14/1 5 y usando la tecea ecuación obtenemos x = v u u v + u v = uv. [1, punto] u v Paa enconta y, deivamos la ecuación con especto a y, consideando (z, u, v) funciones de (x, y). Obtenemos el sistema de ecuaciones lineales u y v y u u v v y y u v u v y y y =, = 1, =. De las pimeas dos ecuaciones despejamos fácilmente u y = 1 (v u), v y = 1 (v u) y usando la tecea ecuación obtenemos y = 1 u (v u) + 1 v (v u) = (u + v). [, 5punto] (b) Considee la función f : R R definida po f(x, y, z) = (z cos(xy), zsen(xy), x + z). Mueste que la función f admite una función invesa en un egión cecana al punto (1,, 1). Calcule la matiz Jacobiana de la invesa de f en (1,, 1). es f biyectica? Calculamos en pime luga el Jacobiano de la función f: zysen(xy) zxsen(xy) cos(xy) zycos(xy) zxcos(xy) sen(xy) 1 1. Evaluando en el punto (1,, 1) obtenemos = 1. Como el Jacobiano es no nulo, el Teoema de la Función Invesa gaantiza que en una egión cecana a (1,, 1) la función f tiene invesa [1, 5punto]. La matiz Jacobiana de la función f 1 en el punto f(1,, 1) = (1,, ) es la invesa de la matiz Jacobiana de f, es deci, Tenemos Df 1 (1,, ) = (Df(1,, 1)) 1. 1 Df(1,, 1) =

6 6 PAUTA CONTROL CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES, 14/1 La invesa de esta matiz se puede enconta con divesos métodos, po ejemplo, con el método de Came. La matiz adjunta es de donde obtenemos la invesa (Df(1,, 1)) 1 = = 1 1 1, que es la matiz buscada. [1punto] La f no es biyectiva, pues po ejemplo, f(,, ) = f(,, ) (y muchos otos ejemplos) [, 5punto].