v L G M m =m v2 r D M S r D

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1 Poblemas de Campo Gavitatoio 1 Calcula la velocidad media de la iea en su óbita alededo del ol y la de la luna en su óbita alededo de la iea, sabiendo que el adio medio de la óbita luna es 400 veces meno que el de la óbita teeste y que el peiodo de evolución luna es 13,38 veces meno que el de la teeste. ( m) ean y el adio y peíodo de la una alededo de la iea y y el adio y peíodo de la iea alededo del ol; conocemos m y 1 año 3, s y sabemos que as espectivas velocidades lineales obitales seán: v π π 13,38 v ; v 400 ustituyendo los valoes de y : v, m/s v 9,9 10 m/s y ,38 3 El adio de la óbita de la una en tono a la iea es de km; el peíodo de evolución es de 8 días. El adio de la óbita del cuato satélite de atuno, es el mismo, peo su peíodo de evolución es de,8 días. Cuál es la masa de atuno en elación a la de la iea suponiendo óbitas ciculaes? Calculamos la velocidad de gio de la una en tono a la iea: v π m 1 038,9 m/ s s a velocidad del satélite seá: v D π m 10388,9 m/ s., s Conocidas estas velocidades y sabiendo que: G M m m v v G M. En el caso de la iea: v G M y v G M D D v v D G M G M D M D M 1038, ,9 0,1 M M D M M 0,1 0,01 M 10 M 4 os cometas Halley y Kohoutek tienen peíodos de 76 años y unos 106 años espectivamente, uponiendo, paa simplifica, que sus óbitas sean ciculaes, calcúlense sus distancias medias al ol, así como sus velocidades medias. Datos: distancia iea - ol 1, km. Conocido el peíodo de la iea en su gio en tono al ol 3, s y la distancia iea - ol podemos calcula la constante de Kepple: 3 os peíodos de los cometas seán: H , s K 7 ( 3,15 10 s) 19 s, ( 1,5 10 m) m

2 K , s ustituyendo estos datos: H ( H k ) 1/3, m ; K ( K Conocidos los adios, las velocidades vienen dadas po: v H π H H 7 077,4 m/s ; v K π K 6 390,3 m/ s K k ) 1/3 3, m. 5. Dados dos cuepos con masa m y m situados a una distancia, en qué elación se ataeán dos cuepos con masas m 1 m y m m situados a una distancia? Utilizando la ley de gavitación univesal, tenemos que la atacción ente m y m es de atacción ente m 1 y m seá: F G m 1 m ( 4 ) G existe ente m y m. m m G m m 4 F G M m. a fueza, luego la fueza es idéntica a la que 6. Cómo se elaciona la aceleación centípeta de un planeta situado en la óbita de adio con la velocidad angula de dicho planeta? a) aω b) aω c) aω d ) a ω a solución coecta es la a); esto puede vese además po agumentos dimensionales. i la aceleación tiene dimensiones [a] [] [ - ], [] [] y [w] [ -1 ] y dado que las dimensiones han de se las mismas a ambos lados de la igualdad, esto sólo es posible en el caso a), es deci, [a] [] [ - ] ω [ - ] [] 7. Una masa se encuenta situada en el vétice de un cuadado de 3 m de lado, habiendo en los otos vétices masas iguales, de valo 10 kg cada una. Enconta la aceleación de la masa debida a la inteacción gavitatoia con las demás. Dato G6,67*10-11 I

3 4 F 4 F 3 45º F 3 g x g 4 +g 3 cos 45º 7, , i N / Kg g y g + g 3 sen 45º 7, , j N / Kg módulo g1, m/s. 8. os adios de la iea y de Mate son, espectivamente, km y km. a masa de la iea es 9,5 veces la de Mate. El valo de la aceleación de la gavedad en la supeficie de Mate en elación con la iea Aplicando la ecuación g G m a la iea y Mate, se tiene: g G m donde m y son la masa y el adio de la iea espectivamente, y m M y M los de Mate. Dividiendo miembo a miembo la segunda ecuación ente la pimea, esulta: g M m M g m 1 M 9,5 ( ) 0,373 y g M G m M M, 9.Estudia la densidad de la iea haciendo uso de la ley de gavitación de Newton. Datos: : km; g supeficie de la tiea9,81 m/s. a aceleación de la gavedad viene dada po M g G 6,0 104 kg. gg M 9,8 m s ; despejando M se obtiene: i suponemos que la iea es una esfea pefecta cuyo volumen es V 4 3 π 3 1, m 3, la densidad po tanto seá: ρ M V 5, kg m a masa de la iea es 80 veces la de la una y su adio 4 veces mayo. Calcula el valo de la aceleación del campo gavitatoio en la supeficie luna en función de la iea.

4 a aceleación de la gavedad viene dada po g G M siendo M la masa del planeta y su adio. a aceleación en la una seá: g G M y la de la iea: g G M, la masa de la una se elaciona con la de la iea como M M 80 y sus adios 4. a aceleación en la suma G M 80 seá así: g 16 G M g En que punto ente la iea y la una la fueza gavitatoia neta sobe un objeto es ceo? M m M O El módulo de la fueza gavitatoia sobe un objeto situado ente la iea y la una vendá dado po: F g GM m + GM m (d ) iendo, d la distancia ente la iea y la una. Igualando F g 0, tenemos: GM m + GM m ( d ) 0 M M (d ) d 1+( M M ) 1/ 1 a densidad del oo es 19, kg/m 3. Qué tamaño tiene una esfea de oo macizo paa que la aceleación de la gavedad en su supeficie sea igual a 9,81 m/s? Compuebe su espuesta compaándolo con el adio de la iea, cuya densidad es de 5, kg/m 3. a aceleación de la gavedad viene dada po: g GM/ ; conocida g 9,81 m/s y sabiendo que la masa es M ρ 4 3 π 3 (suponiendo la iea una esfea pefecta), tenemos que ρ 4 3 π 3 gg 4 3 πρg ustituyendo los datos del poblema, obtenemos el adio de la esfea de oo:

5 9, π 19,3 103 G 1,8 19, km. El adio de la iea es de km, y dado que su densidad es meno, es coheente que su adio sea mayo. 13 i el diámeto del ol es 100 veces el de la iea y la aceleación de la gavedad en la supeficie sola es 7 veces la de la supeficie teeste, cuántas veces mayo es la masa del ol que la de la iea? a fueza que actúa sobe un cuepo de masa m en la supeficie de un planeta de masa M y adio es, po una pate, igual a supeficie. Po tanto, G M m y, po ota igual al peso m g siendo g la aceleación de la gavedad en la g G M. G M En el caso del ol: g. G M En el caso de la iea: g g M M g Po tanto: g M M g Como en este caso g 7 g y 100 : M M M, M 14 A qué velocidad debe se puesta en óbita una nave espacial paa que cicunde la iea pácticamente a as del suelo? Datos: adio de la iea 6, m masa de la iea kg. enemos un objeto obitando ciculamente la iea pácticamente a as de tiea, po tanto el adio de la óbita es apoximadamente el adio de la iea. Dado que se tata de un movimiento cicula bajo una fueza gavitatoia tenemos: m v G M m v G M. ustituyendo los datos del poblema: Nm v( 6, kg kg ) m 6, m 7,9 103 s 15 Cuál seá el peíodo de un satélite cuya velocidad lineal es v 7 17 m/s? Datos: 5 4 IEA. adio de la iea 6, m

6 Paa halla el peíodo, ecodamos que vω π. Despejando y teniendo en cuenta 5 4, tenemos: 5 π v s1, 94 h. 16 Calcula la altua sobe la supeficie teeste a la que debemos coloca un satélite paa que ealice una óbita geoestacionaia; Dato: M kg. El peíodo de la iea es de 4 h y el del satélite al se geoestacionaio, es po tanto el mismo. abiendo que la fueza gavitatoia es igual a la centífuga y que la velocidad seá v π tenemos: G M ( π ) ( M 1/3 G 4 π ) (7, m 3 ) 1/3 4, m, donde es el adio de la óbita. a altua del satélite seá así: h - 3, m. 17. Un satélite descibe una óbita plana de adio y peíodo en tono a un planeta. Da una expesión de la masa del planeta en téminos de ambos datos obsevables. ea M la masa del planeta y m la del satélite; si éste gia alededo del pimeo con velocidad angula ω, la fueza centípeta que poduce el movimiento es: F C m v m ω m ( π ) 4 π m Ahoa bien, esta fueza centípeta no es ota que la fueza gavitatoia, pues ésta coesponde al único campo eal de fuezas pesente en el poblema: F G G M m G M m Como F G F C 4 π m M 4 π 3 G.

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