CAMPO ELÉCTRICO 7.1. FENÓMENOS DE ELECTRIZACIÓN 7.2. LEY DE COULOMB

Transcripción

1 7 CAMPO ELÉCTRICO 7.. FENÓMENOS DE ELECTRIZACIÓN. Un péndulo electostático es un dispositivo fomado po una esfea ligea, de mateial aislante, suspendida de un hilo de masa despeciable. Utilizando ese dispositivo, explica los siguientes fenómenos: a) Si acecamos al péndulo una baa de ámba, de plástico o de ebonita fotada peviamente con lana, se ataen, peo, si entan en contacto, se epelen. b) Si epetimos la expeiencia con una baa de vidio que hemos fotado con una tela de seda, se poduce de nuevo el mismo fenómeno. c) Si, peviamente fotadas, apoximamos simultáneamente la baa de ámba y la baa de vidio al péndulo, sin que las dos baas estén en contacto, sobe el péndulo no se poduce ningún efecto. d) Al aceca dos péndulos que han estado en contacto con sendas baas de ámba o de vidio fotadas, se epelen. Peo si uno de los péndulos ha estado en contacto con una baa de vidio y el oto con una baa de ámba, ambas fotadas, al acecalos se ataen. Paa intepeta los fenómenos que descibe el enunciado, hemos de supone que, al fotalas, las baas adquieen una popiedad a la que denominamos caga eléctica. Teniendo esto en cuenta: a) La caga que adquiea la baa de ámba, plástico o ebonita es negativa; al acecala al péndulo atae electostáticamente las cagas positivas inducidas en este (cuepo inicialmente neuto a nivel electostático). Cuando se tocan la baa y el péndulo, se tansfieen electones a este último, que ya no seá neuto. Se poduce entonces una epulsión electostática. b) La caga que adquiee el vidio es positiva. La atacción se poduce en este caso ente ella y la caga negativa que induce en el péndulo, y la epulsión, ente cagas positivas después de enta en contacto la baa y el péndulo. c) Ello es debido a la existencia de dos tipos opuestos de caga: negativa, la que adquiee el ámba, y positiva, la que adquiee el vidio tas fotalos. d) Este fenómeno confima la existencia de dos tipos opuestos de caga. En el pime caso, se epelen, ya que a ambos péndulos se les ha tansfeido el mismo tipo de caga (negativa el ámba, y positiva, el vidio); en el segundo caso, el vidio tansfiee a un péndulo caga positiva y el ámba, al oto, caga negativa, po lo que se ataen electostáticamente. 7.. LEY DE COULOMB. La distancia que sepaa ente sí los dos potones de un núcleo de helio es del oden de fm (0 5 m): Unidad 7. Campo eléctico

2 a) Calcula el módulo de la fueza que ejece cada uno de los potones sobe el oto. b) Esta fueza, es de atacción o de epulsión? Dato: q p =,6 0 9 C a) El módulo de la fueza que ejecen ente sí dos cagas elécticas viene dado po: F K Q q 9 6, 0 6, 0 = = ( 0 ) 9 9 = 30, 4 N b) La fueza es de epulsión, dado que las cagas son del mismo signo, positivo.. Cómo podemos justifica la estabilidad nuclea de un átomo que tenga más de un potón en el núcleo? La estabilidad nuclea es poducida po la fueza nuclea fuete, que mantiene unidos ente sí los nucleones, a pesa de la epulsión electostática. Estudiamos esta inteacción en la última pate del libo, en la unidad de física atómica y nuclea. Si mantenemos constantes las demás vaiables (tipo de patículas, caga, masa y distancia a que se encuentan), la intensidad de la fueza nuclea fuete que actúa ente dos patículas es más de cien veces supeio a la intensidad de la fueza electostática INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO. Calcula la intensidad del campo eléctico que cea en el oigen del sistema de efeencia un dipolo fomado po dos cagas, de mc y mc, situadas en (,0) m y (,0) m, espectivamente. Si colocamos en el oigen del sistema de efeencia una caga de 5 mc, a qué fueza eléctica estaá sometida? La epesentación esquemática de la situación física que plantea el enunciado de la actividad es la siguiente: y (m) q = mc u u q = mc (,0) (,0) x (m) En pime luga, calculamos los vectoes unitaios que unen las cagas con el oigen del sistema de efeencia: u u = i = i Unidad 7. Campo eléctico

3 La intensidad del campo eléctico es una magnitud aditiva, po lo que, aplicando el pincipio de supeposición en el oigen del sistema de efeencia, tendemos: q q E = = k u u T i = = 3 = i ( i) = 8 0 i N C La fueza eléctica a que estaá sometida una caga de 5 mc situada en el oigen del sistema de efeencia seá: F = q E F = ( i ) = 9 0 i N. Calcula el luga geomético de los puntos del plano XOY en los que se anula el campo eléctico que cean dos cagas iguales situadas en (,0) m y (,0) m. Paa esolve la actividad, necesitas conoce el valo de las cagas? Y el medio en que se encuentan? Po qué? La posición de las cagas es la misma que la epesentada en la actividad anteio, peo en este caso las dos cagas tienen idéntico valo y signo. El campo eléctico ceado en cada punto po las dos cagas es la suma de los campos ceados po cada una de ellas en ese punto, po lo que podemos aplica el pincipio de supeposición paa calcula la intensidad del campo eléctico en cualquie punto: Q Q E = E = K u u K Q u u T i i = = donde hemos tenido en cuenta que las dos cagas son iguales. Po tanto, en los puntos en que se anula el campo eléctico tenemos: E = 0 u u T = 0 Es fácil compoba que el único punto paa el que se cumple esta elación es el punto medio ente las dos cagas, que en este caso es el oigen de coodenadas, paa el cual: = u = u No es necesaio conoce el valo de las cagas ni el medio en que se encuentan, puesto que, como vimos en la actividad anteio, estos dos valoes afectan popocionalmente al campo eléctico ceado po las dos cagas POTENCIAL ELÉCTRICO. Explica el concepto de potencial eléctico. Qué potencial eléctico cea una caga puntual? Dibuja en un sistema de coodenadas, de foma apoximada, cómo vaía el potencial con la distancia a la caga. Dibuja sus supeficies equipotenciales. Unidad 7. Campo eléctico 3

4 El potencial eléctico de un punto situado en el seno de un campo eléctico es la enegía potencial que posee la unidad de caga positiva en el punto: V = K q A difeencia del campo eléctico o la fueza eléctica, el potencial eléctico es una magnitud escala; su signo es el mismo que el de la caga que cea el campo. La epesentación gáfica apoximada de la vaiación del potencial eléctico con la distancia a la caga puntual que cea el campo es la que se muesta a continuación: V En este caso, hemos consideado que la caga puntual que cea el campo es positiva. Obseva que el potencial eléctico se anula a una distancia infinita de la caga que lo cea. Las supeficies equipotenciales (líneas gises discontinuas) asociadas a una caga puntual positiva son las que se muestan en la siguiente ilustación:. Sean dos cagas puntuales a las que se mantiene en eposo y sepaadas cieta distancia. Si el potencial en los puntos del espacio que equidistan de las dos cagas es nulo, qué se puede afima aceca de las cagas? El potencial eléctico que cea una caga puntual Q en un punto situado en el seno de un campo eléctico a una distancia es: V = K Q De acuedo con el pincipio de supeposición, el potencial ceado po ambas cagas es: V = V V = K Q K Q Unidad 7. Campo eléctico 4

5 Si imponemos la condición que indica el enunciado del poblema, se obtiene: = = V = K Q K Q = 0 Q = Q Po tanto, las dos cagas, iguales en valo y de signo opuesto, sepaadas una cieta distancia, foman un dipolo eléctico TEOREMA DE GAUSS. Dado un campo vectoial definido en cada punto po el vecto: en el que K es una constante: a) Calcula el flujo de dicho campo a tavés de una supeficie esféica centada en el oigen de coodenadas, de adio 3 cm. b) Resuelve de nuevo el apatado anteio suponiendo ahoa que el adio de la esfea es de 4 centímetos. c) Se cean, o desapaecen líneas de campo ente ambas esfeas? Ten en cuenta los esultados obtenidos en los dos apatados anteioes antes de esponde. d) Es consevativo el campo de fuezas deivado de dicho campo vectoial? a) Paa calcula el flujo, utilizamos la expesión: El vecto supeficie tiene diección adial, al igual que el vecto campo; es deci, ambos vectoes son paalelos. Po tanto: Paa = 3 obtenemos: A K u = 3 φ= AdS d φ = A ds = A ds cos 0º = A ds φ = A ds = A ds = A S = A 4 π = K 4 π K = 4 π = 3 4 φ = π K Wb 3 b) Del mismo modo, paa = 4: φ=π K Wb c) En los apatados anteioes se ha obtenido un valo paa el flujo que disminuye con la distancia. Teniendo en cuenta que el flujo es popocional a las líneas de fueza del campo que ataviesan la supeficie, en este caso desapaecen líneas de fueza al pasa de la pimea a la segunda esfea. Unidad 7. Campo eléctico 5

6 d) El esultado obtenido en el apatado anteio nos pemite afima que el campo de fuezas no es consevativo APLICACIONES DEL TEOREMA DE GAUSS. Calcula, aplicando el teoema de Gauss, el valo de la intensidad que coesponde a los siguientes campos: a) Campo gavitatoio ceado po una esfea maciza y homogénea, de adio R y masa M, en puntos situados en su inteio. b) Campo eléctico ceado po una caga esféica homogénea, de caga Q y adio R, en puntos situados en su inteio. c) Campo eléctico que cea la caga anteio en puntos situados en su exteio. a) El teoema de Gauss se puede aplica al cálculo del campo eléctico y del gavitatoio. De acuedo con este teoema, en un campo vectoial consevativo, como el campo gavitatoio, el flujo que ataviesa una supeficie ceada es constante: Los puntos situados en el inteio de la esfea cumplen la elación: < R. El campo gavitatoio que cea una esfea de adio R es conocido. Po tanto, podemos calcula el valo de la constante que apaece en la expesión anteio: = = = u 4 R u = 4 π G M Φ g g ds g ds G M R π R esfea esfea El campo gavitatoio ceado en puntos situados en el inteio de la esfea seá, entonces: Φ Φ g g Φ g = g ds = cte sup. ceada = g ds = g ds cos 80 = g ds esfea esfea esfea = cte = 4 π G M = g ds = g 4 π int esfea En foma vectoial: g G M int = ; < R g G M int = u ; < R b) La caga se epate po la supeficie; al se nula la caga enceada, el campo eléctico en el inteio, de acuedo con el teoema de Gauss, es nulo. c) En el exteio de la caga, > R. Po tanto, aplicando el teoema de Gauss, se obtiene: Unidad 7. Campo eléctico 6

7 Φ E Q = = E ds = E ds cos 0 = E ds = E ds = ε esfea esfea esfea esfea Q Q = E 4 π = E = ε 4 π ε ; > R ACTIVIDADES DE LA UNIDAD CUESTIONES. Explica el concepto de campo eléctico ceado po una o po vaias patículas cagadas. Se denomina campo eléctico a cualquie egión del espacio en la que una caga eléctica está sometida a una fueza eléctica. La intensidad de campo eléctico, E, en un punto es la elación que existe ente la fueza que el campo ejece sobe una caga situada en dicho punto y dicha caga: E = Paa calcula la intensidad del campo eléctico ceado po vaias cagas puntuales, podemos hace uso del pincipio de supeposición: E =. Qué es una línea de fueza de un campo eléctico? Las líneas de fueza de un campo eléctico son aquellas en las que el vecto campo eléctico, E, es tangente a ellas en cada punto del campo. 3. Dibuja las líneas de fueza coespondientes a un campo eléctico ceado po dos cagas: una, Q, positiva, y la ota, Q, negativa, sepaadas una cieta distancia. Las líneas de fueza que solicita el enunciado de la cuestión son las que se muestan en la siguiente ilustación: F q n E i i = Unidad 7. Campo eléctico 7

8 4. Enuncia el teoema de Gauss. Utilizando este teoema, compueba que una esfea cagada elécticamente se compota en su exteio como una caga puntual situada en su cento. El teoema de Gauss establece que en un campo vectoial consevativo, el flujo que ataviesa una supeficie ceada es constante. De acuedo con lo obtenido en la esolución del apatado c) de la actividad popuesta en la página 8 del libo del alumno y con lo explicado en el pime apatado de la página 80, la expesión que coesponde al campo eléctico ceado en ambos casos es la misma: E = Q 4 π ε 5. Discute la siguiente afimación: Una caga o una masa en movimiento se mueve, en pesencia de un campo eléctico o gavitatoio, siguiendo las tayectoias de las líneas del campo. Las líneas de fueza del campo eléctico son aquellas en las que el vecto campo eléctico, E, es tangente a ellas en cada punto del campo. Del mismo modo, en el caso del campo gavitatoio, g, dicho vecto seá tangente a ellas en cada punto. Si tenemos en cuenta las expesiones que coesponden a las fuezas eléctica y gavitatoia que se ejecen, espectivamente, sobe una caga q y una masa m: F = q E e F = m g g Se obseva que estas actúan sobe la caga o la masa en la misma diección que el campo coespondiente; po tanto, la afimación que expone el enunciado de la cuestión es vedadea. En el caso del campo eléctico, el sentido del movimiento depende del signo de la caga. 6. Explica el concepto de enegía potencial eléctica y calcula la que tiene una patícula de caga q situada a una distancia de ota caga q. La enegía potencial eléctica que posee una caga q situada en un punto,, situado en el seno de un campo eléctico es el poducto de dicha caga po el potencial eléctico existente en ese punto: E p = q V ( ) La enegía potencial que coesponde a una patícula de caga q situada a una distancia de ota caga, q, es: E p = K q q 7. Un electón, inicialmente en eposo, se pone en movimiento mediante la aplicación de un campo eléctico unifome. Se desplazaá hacia egiones de mayo o de meno potencial electostático? Qué ocuiá si consideamos un potón? Los electones se desplazan, espontáneamente, a egiones de mayo potencial, y los potones, a egiones de meno potencial. Unidad 7. Campo eléctico 8

9 8. Se tienen dos patículas de masas m y m y cagas q y q del mismo signo, como se indica: u m, q m, q Escibe, paa la patícula m, la ley de fuezas de la gavitación univesal y la ley de Coulomb. Comenta las difeencias fundamentales que existen ente ambas leyes. La expesión de la fueza de atacción gavitatoia sobe m, es: F = G m m g Y la que coesponde a la fueza de atacción electostática: F = K q q u e Las difeencias fundamentales que existen ente ambas leyes son: El campo gavitatoio tiene siempe el mismo sentido; las líneas de fueza siempe se diigen hacia la masa que lo cea. Po su pate, el campo eléctico tiene dos sentidos, que dependen del signo de la caga que lo cea: si es positiva, las líneas de fueza salen de la caga, y, si es negativa, las líneas de fueza entan en ella. Al se G una constante univesal, el campo gavitatoio ceado po un cuepo es independiente del medio que lo odea (la inteacción gavitatoia no es debilitada po el medio), lo que no ocue con el campo eléctico, que depende de la constante dieléctica del medio. Las fuezas de inteacción son siempe atactivas en el caso del campo gavitatoio, y en el caso del campo eléctico pueden se atactivas o epulsivas, dependiendo del signo de las cagas elécticas. Si compaamos los valoes de G y de K, encontamos que, paa masas y cagas cuyo valo sea la unidad, la fueza de inteacción electostática es mucho mayo que la gavitatoia: Fueza gavitatoia: F g = G m m d = 6,67 0 = 6,67 0 N Fueza electostática: F e = K q q d = 9 09 = N 9. En un campo eléctico constante de signo positivo, el potencial eléctico: a) Es nulo. b) Es constante. u Unidad 7. Campo eléctico 9

10 c) Disminuye de foma constante. d) Aumenta de foma constante. e) Disminuye con el cuadado de la distancia. El campo y el potencial están elacionados mediante la siguiente expesión: dv = E d Si el campo es constante y el desplazamiento es en el sentido de E : dv = E d dv = E d V = E Si el campo eléctico es constante, el potencial disminuye linealmente con la distancia. La espuesta coecta es c). 0. Una patícula cagada se desplaza en la diección de un campo eléctico, de foma que su enegía potencial aumenta. Qué signo tiene la caga? La elación ente la enegía potencial eléctica y el potencial eléctico es: E p = q V Consideemos dos puntos, A y B, petenecientes al campo eléctico. Se ha de cumpli la condición de que: E p = q V q V = q (V V ) > 0 Si se tataa de un potón, que se mueve espontáneamente a egiones de meno potencial: V < V V V < 0 Como q > 0, se obtendía que su enegía potencial disminuiía: E p < 0 En el caso de un electón, que se desplaza espontáneamente a zonas de mayo potencial: V > V V V > 0 Como en este caso q < 0, su enegía potencial también disminuiía: E p < 0 Po tanto, paa que la enegía potencial aumente, se ha de ealiza tabajo sobe la caga. En ese caso, si la caga se diige hacia potenciales cecientes, se tataía de un potón, y si lo hace hacia potenciales dececientes, un electón. Si suponemos que la patícula, además de movese en la misma diección del campo, lo hace en el mismo sentido, lo haá hacia potenciales dececientes; se tataía, po tanto, de una patícula cagada negativamente.. Si un electón se mueve en la misma diección y sentido que el coespondiente a las líneas de campo de un campo eléctico unifome, su enegía potencial aumentaá, disminuiá o pemaneceá constante? Y si se mueve en diección pependicula a las líneas del campo eléctico? Justifica ambas espuestas. Unidad 7. Campo eléctico 0

11 Como se ha explicado en la cuestión anteio, seá necesaio ealiza un tabajo exteno sobe el electón, que quedaá almacenado en foma de enegía potencial que, po tanto, aumentaá. Si el electón se mueve en diección pependicula a la del campo eléctico, lo estaá haciendo sobe una supeficie equipotencial. Po tanto, su enegía potencial no vaiaá.. Analiza cómo son las líneas de fueza del campo eléctico poducido po un hilo ectilíneo infinito y unifomemente cagado. Como el hilo que se popone es infinitamente lago, las líneas de fueza del campo eléctico que cea seán, po simetía, adiales y diigidas hacia fuea, si la densidad lineal de caga es positiva, y hacia dento si esta es negativa. NOTA: paa completa esta cuestión, se sugiee la lectua del segundo apatado de la página 80 del libo del alumno. 3. En la figua se epesentan algunas supeficies, coespondientes a una zona del espacio donde existe un campo electostático. A V > V > V 3 > V 4 a) Qué diección y sentido tendán las líneas del citado campo eléctico? b) En el instante inicial, t = 0, situamos un electón en el punto A y, desde el eposo, se deja en libetad. Calcula la diección y el sentido de la tayectoia inicial que seguiá. c) Una caga eléctica, se moveá siempe a lo lago de una línea del campo? Justifica la espuesta. a) En las supeficies que muesta la figua, el potencial eléctico se mantiene constante. Las líneas de fueza del campo eléctico y, po tanto, la intensidad del campo eléctico, son pependiculaes a las supeficies equipotenciales con las que se cotan, ya que, en ellas: V = cte dv = 0 dv = 0 = E d = E d cos θ E d La diección y el sentido de las líneas del campo eléctico son los que se muestan en la siguiente ilustación: E q q V > V > V 3 > V 4 Unidad 7. Campo eléctico

12 Como se obseva, las líneas del campo eléctico son líneas tangentes en cada punto al vecto campo. Una caga positiva colocada en un punto de cualquiea de ellas seguiá el camino macado po la línea de fueza. Las cagas positivas se diigen hacia potenciales dececientes y las negativas, hacia potenciales cecientes. b) De acuedo con lo expuesto en el apatado anteio, se moveá en una diección pependicula a la supeficie equipotencial en el punto A, y su sentido estaá diigido hacia los potenciales cecientes. c) Sí; las líneas de campo son las que indican el camino que seguián las cagas elécticas en su movimiento. 4. Cómo es el campo eléctico en el inteio de una esfea metálica cagada? Y el potencial? De acuedo con el teoema de Gauss: Q φe = E ds = ε sup 0 Como la caga enceada po la esfea metálica es nula (ecueda que la caga se distibuye unifomemente po la supeficie de la esfea), el flujo eléctico que la ataviesa es nulo, y, en consecuencia, el campo eléctico en su inteio también lo seá. Si tenemos en cuenta la elación ente el campo eléctico y el potencial eléctico: dv = E d Si E = 0 dv = 0 V = cte Como en el inteio de la esfea el campo eléctico es nulo, el tabajo necesaio paa lleva una caga desde el infinito hasta cualquie punto del inteio de la esfea coincide con el tabajo necesaio paa llevala hasta su supeficie. Po tanto, si consideamos que el adio de la esfea es R, el potencial eléctico en cualquie punto de su inteio es: Q V () = V (R) = 4 π ε 0 R 5. Cieta distibución de cagas, que se encuenta en el inteio de una esfea de m de adio, cea un campo eléctico, pependicula en todo momento a la supeficie de la esfea, que viene dado po: E = E 0 siendo E 0 = 000 V m y la distancia a que nos encontamos del cento de la esfea. Calcula la caga que existe en el inteio de la esfea, suponiendo que está en el vacío. En la supeficie de la esfea, = R. Po tanto, el campo eléctico en su supeficie es: E ( = R) = E R 0 Unidad 7. Campo eléctico

13 Aplicando el teoema de Gauss a la supeficie esféica: Q φ = E ds = ε 0 E0 E ds = E S = 4 π R = E π = 0 4 R Q ε 0 Despejando la caga Q, y sustituyendo los datos del enunciado: Q = E 0 4 π ε 0 = π 8,84 0 =, 0 7 C = 0, µc EJERCICIOS 6. Calcula la intensidad del campo y el potencial en un punto distante 4 metos de una caga puntual de C situada en el vacío. Dato: K = N m C. La intensidad del campo eléctico que cea la caga puntual es: E K Q = u = 9 0 u = u N C 4 En ella, el vecto u, es un vecto unitaio situado en la ecta que une la caga y el punto; al tatase de una caga positiva, el campo eléctico sale de ella. Po su pate, el valo del potencial eléctico, que es una magnitud escala, es: V K Q = = = 3500 V 7. Una caga eléctica de 4 C es llevada desde un punto, donde existe un potencial de 5 V, a oto cuyo potencial es 40 V. Indica si gana o piede enegía y cuánta. El tabajo necesaio paa lleva una caga eléctica de un punto de un campo elécico a oto que se encuenta a distinto potencial es: W = q (V V ) En este caso: W = 4 (40 5) = 00 J ; W = E P E P E P = 00 J El tabajo negativo indica que la caga no se taslada espontáneamente hacia el punto, sino que, como indica el enunciado, la caga es llevada ; es deci, se ealiza un tabajo sobe ella que aumenta su enegía potencial. Po tanto, gana enegía a expensas del tabajo exteio ealizado sobe ella. 8. En el sistema de encendido de un moto de coche hay dos electodos sepaados 0,7 mm. Si el aie comienza a ionizase cuando el campo eléctico alcanza un valo de 3,5 0 6 V m, cuál es la difeencia de potencial que hemos de aplica ente los dos electodos paa que se poduzca la chispa? El objetivo del encendido es povoca una chispa que haga detona la mezcla aiegasolina que se encuenta en el inteio del cilindo. Paa ello, el campo eléctico en- Unidad 7. Campo eléctico 3

14 te los electodos ha de se suficientemente intenso. De este modo, se ioniza el aie y se establece una coiente de cagas elécticas a tavés de él. Los dos electodos y el aie que se encuenta ente ellos, que actúa como dieléctico, foman un condensado. Po ello, el fenómeno consistente en ioniza el aie se denomina también pefoa el dieléctico. La difeencia de potencial mínima que debemos aplica en este caso es: V = E = 0, ,5 0 6 = 450 V 9. Ceca de la supeficie de la Tiea, el campo eléctico tiene un valo apoximado de 50 N C, y está diigido hacia el cento de esta. Calcula el valo de la fueza (módulo, diección y sentido) que expeimenta el núcleo de un átomo de plomo, que contiene 8 potones (q p =,6 0 9 C), al encontase sobe la supeficie teeste. La situación que descibe el poblema es la que se muesta en la figua. Z La elación ente fueza y campo eléctico es: F = q E eléctica Teniendo en cuenta la caga del núcleo del átomo de plomo, así como la diección y el sentido del vecto campo, esulta: F eléctica = q E = 8,6 0 9 ( 50 k ) = X E Y =, k N 0. El núcleo de un átomo de plata tiene caga positiva, debido a los 47 potones que lo foman. Calcula el potencial que cea esta caga en un punto situado a m del cento del núcleo. Debido a la poximidad a la que se encuentan unos de otos, supondemos el conjunto de potones como una caga puntual. El potencial que cea esta caga viene dado po: V = K q Teniendo en cuenta que la caga de un potón es q =,6 0 9 C, el potencial seá: 47, V = = 800 V. Sean dos cagas puntuales Q = q y Q = 4 q colocadas a una distancia d. Razona y obtén en qué punto de la línea definida po las dos cagas el campo es nulo. El punto que cumple la condición que solicita el enunciado del ejecicio seá aquel en el que el vecto campo ceado po cada caga tenga el mismo valo y sus sentidos sean opuestos. De acuedo con la siguiente figua: Unidad 7. Campo eléctico 4

15 E A E E B x Q = q E d Ese punto se encuenta fuea del segmento que une ambas cagas. En el punto A, epesentado en la figua anteio, el módulo del campo eléctico ceado po cada caga es: q q E = K x ; E = K (d 4 x) Si igualamos ambos módulos y despejamos el valo de la distancia, x, obtenemos: q q E = E K x = K (d 4 (d x) = 4 x) x 3 x d x d = 0 Al esolve la ecuación de segundo gado se obtiene: x = d ; x = d 3 Desde el punto de vista físico, la solución válida es la pimea; po tanto: x = d. Considea dos cagas puntuales fijas q = µc y q = µc sepaadas una distancia L = 30 cm. Detemina la distancia a q del punto sobe la ecta que une ambas cagas donde el potencial eléctico es nulo. Es también nulo allí el campo eléctico? El potencial eléctico es una magnitud escala que tiene el mismo signo que la caga que cea el campo; paa calcula el potencial eléctico ceado po vaias cagas puntuales, se puede aplica el pincipio de supeposición. De acuedo con el siguiente esquema: q = µc A q = µc x (0,30 x) m el potencial ceado en el punto A seá: 0,30 m V = V V = K Q Q K x 0,3 x Si imponemos la condición de que el potencial eléctico se anula en ese punto: V = x = 0 0,3 x Unidad 7. Campo eléctico 5

16 = 0,3 0,3 x = x x = 0,3 = 0, m x x 3 Po tanto, el potencial eléctico se anula a 0, m de la caga positiva. En cuanto al campo eléctico, obseva, que, en cualquie punto del segmento que une ambas cagas, el campo eléctico que cean está diigido hacia la deecha; po tanto, nunca seá nulo el campo en ningún punto peteneciente a este segmento. En paticula, en el punto A, el módulo del campo eléctico ceado po ambas cagas es: E = E E = K Q Q K = x (0,3 x) , (0,3 0,) =, N Su sentido está diigido hacia la deecha. 3. Cuato cagas elécticas de 0 nc, nc, 0 nc y 5 nc están colocadas en los vétices de un cuadado de, m de lado. Calcula el valo del potencial eléctico en el cento del cuadado. El potencial eléctico es una magnitud escala cuyo valo podemos obtene sumando algebaicamente los potenciales elécticos ceados po cada caga. De acuedo con la siguiente figua: C Q Q = d / d Q 4 Q l =, m 3 El valo de la distancia que sepaa cada caga del cento del cuadado es: = d ; d =,, d =, m ; =, = 0,85 m Po tanto, el valo del potencial eléctico en el cento del cuadado es: V = V V V 3 V 4 = K Q K Q K Q 3 3 K Q 4 4 = = K (Q Q Q Q ) = (0 0 5) 0 9 = 456,08 V 3 4 0,85 4. Qué velocidad alcanzaá una patícula cuya caga es 0 6 C y cuya masa es 0 8 kg al desplazase, patiendo del eposo, ente dos puntos donde existe una difeencia de potencial de 0 V? El tabajo que ealizan las fuezas del campo eléctico sobe la caga es: W = q V Ese tabajo se inviete en aumenta la enegía cinética de la patícula: Unidad 7. Campo eléctico 6

17 E C = m v Igualando ambas expesions y despejando el valo de la velocidad, obtenemos: q V = m v v = v = = 0 m s 7 q V m 5. La figua epesenta un condensado de placas paalelas. En cuál de las gáficas se muesta cómo vaían el campo eléctico y el potencial eléctico con la distancia, si tomamos como oigen de potenciales la placa negativa? a) b) c) d) E E E E d x x x x V V V V x x x x El campo eléctico que existe en un condensado de placas paalelas puede considease constante. Po tanto: dv = E d dv = E d V = E Es deci, cuando el campo eléctico es constante, el potencial vaía linealmente con la distancia. En nuesto caso, tomamos la placa negativa como oigen de potenciales (V = 0) y de distancia, estando la placa cagada positivamente a potencial supeio. Po tanto: dv = E d = E d cos 80 = E d V = E Al alejanos de la placa negativa, el potencial aumenta linealmente, desde V = 0, pemaneciendo constante el campo en el inteio del condensado. La gáfica coecta es c). 6. Una patícula cagada con C se encuenta en eposo en el punto (0,0). Se aplica un campo eléctico unifome de 500 N C diigido en sentido positivo del eje OY: a) Descibe la tayectoia seguida po la patícula hasta el instante en que se encuenta en el punto A, situado a m del oigen. Aumenta o disminuye Unidad 7. Campo eléctico 7

18 la enegía potencial de la patícula en dicho desplazamiento? En qué se conviete dicha vaiación de enegía? b) Calcula el tabajo ealizado po el campo en el desplazamiento de la patícula y la difeencia de potencial ente el oigen y el punto A. a) Supongamos un sistema de coodenadas OXY centado en la caga, que se encuenta en el punto (0, 0). Como la caga es positiva y el campo se encuenta diigido en el sentido positivo del eje OY, la fueza eléctica que actuaá sobe ella seá: F = q E F = q E j F = j = j N Po tanto, la patícula se mueve en sentido positivo del eje de odenadas. Las coodenadas del punto A son: A(0, ) m. Las cagas positivas se diigen espontáneamente hacia potenciales dececientes; po tanto, su enegía potencial disminuye, incementando su enegía cinética (aumenta su velocidad). El movimiento que ealiza es un m..u.a., ya que la fueza es constante, al se el campo eléctico unifome. b) El tabajo ealizado po la fueza eléctica constante calculada en el apatado anteio es: W = F = F cos 0 = = J Ese tabajo coincide con la difeencia de potencial (con signo cambiado) ente los dos puntos del campo consideados multiplicada po el valo de la caga: 3 W 6 0 W = q (V V ) V V = = = 000 V q Obseva que V < V, lo cual es lógico, ya que la caga positiva se desplaza espontáneamente hacia potenciales dececientes. 7. En el plano inclinado de la figua, en el que se pueden despecia los ozamientos, se encuentan dos masas de g cada una. Una de ellas, m, se encuenta fija en la base del plano, mientas que la ota, m, pemanece, sin cae, a cieta altua, h. Si ambas masas tienen una caga positiva de mc, calcula el valo de h. m m 30 h La masa m no se mueve, debido al equilibio de fuezas ente la componente del peso en la diección del plano inclinado, que la haía cae, y la fueza electostática de epulsión, que la aleja de la ota caga: F eléctica = P x Unidad 7. Campo eléctico 8

19 Los valoes de estas dos fuezas son: F K q eléctica = l P = m g sen 30 Po tanto: K q = m g sen 30 l Despejando, obtenemos la distancia, l, que sepaa ambas masas: x 3 q l = K m g sen = 9 ( 0 ) , 8 0, 5 = 354, 57 m Po tanto, la masa se encuenta a una altua: h = l sen 30 = 354,57 0,5 = 677,85 m 8. Se tiene una gota de mecuio de foma esféica y adio R cuya caga inicial es nula. Qué figua muesta coectamente cómo vaía la distibución del campo eléctico en función de la distancia a que nos encontamos de su cento? a) E c) E R d b) E d) E R R.R d R De acuedo con el teoema de Gauss, el campo eléctico en un conducto cagado y en equilibio es nulo. Po tanto, desde el cento de la esfea hasta la distancia = R, el campo eléctico es nulo. Sin embago, paa la supeficie de la esfea y en puntos situados a una distancia del cento de la esfea supeio al adio, el campo eléctico tiene un valo: E = Q π ε 4 0 lo que se coesponde con la gáfica a). PROBLEMAS 9. Dos cagas elécticas puntuales, de 0 y 90 µc se encuentan en el aie, sepaadas 5 cm: a) Calcula el potencial en el punto medio de la ecta que une ambas cagas. Unidad 7. Campo eléctico 9

20 b) Calcula, si existe, el punto ente ambas cagas en que el potencial eléctico se anula. a) El potencial ceado po una caga puntual es: V = K q Po tanto, el potencial ceado po ambas en el punto medio de la ecta que las une seá: V K q i 9 = = 9 0 medio i = b) Si existe, supondemos que dicho punto se encuenta a una distancia de la caga negativa que epesentaemos po x. De este modo: V K q i = = K i = Despejando x en esta expesión, esulta: Como vemos, a,73 cm de la caga de 0 µc, el potencial eléctico se anula. 30 Dos esfeas puntuales, iguales, están suspendidas de un mismo punto mediante hilos inextensibles y sin peso, de un meto de longitud cada uno. Detemina la caga eléctica que ha de posee cada una de ellas paa que el hilo fome un ángulo de 30º con la vetical. Datos: masa de cada esfea, m = 0 g = 3 0 x = 90 x x 05, x 3 x = = 73, 0 = 73, cm 0 K = N m C ; g = 9,8 m s i i , 0 75, x 05, x = 84, 0 V La situación que plantea el enunciado del poblema es la que se epesenta a continuación: 6 = 0 T m m T y = T sen T F e T x = T cos 60 F e P d = m P Unidad 7. Campo eléctico 0

21 Paa que las esfeas se encuenten como se indica en el enunciado del poblema, la tensión de la cueda, T, el peso, P, y la fueza eléctica, F, deben esta equilibadas. e Al aplica la segunda ley de la dinámica a las fuezas que actúan en la diección del eje X y a las que actúan en la del eje Y, se obtiene: Eje X: Eje Y: T cos 60 = F e T cos 60 = K Q d T sen 60 = m g Si dividimos ambas expesiones ente sí, se obtiene: m g d tg 60 = K Q Q = 0 0 9, tg 60 3 Q = = 5, 0 m g d K tg 60 6 C 3. Dos cagas elécticas puntuales de y µc cada una están situadas, espectivamente, en los puntos (, 0) y (, 0) metos. Calcula: a) El campo eléctico en (0, 0) y en (0, 0). b) El tabajo necesaio paa tanspota una caga q' de µc desde (, 0) a (, 0). a) La situación que plantea el enunciado del poblema es la siguiente: y (m) 0 q = µc q = µc x (m) En el oigen, el campo eléctico ceado po ambas cagas estaá diigido hacia la izquieda, como se muesta en la siguiente ilustación: q = µc (,0) E µc (0,0) E µc q = µc (,0) El cálculo del campo eléctico esultante, E, se ealiza del siguiente modo: E = E E Unidad 7. Campo eléctico

22 E = K Q ( i ) K Q ( i ) = K Q Q ( i ) = = ( i ) = i N C E = i N/C q = µc (0,0) q = µc En el punto de coodenadas (0, 0) m, el campo que cea cada caga es el que se muesta en la ilustación de la deecha. De acuedo con la figua, la distancia de cada caga al punto consideado es: d = 0 = 04 m El valo del ángulo α es: tg α = α =actg 0, =,3 0 Po tanto: sen α=sen,3 = 0, cos α=cos,3 = 0,98 El campo eléctico que cea la caga de µc en el punto (0, 0) m es: d y α E µc E µc α 0 m x E = K Q d sen α ( i ) K Q d cos α j = q = µc q = µc m m = K Q d ( sen α i cos α j ) = 6 0 = ( 0, i 0,98 j ) = 73 ( 0, i 0,98 j ) = ( 4 0 ) = 34,6 i 69,5 j N C Y el ceado po la caga Q en el punto (0, 0): E = K Q d sen α ( i ) K Q d cos α ( j ) = K Q d ( sen α i cos α j ) = 6 0 = ( 0, i 0,98 j ) = 73 ( 0, i 0,98 j ) = ( 4 0 ) = 34,6 i 69,5 j N C El campo eléctico total en el punto (0, 0) m es la suma vectoial de los campos E y E. Obseva que la componente de ambos campos en la diección del eje Y Unidad 7. Campo eléctico

23 tiene el mismo valo y son de sentidos opuestos, po lo que se anulan ente sí. El camo esultante seá, po tanto: E = 34,6 i 34,6 i = 69,4 i N C b) El potencial eléctico que coesponde al punto (, 0) m es: Potencial debido a la caga de µc: V (, 0) = K Q = = V Potencial debido a la caga de µc: V (, 0) = K Q = = V Po tanto, el potencial total en ese punto es: V (, 0) = V (, 0) V (, 0) = = 0 3 V Del mismo modo, paa el punto (, 0) m: Potencial debido a la caga de µc: V (, 0) = K Q = = V ' V (, 0) = K Q = = V ' El potencial total en ese punto es: V (, 0) = V (, 0) V (, 0) = = 0 3 V El tabajo ealizado po las fuezas del campo paa lleva una caga de µc desde el pime punto al segundo se calcula del siguiente modo: W = q V = q (V final V inicial ) = = ( 0 6 ) ( ) =,4 0 J El signo negativo indica que hay que ealiza un tabajo exteio en conta de las fuezas del campo, como coesponde a una caga negativa que se diige hacia potenciales dececientes. 3. Dos patículas de caga q = 0,8 µc, cada una, están fijas en el vacío y sepaadas una distancia d = 5 m: a) Detemina el vecto campo eléctico que poducen estas cagas en el punto A, que foma un tiángulo equiláteo con ambas. b) Calcula el campo y el potencial elécticos en el punto medio de la ecta que las une. Dato: K = /(4 π ε 0 ) = N m C a) La epesentación esquemática de la situación física que popone el enunciado del poblema es la siguiente: Unidad 7. Campo eléctico 3

24 y E A, E A, A x m 5 m q = 0,8 µc B,5 m,5 m q = 0,8 µc El campo eléctico en el punto A es la suma vectoial de los campos que cea cada caga po sepaado. La distancia de cada caga al punto A es: d = 5 m Y el valo del ángulo α: sen α =,5 α =acsen 5 = 30 Po tanto: E = E E = K Q d (sen α i cos α j Q ) K d (sen α ( i ) cos α j ) = Q = K d [(sen α sen α) i (cos α cos α) j ] = Q = K d cos α j = ,8 0 6 cos 30 j = 498,8 N C 5 b) En el punto medio de la ecta que une las cagas, el campo eléctico que cea la pimea es de sentido contaio al que cea la segunda, y sus sentidos son opuestos; po tanto, en ese punto el campo eléctico total es ceo. El potencial eléctico que coesponde a dicho punto es: Teniendo en cuenta que: se obtiene: V = V V = K Q d K Q d Q = Q = Q = 0,8 0 6 C d = d = d =,5 m V = K Q d = ,8 0 6 = V,5 33. Una bolita, cagada elécticamente, de gamo de masa es ataída po una placa cagada de modo que foma un ángulo de 45 con la vetical, como se muesta en la figua: Unidad 7. Campo eléctico 4

25 a) Dibuja un diagama con las fuezas que actúan sobe la bola cuando se encuenta en equilibio. b) Si el campo eléctico en las poximidades de la placa es de 050 V m, calcula el módulo y el signo de la fueza que actúa sobe la bolita. c) Calcula la caga que posee la bola cuando se encuenta en equilibio. 45 a) Sobe la bolita actúan las fuezas que se indican en la siguiente figua. Estas fuezas son su popio peso, P ; la fueza eléctica de atacción, F e, que se poduce ente cagas de distinto signo, y la tensión que sopota el hilo, T, cuya diección y sentido son los que se indican: OY OX 45 T T x T y 45 P F e b) Planteamos el equilibio de fuezas en diecciones OX y OY: OX T sen 45 F e = 0 T sen 45 = q E OY T cos 45 m g = 0 T cos 45 = m g Sustituyendo valoes en la segunda expesión, podemos calcula la tensión: m g T cos = m g T = cos = 3 0 9, 8 45 =, cos 45 N Conocida la tensión, esulta inmediato calcula la fueza eléctica: F e = T sen 45 =,387 0 sen 45 = 9,8 0 3 N c) Una vez calculada la fueza eléctica, podemos despeja la caga de la bolita: Fe 98, 0 Fe = q E q = = E = 934, 0 C NOTA: la esolución de este poblema se ofece también en el CD-ROM paa el alumnado. 34. Una pequeña esfea de 0, g cuelga de un hilo de masa despeciable ente dos láminas veticales paalelas sepaadas 5 cm. La esfea tiene una caga positiva de C: Unidad 7. Campo eléctico 5

26 a) Qué difeencia de potencial ente las láminas haá que el hilo fome un ángulo de 45º con la vetical? b) Cuál seá la intensidad del campo eléctico ente las láminas? c) Repesenta gáficamente las fuezas que actúan sobe la esfea en la posición de equilibio. c) Las fuezas que actúan sobe la esfea en equilibio son las que se indican en la figua: 45 T 45 F Fíjate en que la esfea, al esta cagada positivamente, se diigiá hacia la placa negativa. b) En la posición de equilibio, la elación ente las dos componentes de la tensión es, de acuedo con la figua anteio. T sen 45 = q E T cos 45 = P tg 45 = q E P = q E P E = P q = m g = 0, 3 0 9,8 = 3,7 0 5 N C 9 q 6 0 a) Como el campo eléctico ente ambas placas es unifome: V = E V = E d cos 0 = E d V = 3, =, V 35. Un electón, con enegía cinética inicial igual a 00 ev, peneta en la egión sombeada de la figua de anchua d = 0 cm, donde se sabe que existe un campo eléctico unifome. P v 0 v 0 / d Se obseva que el electón ataviesa dicha egión sin desviase de su tayectoia ectilínea inicial, peo su velocidad a la salida es la mitad de la inicial. Calcula: a) La velocidad inicial, v 0, que posee el electón antes de atavesa la egión sombeada. b) El módulo y la oientación del campo eléctico dento de esa egión. Datos: e =,6 0 9 C; m e = 9, 0 3 kg. Unidad 7. Campo eléctico 6

27 a) La enegía cinética inicial del electón, expesada en unidades del S. I., es: E c = 00 ev,6 0 9 J =,6 0 7 J ev Teniendo en cuenta la expesión que coesponde a la enegía cinética, podemos calcula la velocidad inicial, v 0, del electón: Ec = m v0 v0 = Ec, 6 0 = m 9, = 593, 0 m s 6 b) Como el electón es fenado po el campo eléctico y no es desviado po este, el campo eléctico estaá situado en la misma diección, y su sentido seá hacia la deecha. El electón, dento de la egión, estaá sometido a la fueza eléctica: = q E Teniendo en cuenta la segunda ley de la dinámica: F = m a Podemos escibi: F e F m = F e m a = q E E = Paa obtene el valo de la intensidad del campo eléctico, hemos de obtene en pime luga, la aceleación a que está sometido el electón, que podemos calcula aplicando las ecuaciones del m..u.a.: v v = a s a = v v v 0 0 = v 0 0 s s a = 3 8 a q v 0 s = 3 (5, ) 8 =,3 0 4 m s 0 0 Finalmente, el valo del campo eléctico es: E = m a 9, 0 3 (,3 0 4 ) = = 750 N C q,6 0 9 Y el vecto campo eléctico: E = E i = 750 i N C 36. Consideamos las supeficies equipotenciales poducidas po una caga puntual q = 0 6 C, colocada en el oigen de coodenadas: a) Calcula la sepaación ente la supeficie equipotencial de V y la de 000 V. b) Calcula el tabajo que tiene que ealiza un agente exteno paa move una caga de pueba q 0 =,5 0 3 C desde la supeficie equipotencial de V hasta la de 000 V sin vaia su enegía cinética. Unidad 7. Campo eléctico 7

28 a) La expesión que pemite calcula el potencial que cea una caga en un punto es: V = K q = K q V La supeficie equipotencial de 000 V se encontaá a la siguiente distancia de la caga que cea el campo: = = 9 m 000 Y la de V: = = 3 m La distancia ente ambas supeficies es: = = 9 3 = 6 m b) La enegía potencial de la caga cuando se encuenta sobe dichas supeficies equipotenciales es: V = 000 V E p = q V =, = 3 J V = 6000 V E p = q V =, = 9 J Al deja la caga, positiva, en libetad, se moveá de mayo a meno potencial, aumentando su enegía cinética y pediendo enegía potencial: E p = E p E p = 3 9 = 6 J Como la caga no modifica su enegía cinética, su movimiento debe se unifome; debe habe una fueza exteio que, actuando sobe la caga, contaeste las fuezas del campo. El tabajo que ealiza la fueza exteio es de 6 J. 37. La expesión de un campo eléctico unifome es: E = 500 i N C : a) Cómo seán sus supeficies equipotenciales? b) Calcula el tabajo necesaio paa taslada una caga de µc desde el punto P (, 3, 0) m hasta el punto Q (6, 5, 0) m. c) Calcula la distancia que sepaa las supeficies equipotenciales V = 0 V y V = 0 V. a) Teniendo en cuenta que el vecto campo eléctico es pependicula en todo punto a la supeficie equipotencial y que este está diigido en el sentido positivo del eje X, las supeficies equipotenciales estaán situadas en el plano YZ. b) El tabajo que ealizan las fuezas del campo se calcula a pati de la siguiente expesión: W F ext = E P = q (V V ) = q (V V ) = q E d En el caso que popone el enunciado: W F ext = i dx i = (6 ) = J Unidad 7. Campo eléctico 8

29 El signo positivo indica que el tabajo lo ealiza el popio campo (ecueda que una caga positiva se taslada espontáneamente hacia potenciales dececientes). c) Como el campo eléctico es unifome: E = V V d = V V = 0 0 = 0,0 m d E 500 El esultado obtenido indica que, según el eje X, V está a la izquieda de V. 38. En el espacio compendido ente dos láminas planas y paalelas con cagas iguales y opuestas existe un campo eléctico unifome. Un electón abandonado en eposo sobe la lámina cagada negativamente llega a la supeficie de la lámina opuesta, situada a cm de distancia de la pimea, al cabo de,5 0 8 s. Despeciando los efectos gavitatoios, calcula: a) La intensidad del campo eléctico ente las láminas. b) La velocidad con que llega el electón a la segunda lámina. c) La difeencia de potencial ente las láminas. a) El movimiento que ealiza el electón es un m..u.a. Con los datos de que disponemos podemos calcula su aceleación: s = s 0 v 0 t a t s = 0 0 a t a = s t 0 a = =, m s ( 8, 5 0 ) Aplicando ahoa la segunda ley de la dinámica, obtenemos la intensidad del campo eléctico ente las láminas: F = F e m a = q E E = m a = q 9, 0 3,78 0 4,6 0 9 b) La velocidad con que llega el electón a la segunda lámina es: v = v 0 a t = 0,78 0 4,5 0 8 =, m/s = 0, N C c) Como el campo eléctico es unifome, podemos calcula la difeencia de potencial ente las láminas a pati de la siguiente expesión: E d = V V = 0, 0 = 0, V 39. Dos patículas con cagas q = µc y q = µc están sepaadas una distancia d = 0,5 m: a) Calcula la fueza que actúa sobe la segunda y su enegía potencial electostática. b) Si q puede movese, patiendo del eposo, hacia dónde lo haá? Calcula su enegía cinética cuando se haya desplazado 0, m especto a su posición inicial. c) Cuánto tabajo habá ealizado hasta entonces el campo eléctico? Dato: K = N m C Unidad 7. Campo eléctico 9

30 a) La fueza que actúa sobe la segunda patícula viene dada po la ley de Coulomb: F = q E donde E es el campo ceado po la caga q : E = K q u = = u 0, 5 N C Po tanto: F = q E = u = 0,07 u N Su enegía potencial electostática es: E p = q V = q K q = , 0 6 = 0,036 J 5 b) Al se una caga positiva, se moveá en el sentido en que disminuya su enegía potencial. Se moveá, po tanto, en la misma diección y sentido que el campo eléctico. Cuando se haya desplazado 0, m, estaá a 0,7 m de la caga que cea el campo, q. En ese punto, su enegía potencial es: E p ' = q K q = , 0 6 = 0,06 J ' 7 Al se el campo eléctico consevativo, se cumple que: E p = E c E c = (0,06 0,036) = 0,00 J c) El tabajo ealizado po el campo eléctico coincide con el incemento de la enegía cinética de la patícula (teoema de las fuezas vivas): W = 0,00 J 40. Tes cagas iguales, de 00 µc, están situadas en el vacío, en los puntos A (0,0), B (0,4) y C (3,0). Las coodenadas se expesan en metos. Calcula la fueza que las dos pimeas cagas ejecen sobe la tecea y el vecto intensidad del campo eléctico en el punto (3,0). La situación de las cagas es la que se muesta en la figua: y (m) B (0,4) F AC A (0,0) C (3,0) x (m) F BC Unidad 7. Campo eléctico 30

31 Paa detemina la fueza total que actúa sobe la caga C debido a la acción de A y B, aplicamos el pincipio de supeposición, calculando po sepaado la fueza que ejece cada caga (A y B) sobe C, y sumando ambos esultados. La fueza que ejece A sobe C es: F = K Q q u AC = i = 0 i N Paa calcula la fueza que ejece B sobe C, calculamos en pime luga el vecto unitaio de la diección en que está diigida esa fueza: u = 3 i 4 j = 3 5 i 4 5 j = 0,6 i 0,8 j La fueza que ejece B sobe C es, po tanto: F = K Q q u BC = = (0,6 i 0,8 j ) = = (,6 i 3,88 j 4 ) N Al suma ambas fuezas, esulta: F = F F = (,6 i,88 j ) N AC BC Paa calcula la intensidad del campo eléctico, aplicamos, al igual que en el apatado anteio, el pincipio de supeposición. Paa la caga A esulta: E = K Q AC u = i = i N C 3 Mientas que paa la caga B: E = K Q BC u = (0,6 i 0,8 j ) = 3 4 = (,6 i,88 j ) 0 4 N C Al suma ambos campos, obtenemos el esultado que nos piden: E = E E = (,6 i,88 j ) 0 4 N C AB BC NOTA: la esolución de este poblema se ofece también en el CD-ROM paa el alumnado. 4. Una caga positiva de C está situada en el aie y en el oigen, O, de un sistema de coodenadas. Una caga negativa puntual de C se coloca en el punto A de coodenadas (0,4), dadas en metos. Detemina la intensidad del campo eléctico y del potencial en el punto P, de coodenadas (3,0). El campo que cean las cagas situadas en O y A lo calculamos aplicando el pincipio de supeposición. De acuedo con la siguiente figua: Unidad 7. Campo eléctico 3

32 Y q = C A (0, 4) E total E A q = C O P (3, 0) EO X El campo eléctico que la caga situada en O cea en P es: E = K q i = = 3 i N C O El campo eléctico que la caga situada en A cea en P tiene dos componentes, como se apecia en la siguiente ilustación: Y A (0, 4) d = 3 4 = 5 E Ay O α E Ax P (3, 0) 6,87 X De acuedo con la figua: Po tanto: sen α = 4 5 α = acsen 4 5 = 53,3 E = K q (cos α ( i ) sen α j ) = A = (cos 53,3 ( i ) sen 53,3 j ) = = 0,86 i,5 j El campo eléctico total seá la suma de ambos: y su módulo: E T = E O E A = 3 i 0,86 i,5 j = =,4 i,5 j E T =,4,5 =,43 N C El potencial eléctico en el punto P es la suma de los potenciales ceados po las cagas situadas en O y en A: Unidad 7. Campo eléctico 3

33 0 9 V O = K q = = 9 V 0 9 V A = K q = = 7, V V T = V O V A = 9 7, =,8 V 4. Cuato cagas, q = µc, q = 3 µc, q 3 = 4 µc y q 4 = µc, están situadas en los vétices de un ectángulo, como indica la figua adjunta: q q 3 3 m q q 4 m 4 Halla la fueza total que ejecen las cagas q, q y q 3 sobe q 4. Dato: K = unidades S. I. La fueza que cada caga ejece sobe q 4 es la que se epesenta en la figua adjunta: Y q = 3 µc q 3 = 4 µc 3 m = 5 m 3 = 3 m tg = 3 4 = actg 3 4 = 36,86 q = µc = 4 m α F F 3 F q 4 = µc X Fueza que ejece la caga q sobe la caga q 4 : F = K q q 4 = =,5 0 3 N F =,5 0 3 i N Fueza que ejece la caga q sobe la caga q 4 : F = K q q = (cos α ( i ) sen α j ) = = = (cos 36,86 ( i ) sen 36,86 j ) = 5 =, i, j Fueza que ejece la caga q 3 sobe la caga q 4 : Unidad 7. Campo eléctico 33

34 F 3 = K q 3 q 4 = = N 3 F = j N La fueza total que actúa sobe la caga q 4 es la suma vetical de las calculadas: F = F F F =, i, i, j j = = (0,5 0 3 i 9,3 0 3 j ) N y su módulo: F = (0,5 0 3 ) (9,3 ) 0 3 = 9,3 0 3 N 43 En los puntos A(4,0), B (0, 4), C (,0) y D (,0) metos, de un sistema de coodenadas, se encuentan, espectivamente, las cagas elécticas q = C, q = C, q 3 = C y q 4 = C. Calcula: a) La intensidad del campo eléctico en el punto (0,0). b) El potencial eléctico en el punto (0,0). c) La enegía potencial eléctica que adquiee una caga de C al situase en ese punto. Dato: K = N m C a) Las cagas están situadas en un sistema de coodenadas como se indica en la figua: E q 3 q 4 q E 3 E C E 4 D A q B El campo eléctico ceado en el punto (0, 0) seá la supeposición de los campos ceados po cada una de las cuato cagas: Campo eléctico ceado po la caga q en el oigen: E = K q ( i ) = = 7, ( i ) N C Campo eléctico ceado po la caga q en el oigen: E = K q j = j =, j N C Unidad 7. Campo eléctico 34