PROBLEMAS DE ELECTROESTÁTICA

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1 PBLMAS D LCTSTÁTICA I CAMP LCTIC N L VACI. Cagas puntuales. Cagas lineales. Cagas supeficiales 4. Flujo le de Gauss 5. Distibuciones cúbicas de caga 6. Tabajo enegía electostática 7. Poblemas Pof. J. Matín

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3 CAGAS PUNTUALS Poblema Dos esfeas conductoas de diámeto despeciable tienen masa de m. g cada una. Ambas están unidas mediante hilos no conductoes a un punto común. La longitud de los hilos se de m su masa despeciable. Cuando se les comunica a cada una de ellas una misma caga eléctica, se sepaan fomando los hilos ángulos de 45 o con la vetical. Halla la caga de cada esfea. SLUCIÓN F L L 45 º 45º T T F mg mg Sobe cada esfea actúan tes fueas, el peso, la tensión del hilo la fuea eléctica, cua suma, en el euilibio ha de se ceo. De la figua se deduce ue mg T cos 45 ; F T sen 45 F m g La distancia ente las esfeas es L sen 45 De la le de Coulomb se tiene F m g 4 ð å sen 45 m g 4ðå Sustituendo valoes ueda,66 ì C Poblema Las posiciones de dos cagas puntuales positivas están definidas en una cieta efeencia po los vectoes. Detemina el valo de ota caga puntual su posición en la misma efeencia paa ue la fuea total sobe cada una de ellas sea nula Paa ue la fuea esultante sobe cada caga sea ceo, la caga ha de esta alineada con las otas dos cagas. Las cagas, cagas positivas, se ejecen ente sí fueas epulsivas, luego la caga ha de ejece sobe ellas fueas atactivas paa ue la esultante sea nula, es deci, ha de se negativa.

4 4 F F F F F F Si s es la distancia ente las cagas, se cumple s s + s, siendo s s las distancias de la caga a las cagas espectivamente. De la ecuación F se tiene F + F () s s de la F F + F + () s s De las ecuaciones () () ueda s s s s ; efectuando el cociente ente ellas se obtiene la elación s s ue sustituida en s s + s opeando se tienen las distancias s, s s s ; + s + s Sustituendo en una de las expesiones de la caga ueda ( + )

5 5 De la ecuación F se tiene ( ) ( ) s s ; opeando se tiene la posición de Poblema Dos cagas puntuales, tales ue > están sepaadas una distancia L. Detemina el campo eléctico en : a) puntos de la ecta definida po las dos cagas. n ue punto el campo es nulo? ; b) en un punto cualuiea del espacio Situemos las cagas tal como se indica en la figua adjunta. L x a) l campo eléctico en los puntos del eje está dado po + ( ) j 4 L πε l campo se anula únicamente en un punto a la deecha de la caga, dado po L b) Sea ( x,,), el vecto posición de un punto genéico del espacio, tal como se muesta en la figua adjunta

6 6 L l campo esultante es la suma vectoial de los campos de cada caga 4 πε

7 7 CAGAS LINALS Poblema 4 Una distibución ectilínea unifome de caga de longitud l, está situada sobe el eje x con uno de sus extemos en el oigen de coodenadas. Detemina el valo de la fuea ue ejece sobe una caga puntual situada en un punto del eje x tal ue x > l. Po el pincipio de supeposición, la fuea sobe la caga está dada po l l F d F d () donde d es el campo ceado po la caga puntual d. La densidad lineal de caga es λ / l, luego d λ dx, ue se muesta en la figua adjunta. l x d λ d x ( x x ) i x F x l campo ceado po la caga difeencial está dado po d 4π ε d i d 4 λ πε d x ( x x ) i Sustituendo en la ecuación () e integando ueda F 4πε x ( x l) i

8 8 Poblema 5 Calcula el campo ceado po la distibución ectilínea de caga de longitud l (m) densidad λ (C/m) en el punto P (, ) de la figua adjunta. β P (, ) l λ α x l campo eléctico en el punto P está dado po d 4 π ε ( ) d l l donde es el vecto con oigen en el elemento de caga d extemo en el punto P(, ). P d d λ dx θ x x Los d no se pueden suma diectamente a ue tienen diecciones distintas; expesando d en componentes ueda d d x i + d j d sen θ i + d cosθ j. Las componentes del campo están dadas po las integales l senθ d ; l cosθ d Las elaciones tigonométicas cos θ ; x tan θ pemiten esolve fácilmente las integales.

9 9 ë 4ð å l senè dx ë 4ð å β α senè dè ë 4ð å cosá cosâ ë 4ð å cosθ dx ë 4ð å â á l cosè dè ë 4ð å senâ sená Poblema 6 Detemina el campo eléctico en un punto cualuiea del espacio de una distibución ectilínea de caga, de longitud infinita densidad constante λ C/m. Un punto cualuiea de línea de caga es el punto cental de la distibución de caga. La caga es simética especto de cualuie punto del espacio. Seleccionamos un sistema de coodenadas tal como el indicado en la figua. Debido a la simetía de la caga, la suma de los d ceados po los d situados a la misma distancia especto del oigen, tienen diección adial, luego el campo en un punto cualuiea del espacio tiene diección adial especto de línea de caga. d d d u θ θ d Su módulo es únicamente función de la distancia al eje.

10 λ cosè d () + + cosè d u 4ðå Cálculo de la integal (). Utiliando las elaciones tigonométicas se tiene cos è ; tg è + π ë ë π cosè d è 4ð å ð å ë ð å Poblema 7 Se dispone de una distibución unifome de caga (C) fomando una cicunfeencia de adio (m). Detemina el campo eléctico en los puntos del eje de la cicunfeencia pependicula al plano ue la contiene, pasando po su cento. Seleccionemos un sistema de coodenadas tal como el indicado en la figua adjunta. La caga es simética especto de los puntos del eje, luego el campo tiene la diección del vecto k. d d d θ caga d x La componente del campo en la diección está dada po ( ) cos è d c ag a 4 ð å c ag a cos è d

11 De la elación tigonomética valo del campo cos è de ( ) 4ð å se obtiene inmediatamente el + ( + ) / Poblema 8 Dos distibuciones de caga ectilíneas de longitud, de densidad λ constante están situadas en el plano x- paalelas al eje a una distancia a del oigen. Sobe un hilo ecto de longitud l (m) masa m (kg), situado sobe el eje tal como se muesta en la figua, se distibue una caga de densidad lineal constante λ C/m. Detemina: a) l campo eléctico ue cean las cagas ectilíneas en los puntos del eje. Da su expesión en función de dibuja su gáfica ; b) l valo de λ paa ue el hilo se mantenga en euilibio. (,, l ) λ P (,,l ) a λ a x λ a) l campo eléctico ceado po una distibución ectilínea infinita de caga a una distancia de la misma, tiene diección adial su módulo está dado po λ πε.n la figua se epesentan los campos ceados po las cagas lineales en un punto del eje. l campo esultante tiene la diección del eje. θ θ x a a

12 λ cosθ λ λ Su módulo es cosθ πε πε πε + a Gáfica. λ π ε a a a λ π ε a b) Paa ue el cable se mantenga en eposo, la fuea eléctica ha de euiliba al peso. La fuea eléctica sobe un elemento difeencial de cable es df d λ d. Integando se tiene F ë ë ë ë ð å ln l d 4l l ð å + a l + a + a Paa el euilibio se ha de cumpli F m g. Igualando despejando se tiene la densidad λ. λ λ πε m g 4l + a ln l + a Poblema 9 n la figua adjunta se dispone una distibución ectilínea de caga positiva de densidad λ k paa > λ k paa <, siendo k una constante positiva. Detemina el campo eléctico en un punto cualuiea del plano x-, situado a la distancia del oigen. d x

13 Sea P un punto cualuiea del plano x-. Las cagas puntuales d, situadas en, cean en el punto P campos d del mismo módulo fomando el mismo ángulo con la diección adial, luego su suma tiene la diección adial.ste esultado es aplicable a cualuie pa de cagas puntuales siméticamente situadas especto del oigen, luego el campo esultante en el punto P es adial su expesión u, siendo u el vecto unitaio adial. d Ο θ d x d θ d De la figua se tiene ue la componente ue genea campo es d cos è. Sustituendo se tiene d cos θ Integando ueda d 4πε d 4 k πε d / ( + ) k d sen θ ð å k ð ε

14 4 CAGAS SUPFICIAL Poblema Detemina el campo eléctico de una distibución de caga plana cicula de adio (m) densidad σ ( C/m ) constante, en los puntos del eje del disco. Debido a la simetía de la caga especto de los puntos del eje, el campo tiene la diección sentido indicado en la figua adjunta. l d ceado en un punto del eje a una distancia del cento, po la caga d contenida en el áea ds delimitada po dos cicunfeencias concénticas de adio + d, es el mismo ue el de la caga cicula. Del esultado del poblema nº 7, se tiene d d ó ds ds ð d $ d 4 ð å d ó ( + ) / ( ) / + å d Sumando los campos ceados po todos los d compendidos ente el oigen la peifeia del disco se obtiene el campo. ( ) ó d d ( ) / å + å + ó

15 5 Poblema Detemina el campo eléctico de una distibución de caga plana infinita de densidad constante σ. Una supeficie plana infinita se obtiene de un disco de adio haciendo ue el adio tienda a infinito. Cualuie ecta pependicula a la supeficie es un eje de simetía, luego en todos los puntos del espacio ue están a la misma distancia del plano de caga, el campo tiene el mismo módulo. Se puede detemina su valo utiliando el esultado del poblema anteio, haciendo ue tienda a infinito lim ó å + ó å σ l campo es independiente de la distancia al plano, es deci, es un campo unifome

16 6 FLUJ Y LY D GAUSS Poblema Detemina el flujo del campo eléctico ceado po las dos cagas + situadas en los extemos de un segmento de longitud l a tavés de un cículo de adio pependiculamente al segmento situado en su punto medio. d S + θ l l l signo del flujo depende del sentido de la nomal al ciculo. Se toma el sentido positivo hacia la deecha. l flujo de la caga positiva a tavés del ciculo es el mismo ue el flujo a tavés del casuete esféico de adio ángulo θ, a ue todas las líneas de campo ue pasan po el cículo pasan también po el casuete. La supeficie del casuete está dada po S è ð ( cos è) l campo eléctico en los puntos del casuete es adial diigido hacia fuea su módulo es constante. l flujo Φ se obtiene de Φ S ds d θ S 4 ð å S 4 ð å S Po el mismo pocedimiento se obtiene el flujo de la caga negativa. l flujo total está dado po Φ S è Φ ( ) Φ l cosè ð å å å + l

17 7 Poblema Dos cagas puntuales + están sepaadas una cieta distancia. l valo de las cagas es tal ue el campo eléctico total se anula en un punto situado sobe la ecta ue las une a la deecha de la caga negativa. Un conjunto de líneas de campo, salen de la caga positiva van a paa a la caga negativa. Detemina la elación ente las cagas paa ue el ángulo máximo ue fomen las líneas de campo a la salida de la caga positiva ue van a paa a la negativa con el segmento ue las une sea de 6º + + 6º Todas las líneas de campo ue van a paa a la caga negativa salen de la positiva fomando un ángulo igual o meno de 6º, luego el flujo saliente de la positiva coespondiente al ángulo sólido θ es igual al flujo total entante en la negativa. l flujo ue sale de la caga positiva es el ue pasa a tavés de un casuete esféico de semiángulo θ. + θ Φ + ( cos è ) å l flujo entante en la caga negativa es Φ å Igualando ambos flujos opeando se tiene 4

18 8 Poblema 4 Detemina el flujo del campo eléctico de una distibución lineal ectilínea semiinfinita de densidad constante λ a tavés de un cículo de adio situado en su extemo con el cento en la línea pependicula ella. ds π d θ d λ d λ d l flujo de toda la caga a tavés de ds está dado po Integando ente se tiene Φ ë å ë d Φ d å Poblema 5 Detemina el flujo del campo eléctico de una distibución lineal ectilínea infinita de densidad constante λ a tavés de una supeficie esféica de adio con el cento en un punto de la línea, utiliando la definición de flujo. λ d S

19 9 Aplicando la definición de flujo se tiene Φ d S S l campo eléctico está dado po (ve poblema 6 ) ë ð å l elemento de áea de la supeficie es d S d S ; k + peando se tiene el flujo a tavés de la supeficie esféica Φ ë å

20 Poblema 6 Detemina el campo eléctico de una distibución lineal ectilínea infinita de densidad constante λ. Del poblema nº 8 se sabe ue el campo es adial especto de la línea de caga. Seleccionando la supeficie S de la figua, ds ds λ h ë aplicando la le de Gauss, se tiene ð å Poblema 7 Detemina el campo eléctico de una distibución de caga plana infinita de densidad constante σ. Del poblema nº se sabe ue el campo es pependicula a la caga plana infinita. Seleccionando la supeficie S de la figua ds ds σ S ds de la le de Gauss se tiene ó å

21 Poblema 8 Calcula el campo eléctico en todos los puntos del espacio de una distibución supeficial de caga cilíndica de adio, longitud infinita de densidad constante σ. Dibuja la gáfica de. d S h S σ d S Po simetía, el campo eléctico tiene diección adial su módulo es función de la distancia al eje. Seleccionando una supeficie cilíndica de adio altua h centada con el cilindo de caga, el flujo del campo es Del teoema de Gauss se tiene Φ ð h Φ å ð h ó ð h å ó å n los puntos inteioes al cilindo de caga, el campo es nulo Gáfica σ / ε ó å

22 Poblema 9 Calcula el campo eléctico de una distibución supeficial de caga esféica de adio de densidad constante σ. Dibuja la gáfica de. S σ d S Po simetía, el campo eléctico tiene diección adial su módulo es función de la distancia al cento. Seleccionando una supeficie esféica de adio concéntica con la distibución de caga, el flujo del campo a tavés de ella es Del teoema de Gauss se tiene Φ 4 ð 4 ð ó ó Φ 4ð å å å n los puntos inteioes a la esfea de caga, el campo es nulo. Gáfica σ / ε å ó

23 DISTIBUCINS CÚBICAS D CAGA Poblema n el volumen definido po 4 cm (coodenadas catesianas ), ha una distibución unifome de caga de densidad ρ 5/π µc/m. Detemina el campo eléctico en los puntos exteioes en los inteioes de la distibución. d S S d S x 4 Debido a la simetía, la diección del campo eléctico es pependicula a la caga. l plano cental de la caga es. Paa puntos tales ue >, el campo está diigido hacia la deecha paa puntos tales ue <, el campo está diigido hacia la iuieda. Aplicando la le de Gauss a la supeficie ceada S, fomada po un cilindo centado especto del plano medio de la caga, se obtiene el valo de en los puntos exteioes a la distibución. Paa los puntos inteioes, el cilindo está en el inteio de la distibución. Paa 8 j V/m Paa 4 8 j V/m Paa 4 8 ( ) j V/m

24 4 Poblema Detemina el campo eléctico de una distibución cúbica de caga de densidad ρ C/ m contenida en una volumen cilíndico de adios de longitud infinita. Dibuja su gáfica. S ρ ds Po simetía, el campo tiene diección adial adial. Aplicando la le de Gauss a la supeficie cilíndica S, coaxial con la caga, de adio altua h, se obtiene el valo de. Paa Paa Paa ñ å o ñ å o ñ å o

25 5 Poblema Detemina el campo eléctico en todos los puntos del espacio de una distibución cúbica de caga de densidad ρ C/ m contenida en el volumen de la capa esféica de adios. Dibuja su gáfica. S ρ ds Po simetía, el campo tiene diección adial. Aplicando la le de Gauss a la supeficie esféica de adio, concéntica con la caga, se tiene el valo de. Paa ñ Paa å o ñ Paa å o Gáfica ñ å o

26 6 Poblema Una distibución de caga con simetía esféica cua densidad está dada po ñ ( ) k C/m paa, ñ ( ) paa, siendo k una constante. La caga total contenida en la esfea de adio es ( C ). Calcula : a) el valo de la constante k en función de b) el campo en los puntos inteioes en los puntos exteioes de la caga c) el potencial en la supeficie V( ) el potencial en el oigen V( ) d) gáficas del campo del potencial SLUCIÓN a) La caga total está dada po d d ñ( ) 4 ð d ; ; k ð 4 k C / m 4 ð 4 b) Debido a la simetía, en todos los puntos del espacio el campo es adial ρ () ds S S Aplicando la le de Gauss a la supeficie S se obtiene el campo en el inteio de la caga. 4 ð ( ) ε 4 ð k å o d 4 ð å 4 Aplicando la le de Gauss a la supeficie S se obtiene el campo en el inteio de la caga. å 4 ðå 4 ð c) l potencial el campo están elacionados po la ecuación V. Paa ueda

27 7 V V ( ) ðå 4ðå 4 Paa ueda V 4 + cte. ; cte V (4 ) 4ðå 4 4ðå 4ðå V () 4 ð å 4 d) Gáficas 4 ð å 4 ð å 4 V 4 ð å

28 8 ñ Poblema 4 Una caga cúbica con simetía esféica de densidad ñ ( ) 4 + a po todo el espacio siendo ρ a constantes positivas. Detemina : a) La caga total de la distibución. b) l campo eléctico () c) l potencial V() de la distibución está distibuida a) La caga total de la distibución está dada po d ñ dô 4ð ñ 4 + a Paa esolve la integal se efectúa el cambio de vaiable u + ; opeando ueda a ( u ) d 4 ð ñ a 4 ð ñ a C 4 u b) l campo eléctico de una distibución de caga con simetía esféica, tiene diección adial su módulo () depende únicamente de la distancia al cento de la distibución ; estás son las condiciones paa pode aplica la le de Gauss detemina el valo del módulo. Como supeficie de Gauss, se toma una supeficie esféica de adio centada en el oigen de la distibución. 4 ð å ñ( ) d ô å 4 ð ñ d ( + a) 4 fectuando el cambio u + opeando como en el apatado a) ueda a ñ a ( ) å + a ( ) c) l campo eléctico el potencial están elacionados po la ecuación difeencial - V ; en el caso de simetía esféica solo ueda la componente adial, luego se tiene d V d ñ a d - V ( ) - å ( + a) + cte l potencial en el infinito es ceo, luego la constante de integación también lo es. V ( ) a ñ 6 å + a ( + a)

29 9 Poblema 5 l campo eléctico en los puntos inteioes de una esfea de adio m está dado -5 5 po V/m siendo la distancia al cento. Detemina : π ε a) Utiliando la Le de Gauss, la caga total contenida en la esfea b) La densidad cúbica de caga ρ c) l campo en puntos exteioes a la esfea d) l potencial V () de la distibución dando su valo en el cento a) l campo eléctico sobe la supeficie esféica de adio, está dado po (). l flujo del campo a tavés de dicha supeficie es Φ S. d S () 4 ð 6 å 4 Según la le de Gauss, el flujo es igual a la caga enceada dividido po ε. Igualando se tiene la caga en el inteio de la esfea 6 4 C b) De ñ en coodenadas esféicas se tiene ( ) å ñ å. peando ueda 5 ñ ð 5 C/m c) l campo en los puntos exteioes a la esfea está dado po 4 ð å 44 5 V/m d) l potencial en los puntos exteioes es V 4 ð å 44 5 V el potencial en los puntos inteioes V 5 9 ( ) V l potencial en el cento es V () 8 5 V

30 Poblema 6 n el inteio de una esfea de adio se tiene una distibución de caga con simetía esféica sobe la supeficie una distibución supeficial unifome de densidad σ. l campo k eléctico en los puntos inteioes a la esfea está dada po el campo eléctico en 4 ð å ( k + 4 k ) los puntos exteioes a la esfea esta dado po constantes. Calcula : a) La densidad cúbica ρ la caga inteio b) La densidad supeficial σ la caga supeficial c) l potencial V( ) SLUCIÓN ; k k son 4 ð å ρ σ a) l campo la densidad cúbica están elacionados po la ecuación ñ å Aplicando la divegencia en coodenadas esféicas se tiene [ ] ñ å ñ k ð C/m La caga está dada po 4 ñ 4 d k C ð b) l campo ceado po las cagas en puntos exteioes a la esfea está dado po 4 ð å +

31 Sustituendo el valo del enunciado opeando se tiene 4k ó k ð c) l potencial en los puntos exteioes a la esfea, es el ceado po toda la caga situada en el cento de la esfea. V 4 ð å + l potencial en los puntos inteioes a la esfea es la suma del potencial de la caga supeficial en la supeficie mas el ceado po la caga cúbica contenida en la esfea de adio <. La caga cúbica hasta está dada po k ( ) 4 ð d ð k 4 l potencial en el inteio es 4 4 ð å [ k k ] V + V Poblema 7 Se dispone de una distibución cúbica unifome de caga, esféica, de adio caga total, sobe la supeficie de adio una caga de densidad constante σ. Εl potencial en el inteio de la esfea está dado po V k + k el potencial en el exteio V k /.Detemina : a) los valoes de las constante k, k k b) el campo eléctico paa el campo eléctico paa c) dibuja el pefil de las gáficas del campo del potencial en función de la distancia al cento a) l campo el potencial en los puntos exteioes a las distibuciones de caga son los mismos ue geneaían toda la caga concentada en el cento. La caga de la distibución supeficial es 4 ð ; el potencial de toda la caga en puntos exteioes seá ó V + k 4 ð å k + 4 ð å La elación ente la densidad cúbica de caga el potencial la popociona la ecuación de Poisson. Aplicada al potencial en los puntos inteioes se tiene ñ V V - 6 k å ñ 6k å

32 4 La caga está dada po ð ñ 8 k ð å Despejando ueda k 8 ð å l potencial es una función continua, luego se cumple ue peando se tiene V ) V ( ) ( k + k k k 4 ð å + b) n cualuie punto el espacio, el campo el potencial están elacionados po la ecuación - V. Aplicada a los potenciales en los puntos inteioes exteioes se tienen los coespondientes campos k 4 ð å k 4 ð å + c) Gáficas V V V

33 Poblema 8 Se dispone de una distibución cúbica esféica de caga de adio cua densidad está k dada po ñ siendo la caga total. Concenticamente con la anteio, se tiene una ð distibución de caga supeficial, unifome, de adio caga total. Detemina: a) l valo de la constante k sus unidades da la expesión de la densidad cúbica ρ b) l valo de la caga paa ue el campo eléctico sea nulo en puntos tales ue > c) Si / 9, calcula el valo de paa ue el campo total sea nulo en Paa el valo de calculado en el apatado: d) La expesión el campo eléctico total () en todos los puntos del espacio. Dibuje su gáfica. e) l potencial de la caga positiva de la caga negativa. Dibuja sus gáficas. a) La caga esféica está dada po d k C/ m d k k Paa la densidad cúbica de caga ueda ð ñ b) Debido a la simetía esféica de las cagas, el campo eléctico es adial. Seleccionando como supeficie de Gauss una supeficie esféica de adio, el campo eléctico paa dicha seá ceo cuando la caga total enceada sea ceo. S ρ Paa cagas esféicas, el campo en puntos exteioes a las cagas está dado po 4 ð å + Su valo sea ceo si +

34 4 c) Paa el valo / 9, la caga supeficial debe de esta en el inteio de la esfea de adio a una distancia del cento tal ue la caga cúbica hasta sea igual al valo absoluto de la caga supeficial. La caga total contenida en el volumen esféico de adio seá ceo, según Gauss, el campo a la distancia del cento seá ceo. / 9 ( ) ρ S Condición paa ue el campo sea nulo en : ( ) + Cálculo de ( ) : ( ) d d Sustituendo opeando ueda d) epesentación gáfica de los campos en función de la distancia al cento. es el campo en puntos tales ue ( ) 4 ð å 4 ð å es el campo en puntos tales ue / 4 ð å 9 es el campo en puntos tales ue 9 ð å

35 5 8 / 9 / 9 / e) De la elación V, se deducen los potenciales de las cagas. Las constantes de integación se deteminan con la condición nomal en el infinito aplicando la continuidad de la función potencial. V es el potencial paa Potencial de la caga positiva. V es el potencial paa peando se tiene : V 4 ð å ; V 4 ð å V es el potencial paa / Potencial de la caga negativa. V es el potencial paa / peando se tiene : V ; 4 ð å V 9 4 ð å V V ( ) Potencial caga positiva V ( ) / V ( ) / Potencial caga negativa

36 6 TABAJ Y NGÍA LCTSTÁTICA Poblema 9 Una caga lineal de longitud a (m) densidad constante λ C/m, está situada paalelamente a una lámina infinita caga de densidad constante σ C/m, tal como se indica en la figua adjunta. Calcula el tabajo necesaio paa gia la caga lineal un ángulo de 9º hasta situala sobe el eje. λ a σ h x l campo eléctico de una distibución de caga unifome, plana e infinita, está dado po ó å el potencial de la distibución es ó V cte å l tabajo del campo eléctico paa taslada la caga d desde un punto a oto punto, está dado po d W d ( V V ) Al gia la caga lineal, el elemento de caga d λ d situada a una distancia del oigen, pasa del potencial V V(h) al potencial V V ( ) V(h+) V(h + ) d h + h d V(h) l tabajo elemental del campo es d W ( V V ) d d ë ó λ å Integando ente a se tiene el tabajo del campo paa gia toda la caga W a ó ë a dw 4å l tabajo de las fuea exteio paa gia la caga es igual de signo contaio al tabajo del campo

37 7 Poblemas Poblema Una distibución de caga ectilínea, unifome de longitud infinita, se encuenta a lo lago del eje siendo λ /9 nc/m Detemina la fuea ue ejece sobe una caga puntual mc situada en el punto ( 8,6,7) m. F 6 ( 4 i + j) N 6 N 44 F Poblema Detemina el campo eléctico en el punto P (-5,,) ceado po dos distibuciones de caga ectilíneas infinitas de densidad λ 5 nc/m situadas paalelamente al eje x, pasando po los puntos (,-, ) (,4, ) espectivamente. Las distancias están expesadas en metos. k V/m Poblema Una caga lineal infinita de densidad λ 5 nc/m paalela al eje está situada en el punto de coodenadas x m, 4 m. Detemina el valo de una caga puntual su localiación paa ue el campo esultante en el oigen sea ceo, si la distancia de al oigen es de m. n C situada en el punto (.6,.8,) Poblema 4 Una distibución lineal de caga de densidad constante λ tiene la foma indicada en la figua. Las semiectas son de longitud infinita. Detemina el campo en el punto P. a P a ë + 4ð å a ( i j ) x

38 8 Poblema 5 Una caga supeficial plana infinita de densidad σ ( / π ) nc/m, está situada en 5 m paalela al plano x-. ta caga lineal ectilínea infinita de densidad λ ( 5 / 9 ) nc/m,está situada en m, 5 m, paalela al eje x. Detemina el campo eléctico esultante en el punto (,,). 9 ð å j V/m Poblema 6 Dos distibuciones de caga lamina de densidades unifomes σ σ ambas positivas, están situadas en 5 m, 7 m espectivamente. Detemine el campo eléctico en todos los puntos del espacio. σ σ a b c x Paa valoes de tales ue < 5 ó + ó å j Paa valoes de tales ue 5 < < 7 ó ó å j Paa valoes de tales ue 7 < ó + ó å j Poblema 7 Detemina el flujo del campo eléctico de una caga puntual situada en el oigen de coodenadas a tavés de una de las caas de un cubo de aista l centado en el oigen. Φ 6å

39 9 Poblema 8 Detemina el flujo del campo eléctico de una caga puntual situada en el vétice de un cubo de aista l. Φ 8å

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