: TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

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1 UNVERSDAD NACONAL DEL CALLAO FACULTAD DE NGENERÍA ELÉCTRCA Y ELECTRÓNCA ESCUELA PROFESONAL DE NGENERÍA ELÉCTRCA CURSO : TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTCOS PROFESOR : ng. JORGE MONTAÑO PSFL PROLEMAS RESUELTOS DE MAGNETOSTÁTCA EN EL VACÍO Poblema Nº Una coiente filamentaia de A se diige del infinito hasta el oigen, sobe el eje positivo, luego egesa al infinito a lo lago del eje positivo. Utilice la le de iot- Savat paa enconta H en el punto P(,,). Resolución Paa esolve este poblema vamos a dividi el alambe ectilíneo infinito en dos pates a las cuales denominaemos, tal como se obseva en la figua. a) Cálculo de P Po pincipio de Supeposición: P = P () + P ()... () Aplico Le de iot Savat paa el segmento (): P(,, ) De la figua: a a = + d S.R d d a

2 P () o d ( ) 3... () Reemplaando: o da (a a ) o d P () a 3/ 3/ ( + ) ( + ) -7 o * () 6 P () a a ( T) a () Aplico Le de iot Savat paa el segmento (): P(,, ) De la figua: a a = + S.R d d d a P () o d ( ) 3... (3) Reemplaando: o da (a a ) o d P () a 3/ 3/ ( + ) ( + ) -7 o * () 6 P () a a ( T) a () Finalmente, eemplao P() P() en la ecuación () obtengo: b) Cálculo de H P : H P = H P () + H P () ; siendo : P = H 6 ( T)(a a )

3 Reemplaando obtenemos: Poblema Nº A HP,796 (a a ) m Encuente H en P (; 3; 5) en coodenadas catesianas, si eiste un filamento potado de coiente de longitud infinita, que pasa a tavés del oigen el punto C. Una coiente de 5 A se diige desde el oigen hasta C, donde la localiación de C es (; ; ). Resolución: e Caso: Cálculo de H en el punto P (; 3; 5) debido a = 5 A que se diige desde el oigen hasta C (; ; ). + Po simetía de la figua se cumple 5 que: HP HQ d P(,3,5) Es deci, en los puntos P Q el vecto intensidad de campo S.R Q 3 magnético tiene la misma magnitud la misma diección. Po lo tanto, el valo calculado de H en el punto Q es el mismo valo que coesponde a H en el punto P. Po Le de iot Savat: d ( ) H Q... () 3 De la figua: d = d a ; = a + a = a + 3a

4 a ; 3 Z En (): d a (a + 3a a ) d 3 d H Q = a 3/ 3/ a 3/ (3 + ) π (3 + ) (3 + ) H a a a a π 3 3 3π 3π Q Q H = (,4 a,84 a ) A/m Oto método: Po le de Ampee Vista de planta cuva " C" o taectoia Ampeiana ( es aquella donde el módulo de H es cte.) 3 d Q H Po Le de Ampee: H. d C enc H () = H = π

5 Vectoialmente: H a π De la figua: a Sen a Cos a Luego: H Sen a Cos a H (, 4 a,84 a ) A/m π Poblema Nº 3 Considee la línea de tansmisión de dos hilos cua sección tansvesal se ilusta en la figua. Cada uno de los alambes tiene cm de adio están sepaados po cm. Po el alambe con cento en (,) flue una coiente de 5 A, Mientas que po el oto, centado en (cm, ) flue la coiente de etono. Calcule H en: a) (5 cm, ) ; b) ( cm, 5 cm) 4 cm cm Resolución Llamaemos a la coiente de ida e a la coiente de etono, como se muesta en la figua siguiente. 4 cm 5A cm 5A

6 a) Cálculo de H en el punto (5cm; ): En el punto P (5 cm; ) se cean dos Campos magnéticos, poque ha dos coientes elécticas. A continuación se muestan los vectoes e., debido a las coientes 5A P(5cm,) 5A taectoia Ampeiana Po el pincipio de Supeposición aplicado a los campos magnéticos se cumple: p= +... () Hallo aplicando le de Ampee. d ; = C o enceada ( π ) = π ; Vectoialmente: a π Análogamente tenemos que Reemplao en (): quedaá epesado po: a π p = ;poque = (dado que = ) P 5 a (4 a T )

7 Paa halla H aplico: H = (en el vacío) P H P a (3,83 a) A m b) Cálculo de H en el punto Q (cm; 5cm) En el punto Q, los vectoes siguiente. tienen las diecciones mostadas en la figua Q Po el pincipio de Supeposición: Q= +... () Donde: * =a ; = π o módulo de paa un alambe 5 ax ( ax ) T

8 * o = o π π = a = ( Sen a Cos a) a Sen a Cos a (,4 5 5 a,8 a ) T Finalmente, eemplaando en (): 5 5 Q (,6 a,8 a ) T Paa halla H aplico: H = (en el vacío) Q H Q (,74 a 6,366 a ) A m Poblema Nº 4 Un conducto sólido tiene una sección tansvesal cicula de adio mm, centado en el eje, pota una coiente total distibuida unifomemente de A en la diección a. Ha una coiente lamina K a A/m en mm. Enconta H en la egión: a) mm ; b) mm; c) 4mm d) Qué valo de la coiente lamina debe esta colocada en 4mm ; tal que H paa 4mm? Resolución: De acuedo con lo señalado en el enunciado, la figua coespondiente es:

9 a) Cálculo de H en la egión mm Sección tansvesal del conducto sólido Po le de Ampee: H. d ; = enceada H ( ) enceada... () Hallo enceada : mm Si la coiente está unifomemente distibuida, se cumple que:. J cte enc 7 3 ( ) enc = π taectoia Ampeiana d H Reemplaando en (): 7 6 ( ) (5 ) A H H a m

10 b) Cálculo de H en la egión mm mm En este caso: 5 A π m H H a c) Cálculo de H en la egión mm 4 mm Sección tansvesal Po le de Ampèe : H.d enc mm Donde: = A H(π ) = +... () A m 3 = LAMNAR = a π( )m A TOTAL taectoia Ampeiana H d) Piden K tal que el ( 4mm) H mm En (): H(π ) = π A+ ( A) = 6π A = enc 3 3 A H, H a m ( 4mm) enc H si = Del ejecicio anteio se obtuvo: enc = 6π 6π + enc = enc 6π A 6π A K = a = 75 a Luego : A 3 π(4 m) m Poblema Nº 5 Una coiente flue longitudinalmente po una lámina conductoa delgada mu laga de anchua a, como se muesta en la figua. Suponga que la coiente flue hacia el inteio del papel detemine la densidad de flujo magnético en los puntos P (; d ) P (a + d ; ).

11 P d a d P Resolución: a) Cálculo de en el punto P (; d ) : Paa calcula en el punto P, debido a la coiente que flue po la lámina conductoa delgada mu laga, analio a pati de un elemento difeencial de la foma de un hilo infinito, tal como se indica en la figua mostada a continuación. d P a d d Se sabe :, Hilo π donde: es la distancia pependicula al hilo infinito. En nuesto caso:

12 d (Lámina) d π d (Lámina) d u π... () donde: d = d a = d + d P θ θ d Línea magnética de la figua : u Cosθ a Senθ a d a d Reemplaando en (): d d (Cosθ a Senθ a ) (Lámina) π a d ntegando tenemos: (Lámina) π a d (Cosθ a Senθ a )d Resolviendo, obtenemos: d d d a a a ( Lá min a) a π a d d a d (Lámina) Actg a Ln a π a d d

13 b) Cálculo de en el punto P (a + d ; ) En este caso pocedemos de manea simila que en a). d a d P d Ya sabemos que la magnitud de, debido a una coiente, que cicula po un hilo infinito, a una distancia de dicho hilo, viene dada po: π En nuesto caso, este campo seá un difeencial de campo paa la lámina, es deci: d (Lámina) d π, donde: = (a + d ). Además se cumple: d = d = d, Luego: a d a d (Lámina) d π a(a + d ) Vectoialmente seía: d (Lámina) d u π a(a + d )... () d a d Línea magnética P d d

14 Del gáfico: u a Reemplaando en () e integando: π a (a + d ) a d (Lámina) ( a ), Resolviendo la integal obtenemos: a + d π a d (Lámina) Ln a Poblema Nº 6 Una coiente continua flue po un alambe ecto de longitud L. Calcule la inducción magnética en un punto localiado a una distancia del alambe en el plano que lo divide en dos segmentos iguales. Detemine pimeo el vecto potencial magnético "A". Resolución: Po tatase de un alambe ecto de longitud L, la figua es: + L Aplicando la egla de la mano deecha el vecto está entando al punto P. S.R L d L P Vista de Planta P Paa un Hilo con coiente, se cumple que: o d A () =

15 De la figua: d d a ; a ; a ; + L o d a o Reemplaando: () Hallo A = = Ln + + a L + = L () ; aplicando otacional : o L + L A () = Ln a L + L L Se cumple: () () A En este caso A depende de la coodenada, po lo tanto su otacional en coodenadas cilíndicas viene dado po: Resolviendo se obtiene: () A () A a () () π L o L + a