Interacción magnética

Transcripción

1 Inteacción magnética Áea Física Resultados de apendizaje Utiliza las leyes de Gauss, Biot-Savat y Ampee paa calcula campos magnéticos en difeentes poblemas. Estudia el movimiento de una patícula cagada en un campo magnético, po medio de la Fueza de Loentz. Contenidos 1. Intoducción teóica. 2. Ejecicios. Debo sabe Similitud Ley de Gauss paa campos magnéticos La difeencia pincipal ente la ley de Gauss paa campos magnéticos y paa elécticos es que la pimea las líneas de campo son siempe ceadas; un conjunto de cagas en movimiento en un alambe ecto genea un campo magnético en foma de cículos concénticos al alambe. Un imán se puede dividi en dos, peo las dos pates tendán cada una un polo note y su. Aun cuando el volumen solo enciee a uno de los polos, la integal de Gauss seguiá siendo nula: Esta integal indica que todas las líneas que salen de una cieta supeficie ceada vuelven a enta. B + I Figua 1. Campo magnético en un alambe ecto. Segunda Edición

2 (a) De de fue. (b) Todo el fenómeno. Figua 2. De la imagen ( ) se podía que pensa que, si odeamos el polo note, po ejemplo, se obtiene un valo difeente de ceo en la integal de Gauss, peo en la fila ( ) se obseva claamente que las líneas que salen del polo note vuelven a enta, peo po dento del imán. De todo esto se concluye que no hay monopolos magnéticos, y que la unidad básica en este campo no son las cagas magnéticas, sino que son dipolos magnéticos, y los polos siempe existen juntos. Ley de Biot Savat Esta ley es equivalente en magnetismo a la ley de Coulomb paa cagas elécticas. Se utiliza paa calcula los campos magnéticos en alambes infinitesimales de configuaciones no siméticas. Su elación es la siguiente: Dónde: : Pemeabilidad magnética en el vacío I: coiente dl: difeencial de longitud - : vecto posición Paa una descipción completa, hay que agega al elemento de coiente una diección dada po -, y nota que el máximo valo de la magnitud del campo magnético ocue cuando es exactamente pependicula a la coiente. El vecto es la difeencia ente la posición del punto de medición y la posición del elemento de coiente. Como se ve en la figua, las coodenadas son cilíndicas ( ), y paa un alambe ecto infinito se tiene: ( ) n o Segunda Edición

3 o z I l dl ρ φ P Figua 3. Sección infinitesimal de alambe,. Y finalmente se obtiene: ( o ) o o ( n ( ) n ( )) La coodenada indica que el campo magnético foma cículos concénticos alededo del alambe (eje ). no es una coodenada, es un paámeto angula paa ealiza la integación. Otas geométicas de alambe se pueden calcula de esta foma, peo son mucho más complicadas. Ley de Ampee Con la ley de Gauss paa campos magnéticos no es posible enconta el campo magnético geneado po un elemento de coiente. La ley de Ampee establece que la integal de línea (ciculación) del campo magnético en una cuva ceada alededo de un cable conducto es igual al poducto de la coiente que ataviesa el conducto y la pemeabilidad magnética. Nota que si la cuva no enciea ningún cable o hilo que tansmita coiente, entonces la integal es nula. Segunda Edición

4 I B dl Supef del m e d T ye o de integación Figua 4. Campo magnético geneado po un alambe delgado y ecto. Donde es el elemento de longitud de la cuva ceada, e es la coiente que cuza la supeficie delimitada po la cuva. Paa un alambe ectilíneo (donde sabemos de antemano que la coiente y el campo magnético seán pependiculaes) que conduce una coiente se obtiene: El poducto punto es 1 solo si ambos tienen la misma diección y módulo, po lo tanto, la diección del campo eléctico también es, y: La intensidad del campo magnético decece con la distancia al cable conducto. Fueza de Loentz Es la combinación de la fueza magnética y eléctica sobe una caga: ( + ) Si la caga no se mueve con especto a un campo unifome (o el campo no se mueve con especto a la caga) entonces no hay velocidad, y el poducto cuz se anula. Lo mismo pasa si la velocidad de la caga y el campo magnético son pependiculaes. Segunda Edición

5 F q(v B) +q E θ qe B Figua 5. La fueza eléctica es paalela al campo eléctico, mientas que la fueza magnética ( ) es pependicula a y, los que a su vez foman un ángulo. Difeencias ente campos elécticos y magnéticos Eléctico Magnético Diección fueza Paalela Pependicula v Patículas afectadas Cagadas en eposo o movimiento Cagadas, solo en movimiento Enegía Tabajo sobe la caga Solo cambio de diección El campo magnético no ealiza tabajo sobe una caga en movimiento; solo cambia su diección de movimiento, su apidez pemanece constante. Ejecicio 1 Una bobina tooidal tiene vueltas o espias. Cuál es la intensidad del campo magnético paa una distancia al cento de, y? a b Figua 6. Bobina tooidal. Segunda Edición

6 R: a b a b a b (a) (b) b (c) b Figua 7. Difeentes áeas paa el cálculo de campo magnético. Paa el caso (a), la cicunfeencia no enciea ningún alambe, entonces: Paa el caso (b),, y la ley de Ampeè queda: Donde es la cantidad de vueltas o espias de la bobina, enceadas po la cicunfeencia de adio. Paa el caso (c),, y al igual que el caso (a), no se enciee ningún alambe, entonces. Ejecicio 2 En el modelo del átomo de hidógeno de Niels Boh de 1913, un electón cicunda el potón a una distancia de. a una apidez de. * +. Calcule la intensidad de campo magnético que este movimiento poduce en la posición del potón. R: Ocupando la ley de Biot Savat, con el adio de la óbita del electón, se obtiene: Además, si es la apidez del electón alededo del potón, la coiente es: Segunda Edición

7 Así se tiene que la intensidad del campo magnético es:. Ejecicio 3 Se intoduce un electón en un campo magnético unifome con una velocidad de. * + a lo lago del eje OX, notándose que, en esta situación, no actúa ninguna sobe la caga. Cuando la caga se mueve a la misma velocidad, peo en diección positiva del eje OY, la fueza ejecida sobe la caga es de. ( ), estando diigida dicha fueza en el sentido positivo del eje OZ. Detemina el vecto inducción, en módulo, diección y sentido. R: El electón (. ), no siente ninguna fueza al movese a lo lago de OX (Fig. 8a), entonces el campo magnético es paalelo al vecto velocidad,. Peo si el electón se mueve como en la Fig. 8b, entonces el vecto velocidad es pependicula al campo magnético. La intensidad (módulo del vecto campo magnético) del campo seá entonces:. z z F B x v O y x O v y (a) Ele ón en l d e ón OX. (b) Ele ón en l d e ón OY. Figua 8. Electón viajando en difeentes diecciones. La diección claamente es paalela al eje, y el sentido se puede establece viendo hacia dónde apunta el vecto fueza; apunta hacia aiba, entonces el campo magnético apunta en el sentido señalada en la (fig. 8b). Segunda Edición

8 Ejecicio 4 Cuato lagos conductoes paalelos llevan iguales coientes de. Una vista de los extemos de los conductoes se muesta en la (fig.9). La diección de la coiente es hacia adento de la página en los puntos A y B (indicando po las cuces) y hacia afuea de la página en los puntos C y D (indicado po los puntos). Calcule la magnitud y diección del campo magnético en el punto P, localizando en el cento del cuadado cuyos lados tienen una longitud de.. A C P. m B. m D Figua 9. Cuato cables paalelos que tansmiten coiente en difeentes sentidos. R: La distancia de cada cable al punto es. n.. Po la ley de Ampeè, la intensidad del campo magnético poducida po la coiente en cada cable es la misma, y es igual a:.. En la (fig.10) se obseva que las componentes hoizontales de cada campo magnético se anulan ente sí en el punto, y quedan solo las componentes veticales, las que apuntan hacia abajo: A C B A P B C B B B D B D Figua 10. Campos geneados po la coiente en cada cable. Segunda Edición

9 La intensidad del campo magnético que apunta hacia abajo es:. n. Ejecicio 5 La baa conductoa ilustada en la (fig. 11) de masa y longitud se mueve sobe 2 ieles paalelos sin ficción en pesencia de un campo magnético unifome diigido hacia adento de la página. A la baa se le da una velocidad inicial, hacia la deecha y se suelta en. Encuente la velocidad de la baa como una función del tiempo. R: La intensidad de la fueza magnética sobe la baa es. Si la baa se mueve en la diección positiva, entonces: La fem o voltaje inducido es, así que la coiente es: l R F B v i I Figua 11. Baa conductoa deslizando sin oce. Todo esulta en una ecuación difeencial: Segunda Edición

10 ln ( ) Finalmente, la velocidad de la baa en función del tiempo es: ( ) Ejecicio 6 Un alambe ecto infinitamente lago que conduce una coiente está pacialmente odeado po una espia como se muesta en la (fig. 12). La espia tiene una longitud y un adio, y conduce una coiente. El eje de la espia coincide con el alambe. Calcule la fueza ejecida sobe la espia. R: La coiente en el alambe cental genea un campo magnético con una intensidad de, y de diección anti hoaia en cículos concénticos. Cuando la coiente ecoe las zonas cuvas de la espia, el campo magnético anteio se encuenta en el mismo plano, po lo que la fueza pecibida es nula ( ). R L I I Figua 12. La coiente va hacia aiba, peo simplemente ecoe la espia alededo del alambe ecto. Los tamos de alambe paalelos al alambe cental sienten una fueza entonces: hacia la deecha, l dee Segunda Edición

11 Ejecicio 7 Una vailla conductoa se mueve con una velocidad constante en una diección pependicula a un alambe lago y ecto que lleva una coiente, como se obseva en la (fig.13). Demueste que la magnitud de la fem geneada ente los extemos de la vailla es igual a: x y I L v x v i Figua 13. Vailla y alambe muy lago. R: La fem se define como: Las cagas libes en la vailla se moveán hasta que la fueza magnética y eléctica se equiliben: Entonces la fem también se puede expesa como: ( ) Con y. Segunda Edición

12 El campo magnético poducido po el alambe infinito es desconocido, se calculaá con la ley de Ampee: Como y son paalelos: o Como es constante a lo lago de la línea de integación, se tiene: La coiente enceada po el cículo de Ampee es : La integal de línea anteio es simplemente un cículo, como se ve en la siguiente figua: Reemplazando se obtiene: El campo magnético enta al plano de la baa: ( ) Luego se calcula el poducto ente y : ( ) Reemplazando en la integal: ( ) Segunda Edición

13 Finalmente se llega a la expesión que se buscaba demosta: Ejecicio 8 Un ion positivo tiene una masa de.. Después de se aceleado desde el eposo po una difeencia de potencial de, el ion enta pependiculamente a un campo magnético de.. Calcule el adio de la tayectoia del ion en el campo. R: La enegía cinética del electón es: v v V Figua 14. Electón entando pependiculamente al campo magnético. La intensidad de la fueza magnética debe se igual a la fueza centípeta, necesaia paa que el electón desciba la tayectoia cicula obsevada: De la ecuación anteio, despejando m se tiene: Segunda Edición

14 Reemplazando los valoes, se obtiene:.... Ejecicio 9 Un lago conducto cilíndico de adio tiene dos cavidades cilíndicas de diámeto a lo lago de toda su longitud, como se muesta en la sección tansvesal de (fig. 15). Una coiente se diige hacia afuea de la página y es unifome po toda la sección tansvesal del conducto. Encuente la magnitud y diección del campo magnético en función de,, y en el punto y en el. R: Si la coiente ecoe longitudinalmente el cable, entonces la densidad de coiente es, y el áea tansvesal que ataviesa la coiente es: * + P a P a Figua 15. Conducto cilíndico pefoado a lo lago de su longitud. Y la densidad de coiente es. Paa calcula el campo magnético geneado en el punto, pimeo se calcula el campo geneado po el cable como si no tuviea huecos, con la ley de Ampeè: ó en en do n o o Segunda Edición

15 Donde la densidad de coiente multiplicada po el áea es la coiente. Luego se calcula el campo geneado po cada hueco, como si fuean conductoes sólidos: ( ) ( ( )) en en do n o o ( ) ( + ( )) en en do n o o Como el campo magnético cumple con el pincipio de supeposición, entonces sustayendo el campo de los conductoes supeio e infeio al campo del conducto sólido se encontaá el campo en el punto : ó [ ( ( )) ] ( + ( )) Reemplazando po, se obtiene: [ ( ( )) ] * + en en do n o o El mismo pocedimiento se aplica paa halla el campo el campo en el punto, peo ahoa el vecto campo magnético de los conductoes infeio y supeio tienen cieto ángulo con especto al eje hoizontal. a a d d B sólido B infeio B supeio P Figua 16. Campos magnéticos geneados po los cables conductoes supeio e infeio, y el campo del cable conducto, si este no tuviea huecos. Segunda Edición

16 En el punto el campo del conducto sin huecos es igual que en el punto, entonces: ó Las componentes hoizontales de los campos de los conductoes infeio y supeio se anulan ente sí, peo las veticales apuntan hacia aiba, y son iguales, entonces: ( ) + ( ) Y el coseno necesaio paa calcula las componentes veticales es: o + ( ) Entonces el campo en el punto es: ó ( + ) + ( ) [ ( ) + ( ) ] + ( ) [ ] ( + ( ) ) Reemplazando, se obtiene finalmente: * + + * en en do n o o Responsables académicos Coegida Editoial PAIEP. Si encuenta algún eo favo comunicase a ciencias.paiep@usach.cl Segunda Edición

17 Fuentes Nahvi, M., Edministe, J. (2003). Schaum s Outline of Theoy and Poblems of Electic Cicuits. (4 a ed.). Nueva Yok, Estados Unidos: McGaw Hill. Seway, R. (1993). Electicidad y Magnetismo. (3 a Inteameicana. ed.). México DF, México: McGaw Hill Benguia, R., Depassie, M., Faved, M. Poblemas esueltos de electicidad y magnetismo. (3ª ed.). Univesidad Católica de Chile. Seway, R., Jewett, J. (2005). Física paa ciencias e ingenieías. Tomo II (6 a ed.). Califonia, Estados Unidos: Thomson-Books/Cole. Segunda Edición