CAPÍTULO VI CAMPO MAGNÉTICO Y FUERZA MAGNETICA. La región en el espacio donde un imán experimenta una atracción o repulsión se conoce como

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1 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. CAPÍTULO VI CAMPO MAGNÉTICO Y UEZA MAGNETICA Capo agnético La egión en el espacio donde un ián expeienta una atacción o epulsión se conoce coo capo agnético. El vecto capo agnético se conoce taién po Inducción Magnética Líneas de inducción lujo agnético Así coo el capo eléctico se epesenta gáficaente po edio de las líneas de fueza, el capo agnético se va a epesenta po las líneas de inducción que son u útiles en el análisis cualitativo en algunos casos audan a esolve poleas analíticaente. De la figua siguiente, se osevan las siguientes elaciones ente las líneas de inducción el capo agnético. 1. La tangente a la línea de inducción en cualquie punto es paalela al capo agnético en ese punto.. El núeo de líneas de inducción po unidad de áea de sección tansvesal en una egión del espacio está en elación diecta a la agnitud del capo agnético. Po consiguiente donde las líneas están u cecanas ente sí, el capo es ás intenso que donde están sepaadas. 3. La diección de las líneas de inducciones es del Polo Note al Polo Su. 115

2 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. 4. Las líneas de inducción nunca se cuzan. Cuando se taaja con poleas de capos agnéticos en un plano se adopta la convención de epesenta el capo agnético entando en un plano po una cuz ( ) saliendo del plano po un punto ( ). El flujo agnético se define en foa siila al flujo eléctico, coo una integal de supeficie soe la coponente noal del capo agnético, un difeencial de flujo agnético está dado po: d Φ M donde n es la coponente noal del capo agnético ds el difeencial de áea, es deci, el flujo agnético paa una supeficie deteinada (aieta o ceada) es la integación del poducto punto del vecto capo agnético el vecto difeencial de áea. Esto es: n ds Φ ds (6.1) Coo se veá en los capítulos siguientes, tanto el flujo agnético coo el flujo eléctico, son conceptos ásicos paa ealiza el estudio del Electoagnetiso ueza agnética soe una patícula cagada en oviiento. (Definición de capo agnético). Un capo agnético se puede estudia expeientalente osevando los efectos que poduce soe cagas en oviiento. En la siguiente figua se oseva que la fueza con que es desviado el flujo de electones depende de la intensidad del capo agnético, la velocidad de los electones del seno del ángulo ente el vecto capo agnético el vecto velocidad. 116

3 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. La elación ente el capo agnético, el vecto velocidad de la patícula cagada su caga se puede expesa con la siguiente ecuación: q ( ) (6.) De la ecuación anteio se puede defini el capo agnético, enconta que: (6.3) q senθ Las unidad del capo agnético en el sistea MKS es el Tesla [T], que taién se conoce coo Wee/, que según la ecuación anteio coesponde a: Wee N 1 1 1[ T ] A. La unidad que se usó inicialente paa el capo agnético fue el Gauss (sistea cgs.) la elación ente Tesla el Gauss es: 1Tesla 1 4 Gauss ueza soe un conducto con coiente En la sección 6.3 encontanos la fueza que ejece un capo agnético soe una patícula cagada en oviiento (Ec. 6.). La coiente eléctica es un conjunto de cagas en oviiento con una isa diección en un conducto, es deci que si poneos un conducto con coiente en un capo agnético éste sufe una fueza a que los electones no pueden salise del conducto. 117

4 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. De la Ec. (6.) teneos la fueza que se ejece paa un potado de caga, paa N potadoes de caga en el conducto oteneos que la fueza es: N q (6.4) paa facilita el análisis se supone que el capo agnético es pependicula a la velocidad de los potadoes de caga, entonces: N q (6.5) de la Ec. (4.3) se tiene que la elación ente la coiente ( I i ) el núeo de potadoes de caga po unidad de voluen que es igual a: i n q A que se puede escii coo: o ien: i N AL i L Aq N q sustituendo en la Ec. (6.11) se otiene que: i L (6.6) En foa vectoial se epesenta po: i L (6.7) donde L nos indica la diección de la coiente es la longitud de alae que está dento del capo agnético. Una foa ás geneal de expesa la Ec. (6.13) es en foa difeencial que es u útil paa los casos de los cuales el alae no es ecto o que el capo agnético es vaiale, esto es: d I d l (6.8) de aquí se puede calcula la fueza total integando soe la longitud de alae que está dento del capo agnético. Coentaio: 118

5 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. Supongaos que se desea calcula la fueza agnética soe el conducto de la figua ente los puntos a. Si ocue que el capo agnético la coiente I, son constantes, entonces se puede escii a I dl I dl I( la) a a (6.9) l a a I Cae destaca que el étodo popuesto anteioente, es de gan utilidad paa deteina la fueza agnética soe segentos cuvos de los conductoes con coiente Moviiento de patículas cagadas en un capo agnético. Suponiendo que el capo agnético es unifoe la velocidad es pependicula al capo, la patícula expeienta una fueza q que caia la diección de la velocidad peo no vaía su agnitud, este descie un oviiento cicula en un plano, coo se uesta en la figua siguiente, paa que la patícula descia la taectoia cicula es necesaio que la fueza sea centípeta, de acuedo a la segunda le de Newton se tiene que: (6.1) 119

6 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. que es igual a la fueza que otiene en la Ec. (6.) sustituendo en la Ec. (6.1), se tiene que: o ien: q (6.11) q donde es el adio de la taectoia cicula que descie la patícula. De la elación ω sustituéndola en la Ec. (6.11) encontaos la velocidad angula ω, esto es: q ω 6.1) en la anteio osevaos que la velocidad angula depende de la elación q/ que son caacteísticas popias de la patícula de la intensidad del capo agnético. En la siguiente figua se esqueatizan los coponentes pincipales del ciclotón, que es una cavidad cilíndica dividida en dos itades que ecien el noe de De, cada una po su foa. Las Des se colocan en un capo agnético unifoe paalelo a su eje, aas están aisladas elécticaente ente sí conectadas a una fuente de voltaje oscilante. 1

7 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. ig (*) Coponentes pincipales del ciclotón. Poleas esueltos Polea 6.1 En un capo agnético unifoe, iˆ + 4 ˆj [T], es dispaado un electón con una velocidad 8 1 kˆ [/s]. Calcule la fueza en agnitud diección que expeienta el electón. e [C]. Solución: De la ecuación 6. teneos que: M q Sustituendo datos: Oteniendo: La agnitud de M es: v M (kˆ) (ˆ i + 4 ˆ)(1 j )( M ( 8iˆ + 4 ˆ) j ) Y en notación vectoial: 11

8 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. M iˆ ˆj [N]. Polea 6. Paa el caso de una patícula cagada que se ueve en un capo agnético unifoe constante, aplicado en la diección del eje z. Deteine: a) Cada una de las coponentes de la velocidad x, z. ) Las posiciones, (t) z(t). c) La ecuación de la taectoia. Solución: a) De la segunda le de Newton de la fueza agnética que actúa soe una patícula cagada, se puede escii d q dt En coponentes De donde se tiene que d dt d d dt iˆ ˆj kˆ x z,, q x z dt z d x ω (coponente x) (*) dt con d dt q ω z ω (coponente ) (**) d z dt (coponente z) 1

9 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. Multiplicando po i la coponente (**), luego suando la coponente x (*) se tiene de donde se encuenta d dt ( + i ) iω + i ) x ( x ( + i ) ae x iω t Eligiendo adecuadaente la constante a iα e x se otiene ( + i ) x x e i( ω t+ α ) sepaando pates eal e iaginaia se encuenta x x cos( ω t + α) x sen( ω t + α) De donde se encuenta el valo de la constante +, que coesponde al valo de x x la velocidad (ódulo) de la patícula en el plano XY. d La coponente z de la velocidad se otiene de z, de donde se encuenta que dt z z Po oto lado, integando las ecuaciones que coesponde a las coponentes de la velocidad se otiene. x( t) x + sen( ω t + α) Cte ( t) + cos( ω t + α) ; x / ω z( t) z + t z 13

10 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. c) Las ecuaciones anteioes uestan que la patícula cagada se ueve a lo lago de una hélice, cuo eje está diigido en el sentido del capo agnético, con un adio dado po x /ω. Si, entonces el oviiento de la patícula es en el plano XY (pependicula al capo z agnético), descie una óita cicula. Polea 6.3 Un estecho haz de potones de difeentes velocidades peneta en un capo agnético unifoe, de ódulo, que es pependicula al plano del haz. Qué velocidades deen tene los potones paa que poduzcan ipacto en la láina de longitud d, colocada a una distancia de la entada del haz, coo se indica en la figua? Aplicación nuéica:,1 [T], 1 [c], d [c], e/ p 9, [C/k]. Solución Al enta los potones en el capo agnético expeientan una fueza q que es, en cada instante, pependicula a a, po lo que los potones descien acos de cicunfeencia de adio, de odo que se veifica luego q q Paa que se poduzca el ipacto en el punto 1 la velocidad de los potones deeá se 14

11 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. 1 q paa que se poduzca el ipacto en el punto, la velocidad de los potones deeá se Aplicación nuéica q ( + d) 9, [C/k],1[T] 1 [] 4,97 1 [/s] 9, [C/k],1[T]1, 1 [] 5,75 1 [/s] Los potones con velocidades copendidas ente 1 poducián ipactos en la láina. Polea 6.4 Se coloca un tuo de aos catódicos ente las piezas de un electoián, de odo que el capo agnético, que es unifoe a lo lago de una longitud del haz nulo fuea de esta longitud, sea pependicula al haz catódico. Si c es la distancia ente el ode del capo agnético la pantalla fluoescente del tuo, electones e/ la caga específica del electón: V la difeencia de potencial aceleadoa de los a) Calcule la desviación δ del ipacto de los electones en la pantalla. 15

12 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. ) Siplifique la expesión otenida en el caso en que sea ucho eno que el adio de la taectoia cicula de los electones en el capo agnético. Solución ) Los electones aceleados po el potencial adquieen una enegía cinética V 1 V e Al enta en el capo agnético con la velocidad v expeientan una fueza pependicula a v a ; esta fueza da luga a una taectoia cicula de adio de los electones ientas están dento del capo e ) / ( e V e (1) De la geoetía del polea se tiene δ tanα ( A) c + / ) cos (1 tg A α α + c δ + c Sustituendo po su valo (1) ) / ( ) / ( 1 ) / ( e V e V e V c + δ c) Si << 16

13 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. δ c + c e / V Polea 6.5 Un alae de la foa que se uesta en la ig. 6.8 lleva una coiente de [A]. Calcule la fueza agnética esultante que oa soe el alae si el capo agnético es de 1 [T] a.1 []. Solución: La fueza agnética soe un conducto con d i dl I i, está dada po En la figua anteio veos que la fueza de la pate supeio del alae es igual a la fueza que actúa en la pate infeio. El cálculo de la fueza en la pate seicicula se otiene de la integal soe d sen θ a que las coponentes de d cos θ es anulada po la pate siética en el seicículo del alae, la fueza esultante se otiene integando: a que dl, coo dl a dθ entonces: d senθ ( i dl sen9 ) senθ Integando: π i a senθ dθ 17

14 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. Oteniendo la fueza esultante: i a i a [ ] π cos θ en la diección que se uesta en la ig. Sustituendo datos oteneos su agnitud 4[ N] Polea 6.6 esuelva el polea anteio, utilizando diectaente la expesión Solución a I dl I dl a a Dado que el capo agnético la coiente I son constantes, entonces se puede escii a I dl I dl I( la) a a Paa el segento seicicula l l a( ˆ), ( kˆ ) a seici. j seicic I a( ˆ) j ( kˆ) Iaiˆ Paa el segento supeio e infeio se tiene que: l sup l sup iˆ ; l inf l inf ( iˆ) luego la fueza soe estos segentos es sup + inf I( lsup) + I( linf ) I lsup(ˆ) i ( kˆ) + I linf ( iˆ) ( kˆ) 18

15 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. sup + inf I l sup ˆj + I l inf ( ˆ) j I( l sup l inf ) ˆj Si ocue que l. Entonces + sup l inf sup inf Polea 6.7 Un alae de la foa que se uesta en la siguiente figua; pasa una coiente po el de 1 [A], calcule la fueza agnética que expeienta el alae al colocalo en un capo agnético de [T]. Considee el adio a. [] Solución Dado que el capo agnético la coiente, son constantes, entonces se puede escii a I dl I dl I( la) a a Del polea anteio, se oseva que la fueza soe los segentos hoizontales se anula. Luego, paa el segento cuvo, de la fig. se tuene que l ( / 8)( ˆ a lseici. asen π j), ( kˆ) Iasen( π / 8)( ˆ) j ( kˆ) 36.74[ N] iˆ seicic Polea 6. 8 Deteine la fueza agnética soe un espia cicula de la figua. 19

16 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. I Solución: Dado que el capo agnético la coiente, son constantes, entonces: a I dl I dl I( la) a a Po tatase de de un conducto ceado, se tiene que: l a l Entonces aa Polea 6.9 Se desea diseña un ciclotón coo el que se uesta en la ig.(*) con un adio de la De de 1 eto que el valo del capo agnético sea de.65 tesla, a) Cuál es el valo de la fecuencia de oscilación?, ) Cuál es la enegía del potón al sali del ciclotón? Solución: a) De la Ec. (6.1) oteneos la fecuencia ν del potón que es la isa fecuencia ν de la fuente de voltaje oscilante, que es el pincipio de opeación del ciclotón. sustituendo valoes: ω q ν π π ν [ C])(.65 [ T ]) ()(3.14)( [ k]) ( 7 [ Hz] 13

17 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. ) De la Ec. (6.11) se tiene que la velocidad depende del adio de la patícula que en este caso es el adio de las Des, despejando la velocidad sustituendo en la ecuación de la enegía cinética teneos: sustituendo valoes: K Convitiendo a MeV: q 1 1 K 19 ( coul) (.65 tesla) (1) ( Kg) 1 1 K [ M ev ] [ J ]. Polea 6.1 Un alae que tiene una densidad lineal de asa de λ.6[k/], está suspendido po un pa de puntas flexiles, dento de un capo agnético de 44[T]. Deteine la agnitud diección de la coiente en el alae paa que la tensión en las puntas sea ceo Solución: De diagaa del cuepo lie se tiene que Luego IL I g L g ( / L) g IL g eeplazando los valoes se encuenta I 1.34[ A] Dado que IL coo ( kˆ ) ˆj, entonces se dee cupli que ILuˆ ( kˆ) j uˆ iˆ ˆ 131

18 Tópicos de Electicidad Magnetiso J.Pozo.M. Choadjian. Dado que el sentido de la coiente es la del vecto coiente es a lo lago del eje x L Luˆ, se tiene que la diección de la Polea 6.11 Un alae cua asa es, está suspendido ediante unos alaes flexiles en un capo agnético que apunta hacia fuea del plano del papel. Deteine: Cuál es la agnitud diección de la coiente necesaia paa eliina la tensión de los alaes flexiles. a Solución: La fueza agnética soe el alae seicicula, está dada po d I dl Dado que el capo es constante pependicula con dl, se tiene que: Entonces el ódulo de la fueza agnética es a I( dl ) I(a) ˆ j I(a) Notaos que el alae seicicula (dento del capo agnético) se copota coo un alae ecto de longitud a, tal coo se uesta en la siguiente figua. Del diagaa del cuepo lie se tiene que Luego I ( a) g I g a I(a) g Dado que ( kˆ ) a deecha. ˆj, entonces se dee cupli que la coiente cicula de izquieda 13