PROBLEMAS RESUELTOS DE MOMENTOS DE INERCIA
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- Francisco José Toro Vázquez
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1 UNVERSDAD NACONAL DEL CALLAO FACULTAD DE NGENERÍA ELÉCTRCA ELECTRÓNCA ESCUELA PROFESONAL DE NGENERÍA ELÉCTRCA CURSO : MECÁNCA DE SÓLDOS PROFESOR : ng. JORGE MONTAÑO PSFL PROBLEMAS RESUELTOS DE MOMENTOS DE NERCA PROBLEMA Nº Deteine los oentos de inecia de asa,,, paa el disco cicula delgado de asa adio ostado en la figua. Resolución Paa calcula los oentos de inecia del disco cicula delgado se debe ecoda que en coodenadas cilíndicas, el voluen paa el eleento difeencial de asa d, ϕ d ostado en la figua, viene dado po: dv ' d ' d d Cálculo de (oento de inecia del disco cicula delgado, especto al eje ) Po definición, el oento de inecia del disco cicula delgado, especto al eje que ataviesa su cento de asa, viene dado po: ( ') d, ' = distancia pependicula del eje al eleento d Se cuple: d dv ( ' d ' d d)
2 Reeplaando d, la ecuación de queda: ( ) ( d d d) Resolviendo la integal eeplaando la densidad del disco cicula: obteneos que:, V Cálculo de (oento de inecia del disco cicula delgado, especto al eje ) Po definición, el oento de inecia del disco cicula delgado, especto al eje que ataviesa su cento de asa, viene dado po: ( '') d, '' taa la distancia pependicula que: '' = distancia pependicula del eje al eleento d, desde el eje hasta el eleento difeencial d, se obtiene '' ' sen Si esta distancia inecia, teneos: '' el difeencial de asa d se eeplaan en la ecuación del oento de ( ' sen ) ( ' d ' d d) Resolviendo la integal eeplaando la densidad del disco cicula: obteneos que:, V NOTA.- debido a la sietía de la figua, el oento de inecia del disco cicula delgado, especto al eje que ataviesa su cento de asa, es igual al oento de inecia especto al eje. Es deci:
3 PROBLEMA Nº Deteine los oentos de inecia de asa,,, paa el cilindo de asa, altua h sección tansvesal de adio ostado en la figua. h/ h/ Resolución Paa calcula los oentos de inecia del cilindo se ecoienda elegi coo eleento difeencial un disco cicula delgado de asa d, adio espeso d, tal coo se obseva en la figua. d h/ h/ Cálculo de (oento de inecia del cilindo, especto al eje ) El oento de inecia paa el cilindo, especto al eje que ataviesa su cento de asa, se halla a pati del valo conocido del oento de inecia paa un disco delgado. Se cuple:
4 Dónde: d dv ( d) d ( CLNDRO ) ( d) * Coo el eleento difeencial (disco cicula delgado) el cilindo son del iso ateial, entonces su densidad es la isa. Esta densidad la hallo dividiendo la asa del cilindo ente su espectivo voluen, es deci: V ( h) Reeplaando d en la ecuación del oento de inecia d (CLNDRO ) e integando, obteneos: ( CLNDRO ) Cálculo de (oento de inecia del cilindo, especto al eje ) El oento de inecia paa el cilindo, especto al eje que ataviesa su cento de asa, se halla a pati del valo conocido del oento de inecia paa un disco delgado aplicando el teoea de Steine o teoea del eje paalelo. Po lo tanto, se cuple: d ( CLNDRO ) ( d) ( d) Reeplaando d e integando, obteneos: ( CLNDRO ) (3 h ) NOTA.- debido a la sietía de la figua, el oento de inecia del cilindo, especto al eje que ataviesa su cento de asa, es igual al oento de inecia especto al eje. Es deci: ( CLNDRO ) ( CLNDRO ) (3 h )
5 PROBLEMA Nº 3 Deteine los oentos de inecia de asa paa la esfea de asa adio, especto a los ejes,,, ostados en la figua. Esfea de asa Resolución d igual que en el caso del cilindo, paa calcula los oentos de inecia de la esfea se ecoienda elegi coo eleento difeencial un disco cicula delgado de asa d, adio espeso d, tal coo se obseva en la figua. Debido a la sietía de la figua, los oentos de inecia paa la esfea, especto a los tes ejes coodenados que ataviesan su cento de asa, son iguales. En consecuencia es suficiente calcula sólo uno de ellos. Cálculo de (oento de inecia de la esfea, especto al eje ) El oento de inecia paa la esfea, especto al eje que ataviesa su cento de asa, se halla a pati del valo conocido del oento de inecia paa un disco delgado aplicando el teoea de Steine o teoea del eje paalelo. Po lo tanto, se cuple: d ( ESFERA ) ( d) ( ') ( d)
6 De la figua se obseva que: ( ') ( ') d dv ( ') d d ( ) d * Coo el eleento difeencial (disco cicula delgado) la esfea son del iso ateial, entonces su densidad es la isa. Esta densidad la hallo dividiendo la asa de la esfea ente su espectivo voluen. Es deci: V 3 Reeplaando d ( ') en la ecuación del oento de inecia d (ESFERA ) e integando, obteneos: ( ESFERA ) 3 5 Nota.- Po sietía de la figua, se cuple que: ( ESFERA ) ( ESFERA ) Z ( ESFERA ) 5 PROBLEMA Nº Deteine los oentos de inecia de asa paa la placa delgada de asa lados a b, especto a los ejes,,, ostados en la figua Placa delgada de asa a b Resolución Paa calcula los oentos de inecia de la placa delgada elegios un eleento difeencial de asa d, ubicado a una distancia pependicula, especto al eje, tal coo se apecia en la figua siguiente. De ella tabién se conclue que las coponentes de : e, son distancias pependiculaes del eleento difeencial a los ejes coodenados. Adeás, asuieos que la placa delgada tiene espeso.
7 d a b Cálculo de (oento de inecia de la placa delgada, especto al eje ) Po definición, el oento de inecia de la placa delgada, especto al eje que ataviesa su cento de asa, viene dado po: d, = distancia pependicula del eje al eleento d Se cuple: d dv ( d d d) De la figua se obseva que: Reeplaando d, la ecuación de queda: / b / a / ( / b / a / )( d d d) Resolviendo la integal eeplaando la densidad de la placa delgada:, V a b obteneos que: ( a b ) Cálculo de (oento de inecia de la placa delgada, especto al eje ) Po definición, el oento de inecia de la placa delgada, especto al eje que ataviesa su cento de asa, viene dado po: ( ') d, ' = distancia pependicula del eje al eleento d taa la distancia pependicula que esta distancia es igual a la distancia. Es deci: ', desde el eje hasta el eleento difeencial d, se obseva '
8 Si esta distancia ' el difeencial de asa d se eeplaan en la ecuación del oento de inecia, teneos: / b / a / / b / a / ( ) ( d d d) Resolviendo la integal eeplaando la densidad de la placa delgada: obteneos que:, V a b b Cálculo de (oento de inecia de la placa delgada, especto al eje ) Paa calcula el oento de inecia se pocede de anea siila al cálculo de. En este caso, la distancia pependicula del eje que ataviesa su cento de asa, al eleento difeencial, es. evalua la ecuación del oento de inecia se obtiene que: a PROBLEMA Nº 5 Deteine los oentos de inecia de asa paa el pisa ectangula de asa lados a, b c, especto a los ejes,,, ostados en la figua a c b
9 Resolución a c b d Cálculo de (oento de inecia del pisa ectangula, especto al eje ) El oento de inecia paa el pisa ectangula, especto al eje que ataviesa su cento de asa, se halla a pati del valo conocido del oento de inecia paa una placa delgada, adeás aplicando el teoea de Steine o teoea del eje paalelo. Po lo tanto, se cuple: d ( PRSMA) ( d) ( c) ( d) El eleento difeencial tiene asa: d dv ( acd ) * Coo el eleento difeencial (placa delgada) el pisa ectangula son del iso ateial, entonces su densidad es la isa. Esta densidad la hallo dividiendo la asa del pisa ente su espectivo voluen. Es deci: V a bc Reeplaando d en la ecuación del oento de inecia d (PRSMA) e integando, obteneos: ( PRSMA ) ( c b ) Cálculo de (oento de inecia del pisa ectangula, especto al eje ) El oento de inecia paa el pisa ectangula, especto al eje que ataviesa su cento de asa, se halla a pati del valo conocido del oento de inecia paa una placa delgada. Po lo tanto, se cuple que: d ( PRSMA ) ( d) ( a c )
10 donde: d dv ( acd ) ; siendo: V a bc Reeplaando d en la ecuación del oento de inecia d (PRSMA ) e integando, obteneos: ( ( PRSMA ) a c ) NOTA.- paa calcula el oento de inecia del pisa ectangula, especto al eje que ataviesa su cento de asa, se pocede de anea siila al cálculo del oento de inecia con especto al eje. Pocediendo de esta foa, se obtiene que: ( ( PRSMA ) a b ) PROBLEMA Nº 6 Deteine el oento de inecia de asa del sólido que se foa al gia el áea sobeada alededo del eje. La densidad del ateial es 7,85 Mg/ 3. 8 Resolución gia el áea sobeada alededo del eje, se obtiene el sólido ostado a continuación. Paa calcula el oento de inecia de dicho sólido elijo coo eleento difeencial un disco cicula delgado poque se conoce sus oentos de inecia de asa, especto a los ejes,,. Se sabe que: Disco cicula delgado de asa
11 R = d 8 Paa el poblea dado, el oento de inecia del disco seá un difeencial del oento de inecia del sólido, es deci: d Z ( SOLDO ) ( d)... () Dónde: ; d dv ( d) d d 8 6 Reeplaaos en (): d Z ( SOLDO) d 6 6 ntegando teneos: Z ( SOLDO ) (6)(6) 0 8 d Z ( SOLDO ) 685, kg
12 PROBLEMA Nº 7 El cilindo cicula ostado está hecho de aluinio con densidad de 700 kg/ 3 hieo con densidad de kg/ 3. Deteine sus oentos de inecia con especto a los ejes e. Resolve el poblea toando coo efeencia los valoes conocidos de los oentos de inecia de un disco cicula delgado. 60 c C.M. 0 c 60 c, Resolución Pieo hallo asa del aluinio, asa del hieo la coodenada del cento de asa del cilindo copuesto ( ). Las asas se deteinan utiliando la ecuación V, dado que la densidad del cuepo ( ) es dato del poblea el voluen V se halla ultiplicando el áea de la sección tansvesal la altua. Es deci: 3 3 V 700kg/ ( 0, )(0,6) 50, 8938kg 3 3 V 7860kg/ ( 0, )(0,6) 8, 575kg Paa calcula (coodenada del cento de asa) aplico la ecuación siguiente: 0, 766 * De la figua dada se obtiene que: 0,3 0, FE 9 Cálculo de ' ( TOTAL ) (oento de inecia paa el cilindo copuesto, especto al eje ' ) Po tatase de un cilindo copuesto se cuple el pincipio de supeposición, es deci que el oento de inecia total, especto al eje ', es igual a la sua de los oentos de inecia del cilindo de aluinio del cilindo de hieo, con especto al iso eje ' ( TOTAL ) ' ( ) ' ( ) '.... ()
13 Hallo ' ( ) (oento de inecia del cilindo de aluinio, especto al eje ' ): Si consideaos coo eleento difeencial un disco cicula delgado de adio, asa d espeso d, se sabe que su oento de inecia, especto al eje ', está dado po: Reeplaaos d : ntegando, teneos: ' ( ) d ' ( ) ( d) ; donde: d ( ) d d ' ( ) ( d) 0,6 d ' ( ) 0, 597kg 0 Hallo ' ( ) (oento de inecia del cilindo de hieo, especto al eje ' ): En este caso, se cuple: d ' ( ) ( d) ; donde: d ( ) d Reeplaaos d : d ' ( ) ( d) ntegando, teneos: ' ( ), d ' ( ) 0, 70789kg 0,6 Reeplaando en la ecuación (), teneos: ' ( TOTAL ), kg Cálculo de ' ( TOTAL ) (oento de inecia paa el cilindo copuesto, especto al eje ' ) En este caso debeos ecoda que el oento de inecia paa un cilindo de asa, altua h sección tansvesal de adio, especto al eje centoidal, el cual es pependicula al eje del cilindo, viene dado po la ecuación siguiente: ( Cilindo) (3 h ) h Eje centoidal Aplicando esta ecuación el pincipio del eje paalelo, teneos que el oento de inecia del cilindo de aluinio, especto al eje ', está dado po: ' ( ) (3 h ) ' ( ) (3 h ) (0,766 0,3) d ' ( ), kg
14 Paa copende ejo la ecuación anteio, ve la figua siguiente: Eje centoidal paa el aluinio d Eje centoidal paa el hieo d 0,3 0, 766 C.M. 0 c 0,9, Paa el cilindo de hieo, teneos: ' ( ) (3 h ) ' ( ) (8,575)(3 0, 0,6 ) 8,575(0,9 0,766) ' ( ), kg d Paa calcula ' ( TOTAL ) aplicaos pincipio de supeposición. Es deci: ' ( TOTAL ) ' ( ) ' ( ) ' ( TOTAL ), kg 00,75 05,990 9, 37 0,75 5,990
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