Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson Teorema de Unicidad. Métodos de las Imágenes. Campos y Ondas UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

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1 Electostática táti Clase 3 Ecuación de Laplace y Ecuación de Poisson Teoema de Unicidad. Métodos de las Imágenes Campos y Ondas FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

2 2 E V m 0 Ecuación de Poisson V 0 V m 2 E 0 E V V 0 V m 2 la divegencia del gadiente es el laplaciano V V V x y z 0 En coodenadas catesianas Debe notase que la ecuación de Poisson, tiene implícita las popiedades de iotacionalidad y de la Ley de Gauss, lo cual implica que contiene la infomación completa de la electostática equivalente a la Ley de Coulomb

3 div( gadiente) Laplaciano Catesianas Esféica Cilíndicas

4 El opeado escala), la divegencia de un gadiente (un implica la deivación con especto a más de una vaiable; en consecuencia, la ecuación de Poisson es: una ecuación difeencial pacial que elaciona en cada punto la foma de vaiación del potencial con la densidad de caga pesente en él. Su esolución nos pemite obtene el potencial V(x, y, z) en cualquie punto del espacio, paa lo cual es necesaio conoce la dependencia funcional de la distibución de caga (x, y, z) y las condiciones i de fontea de dicho espacio

5 Ecuación de Laplace Paa el caso en que en cada punto de la egión consideada la distibución de caga sea nula V 0 V m 2 A esta expesión se la denomina ecuación de Laplace y es de gan impotancia en el estudio de los campos. Su esolución nos pemite detemina el potencial V(x, y, z) en una egión del espacio sin cagas, siendo necesaio conoce las condiciones de fontea de esa egión

6 Ecuación de Laplace V3 V1 V2 Es de inteés, cuando debe hallase el campo en una egión donde existen conductoes inmesos en un medio vacío. Si se tiene conductoes donde la caga está distibuida supeficialmente, el poblema consiste en enconta el campo o el potencial en el espacio limitado po esos conductoes. En dicho espacio al no existi cagas se veifica la ecuación de Laplace y su solución con las condiciones de límite impuestas po el potencial de los conductoes nos pemite halla el valo del potencial en cada punto.

7 Ecuación de Laplace Una popiedad impotante de las funciones que son soluciones de la ecuación de Laplace, paa el caso electostático del potencial V(x, y, z), es que si se define una esfea cualquiea situada completamente en la egión en que la ecuación es satisfecha, el valo medio del potencial en la supeficie de la esfea es igual al valo del potencial en el cento de la misma. V8 V7 V6 V1 V5 V0 V2 V3 V4 1 n V 0 V i n 1

8 Popiedades de la Ecuación de Laplace Así, el potencial no puede tene ni máximos ni mínimos en el inteio de la egión consideada. Estos valoes extemos solo pueden ocui en los límites de la egión. Si V(x, y, z) es solución de la ecuación de Laplace y es constante sobe una supeficie ceada cualquiea, el potencial es constante en todo el volumen enceado po tal supeficie V8 V1 V2 V7 V0 V3 V 1 V 2 V 3.. Vi Vn V 0 V6 V5 V4

9 Teoema de Unicidad La solución de un poblema electostático en una egión sin cagas, estaá dada po una función V(x, y, z) 1. cumpli con la ecuación de Laplace en todos los puntos inteioes de la egión, 2. debe satisface los valoes de potencial en el límite de dicha egión. es posible que exista más de una función V(x, y, z) que cumpla con tales condiciones? La espuesta la da el denominado teoema de Unicidad establece que existe una única función V(x, y, z) que satisface simultáneamente la ecuación de Laplace, y una deteminada distibución de potencial en el límite de una dada egión.

10 Teoema de Unicidad ENUNCIADO Dos soluciones a la ecuación de Laplace que satisfacen las mismas condiciones en la fontea difieen cuando mucho en una constante aditiva. Un volumen V0, limitado po las supeficies S, S1, S2, S3,...Sn Vo S Supongamos que existan dos soluciones difeentes paa el potencial, sean las funciones V 1 y V 2 S 2 S 1 S 3 S n V 0 V 0Laplace 1 2 V S V S ; V S V S ; V S V S ;.. ; V S V S Condiciones límtes n 2 n

11 Teoema de Unicidad Se define una función, tal que: V1 V2 V 1 2 V V en todo el volumen V0 S V S V S 1 2 en todo el volumen V0 S V1 S1. V2 S1 en cada Supeficie. (Condición ió de Diichlet) i. S V S V S 1 n 2 n Tenemos que demosta que es idéntica a ceo en todo el Vo

12 . Definimos, y aplicamos el teoema de la divegencia dv n ds V SS S... S 1 2 n Teoema de Unicidad dado que =0 sobe las supeficies, la integal del segundo miembo se anula y po ende seá nula la del pime miembo. Si en el integando de esta última integal se eemplaza la igualdad: ( ) 2 0 Cumple con Laplace en el volumen 2 dv 0 V0: 0 V1V2 Cte V dado que el integado no puede se negativo, la igualdad anteio implica que, en todo el volumen

13 Teoema de Unicidad El valo de la constante puede se evaluado en los límites y dado que sobe las supeficies límites =0, esulta Cte.=0. De esta foma es ceo en todo el volumen v0 y sobe las supeficies que limiten ese volumen. Así se veifica que si V1 y V2 son soluciones de la ecuación de Laplace y satisfacen las condiciones de potencial en el límite, V1=V2 y la solución es única. La integal del segundo miembo de la expesión también es ceo en el caso de que la componente nomal del gadiente se anule sobe las supeficies límites de v0. Condición de Neumann dv ( ) n V SS S... S 1 2 n ds 0 ceo

14 Teoema de Unicidad Po lo que siguiendo igual azonamiento que en el caso anteio puede indicase que si V1 y V2 son soluciones de la ecuación de Laplace y satisfacen las condiciones de la componente nomal del gadiente sobe las supeficies límites, V1=V2 +Cte. y la solución es única a menos de una constante. Si bien el teoema de unicidad se demostó con la ecuación de Laplace, es igualmente válido paa la ecuación de Poisson, ya que en tal caso: V 1 V 2 V1 V y se continúa la demostación de igual foma que en el caso anteio.

15 Teoema de Unicidad La impotancia del teoema de unicidad eside en el hecho de que se justifica intenta cualquie método de solución del poblema electostático, en la seguidad de que si se encuenta una solución, esa es única y el poblema está esuelto. Método Imágenes electostáticas Paa un conjunto dado de condiciones en la fontea, la solución a la ecuación de Laplace es única, de modo que si se obtiene una solución U(x, y, z) po cualquie medio, y si esta U satisface todas las condiciones en la fontea, entonces se ha efectuado una solución completa al poblema.

16 Método de las Imágenes Es un pocedimiento paa loga este esultado sin esolve específicamente una ecuación difeencial. Supóngase que el potencial pueda expesase en la siguiente foma: U U 1 1 da U S donde U1 es ya sea una función específica o fácilmente calculable La integal epesenta la contibución ió al potencial, de la caga supeficial, sobe todos los conductoes que apaecen en el poblema. No se conoce la función. La integal se sustituye po un potencial U2 que se deba a una distibución de caga vitual especificada

17 Método de las Imágenes Las supeficies de todos los conductoes deben coincidi con supeficies equipotenciales de los U1 + U2 combinados. Las cagas vituales especificadas que poducen el potencial U2 se denominan cagas imagen. No existen ealmente. Su posición apaente está dento de los divesos conductoes, el potencial U = U1 + U2 es una solución válida al poblema sólo en la egión exteio a los conductoes.

18 Método de las Imágenes El método de imágenes no es ota cosa que adivina en foma inteligente la foma que adopta la integal. U U S da U 2 el potencial U 1 () satisface la ecuación de Poisson y popondemos que la integal U 2 () tendá la misma foma que la función U 1. Agega distibuciones de caga imaginaias al poblema. Estas cagas imaginaias tendan, en geneal, la foma de la caga eal fuea del conducto

19 Método de las Imágenes Si la caga eal es: puntual sea azonable pone cagas "imagenes" puntuales lineal(como un alambe cagado) sea mas azonable pone cagas lineales, etc. cagas imagen se colocan en una egión del espacio donde NO calculamos el potencial o campo electostático, puesto que si estuviean allí, cambiaíamos la foma de la ecuacion de Poisson. Asi la taea del método de imagen seá con estas cagas imagen constui supecies equipo-tenciales

20 Método de las Imágenes Como ejemplo de este método, se esolveá el poblema de una caga puntual q colocada ceca de un plano conducto de extensión infinita. el plano conducto tal que coincida con el plano yz, y supóngase que la caga puntual está en el eje x a una distancia x=d

21 U 1 q x, yz, q Método de las Imágenes dos cagas puntuales (q y -q) sepaadas adas po una distancia 2d, como el de la Figua El potencial de estas dos cagas, xd y z U x, y, z q q U: satisface la ecuación de Laplace en todos los puntos exteioes a las cagas se educe a una constante (es deci, ceo) sobe el plano que biseca pependiculamente al segmento que une las dos cagas

22 Método de las Imágenes Debido a que las soluciones de la ecuación de Laplace son únicas el potencial es coecto en todo el semiespacio i exteio al plano conducto. La caga -q da oigen al potencial U2 U 2 q x, y, z q xd y z se llama la imagen de la caga puntual -q. la imagen no existe en ealidad, y la solución da coectamente el potencial en el exteio del plano conducto.

23 Método de las Imágenes El campo eléctico E en la egión exteio puede obtenese como el gadiente negativo o supeponiendo el efecto de las dos cgas EE E E 1 2 q ( xd) ι yjzk ( xd) ι yjzk ( x d) y z ( xd) y z 3/2 3/2 4 0 ( ) ( ) E q ( d ) ι y jzk ( d ) ι yj zk d y z d y z 0 3/2 3/2 x0 q ( d) ( d) ι ι D E h y z h y z 0 3/2 3/2 x0

24 Método de las Imágenes Como la supeficie del plano conducto epesenta una inteface que elaciona dos soluciones de la ecuación de Laplace, es deci, U=0 y U(x,y,z) U(xyz) la discontinuidad en el campo eléctico se acomoda po una densidad de caga supeficial sobe el plano qd yz, E / 2 d y z 0 x x

25 Método de las Imágenes +q -q Las líneas de fueza y las supeficies equipotenciales adecuadas al poblema oiginal son las mismas líneas de fueza y supeficies equipotenciales adecuadas al poblema de dos cagas puntuales excepto que en el último caso, las líneas de flujo continuaían en la mitad izquieda del plano. todas las líneas de flujo eléctico que nomalmente convegen en la caga imagen son inteceptadas po el plano En consecuencia, la caga total sobe el plano es igual a la de la caga imagen -q.

26 Método de las Imágenes Es evidente que la caga puntual q ejece una fueza atactiva sobe el plano, debido a que la caga supeficial inducida es de signo contaio. Po la ley de Newton de acción y eacción, esta fueza es igual en magnitud a la fueza ejecida sobe q po el plano. Como la caga puntual no expeimenta ninguna fueza debida a su popio campo, que es exactamente la fueza ejecida sobe él po la caga imagen. F F qu 2 q ( x d) y z q. ι j k ( xd) y z 2 q ι F d 3/2 xd; yz0

27 Método de las Imágenes Oto poblema que podía esolvese ese simplemente en función de las imágenes es el de detemina el campo eléctico de una caga puntual q en la vecindad de la intesección de un ángulo ecto fomado po dos planos conductoes los dos planos, epesentados en esta figua en línea de puntos, son supeficies de potencial ceo, debido a los potenciales combinados de q y de las tes cagas imagen.

28 Método de las Imágenes Imágenes de una caga puntual ente dos planos infinitos que se intesectan en un ángulo de 60 gados. La cantidad d de imágenes es finita it si el ángulo es múltiplo l de 360 gados

29 Método de las Imágenes Caga puntual q en la vecindad de una esfea conductoa A C B Up q q' q q' Ua cte Semejanza de Tiángulos AOC BOA

30 q q' Ua q ' b q. 2 qa. d aa. d a V q 2 a d 2 esfea b q q2 4 a 0 d q Método de las Imágenes Semejanza de Tiángulos AOC BOA 1 d a sen sen sen 2 a b sen sen sen ad ak. d babk. a k

31 Método de las Imágenes Línea de Caga cecana a un cilindo conucto paalelos +q -q d

32 Método de las Imágenes La línea de caga a una distancia d del cento del cilindo, de adio a La línea de caga y el cilindo conducto de longitud infinita La imagen debe se una línea de caga paalela al eje del cilindo paa que la supeficie de adio a se equipotencial Debido a la simetía debe esta sobe el eje d, dento del conducto Supongamos que imagen=- y pobemos la solución si cumple con las condiciones de fontea

33 Método de las Imágenes U cilindo b Up i a 0 i U ( d b) 2 o ln( ) es la distancia i desde d el cilindo a la efeencia d 0 Up i ( d b) 0 0i ef. equi. 2 i Up ln( ) 2 i Ucilindo ln( ) cte 2 i cte 0 0i ln( ) ln( ) 0

34 Semejanza de Tiángulos U cilindo Up a ( d b) b 2 i P i i d P AOC BOA ad a k. d babk. a k d a sen sen sen i a b sen sen sen i b a constante a d 2 a b d Pi es el punto inveso de P con especto al ciculo de adio a

35 Un cilindo conducto sobe un plano conducto a b h 2 a 2h a La caga se considea en el cento b h b 0

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