UNIDAD IV: CAMPO MAGNETICO

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1 UNNE Facultad de Ingenieía UNIDAD IV: CAMPO MAGNETICO Antecedentes. Inducción magnética. Líneas de inducción. Flujo magnético. Unidades. Fuezas magnéticas sobe una caga y una coiente eléctica. Momento magnético sobe una espia. Movimientos de cagas en un campo magnético. Medida de la elación e/m. Efecto Hall. Ley de IOT SAVAT. Cálculo de. Ley de AMPERE. Fueza ente conductoes paalelos. Definición de AMPERE. Campo magnético de un solenoide y un tooide. Índice Índice... 1 Antecedentes... Imanes y Magnetismo. El magnetismo de los imanes... 3 Algunas caacteísticas de las fuezas magnéticas... 4 Espectos magnéticos... 5 Inducción magnética... 6 Movimiento de patículas en un campo magnético estacionaio... 8 Fueza sobe un conducto con coiente... 9 Momento de una espia de coiente... 1 Cagas aisladas en movimiento Ley de iot y Savat Compaación ente la Ley de Coulomb y la Ley de iot-savat Ejemplo: Campo magnético debido a una coiente ectilínea Ley de Ampe Aplicaciones de las leyes de iot-savat y Ampe... a - Campo magnético en el inteio de un conducto... b - Campo magnético ceado po una coiente cicula... c - Campo magnético en un solenoide... 1 d - Campo magnético en un tooide... 3 Fuezas ente coientes... 4 Definición de ampee intenacional... 5 Flujo magnético y la Ley de Gauss paa el campo magnético... 6 Coientes de desplazamiento y la Ley de Ampe... 7 Ing. Atuo R. Castaño Año 8 1 de 8

2 UNNE Facultad de Ingenieía Antecedentes La ciencia del magnetismo nació de la obsevación de que cietas "piedas", mineal magnetita o pieda imán, F e 3 O 4, ataían pedazos de hieo, este fenómeno se lo conoce desde la antigüedad, la palaba magnetismo viene de la egión de Magnesia en el Asia Meno, que es uno de los lugaes en donde se encontaban esas piedas. Uno de los pimeos usos de los imanes fue el de la navegación, que si bien en Occidente comenzó alededo del año 1 de nuesta ea, todo indica que en China se lo conocía desde mucho tiempo antes, se apovecha el hecho de que oto imán natual es la Tiea misma, cuya acción oientadoa sobe la aguja magnética de una bújula se ha conocido desde tiempos antiguos. La figua muesta un imán pemanente modeno, el descendiente diecto de esos imanes natuales. A pesa de sus oígenes ancestales, el magnetismo comenzó a se bien compendido en el tanscuso de los dos últimos siglos. Dicha expeiencia fue efectuada po pimea vez po Petus Peeginus, sabio fancés que vivió sobe 17 y a quien se debe el pefeccionamiento de la bújula, así como una impotante apotación al estudio de los imanes. En 1819 Hans Chistian Oested ( ) descubió que una coiente eléctica es una fuente de magnetismo, es deci podía desvia la oientación de la aguja de una bújula. Los expeimentos ealizados po Michael Faaday ( ) y Joseph Heny ( ) en los Estados Unidos pemitieon establece las leyes básicas que elacionan la electicidad con el magnetismo. Estos habían pemanecido duante mucho tiempo en la histoia de la ciencia como fenómenos independientes de los elécticos. Peo el avance de la electicidad po un lado y del magnetismo po oto, pepao la síntesis de ambas pates de la física en una sola, el electomagnetismo, que eúne las elaciones mutuas existentes ente los campos magnéticos y las coientes elécticas. Esto pemitió a James Clek Maxwell enuncias su Teoía Electomagnética en la década de 186, expesada en las llamadas Leyes de Maxwell, que son consideadas como una de las mejoes constucciones conceptuales de la física clásica. Con el desaollo de la teoía cuantica en este siglo apaecen las teoías micoscópicas que explican las popiedades de los mateiales magnéticos, siendo en la actualidad el magnetismo un áea de la física de intensa investigación. Ing. Atuo R. Castaño Año 8 de 8

3 UNNE Facultad de Ingenieía Imanes y Magnetismo. El magnetismo de los imanes Cuando se estudian las acciones ente baas imantadas se obsevan fuezas de atacción y epulsión, paa tata de explica estos fenómenos se imagino que en los extemos de la baa imantada masas, cagas o polos magnéticos. El estudio del compotamiento de los imanes pone de manifiesto la existencia en cualquie imán de dos zonas extemas o polos en donde la acción magnética es más intensa, siendo pácticamente nula en el cento Los polos magnéticos de un imán no son equivalentes, como lo pueba el hecho de que enfentando dos imanes idénticos se obseven atacciones o epulsiones mutuas según se apoxime el pimeo al segundo po uno o po oto polo. Paa distingui los dos polos de un imán ecto se les denomina polo note y polo su. polo note polo su. Esta efeencia geogáfica está elacionada con el hecho de que la Tiea se compote como un gan imán. Las expeiencias con bújulas indican que los polos del imán teeste se encuentan póximos a los polos Su - y Note geogáficos espectivamente. Po tal motivo, el polo de la bújula que se oienta apoximadamente hacia el Note teeste se denomina polo Note y el opuesto constituye el polo Su. Tal distinción ente polos magnéticos se puede extende a cualquie tipo de imanes. Las expeiencias con imanes ponen de manifiesto que polos del mismo tipo (N-N y S-S) se epelen y polos de distinto tipo (N-S y S-N) se ataen. Esta caacteística del magnetismo de los imanes fue explicada po los antiguos como la consecuencia de una popiedad más geneal de la natualeza consistente en lo que ellos llamaon la «atacción de los opuestos». Ota popiedad caacteística del compotamiento de los imanes consiste en la imposibilidad de aisla sus polos magnéticos. Si se cota un imán ecto en dos mitades se epoducen otos dos imanes con sus espectivos polos note y su. Y lo mismo sucedeá si se epite el pocedimiento nuevamente con cada uno de ellos. No es posible, entonces, obtene un imán con un solo polo magnético semejante a un cuepo cagado con electicidad de un solo signo. N S N S N S N S SS Ing. Atuo R. Castaño Año 8 3 de 8

4 UNNE Facultad de Ingenieía Algunas caacteísticas de las fuezas magnéticas A difeencia de lo que sucede con una baa de ámba electizada po fotamiento, la cual atae hacia sí todo tipo de objetos con la condición de que sean ligeos, un imán odinaio sólo ejece fuezas magnéticas sobe cieto tipo de mateiales, en paticula sobe el hieo. Este fue uno de los obstáculos que impidieon una apoximación más tempana ente el estudio de la electicidad y el del magnetismo. Las fuezas magnéticas son fuezas de acción a distancia, es deci, se poducen sin que exista contacto físico ente los dos imanes. Esta cicunstancia, que excitó la imaginación de los filósofos antiguos po su difícil explicación, contibuyó más adelante al desaollo del concepto de campo de fuezas. Expeiencias con imanes y dinamómetos pemiten sostene que la intensidad de la fueza magnética de inteacción ente imanes disminuye con el cuadado de la distancia que los sepaa: F m 1 siguiente ecuación, Mediante expeiencias similaes a las ealizadas po Coulomb se pudo expesa la F m 1 m m 4 πμ 1 m donde 1 m y son las masas magnéticas y μ es una constante llamada pemeabilidad magnética del vació. Así como vimos el concepto de campo eléctico, podemos asocia la acción a distancias que poducen las masas magnéticas, con el concepto de un campo. El vecto que epesente este campo es el vecto H, llamado vecto intensidad de campo magnético y se lo define en diección, sentido y modulo mediante la elación F H m H m F m m Donde m es una masa magnética note y F m la fueza que actúa sobe ella. Si consideamos una masa unitaia podemos deci que H es la fueza que actúa sobe la unidad de masa colocada en el punto donde se estudia el vecto H. Apliquemos estas ideas a la ecuación de nos define la fueza F m m, suponemos que magnética m m una masa cualquiea, esulta 1 es la masa magnética que nos cea el campo y F H m Ing. Atuo R. Castaño Año 8 m 4 de 8 Y como

5 UNNE Facultad de Ingenieía m 1 m H F m H 1 4πμ queda finalmente la ecuación Ya vimos que no es posible aisla una masa magnética su cotando la baa po la mitad, en este aspecto las cagas magnéticas se compotan en foma difeente a lo que se compotan las cagas elécticas. Los polos siempe apaecen de a paes, fomando lo que se llama dipolo magnético. Colocamos un dipolo magnético en un campo magnético, apaece una fueza m F m, en el sentido de H sobe el polo note y ota fueza magnitud peo de sentido contaio a H en el polo su. F m de la misma N H F m Estas fuezas constituyen un pa H que hacen gia al dipolo hasta F m S H oientalo en la diección del campo magnético H F m S H N H F m Espectos magnéticos El hecho de que los dipolos magnéticos se oden en función del campo intensidad de campo magnético H pemite obtene un mapa del mismo. Cuando se espolvoea en una catulina o en una lámina de vidio, situadas sobe un imán, limaduas de hieo, éstas se oientan de un modo egula a lo lago de líneas que unen ente sí los dos polos del imán. Lo que sucede es que cada limadua se compota como una pequeña bújula que se oienta en cada punto como consecuencia de las fuezas magnéticas que sopota. La imagen que foma este conjunto de limaduas alineadas constituye el especto magnético del imán. Así las limaduas de hieo espolvoeadas sobe un imán se oientan a lo lago de las líneas de Ing. Atuo R. Castaño Año 8 5 de 8

6 UNNE Facultad de Ingenieía fueza del campo magnético coespondiente y el especto magnético esultante popociona una epesentación espacial del campo. Po convenio se considea que las líneas de fueza salen del polo Note y se diigen al polo Su. El especto magnético de un imán pemite no sólo distingui con claidad los polos magnéticos, sino que además popociona una epesentación de la influencia magnética del imán en el espacio que le odea. Así una paeja de imanes enfentados po sus polos de igual tipo daá luga a un especto magnético difeente al que se obtiene cuando se colocan de modo que sean los polos opuestos los más póximos. Esta imagen física de la influencia de los imanes sobe el espacio que les odea hace posible una apoximación elativamente diecta a la idea de campo magnético. Inducción magnética En el año 18, dijimos que Oesed obsevo que la aguja de una bújula colocada debajo o aiba de un conducto ectilíneo giaba hasta colocase pependicula al mismo cuando ciculaba una coiente eléctica. La expeiencia pobó que las coientes elécticas poducían efectos magnéticos o sea oiginaban un campo magnético en el espacio que odea al conducto con la siguiente notable difeencia: las limaduas se oientaban fomando cículos en cuyo cento se encontaba el conducto, las líneas de fueza magnética son ceadas, no poceden de una fuente y no teminan en un sumideo. Podemos deci que la coiente eléctica se compota como un emolino con las líneas de fueza. Los campos magnéticos ejecen fuezas sobe las cagas en movimiento. La pesencia de este nuevo elemento, es deci la caga móvil, hace necesaio utiliza un nuevo vecto paa descibi las popiedades de los campos magnéticos, este vecto magnético se denomina inducción magnética y en el vació este vecto esta elacionado con H μ H mediante la expesión Como veemos más adelante, cuando estudiamos los campos magnéticos dento de las sustancias magnéticas, como el hieo o el aceo, deja de se valida esta elación. La inducción magnética es un vecto tal que en cada punto coincide en diección y sentido con los de la línea de fueza magnética coespondiente. Las bújulas, al alinease a lo lago de las líneas de fueza del campo magnético, indican la diección y el sentido de la intensidad del campo de inducción. La obtención de una expesión paa se deiva de la obsevación expeimental de lo que le sucede a una q caga en movimiento en pesencia de un campo magnético, suponemos que no existe campo gavitatoio ni eléctico. Si la caga estuviea en eposo no se apeciaía ninguna fueza mutua; sin q embago, si la caga se mueve dento del campo ceado po un imán se obseva cómo su tayectoia F se cuva, lo cual indica que una fueza magnética m se está ejeciendo sobe ella. Del estudio expeimental de este fenómeno se deduce que: F m es tanto mayo cuanto mayo es la magnitud de la caga q y su sentido depende del signo Ing. Atuo R. Castaño Año 8 6 de 8

7 UNNE Facultad de Ingenieía de la caga. F m es tanto mayo cuanto mayo es la velocidad v q de la caga. Fm se hace máxima cuando la caga q se mueve en una diección pependicula a las líneas de fueza y esulta nula cuando se mueve paalelamente a ella. La diección de la fueza magnética en un punto esulta pependicula al plano definido po las líneas de fueza a nivel de ese punto y po la diección del movimiento de la caga q, o lo que es lo mismo, Fm es pependicula al plano fomado po los vectoes v y. z x y F m y v q θ 9 x Las conclusiones expeimentales quedan esumidas en la expesión F m qvsen θ z Donde epesenta el módulo o magnitud de la inducción del campo magnético y θ el ángulo que foman los vectoes y v. Dado que F m, v y son vectoes, es necesaio además euni en una egla lo elativo a la elación Fm es pependicula al plano fomado po los vectoes y v y su sentido coincide con el de avance de un tonillo que se hiciea gia en el sentido que va de ente sus diecciones y sentidos: el vecto a v (po el camino más coto). Dicha egla, es llamada del tonillo de Maxwell es equivalente a la de la mano izquieda, según la cual las diecciones y sentidos de los vectoes po los dedos pulga, índice y mayo de la mano izquieda. F m, v y vienen dados Ing. Atuo R. Castaño Año 8 7 de 8

8 UNNE Facultad de Ingenieía La ecuación F m qvsen θ constituye una definición indiecta del módulo o magnitud de la intensidad del vecto inducción de campo magnético, dado que a pati de ella se tiene: Fm qvsen θ La diección de es pecisamente aquélla en la que debeía desplazase q paa que es deci, la de las líneas de fueza. Fm fuea nula; En la fómula vsen como F m F m qvsen θ es posible identifica el poducto vectoial θ v x Podemos entonces expesa la fueza magnética en foma geneal q ( v x ) La unidad del campo magnético en el SI es el tesla T y epesenta la intensidad que ha de tene un campo magnético paa que una caga de 1 C, moviéndose en su inteio a una velocidad de 1 m/s pependiculamente a la diección del campo, expeimente una fueza magnética de 1 newton. Aunque no petenece al SI, con cieta fecuencia se emplea el gauss G : T 4 1 G Movimiento de patículas en un campo magnético estacionaio Los campos elécticos y magnéticos desvían ambos las tayectoias de las cagas en movimiento, peo lo hacen de modos difeentes. Una patícula cagada que se mueve en un campo eléctico E, como el poducido ente las dos placas de un condensado plano dispuesto hoizontalmente sufe una fueza eléctica Fe en la misma diección del campo E que cuva su tayectoia. Si la patícula alcanza el espacio compendido ente las dos placas según una diección paalela, se desviaá hacia la placa positiva (+) si su caga es negativa y hacia Ing. Atuo R. Castaño Año 8 8 de 8

9 UNNE Facultad de Ingenieía la placa negativa (-) en caso contaio, peo siempe en un plano vetical, es deci, pependicula a ambas placas. Dicho plano es el definido po los vectoes E yv Si las dos placas del condensado se sustituyen po los dos polos de un imán de headua, la patícula sufe una fueza magnética Fm que según la egla de la mano izquieda es pependicula a los vectoes v y. En este caso la tayectoia de la patícula cagada se desvía en el plano hoizontal. Si combinamos la fueza eléctica y la magnética actuando simultáneamente sobe una patícula de caga q, moviéndose con velocidad v tenemos F t F e + F m q Esta fueza se la conoce como fueza de Loentz ( E + vx) Fueza sobe un conducto con coiente q Hemos visto que cuando una patícula de caga, moviéndose con velocidad v e un campo de inducción magnética F F q, apaece una fueza magnética m, dada po m ( v x ) Como la coiente en un conducto esta fomada po un conjunto de potadoes de caga en movimiento, podemos utiliza esta ecuación paa obtene la fueza magnética que ejece un campo magnético sobe un conducto po el que cicula una coiente i. Consideemos un tozo de alambe conducto delgado, ecto, de longitud d y de sección tansvesal A, po el que cicula una coiente i, y que esta en una zona del espacio con campo de inducción magnética unifome. Como se ve en la figua Calculaemos la fueza total que actúa sobe los potadoes utilizando la v velocidad media o de aaste d con que se desplazan en el seno del conducto Ing. Atuo R. Castaño Año 8 9 de 8

10 UNNE Facultad de Ingenieía Si n es el númeo de potadoes po unidad de volumen, el númeo que hay en la distancia d es N nvol nda q Ne neda, y la caga total es. Donde e es la caga de electón. v Si d es la velocidad de aaste de los potadoes en el conducto, la fueza que actúa sobe él es: F m q ( v x ) nead ( v x ) d Como la coiente cicula en la misma diección en la que tómanos nuesta distancia d, podemos escibi el poducto d v d d v dv i expesión de la fueza F m neav i neav d d d d como: v d ( dx ) d, siendo i el veso en esa diección emplazando en la Recodando que la coiente eléctica es F i( d x ) tenemos finalmente m La fueza magnética sobe este tozo de alambe conducto es pependicula a d y a. F m idsenθ donde θ es el ángulo ente d y. El módulo de la fueza esta dado po La ecuación que hemos obtenido esta estingida a conductoes delgados ectos y campos magnéticos unifomes, como el de la figua siguiente. θ i A q v d Ing. Atuo R. Castaño Año 8 1 de 8

11 UNNE Facultad de Ingenieía En geneal tendemos que tabaja con conductoes que no son ectos y campos magnéticos que no son unifomes. Paa enconta una expesión valida en estos casos, tabajaemos con una longitud infinitesimal dl de un conducto po el que pasa una coiente i, definimos un elemento de coiente infinitesimal como el poducto de la coiente i po el vecto dl, cuya diección viene dada po el sentido de la coiente en dicho elemento. desplazamiento El tozo de alambe que contiene al elemento de coiente infinitesimal puede se consideado ecto y también puede considease que no vaía a lo lago de la pequeña longitud dl θ idl df i df Entonces seá: idl x Entonces paa calcula la fuezo magnética total, tendemos que ealiza la integación a lo lago del conducto F L idl x Vemos un ejemplo, si tenemos un alambe doblado como se ve en la figua siguiente, el cual lleva una coiente i y esta colocado en un campo magnético unifome de inducción magnética, saliente al plano, los puntos en la figuan indican el vecto, saliente al plano i dfsenθ dl df dθ θ l F 1 F l Ing. Atuo R. Castaño Año 8 11 de 8

12 UNNE Facultad de Ingenieía La fueza sobe cada tamo ecto es: F F il 1 y apunta hacia abajo En el tamo cicula un segmento de alambe de longitud df cuya magnitud es df idl i( Rdθ ) el cento, la fueza total soba el semicículo seá: F π π dl expeimenta una fueza, y cuya diección es adial hacia dfsenθ ( irdθ ) senθ ir senθdθ La fueza esultante sobe todo el alambe es: π ir ( R) F T F + F + F il + ir i l + 1 Momento de una espia de coiente En la figua vemos una espia ectangula de alambe de cuyos lados tienen una longitud a y un ancho b colocada en un campo de inducción unifome, el plano foma un ángulo θ con la diección de. La fueza neta sobe la espia es la esultante de las fuezas sobe los cuato lados de ella. F 4 F 1 i F Las fuezas F y F 4 tienen la misma intensidad, la misma línea de acción, peo son de sentido contaio, po lo tanto tomadas juntas no tienen ningún efecto sobe el movimiento de la espia F 3 Vista desde oto ángulo seá Ing. Atuo R. Castaño Año 8 1 de 8

13 UNNE Facultad de Ingenieía F 1 n La magnitud de x θ x F 1 y F 3 es iab estas fuezas tienen sentido contaio, a peo no tienen la misma ecta de acción si la bobina F 3 esta en la posición del ejemplo x x. La Hay en consecuencia un momento neto que tiende a hace gia la bobina alededo del eje magnitud de este momento τ se encuenta calculando el momento poducido po una de las fuezas y duplicándolo. Nos queda entonces b τ ( ia ) senθ iabsenθ Consideando que el áea de la espia es A ab nos queda τ ( i) Asenθ Este momento es el que actúa sobe cada vuelta de la bobina. Si hay N vueltas el momento sobe toda la bobina seá τ NiAsenθ Se puede demosta que esta ecuación es valida paa todas las espias planas de áea A, sean ectangulaes o no. Un momento sobe una espia po la que pasa coiente es el pincipio fundamental de la opeación del moto eléctico y de la mayoía de los medidoes analógicos usados paa medi coientes o difeencia de potencial. Cagas aisladas en movimiento En la figua vemos una patícula cagada negativamente que se intoduce con una velocidad v en un campo magnético unifome, suponemos que v es pependicula a, y po lo tanto esta en el plano de la figua. La patícula expeimentaá una fueza desviadoa lateal, que también estaá en el plano de la figua, dada po F q v x qvsen 9 qv Ing. Atuo R. Castaño Año 8 13 de 8

14 UNNE Facultad de Ingenieía Este caso es simila al de una pieda que se pone a gia en un ciculo, también hay una fueza, que es la tensión de cable. La patícula cagada, al igual que la pieda, se mueven con velocidad constante en una tayectoia cicula De la segunda Ley de Newton tenemos que: el adio de la tayectoia La velocidad angula está dada po f ω π q πm mv q qv v ω mv Despejando nos da q m, y la fecuencia angula seá, que no depende de la velocidad de la patícula. Las patículas ápidas se mueven en cículos gandes y las lentas en cículos pequeños. Todas equieen el mismo tiempo paa completa una evolución en el campo. La fecuencia f, es una fecuencia caacteística paa la patícula cagada en el campo, ecibe el nombe de fecuencia del ciclotón. Ley de iot y Savat Tas el descubimiento de Oested, de que la coiente eléctica es una fuente de campo magnético, expeimentos llevados a cabo po Ampee, iot y Savat pemitieon obtene la ley que elaciona a las coientes y los campos magnéticos ceados po ellas, conocida como ley de iot y Savat.. La Ley de iot y Savat es análoga en el magnetismo a la ley de Coulomb es la electoestática, en base a esta podemos expesa el campo eléctico poducido po una distibución de cagas, Ing. Atuo R. Castaño Año 8 14 de 8

15 UNNE Facultad de Ingenieía consideando un elemento difeencial de dicha distibución, de manea tal que el campo eléctico poducido po esta distibución viene dado po: de eléctico 1 4πε dq E de, integando sobe toda la distibución de cagas se obtiene el campo. De igual foma vemos ahoa una distibución abitaia de coientes como muesta la figua: La coiente i cicula po un alambe cuvo. Consideamos como un elemento típico de coiente un tamo del conducto (línea punteada), debemos pensa dl que lleva la coiente i, su diección es la tangente al conducto, que un cicuito esta constituido po un gan numeo de elementos de coientes colocados uno tas oto. Llamamos P al punto en el cual queemos conoce el campo de inducción magnética d, asociada con el elemento de coiente. Según la Ley de iot-savat, la magnitud de d está dada po la siguiente expesión d μ i dlsenθ 4π, Siendo un vecto de ecoido desde el elemento hacia P y θ es el ángulo ente este vecto y dl, La diección de d es la del vecto esultante de d l x. En nuesto caso esta diigido entando en la hoja y pependicula al plano de ella. El campo esultante en P se encuenta integando d Donde μ dlx 4π, que lo podemos expesa como i Tm A 7 μ 4π es la pemeabilidad magnética en el vacío Las popiedades 1 magnéticas del vacío son pácticamente iguales a las del aie, po lo que podemos usa μ en pesencia de aie. Ing. Atuo R. Castaño Año 8 15 de 8

16 UNNE Facultad de Ingenieía Compaación ente la Ley de Coulomb y la Ley de iot-savat Existen similitudes ente la Ley de iot-savat paa el campo magnético y la Ley de Coulomb paa el campo eléctico: Ambas poseen una dependencia 1 con la distancia que hay desde el punto fuente al punto consideado donde se calcula el campo, siendo idl la fuente del campo d y dq la fuente del campo de. 1 μ πε da la fueza de la inteacción eléctica y la constante 4π 4 La constante fueza de la inteacción magnética. También existen algunas difeencias significativas ente estas dos leyes La diección de de dq es adial especto de la caga fuente, mientas que la diección de es pependicula al plano que contiene a idl y a. Mientas que la distibución más simple de caga es la caga puntual aislada, un único elemento de coiente aislado no existe en una coiente estacionaia. Po lo tanto la caga debe enta en el elemento de coiente po un extemo y sali po el oto, po lo que siempe están pesente vaios elementos de coiente, po que siempe tenemos que considea la integal de línea que se extiende a lo lago de toda la distibución de coiente. El campo magnético en un punto es la supeposición lineal de las contibuciones vectoiales debidas a cada uno de los elementos infinitesimales de coiente. Ejemplo: Campo magnético debido a una coiente ectilínea La epetición de la expeiencia de Oested con la ayuda de limaduas de hieo dispuestas sobe una catulina pependicula al hilo conducto ectilíneo, pone de manifiesto una estuctua de líneas de fueza del campo magnético esultante, fomando cicunfeencias concénticas que odean al hilo. da la d Ing. Atuo R. Castaño Año 8 16 de 8

17 UNNE Facultad de Ingenieía Su sentido puede elacionase con el convencional de la coiente sustituyendo las limaduas po pequeñas bújulas. En tal caso se obseva que el polo note de cada bújula (que apunta siempe en el sentido del vecto intensidad de campo se coesponde con la indicación de los dedos estantes de la mano deecha semiceada en tono a la coiente, cuando el pulga apunta en el sentido de dicha coiente. Esta es la egla de la mano deecha, pemite elaciona el sentido de una coiente ectilínea con el sentido de las líneas de fueza del campo magnético ceado po ella. Expeiencias más detalladas indican que la intensidad del campo depende de las caacteísticas del medio que odea a la coiente ectilínea, siendo tanto mayo cuando mayo es la intensidad de coiente i y cuanto meno es la distancia al hilo conducto. Calculaemos utilizando la ley de iot y Savat: Tomamos el eje x coincidente con el conducto d μ i dxsenθ 4π como vemos en la figua,θ y x Podemos escibi: x + R y senθ Reemplazando e integando nos queda: μ i d 4π Rdx ( x + R ) 3 x R + R De donde nos queda μ i πr μ i 4πR x ( x + R ) 1 Ing. Atuo R. Castaño Año 8 17 de 8

18 UNNE Facultad de Ingenieía Ley de Ampe Hemos visto que un alambe lago y ecto po el que cicula una coiente i poduce un campo magnético cuyo valo viene dado po: μi πr, la diección del campo magnético es tangente a la línea de campo que pasa po el punto, como vemos en la figua, donde el sentido de la coiente es hacia fuea de la página. Este ceamiento del campo magnético alededo de la coiente que lo poduce puede expesase en téminos geométicos. Como es un camino ceado, la cicunfeencia es el bode de una supeficie cuzada o atavesada po la coiente. Se dice entonces que la coiente esta enhebada o enlazada po un camino ceado. La elación ente el campo magnético que odea al conducto y la coiente enlazada po el camino ceado puede expesase cuantitativamente mediante la Ley de Ampe. Vemos el caso paticula que estamos analizando, tomemos un desplazamiento difeencial d a lo lago del camino ceado, hacemos el poducto escala del campo magnético, po el desplazamiento infinitesimal d, a lo lago de todo el cículo: d d cosθ d cos d d πr ( ) peo ya vimos de la Ley de iot Savat ( R) μ i π, po lo que nos queda d μ i El esultado es independiente del adio R. Se cumpliá también paa un camino fomado po acos y ectas adiales. Si bien el camino consideado es bastante geneal, podemos deci que esto se cumple pa a cualquie camino que consideemos, ya que lo podemos descompone Ing. Atuo R. Castaño Año 8 18 de 8

19 UNNE Facultad de Ingenieía siempe en una suma infinitesimal de acos y ectas adiales infinitesimal como vemos en el dibujo siguiente Es posible demosta que cuando el camino ceado no enlaza a la coiente, como en la figua Nos queda d Si consideamos ahoa el caso más geneal de tene un camino ceado que enlaza algunas coientes, peo no a todas, incluso estas pueden tene una foma geneal, no necesaiamente que pasan po alambes lagos y ectos nos quedaá dl μ i La ley de Ampe paa campos magnéticos puede se consideada como análoga a la Ley de Gauss paa campos elécticos: un análisis matemático más geneal pemite demosta que cualquie campo que se obtenga a pati de la Ley de iot Savat debe cumpli también con la Ley de Ampe. La Ley de iot Savat y la Ley de Ampe son equivalente en el mismo sentido que la Le de Coulomb y la Ley de Gauss son equivalentes. La analogía ente la Ley de Ampe y la Ley de Gauss no es completa. Es impotante tene pesente que la Ley de Ampe contiene una integal de línea a lo lago de un camino ceado, mientas que la Ley de Gauss contiene una integal de supeficie, extendida a una supeficie ceada. Es deci que los campos elécticos estáticos son difeentes a los campos magnéticos estáticos. Ing. Atuo R. Castaño Año 8 19 de 8

20 UNNE Facultad de Ingenieía Aplicaciones de las leyes de iot-savat y Ampe a - Campo magnético en el inteio de un conducto Vemos la expesión del campo magnético a una distancia del cento de un alambe < R i. El alambe lleva una coiente cilíndico lago de adio R, siendo distibuida unifomemente en toda su sección tansvesal, que la consideamos saliente de la hoja dl R En la figua vemos una tayectoia cicula dento del alambe, al se la coiente unifome, podemos calcula la coiente i que es la que se encuenta dento del adio π i i i πr R como i Aplicando la ley de Ampe nos queda: dl μ i ( ) μi dl μ i R Reemplazando el valo de i seá π, siendo R i la coiente total que cicula po el conducto, Despejando el valo del campo magnético i πr μ, en la supeficie del alambe, R nos queda μ i πr b - Campo magnético ceado po una coiente cicula Vemos en la figua una espia cicula de adio R po la que cicula una coiente i, buscamos el valo del campo magnético en el cento de la espia, suponemos un elemento de la espia de longitud dl y luego integamos a lo lago de toda la espia. Aplicando la ley de iot-savat Ing. Atuo R. Castaño Año 8 de 8

21 UNNE Facultad de Ingenieía d l i R μ dlx 4π i, que en nuesto caso seá dl x R πr μ i π, como los dos vectoes son 4 pependiculaes y la distancia R es constante seá πr μ μ i dl iπr 4πR 4πR μ i R c - Campo magnético en un solenoide Un solenoide esta fomado po el aollamiento de un alambe muy lago sobe un cilindo, genealmente un cilindo cicula: los aollamientos o vueltas del alambe foman una bobina helicoidal, cuya longitud, medida a lo lago del eje del solenoide, es genealmente mayo que el diámeto de cada vuelta. Un paámeto impotante de un solenoide es el númeo de vueltas que tiene po unidad de longitud. Paa tata de entende como es el campo magnético de un solenoide vemos pimeo el campo magnético de una única espia cicula En el dibujo las líneas de campo magnético están en un plano pependicula a la espia Ing. Atuo R. Castaño Año 8 1 de 8

22 UNNE Facultad de Ingenieía En la figua vemos las líneas de campo paa un solenoide de vueltas sepaadas. En un solenoide de vueltas más apetadas la sepaación ente estas seá meno y cada vuelta se apoxima más en su foma a una espia, de manea que cada espia poduciá una contibución al campo magnético simila al campo poducido po una espia con coiente. En el inteio del solenoide la contibución de cada vuelta al campo tiende a efoza la contibución de las demás, de manea tal que el campo esultante es apoximadamente unifome y paalelo al eje del solenoide. En el exteio del solenoide las contibuciones tienden a cancelase de foma que el campo es elativamente pequeño. En el caso ideal de la figua siguiente la distibución de coiente en los aollamientos es equivalente a la distibución en una lámina metálica cilíndica con coiente pependicula a su eje, y la longitud de este solenoide es vitualmente infinita. En el inteio del solenoide ideal el campo magnético es unifome y paalelo a su eje y el campo en el exteio del solenoide es ceo. Aplicamos la ley de Ampe al camino ceado abcd dibujado en la figua d d + d + d + abcd b a c b d c a d d Ing. Atuo R. Castaño Año 8 de 8

23 UNNE Facultad de Ingenieía Las integales a lo lago de bc y ad son igual a ceo poque y d son pependiculaes ente si. A lo lago del segmento cd, que esta afuea del solenoide, también es ceo poque el campo magnético es ceo ( ). Nos queda entonces: b d d d cos d d abcd b a a b a b a L donde L es la longitud del segmento ab. Paa un solenoide con n vueltas po unidad de longitud el númeo de vueltas enlazadas po el camino ceado es nl, como cada una de estas vueltas lleva una coiente i, la coiente enlazada po el camino ceado es i nli, aplicamos ahoa la Ley de Ampe d μ i, eemplazando seá d L μ nli μ ni d - Campo magnético en un tooide La figua siguiente muesta un tooide, que puede considease como un solenoide de longitud finita en foma de una osca Vamos a calcula en los puntos inteioes, po simetía las líneas de foman cículos concénticos dento del tooide, como vemos en el esquema siguiente Ing. Atuo R. Castaño Año 8 3 de 8

24 UNNE Facultad de Ingenieía Aplicamos la Ley de Ampe a una tayectoia cicula de integación de adio dl μ i nos queda ( π ) μ i, donde la coiente enlazada total i la podemos escibi como i i donde i es la coiente en las N Reemplazando en la expesión anteio nos queda espias del tooide y N el numeo total de vueltas μ i N π donde a difeencia del solenoide el campo magnético no es constante en toda la sección tansvesal de un tooide, sino que depende del adio. Se puede demosta que el campo es igual a ceo paa puntos fuea del tooide ideal. Fuezas ente coientes Las coientes elécticas en pesencia de imanes sufen fuezas magnéticas, peo también las coientes elécticas y no sólo los imanes poducen campos magnéticos; de modo que dos coientes elécticas suficientemente póximas expeimentaán ente sí fuezas magnéticas de una foma paecida a lo que sucede con dos imanes. La expeimentación con conductoes dispuestos paalelamente pone de manifiesto que éstos se ataen cuando las coientes espectivas tienen el mismo sentido y se epelen cuando sus sentidos de ciculación son opuestos. Además, esta fueza magnética ente coientes paalelas es diectamente popocional a la longitud del conducto y al poducto de las intensidades de coiente e invesamente popocional a la distancia d que las sepaa, dependiendo además de las caacteísticas del medio. La explicación de tales esultados expeimentales puede hacese sabiendo que la fueza magnética es F m idx idsenθ, la expesión del campo magnético debido a una Ing. Atuo R. Castaño Año 8 4 de 8

25 UNNE Facultad de Ingenieía coiente ectilínea es μi y las elaciones ente las diecciones del campo, la coiente π i y la fueza F m esumidas en la egla de la mano izquieda. Vemos en el siguiente dibujo dos conductoes paalelos uno de ellos tiene una coiente i a y el oto ib como se ve en la figua El alambe a poduciá un campo de inducción magnética a en todos los puntos cecanos. La magnitud de a debida a la coiente i a en el sitio donde esta el segundo alambe seá: a μia πd, la diección de acuedo a la egla de la mano deecha es hacia abajo. El alambe b que lleva una coiente i b se encuenta colocado dento del campo exteno de inducción magnética a, un tamo de longitud l de este alambe expeimentaá una fueza magnética lateal cuya magnitud es F b i b l a μliai πd b De habe analizado la fueza sobe el alambe a la fueza hubiea apuntado hacia la deecha. Paa coientes paalelas los dos alambes se ataen ente si, paa coientes antipaalelas (igual diección peo sentido contaio) se epelen ente si. Definición de ampee intenacional El hecho de que las fuezas se puedan medi con facilidad y pecisión sugiió la posibilidad de defini el ampee como unidad fundamental ecuiendo a expeiencias electomagnéticas, en las cuales la fueza magnética vaía con la intensidad de coiente según una ley conocida. Tal es el caso de la inteacción magnética ente coientes paalelas. Consideando como medio el vacío con μ 4π1 de 1 m, la expesión de la fueza magnética ente ellos se conviete en: 7 y la distancia ente los hilos conductoes Ing. Atuo R. Castaño Año 8 5 de 8

26 UNNE Facultad de Ingenieía 7 4π1 F i d, haciendo i 1Amp y d 1m π 7 7 π1 4π1 F i d 1 1 *1 π π nos queda 4 7 N Definimos entonces el ampee como la intensidad de coiente que ciculando po dos conductoes ectilíneos de longitud infinita, sección cicula y paalelos, sepaados ente sí un meto en el vacío, poduciá una fueza magnética ente ellos de 1-7 N po cada meto de longitud de cada uno de los dos hilos. Flujo magnético y la Ley de Gauss paa el campo magnético Análogamente a la definición de flujo eléctico ya vista, definiemos ahoa el flujo magnético a tavés de una supeficie. Suponemos que dividimos una supeficie imaginaia en elementos de áea infinitesimal, de foma que el vecto elemento de áea pependicula a la supeficie en ese punto, según vemos en la figua ds en un punto de la supeficie es El flujo magnético áea ds es dφ ds dφ a tavés del elemento de el flujo magnético a tavés de una supeficie cualquiea lo obtenemos integando todos los elementos Φ dφ dφ ds Ya hemos visto la Ley de Gauss paa el campo eléctico, establece que el flujo de campo eléctico a tavés de una supeficie ceada depende únicamente de la caga enceada en el inteio de la supeficie. Φ E EdS ε simple de campo eléctico es la caga puntual. q La foma de la Ley de Gauss nos ecueda que la fuente más Ing. Atuo R. Castaño Año 8 6 de 8

27 UNNE Facultad de Ingenieía ds Paa el caso de campo magnético el flujo a tavés de una supeficie ceada seá: Φ. Paa cualquie supeficie ceada el flujo de campo magnético es ceo, pues cada línea de campo magnético que ataviesa hacia dento la supeficie vuelve a atavesala hacia fuea en oto punto. El númeo neto de líneas que ataviesa la supeficie es ceo. ds Lo podemos entende azonando que no hay una contapatida magnética a la caga eléctica, no existe el monopolo magnético, es deci un polo magnético aislado. Si el monopolo magnético no existe las fuentes más simples de campo magnético son los dipolos magnéticos. Coientes de desplazamiento y la Ley de Ampe La ley de Ampe tal como la hemos planteado hasta ahoa ha estado limitada a los campos magnéticos poducidos po el tipo de coientes que pueden existi en un alambe continuo. Existen otos tipos de distibuciones de coientes, que no están contemplados en la foma vista de la Ley de Ampe, po lo que es necesaio modificala paa dale un caácte más geneal. Esta genealización descubieta po Maxwell, epesenta un gan avance en el desaollo del conocimiento pofundo del electomagnetismo, incluyendo incluso el conocimiento de la natualeza de la luz. En la figua siguiente se ve un condensado que esta siendo cagado, y donde i es el valo instantáneo de la coiente que pasa po los alambes de conexión. Planteamos una supeficie ceada, S, compuesta po dos tapas, como se ve en la figua, S 1 y S, la supeficie S es atavesada po la coiente i, peo la supeficie S 1 no es atavesada po la coiente, poque esta supeficie pasa po el espacio existente ente las placas del condensado. Confome se caga el condensado hay una acumulación de caga en la placa que queda ente S 1 y S, Ing. Atuo R. Castaño Año 8 7 de 8

28 UNNE Facultad de Ingenieía Po consevación de la caga, la apidez con que se acumula caga en la placa del condensado es igual a la coiente que ataviesa la supeficie dq S, es deci: i dt Donde Q es el valo instantáneo de la caga del condensado. En este caso la coiente enlazada po el camino ceado paece depende de la supeficie elegida, po lo cual la Ley de Ampe no se cumple y debe se modificada. La modificación de Maxwell en la Ley de Ampe consiste en considea una coiente imaginaia equivalente atavesando la supeficie S 1, de foma tal que la coiente enlazada po el camino ceado sea igual paa cualquie supeficie limitada po este. En la figua anteio el campo eléctico ente las placas del condensado seá: E Φ Q ε A EdS, como sabemos que el flujo del campo eléctico a tavés de una supeficie es E, y como el campo existe únicamente ente las placas seá Φ E EA Despejando el valo de Q y eemplazando nos queda Q Eε A ε Φ E, deivamos esta expesión con especto al tiempo, vemos que la coiente esta elacionada con la deivada tempoal del flujo de campo eléctico i Φ ε E el lado deecho de esta expesión contiene la deivada de flujo de campo dq dt d dt S, mientas que i es la coiente que ataviesa la supeficie eléctico que ataviesa la supeficie 1 S. Llamamos a esta coiente efectiva coiente de desplazamiento i d. Y la definimos como i dφ E d ε, eemplazando ahoa en la Ley de Ampe, dl μ dt dl μ( i + id ) o bien E dl μ i + ε dφ dt i nos queda Al inclui la coiente de desplazamiento la coiente total enlazada po un camino ceado es igual paa cualquie supeficie limitada po dicho camino ceado. La coiente de desplazamiento y la Ley de Ampe modificada juegan un papel esencial en el estudio de las ondas electomagnéticas. Ing. Atuo R. Castaño Año 8 8 de 8