2.7 Cilindros, conos, esferas y pirámides

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1 UNIDAD Geometía.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides 58.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides OBJETIVOS Calcula el áea y el volumen de cilindos, conos, esfeas y piámides egulaes Resolve poblemas de solidos inscitos y cicunscitos. Resolve poblemas en los cuales los modelos se constuyen utilizando las fómulas de áeas y volúmenes de sólidos. En ésta sección se estudiaá como calcula el volumen y el áea del cilindo, el cono, la esfea y las piámides egulaes. Al igual que la sección anteio, el desaollo de los contenidos es infomal y no se pesentan las deducciones de las fómulas; algunas de ellas son intuitivas mientas que otas equieen del cálculo integal paa se demostadas. El cilindo Un cilindo es un sólido que tiene dos bases ciculaes iguales contenidas en planos paalelos. La supeficie lateal o áea lateal del cilindo está fomada po todos los puntos que unen las dos bases del cilindo. El eje del cilindo cicula es el segmento que une los dos centos de las bases. Si el eje es pependicula a las bases el cilindo se llama cilindo cicula ecto, mientas que cuando el eje no es pependicula a las bases se llama cilindo oblicuo. La altua del cilindo cicula es el segmento pependicula a las dos bases. El adio del cilindo es el adio de cualquiea de las bases iguales. En la figua se muesta un cilindo cicula ecto. Las fómulas paa calcula el áea lateal, el áea total y el volumen de un cilindo se obtienen de la misma foma que las de un pisma ecto, es deci que el áea lateal es el peímeto de la base multiplicado po la altua, mientas que el áea total es el áea lateal más el áea de las dos bases ciculaes iguales. A. L. AT.. El volumen se obtiene multiplicando el áea de la base po la altua, es deci V El cono Es un sólido que se foma con una base en foma de cículo y un punto fuea del cículo llamado vétice. El eje del cono es el segmento de ecta que va del vétice al cento de la base cicula. La altua del cono es el segmento pependicula a la base que une a ésta con el vétice. Si el eje del cono es pependicula a la base el cono se llama cono cicula ecto, mientas que si el eje no es pependicula a la base el cono se llama cono oblicuo.

2 UNIDAD Geometía.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides 59 En un cono cicula ecto, se llama geneatiz al segmento que va del vétice a un punto en la cicunfeencia de la base. La figua muesta un cono cicula ecto. g La supeficie lateal o áea lateal de un cono está fomada po todos los puntos que se obtienen al uni el vétice con cualquie punto de la cicunfeencia en la base del cono. El áea lateal del cono está dada po A. L. g Donde g es la geneatiz que se puede calcula po el teoema de Pitágoas, g, entonces A. L. El áea total del cono se obtiene al suma el áea lateal con el áea de la base A. T. La fómula paa calcula el volumen del cono es la tecea pate del áea de la base multiplicada po la altua V La Esfea Una esfea es un sólido que está fomado po todos los puntos en el espacio que están a una misma distancia de un punto fijo llamado cento de la esfea. Esta distancia se llama adio de la esfea. La figua siguiente muesta una esfea de adio Las fómulas paa calcula el áea supeficial y el volumen de una esfea son A V

3 UNIDAD Geometía.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides 60 Ejemplo : El cilindo inscito en una esfea Se inscibe un cilindo cicula ecto dento de una esfea de adio 8 cm, como se muesta en la figua. Si la altua del cilindo es el doble de su diámeto, calcule el volumen del cilindo. Solución Paa establece como se elacionan la altua y el adio del cilindo con el adio de la esfea, es ecomendable ace una gáfica de una sección tansvesal del sólido, en donde se vean los datos involucados. d En la figua de aiba d es el diámeto de la esfea, es la altua del cilindo y es el diámeto del cilindo. Como el tiángulo fomado po estos segmentos es ectángulo, al utiliza el teoema de Pitágoas se tiene d ( ) (6) Como la altua del cilindo es el doble de su diámeto, entonces Sustituyendo y despejando Po lo que el adio del cilindo es Y la altua del cilindo es ( ) 6 ( ) Aoa ya se puede calcula el volumen del cilindo (6)(5)() 5 V cm (5)(5) 5

4 UNIDAD Geometía.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides 6 Ejemplo : El cilindo inscito en un cono Se inscibe un cilindo cicula ecto dento de un cono cicula ecto de adio 6 cm y altua cm, como se muesta en la figua. Si la altua del cilindo es el doble de su adio, calcule el volumen dento del cono y fuea del cilindo. Solución Sea el adio del cilindo y su altua. Al ace un dibujo de la sección tansvesal que pasa po el eje de los sólidos se tiene 6 El tiángulo de base 6 y altua es semejante con el tiángulo de base 6 y altua, pues son tiángulos ectángulos y tienen un ángulo común. Al utiliza la popocionalidad de la altua con especto a la base se obtiene 6 6 Como la altua del cilindo es igual al doble del adio,, se tiene 6 6 Entonces el adio del cilindo es cm y la altua es 6 cm. Aoa se puede calcula el volumen dento del cono y fuea del cilindo que no es más que el volumen del cono menos el volumen del cilindo. V V V cono R H cilindo (6) () () (6) 5 90 El volumen dento del cono y fuea del cilindo es 90 cm.

5 UNIDAD Geometía.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides 6 Ejemplo : El espejo de agua en un tanque semiesféico Un depósito tiene foma semiesféica de adio 6 pies y tiene su pate anca acia aiba. Si el depósito contiene agua con una pofundidad de pies. Calcule el áea del espejo de agua que se foma en la supeficie del agua. Solución El espejo de agua es la sección cicula oizontal que se foma en la supeficie del agua. Paa enconta la foma como se elacionan los segmentos se dibujaa una sección tansvesal vetical que pase po el cento del depósito, donde es el adio del espejo de agua cicula. 6 6 Usando el teoema de Pitágoas se puede expesa el adio en téminos de la altua del agua y del adio de la esfea (6 ) (6) 6 6 Como El áea del espejo de agua es () () pies. A pies Ejemplo : Calculando la altua de un plano Una esfea de adio 5 cm y un cono de adio 5 cm y altua 0 cm, se encuentan colocados sobe una supeficie plana. Se desea taza un plano paalelo a la supeficie de manea que de sus intesecciones con los dos sólidos esulten cículos iguales. A qué distancia de la supeficie debe queda el plano? Solución Al taza un plano a una altua de la supeficie sobe la cual descansan los dos sólidos, como se muesta en la figua siguiente, se foman dos cículos de adios iguales

6 UNIDAD Geometía.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides 6 La idea es expesa en téminos de, tanto en el cono como en la esfea. Como los adios de los cículos son iguales, se puede establece una ecuación en téminos de, igulando el adio del cono con el adio de la esfea. En el cono se foman dos tiángulos semejantes, en donde En la esfea se foma un tiángulo ectángulo, donde la ipotenusa es el adio de la esfea y uno de los catetos es el adio del cículo, entonces (5 ) 5 5 (5 ) Igualando los adios ya que éstos son iguales 0 0 Al esolve la ecuación anteio se obtendá la altua ( 0)( ) 0 Las soluciones de la ecuación anteio son 0 y. Como puede compobase los dos valoes de esuelven el poblema, ya que si 0 se obtienen dos cículos iguales de adio 0, mientas que cuando se obtienen dos cículos iguales de adio. Piámides Una Piámide es un sólido que tiene como base un polígono y un punto fuea del plano que contiene a la base llamado vétice, de tal foma que cada vétice del polígono está unido al vétice de la piámide po un segmento llamado aista. Dos aistas consecutivas junto con un lado de la base foman un tiángulo llamado caa lateal. Una piámide se llama piámide egula si su base es un polígono egula y sus caas lateales son tiángulos iguales. La altua de una piámide es el segmento pependicula que va desde el vétice al plano que contiene a la base. El apotema de una piámide egula es la altua de cualquiea de los tiángulos iguales que siven de caas lateales. La figua siguiente muesta una piámide egula de base cuadada y una piámide no egula de base tiangula.

7 UNIDAD Geometía.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides 6 Piámide egula Piámide no egula Áea y volumen de una piámide El áea lateal de una piámide es igual a la suma de las áeas de sus caas lateales. El áea total es igual a la suma del áea lateal más el áea de la base. Paa calcula el áea lateal y el áea total en una piámide no egula es necesaio conoce las medidas de todas sus caas lateales y el áea de su base. Paa calcula el áea lateal de una piámide egula únicamente se necesita calcula el áea de una de las caas lateales y multiplicala po el númeo de lados. La figua siguiente muesta una piámide egula y una de sus caas lateales a a Caa lateal l l l l Si la base tiene n lados, el áea lateal es A. L. n al nal El volumen de una piámide egula se obtiene multiplicando el áea de la base B po la altua y dividiendo ente tes. (Se equiee de matemática más avanzada paa deduci las fómulas de volumen) V B Ejemplo 5: Áea y volumen de una piámide La aista lateal de una piámide egula mide 8 cm. La base es un exágono egula de lado cm. Enconta el áea lateal y el volumen de la piámide. Solución En la figua se muesta la piámide exagonal, Obseve que la aista lateal, la altua y el adio del exágono foman un tiángulo ectángulo, el cual se muesta sombeado en la figua

8 UNIDAD Geometía.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides 65 8 La base es un exágono de lado cm, paa obtene el áea del polígono es necesaio calcula el apotema. Po el teoema de Pitágoas El áea de la base de la piámide es a a 6 B 6 () a Paa calcula la altua de la piámide, nuevamente se utiliza el teoema de Pitágoas en el tiángulo ectángulo que tiene como ipotenusa una aista Entonces el volumen de la Piámide es V B ()() 96 cm 8 Paa obtene el áea lateal pimeo ay que calcula el áea de una de las caas. La apotema de la caa lateal es a Entonces el áea de una caa lateal es El áea lateal de la piámide es A 5 5 A. L. 6 A a 8 Ejecicios de la sección.7. El volumen de un cilindo es 0 cm y su altua es 5 cm. Calcule su áea lateal.. Encuente el volumen de un cilindo geneado po la otación de un ectángulo de cm po 0 cm alededo de su lado meno.. En un cilindo en donde el áea lateal es el doble de la suma del áea de las bases. Cómo están elacionadas su altua y su adio?

9 UNIDAD Geometía.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides 66. En una fábica se va a constui una lata cilíndica de aluminio paa coloca su poducto. La altua del cilindo debe se de 0 pulgadas y el áea supeficial total igual a pulgadas cuadadas. Detemine el adio de la lata cilíndica. 5. Se inscibe un cilindo cicula ecto en un pisma ectangula de base cuadada de lado cm y altua 6 cm. Encuente el volumen del cilindo. 6. Se inscibe un cubo en un cilindo cicula ecto como se muesta en la figua. Si la aista del cubo mide 5 cm. Calcule el volumen del cilindo. Calcule la cantidad de mateial necesaio paa ecubi la esfea. 7. Se cicunscibe un cilindo cicula ecto a una esfea de adio R. Encuente el áea lateal del cilindo en téminos de R. 8. Se inscibe un cilindo cicula ecto dento de una esfea de adio 6 cm. La altua del cilindo es igual a su diámeto. Enconta el volumen del cilindo. 9. Se funden dos esfeas de plástico de adios k y k. El mateial esultante se utiliza paa constui un cilindo de altua k. Enconta el adio del cilindo. 0. Se inscibe un cilindo ecto de altua 8 cm en una esfea de adio 5 cm. Enconta el volumen del cilindo. 7. Enconta en qué pocentaje aumenta el volumen de un cilindo cuando la altua se aumenta en 0% y el adio se aumenta en 5%. 8. Un depósito cilíndico descansa sobe el suelo de tal foma que su eje está en foma oizontal. La altua del cilindo es 6 m y su diámeto es m. Calcule el áea del espejo de agua cuando la altua del agua es de m. 9. Un cono de adio 6 cm tiene un áea total de 56 cm. Enconta su volumen. 0. Un cilindo y un cono tienen adios y altuas iguales. En qué azón están sus volúmenes?. Un cono se inscibe en una piámide ectangula egula, de tal foma que el vétice del cono coincide con el vétice de la piámide. Enconta el volumen de la piámide si la diectiz del cono mide 9 cm y el adio de la base del cono mide cm.. Se funde un cilindo metálico de adio 6 y altua 8 cm. Con el mateial esultante se constuye un cono de adio 7 cm. Enconta la altua del cono.. Se constuye una tienda de campaña cónica utilizando una lona que tiene foma de semicículo de adio m. Encuente el volumen de la tienda de campaña.. Encuente el áea de una esfea que tiene un volumen de 88 cm. 5. Se cota una esfea de adio 8 cm con un plano que pasa a cm de su cento. Enconta el áea de la sección tansvesal cicula. 6. Una esfea de adio 6 cm. Seá ecubieta con una capa metálica de 0.5 cm de espeso.. Se inscibe una esfea dento de un cono cicula ecto de base 8 cm y geneatiz 8 cm, como se muesta en la figua. Enconta el volumen de la esfea.. Una esfea de adio 6 cm. Tiene un cubo inscito y un cubo cicunscito. Enconta la azón de las áeas del cubo inscito al cubo cicunscito.. Paa fabica municiones de escopeta de 0.5 cm de diámeto se funden cilindos de plomo de cm de diámeto y 0 cm de longitud. Cuántas municiones se obtienen de un cilindo de plomo?. Un cono tuncado se foma cuando un cono egula ecto de 5 cm de adio y cm de altua es cotado po un plano paalelo a la base del cono y que pasa a 5 cm de la base. Calcule el volumen del cono tuncado. 5. Enconta el áea lateal de una piámide cuya base es un exágono de lado 6 cm y que tiene una altua de cm. 6. Cada una de las aistas de una piámide tiangula egula mide cm. Calcule su volumen.

10 UNIDAD Geometía.7 Cilindos, conos, esfeas y piámides La base de una piámide es un cuadado de lado 0 cm. Cada una de las aistas mide 5 cm. Encuente el volumen y el áea lateal de la piámide. 8. La atista de una piámide exagonal egula mide 8 cm. El lado de la base mide cm. Enconta el volumen de la piámide. 9. Un depósito tiene la foma de un cono cicula ecto invetido de metos de adio y 6 metos de altua. (a) Calcule la capacidad total del depósito. (b) Si el depósito contiene agua asta una altua de metos. Calcule el volumen de agua. ecto coonado con un teco semiesféico, como se muesta en la figua. Si las paedes del cilindo tienen una altua de 5 metos. Si el áea supeficial total es de 6 metos cuadados, detemine el adio del cilindo.. Un cono de elado tiene pulgadas de diámeto en la pate supeio y pulgadas de altua. En él se viete una bola de elado esféica de modo que la mitad de ella queda dento del cono, como se muesta en la figua. Encuente el volumen de la esfea de elado. 0. Un cono cicula ecto cuya altua es igual al doble del diámeto de su base se inscibe en una esfea de adio 6 cm. Calcule el volumen del cono.. Se va a constui una bodega paa almacena ganos con la foma de un cilindo cicula. En el poblema anteio, si la bola de elado se deite, calcule la altua el elado alcanza dento del cono.

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