Arista Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras. Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Transcripción

1 OBJETIVO 1 CLASIICAR POLIEDROS NOMBRE: CURSO: ECHA: POLIEDROS Un poliedo es un cuepo geomético que está limitado po cuato o más polígonos. Aista Los polígonos que limitan al poliedo se llaman caas. Caa Los lados de las caas se denominan aistas. Caa Los vétices de las caas se denominan vétices. Vétice Poliedo convexo: al polongase sus caas Poliedo cóncavo: al polongase sus caas, no cotan al poliedo. alguna de ellas cota al poliedo. Poliedos egulaes: todas las caas son polígonos egulaes iguales y en cada vétice se une el mismo númeo de caas. Solo existen cinco poliedos egulaes: Tetaedo Cubo Octaedo Dodecaedo Icosaedo ÓRMULA DE EULER En todo poliedo convexo se cumple siempe una elación, conocida con el nombe de fómula de Eule, que elaciona el númeo de caas (C), el númeo de aistas (A) y el númeo de vétices (V ): C + V = A + N. o de caas N. o de vétices N. o de aistas Compueba que se cumple la fómula de Eule paa el tetaedo. N. o de caas = 4 N. o de vétices = 4 N. o de aistas = 6 C + V = A + " = 6 + " 8 = 8 1 Compueba que el esto de poliedos egulaes veifican la fómula de Eule. POLIEDRO Cubo Octaedo Dodecaedo Icosaedo CARAS VÉRTICES ARISTAS ÓRMULA DE EULER: C + V = A + 78 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 78 7/05/10 16:30

2 OBJETIVO DIERENCIAR LOS ELEMENTOS Y TIPOS DE PRISMAS Y PIRÁMIDES UNIDAD 9 NOMBRE: CURSO: ECHA: PRISMAS Un pisma es un poliedo que tiene dos caas, que son polígonos iguales y paalelos ente sí, llamadas bases; sus otas caas lateales son paalelogamos. La altua de un pisma es la distancia ente las bases. Pisma ecto: las caas lateales son todas ectángulos y, po tanto, pependiculaes a las bases. Pisma oblicuo: las caas lateales no son todas ectángulos. Según la foma de la base, los pismas se clasifican en tiangulaes, cuadangulaes, pentagonales Pisma ecto Pisma egula: es un pisma ecto cuyas bases son polígonos egulaes. Base Altua Base Aista Caa lateal Pisma oblicuo Pisma pentagonal egula Paalelepípedos: son los pismas cuyas bases son paalelogamos. Otoedo: es un paalelepípedo ecto. PIRÁMIDES Una piámide es un poliedo cuya base es un polígono y sus caas lateales son tiángulos que concuen en un vétice común, llamado vétice de la piámide. La altua de una piámide es la distancia de su vétice a la base. Piámide ecta: las caas lateales son todas tiángulos isósceles. Altua Aista Piámide oblicua: las caas lateales no son todas tiángulos isósceles. Vétice Base ADAPTACIÓN CURRICULAR Según la foma de la base, las piámides se clasifican en tiangulaes, cuadangulaes, pentagonales... Piámide egula: es una piámide cuya base es un polígono egula. Apotema: es la altua de cualquiea de las caas lateales de una piámide egula. Apotema MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 79 7/05/10 16:30

3 OBJETIVO 3 CONOCER Y APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN EL ESPACIO NOMBRE: CURSO: ECHA: El teoema de Pitágoas se puede aplica en todos los contextos en los que se foman tiángulos ectángulos. Tiene mucas aplicaciones paa calcula longitudes de cuepos en el espacio. Cálculo de la diagonal de un otoedo, conocidas las longitudes de sus lados m, n y p. D p CA = m + n B n C m A CD = m + n + p Cálculo de la altua de una piámide cuadangula egula, conocidas las longitudes del lado de la base y la aista a. l VM = l VM = l VO = l VO = a " " " M = a - VO = a - l a l O " = - V l Calcula la diagonal del otoedo de la figua. Consideamos la base infeio del otoedo: Vista desde aiba Aplicamos el teoema de Pitágoas: = " = " = 34 " = 34 " = 5,8 Vemos que la diagonal es la ipotenusa de: 5,8 x Aplicamos el teoema de Pitágoas: 5,8 x = 3 + 5,83 " x = " x = 43 " x = 43 " x = 6,56 cm Utilizando la fómula de aiba, la diagonal mide x = = 43 = 6,56 cm. 80 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 80 7/05/10 16:30

4 UNIDAD 9 1 Calcula la diagonal de este otoedo. cm G 4 cm Halla la aista de un cubo sabiendo que su diagonal mide 1 cm. (Recueda que en un cubo todos sus lados miden lo mismo.) 1 cm 3 Dada una piámide de base cuadada, de lado y aista lateal 10 cm, alla la altua. 10 cm Tomamos la base y aplicamos el teoema de Pitágoas: ADAPTACIÓN CURRICULAR d d = + Aoa tenemos: 10 cm 10 cm 10 = + d/ d/ = Aplicamos el teoema de Pitágoas: MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 81 7/05/10 16:30

5 OBJETIVO 4 CALCULAR EL ÁREA DE PRISMAS Y PIRÁMIDES NOMBRE: CURSO: ECHA: ÁREA DE PRISMAS RECTOS Paa alla el áea de un pisma ecto nos fijamos en su desaollo, el pisma ecto está fomado po un ectángulo (sus caas lateales) y dos polígonos iguales que son sus bases. B Áea lateal: es el áea del ectángulo, uno de cuyos lados coincide con el peímeto de la base y el oto con la altua del pisma. A L = peímeto de la base? altua = P B? Áea total: es la suma del áea lateal y el áea de las bases. Peímeto de la base: P B A T = áea lateal +? áea de la base = P B? +? A B 1 Dado este pisma ecto con base un tiángulo ectángulo, alla el áea total. cm x cm 3,1 cm 3,1 cm cm x Paa alla el valo de x, que es uno de los catetos del tiángulo ectángulo, aplicamos el teoema de Pitágoas: (3,1) = x + x =... Paa calcula el áea total deteminamos el áea de cada una de las seis caas del pisma, y luego las sumamos paa obtene el áea total: A 5 A 1 cm A A 3 3,1 cm A 1, A, A 3 son ectángulos. Su áea es el poducto de base po altua. A 4, A 5 son tiángulos ectángulos. Su áea es la base po la altua dividido ente, es deci, el poducto de los catetos dividido ente. cm A 4 A 1 = A = A 3 = A 4 = A 5 = Áea total = A 1 + A + A 3 + A 4 + A 5 = 8 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 8 7/05/10 16:30

6 UNIDAD 9 Calcula el áea del pisma oblicuo de base cuadangula de la figua. A 5 cm A 4 A A 1 A 3 A 6 cm Paa alla el valo de aplicamos el teoema de Pitágoas: Paa calcula el áea total deteminamos el áea de cada una de las seis caas del pisma, y luego las sumamos: A 1 =? = A 4 =? = A =? = A 5 =? = A 3 =? = A 6 =? = Áea total = A 1 + A + A 3 + A 4 + A 5 + A 6 = ADAPTACIÓN CURRICULAR 3 Halla el áea lateal y el áea total de un otoedo de 6,4 3 9, de base y 16, de altua. Áea lateal = peímeto de la base? altua = 16, Áea total = áea lateal +? áea de la base = 6,4 cm 9, Base = ectángulo MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 83 7/05/10 16:30

7 CALCULAR EL ÁREA DE PRISMAS Y PIRÁMIDES ÁREA DE PIRÁMIDES RECTAS Paa alla el áea de una piámide ecta nos fijamos en su desaollo, está fomada po la base y tantos tiángulos como lados tiene la base. Áea lateal: es el áea fomada po la suma de las áeas de los tiángulos. Áea total: es la suma del áea lateal y el áea de la base: A T = A L + A B Si el polígono de la base es egula, el cálculo es más sencillo, ya que todas las caas lateales son iguales y basta con alla el áea de un tiángulo y multiplica po el númeo de tiángulos paa obtene el áea lateal. 4 Calcula el áea de la piámide de base cuadada de la figua. Ten en cuenta que la base es un polígono egula. A 4 A 1 A 3 A A 5 Aplicamos el teoema de Pitágoas paa calcula la longitud de : 5 = + A 1 = base? altua = A = A 3 = A 4 = A 5 = Áea total = A 1 + A + A 3 + A 4 + A 5 = 84 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 84 7/05/10 16:30

8 OBJETIVO 5 CALCULAR EL ÁREA DE CUERPOS REDONDOS UNIDAD 9 NOMBRE: CURSO: ECHA: ÁREA DEL CILINDRO Paa alla el áea del cilindo nos fijamos en su desaollo, está fomado po un ectángulo y dos cículos. Áea lateal: es un ectángulo, en el que uno de sus lados es igual a la longitud de la cicunfeencia de la base (), y el oto es la altua (). A L = longitud de la base? altua =? Áea total: se obtiene sumando el áea lateal y las áeas de las dos bases. A T = + = ( + ) 1 Completa el ejecicio y alla el áea total del cilindo. 10 cm A 1 A 10 cm ADAPTACIÓN CURRICULAR A 3 Áea = = Es igual que la longitud de A 1. Longitud = =?? 3 =? 3,14? 3 A 1 = = A =? = A 3 = = Áea total = A 1 + A + A 3 = MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 85 7/05/10 16:30

9 CALCULAR EL ÁREA DE CUERPOS REDONDOS ÁREA DEL CONO Paa alla el áea de un cono nos fijamos en su desaollo, está fomado po un secto cicula y un cículo, que es la base. g g Áea lateal: es un secto cicula de adio g cuyo aco mide. g Áea total: A T = g + = (g + ) A L = g? = g g El áea lateal del cono de la figua es: a) g = 4 cm = cm b) 5,1 cm c) 1,56 cm d) 34 cm 3 El áea total del cono anteio es: a) 0 cm b) 50,4 cm c) 36,5 d) 37,6 4 Halla el áea total de un cono con = y = 1 cm. ÁREA DE LA ESERA El áea de una esfea de adio es igual a cuato veces el áea del cículo del mismo adio que la esfea: A = 4 Calcula el áea de una esfea de adio 10 cm. A = 4 = 4? 10 = 1 56 cm 5 El áea de una esfea de adio 1 es: a) 86 cm 3 b) 8,6 cm c) 86 cm d) 14,1 86 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 86 7/05/10 16:30

10 OBJETIVO 6 CALCULAR EL VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS UNIDAD 9 NOMBRE: CURSO: ECHA: VOLUMEN DEL ORTOEDRO Si un otoedo tiene dimensiones m, n y p, su volumen V es igual al áea de la base (m? n) po la altua p. V = áea de la base? altua = m? n? p m n p VOLUMEN DEL PRISMA V = áea de la base? altua = A Base? VOLUMEN DEL CILINDRO V = áea de la base? altua =? Calcula el volumen de un otoedo de dimensiones, 4 cm y. V = 3? 4? 8 = 96 cm 3 Halla el volumen de un pisma ecto de altua 1 y base tiangula egula de lado. Paa calcula la altua de la base aplicamos el teoema de Pitágoas: 3 = 1,5 + " =,6 cm base? altua 3?,6 V = áea de la base? altua =? =? 15 = 58, 3 Detemina el áea de un cilindo de altua y adio de la base 4 cm. V =? =? 4? 7 = 351,6 3 1, ADAPTACIÓN CURRICULAR 1 El volumen de un otoedo de dimensiones 4, 8 y 1 cm, espectivamente, es: a) 384 cm 3 b) 4 cm 3 c) 19 cm 3 d) 76 3 El volumen de un pisma exagonal egula de aista básica 10 cm y altua es: a) 078,4 cm 3 b) 4 156, 3 c) 480 cm 3 d) 69, 3 3 El volumen de un cilindo de altua 6 cm y adio de la base es: a) 56, 3 b) 169,56 cm 3 c) 113,04 cm 3 d) 339,1 cm 3 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 87 7/05/10 16:30

11 CALCULAR EL VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS VOLUMEN DEL CONO El volumen de un cono es igual a la tecea pate del áea de la base, que es un cículo ( ), po la altua (). V = 3 VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE El volumen de la piámide se calcula igual que el de un cono, peo teniendo en cuenta que la base puede se un polígono cualquiea. V = A? 3 Base Calcula el volumen de un cono de altua 10 cm y adio de la base cm.?? 10 V = = = 41, Halla el volumen de una piámide de altua y base egula tiangula de lado cm. Paa calcula la altua de la base aplicamos el teoema de Pitágoas: = 1 + " = 1,7? 1,73 A Base = = 1,7 A Base? 1,73? 8 V = = = 4,61 cm El volumen de un cono de altua 1 y adio de la base 1 cm es: a) 4 069,44 cm 3 b) 60, 3 c) 6 78,4 cm 3 d) 1 356,4 3 5 El volumen de una piámide de base cuadangula de lado y altua es igual a: a) 170,6 3 b) 85,3 3 c) 341,34 cm 3 d) 4,6 3 VOLUMEN DE LA ESERA El volumen de una esfea es: V = Calcula el volumen de una esfea de adio ?? 3 3 V = = = 113,04 cm El volumen de una esfea de adio es: a) 718,01 cm 3 b) 143,60 3 c) 1 436,0 3 d) 339,1 cm 3 7 El volumen de una esfea de áea 86 cm es: a) cm 3 b) cm 3 c) 8 60 cm 3 d) cm 3 88 MATEMÁTICAS 3. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L _ indd 88 7/05/10 16:30