Ángulos en la circunferencia

Transcripción

1 MT-22 Clase Ángulos en la cicunfeencia

2 pendizajes espeados Identifica los elementos de un cículo y una cicunfeencia. Calcula áeas y peímetos del secto y segmento cicula. Reconoce tipos de ángulos en la cicunfeencia. Resolve ejecicios que involucen teoemas de ángulos en la cicunfeencia.

3 Pegunta oficial PSU En la cicunfeencia de cento O de la figua 9, BC = 2 DB. La medida del BC es ) 100º B) 30º C) 35º D) 60º E) 70º D es diámeto y. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Poceso de admisión 2008.

4 1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 2. Áeas y peímetos 3. Ángulos en la cicunfeencia

5 1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 1.1 Definición Cículo O Región del plano limitada po una cicunfeencia Cicunfeencia Línea cuva, ceada y plana, cuyos puntos equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado cento.

6 1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 1.2 Radio () y diámeto (d) O d B O: cento de la cicunfeencia OB: adio = Segmento que une el cento de la cicunfeencia con cualquie punto de ella. B: diámeto = d = 2 Es la línea ecta que pasa po el cento y une dos puntos opuestos de la cicunfeencia. El diámeto divide a la cicunfeencia en 2 semicicunfeencias, es deci, co B = co B

7 1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 1.3 Cueda y secante B: Cueda Segmento que une dos puntos distintos de la cicunfeencia. B El diámeto es la cueda que pasa po el cento de la cicunfeencia y tiene la mayo longitud. B: Secante Recta que intesecta a la cicunfeencia en 2 puntos, fomando una cueda.

8 1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 1.4 Tangente Recta que intesecta en un solo punto a la cicunfeencia. Este punto es llamado punto de tangencia o punto tangencial. O O: cento de la cicunfeencia O: adio : Punto de tangencia L: Tangente L O L

9 1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 1.5 co de cicunfeencia Coesponde a una pate de la cicunfeencia. Su lectua es en sentido anti-hoaio (contaio a los punteos del eloj). B B : aco de cicunfeencia Los puntos y B de la cicunfeencia, deteminan el aco B.

10 1. Elementos de la cicunfeencia y del cículo 1.6 Secto y segmento cicula O a B Secto cicula O: cento de la cicunfeencia : adio B : aco de cicunfeencia Es una facción del áea del cículo deteminada po dos adios y un aco. O B O : cento de la cicunfeencia B : cueda B : aco de cicunfeencia Segmento cicula Es una facción del áea del cículo, deteminada po una cueda y un aco.

11 2. Áeas y peímetos 2.1 Áea del cículo Si es el adio, entonces: Áea cículo = p 2 Ejemplo: Detemina el áea del cículo cuyo diámeto mide 20 cm. Si el diámeto mide 20 cm, entonces el adio mide 10 cm. Luego, el áea del cículo es: = p 10 2 = 100p cm 2

12 2. Áeas y peímetos 2.2 Peímeto de la cicunfeencia Si es el adio y d el diámeto, entonces: Peímeto = 2 p ó Peímeto = p d Ejemplo: Detemina el peímeto de una cicunfeencia cuyo adio mide 15 cm. P = 2 p 15 P = 30 p cm.

13 2. Áeas y peímetos 2.3 Longitud de un aco de cicunfeencia O: cento de la cicunfeencia : adio O a B B : aco de cicunfeencia a : ángulo del cento Longitud de aco = B = a 2p a 360 Un aco coesponde a una pate de la cicunfeencia. Luego, es una facción del peímeto (2p) o del aco completo (360 ). En ambos casos, su medida depende del ángulo del cento que lo detemina (a).

14 2. Áeas y peímetos 2.4 Áea y peímeto de un secto cicula secto = a p O a B P secto = B + 2 2p a P secto = O: cento de la cicunfeencia : adio B : aco de cicunfeencia a : ángulo del cento

15 2. Áeas y peímetos 2.5 Peímeto de un segmento cicula P segmento = B + B O a B 2p a P segmento = + B 360 Segmento cicula O: cento de la cicunfeencia B : cueda B : aco de cicunfeencia

16 Ejemplo Detemina el áea y peímeto de la zona achuada de la figua. O: cento de la cicunfeencia. secto = secto = 80 p p 16 9 O 80º 4 B secto = 32 p 9 2p 4 80 P secto = p P secto = + 8 9

17 3. Ángulos en la cicunfeencia 3.1 Ángulo del cento y ángulo inscito. Ángulo del cento: Tiene el vétice en el cento de la cicunfeencia y mide lo mismo que el aco que subtiende. Ejemplo: Si el aco B = 40º, entonces a = 40º O 40º a B 40 O: cento de la cicunfeencia

18 3. Ángulos en la cicunfeencia 3.1 Ángulo del cento y ángulo inscito B. Ángulo inscito: Tiene el vétice en la cicunfeencia y mide la mitad del aco que subtiende. Ejemplo: Si el aco B = 50º, entonces a = 25º a 25 B 50

19 3. Ángulos en la cicunfeencia 3.1 Ángulo del cento y ángulo inscito Coolaio: Si un ángulo inscito y un ángulo del cento subtienden el mismo aco, entonces el ángulo del cento es el doble del ángulo inscito. O: cento de la cicunfeencia a O 2a B demás, se cumple que: a = g + d a 2a O 2a d g

20 Ejemplo En la figua, si el ángulo del cento OB mide 70, entonces el ángulo inscito CB mide 35. C 35º O 70º B O: cento de la cicunfeencia

21 3. Ángulos en la cicunfeencia 3.2 Igualdad de ángulos inscitos Si dos o más ángulos inscitos subtienden el mismo aco, entonces miden lo mismo. a b g a = b = g

22 3. Ángulos en la cicunfeencia 3.3 Tiángulo inscito en una semicicunfeencia Todo tiángulo inscito en una semicicunfeencia es ectángulo con hipotenusa igual al diámeto.. O 180 O: cento de la cicunfeencia

23 3. Ángulos en la cicunfeencia 3.4 Cuadiláteo inscito en una cicunfeencia En todo cuadiláteo inscito en una cicunfeencia, los ángulos opuestos son suplementaios. Ejemplo: a 92º b 110º g 70º d 88º a + δ = 180 g + β = 180

24 3. Ángulos en la cicunfeencia 3.5 Teoema del ángulo exteio Si a es ángulo exteio de la cicunfeencia, entonces: D a C B a = B CD 2

25 3. Ángulos en la cicunfeencia 3.6 Teoema del ángulo inteio Si a es ángulo inteio de la cicunfeencia, entonces: B a D C a = B + CD 2

26 Pegunta oficial PSU En la cicunfeencia de cento O de la figua 9, BC = 2 DB. La medida del BC es D es diámeto y ) 100º B) 30º C) 35º D) 60º E) 70º LTERNTIV CORRECT E Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Poceso de admisión

27 Síntesis de la clase Cículo Cicunfeencia Elementos Áea y peímeto Radio Cueda Secante Diámeto Del Cento Ángulos Inscito Inteio Exteio Tangente co Semi cicunfeencia Cuadiláteo inscito