El punto fijo O se llama centro del círculo. La longitud del segmento giratorio OM llama radio del círculo.

Transcripción

1 1.4 Cículo y cicunfeencia Cículo. Imaginemos la siguiente constucción en el plano. Tacemos un segmento OM de longitud > 0 cualquiea peo fija, giemos en cualquie sentido, una vuelta completa, a dicho segmento alededo del extemo fijo O. La egión en el plano baida po el segmento OM se llama cículo. M O El punto fijo O se llama cento del cículo. La longitud del segmento giatoio OM llama adio del cículo. = se Cicunfeencia del cículo. En la ealización de la misma constucción, el punto extemo móvil M taza una tayectoia ceada. l conjunto puntos de esa tayectoia se llama cicunfeencia del cículo. l punto O se llama cento de la cicunfeencia y la longitud del segmento giatoio OM = se llama adio del cicunfeencia. M O Dado que OM de su cento. = es contante los puntos de la cicunfeencia están a una misma distancia De las constucciones y obsevaciones anteioes, tenemos las definiciones clásicas. Cicunfeencia. Conjunto de puntos del plano equidistantes de un punto fijo, llamado cento, esta distancia de denomina adio. Ciculo. Conjunto de puntos en plano que se encuentan contenidos en el inteio y sobe una cicunfeencia. El cento y adio de la cicunfeencia se llaman espectivamente, cento y adio del cículo. Como todo cículo tiene asociada una cicunfeencia y ecípocamente, algunas definiciones de sus elementos son comunes a ambas.

2 Diámeto. l segmento que pasa po su cento y tenga como extemos dos puntos de la cicunfeencia se llama diámeto (D) de esa cicunfeencia o de su cículo asociado. La longitud del diámeto es igual a dos veces la longitud del adio. U M T O N Diámetos: MS, NT y RU D = S R.4.1 Peímeto Es númeo de unidades lineales que mide la cicunfeencia de un cículo (en una vuelta completa) comúnmente se le llama también cicunfeencia o longitud de la cicunfeencia del cículo. ceptando el caso extemo, si el adio es un segmento nulo la cicunfeencia se educe a un punto con peímeto ceo. Se demuesta que paa cualquie cicunfeencia, si dividimos su peímeto P ente la longitud de su diámeto D obtenemos un númeo iacional constante, este númeo se simboliza con la leta giega π. Una apoximación comúnmente usada de π, es sí: P D = π De esta ecuación, P = π D y como D =. Po tanto, paa cualquie cicunfeencia, P = π 0 ul Más adelante, cuando estudiemos peímetos de polígonos egulaes cuando el númeo de lados cece sin límite, veemos cómo se puede intui esta elación. Es obvio que dicha elación sive paa calcula P sabiendo, o a la invesa. Peo lo más inteesante es que ella nos infoma la vaiación de P si hacemos que vaíe, en el plano o el tiempo. En este sentido P es función de, P = P( ) = π, 0

3 3 Es deci la longitud de la cicunfeencia o el peímeto vaía popocionalmente con la longitud de su adio, la constante de popocionalidad es π. Tace su gáfica..4. Áea En el cículo, si vaiamos su adio vaía su áea, Cuál es la elación funcional ente y? Imaginemos cota (o dividi) el cículo de la manea que se muesta abajo, en la que todas las pociones de cículo cotados diametalmente llamados sectoes ciculaes sean iguales ente sí. Tomemos cada uno de los sectoes ciculaes y dispongámoslos de la manea que se muesta en el lado deecho, cada una de las seis paticiones del cículo se llama secto cicula cada una de las seis cuvas se llama aco cicula qué es igual la suma de las longitudes de todos los acos ciculaes? Imaginemos epeti el mismo poceso anteio, peo ecotando al cículo un númeo mayo de sectoes ciculaes, Notamos que si el númeo de cotes se hace cada vez muy gande (se dice que n tiende a infinito), la figua de la deecha se apoxima cada vez más y más a un ectángulo. Cuya altua es, y cuya base mide π / = π unidades de longitud po qué? Peo como el áea del cículo es siempe igual al áea de la figua de la deecha. Entonces de todo esto vemos que el áea del cículo debe se igual a ( π ) = π. Po tanto la elación ente el áea del cículo y su adio es,

4 4 = π, 0 u Tace la gáfica de esta función Poblemas esueltos a) Peímeto y áea Deteminemos el peímeto de un cículo, sabiendo que su áea es de 7 plg². Solución. Puesto que el peímeto está dada po P = π. Entonces, paa detemina el peímeto del cículo necesitamos detemina su adio. Usemos el dato del poblema paa ve si es posible obtenelo de allí: Su áea es de 7 plg.², peo como = 7 = π. De aquí podemos despeja el adio = 7 / π. Sustituyendo en la fómula del peímeto, queda = 7π plg. Po lo que su peímeto es de apoximadamente 9.4 plg. Obsevación: En ealidad hemos taducido el poblema geomético en el poblema algebaico de esolve un sistema de ecuaciones dos ecuaciones P = π y 7 = π. La taducción se hizo a tavés de las fómulas de peímeto y áea del cículo, donde las liteales epesentan magnitudes geométicas. En otos poblemas el sistema de ecuaciones petinentes se constuye a pati de popiedades geométicas que uno ve en el dibujo que hace. b) Tiángulo equiláteo inscito en una cicunfeencia El áea de un cículo cece a pati de ceo con una apidez constante de 3 cm²/s. Con qué apidez cece el áea del tiángulo equiláteo de base hoizontal inscito en su cicunfeencia? Solución: Imaginemos. Paece coecto afima que si el áea del cículo cece con apidez constante, entonces el áea del tiángulo equiláteo inscito también debe cece con apidez constante. Y más seguos estamos aún, de que la apidez con que cece el áea del cículo debe se mayo que la con que cece el áea del tiángulo en todo el tiempo. Estos hechos debemos de compobalos y deteminalos. El adio y el áea del cículo; la base b (igual a los tes lados del tiángulo equiláteo), la altua h y el áea B del tiángulo equiláteo inscito son magnitudes que cecen

5 5 continuamente en el tiempo t 0 que tanscue. sí la vaiable independiente es t, las pimeas dependen de esta última. Po supuesto, hay otas magnitudes que también son vaiables peo ellas no son elevantes paa la solución del poblema. b h b b Puesto que nos piden detemina la apidez con que cece el áea del tiángulo equiláteo inscito, nuesta taea seá constui la expesión analítica del áea del tiángulo equiláteo en función del tiempo B = B( t), y a pati de esta expesión obtene dicha apidez. Constuyamos B = B( t). Patamos de la función geneal de dos vaiables del áea del tiángulo B = bh /. Es posible ponelo en téminos de solamente la base b? Puesto que el tiángulo es equiláteo, su altua divide siméticamente en dos tiángulos ectángulos al tiángulo equiláteo, así tenemos. b h b Po Pitágoas, b/ Po lo que al sustitui B = bh / en queda, h = 3b B = B( b) = 4 hoa debemos expesa b en función de t, y paa logalo tenemos que elacionalo con el adio, pues este depende de t. De dónde vamos a obtene estas elaciones? De cietos dibujos apopiados que vamos a tene que hace. 3b b/

6 6 b h b b/ b/ pati de este dibujo, tatemos de constui una ecuación que elacione, h y b. Paa este tipo de poblemas, (como en otos poblemas esueltos) la estategia consiste en hace tazos (tia segmentos y hace vaios dibujos o tansfomaciones a pati del dibujo oiginal), a fin de constui tiángulos, genealmente ectángulos, u otas figuas comunes, cuyas lados o elementos sean expesados en téminos de las vaiables que uno está usando. Paa luego ve qué popiedad geomética se puede aplica en la figua esultante: Teoema de Pitágoas, popociones ente tiángulos semejantes, otas, a veces es necesaio aplica más de una popiedad. Todo ello con el fin de obtene un conjunto de ecuaciones o elaciones que a uno le inteesan y/o nos piden. Lo que se va a ve en el dibujo depende de que tan bien dibujado esté. Un mal dibujo no nos puede povee de buena infomación o nos puede da infomación falsa. Es indispensable pues, apende a ealiza dibujos apopiados a mano alzada. popiados en el sentido de que uno pueda ve que cumplen con las condiciones del poblema, y además, pueden sevi paa descubi en ellos infomación un tanto oculta, peo impotante, paa la solución del poblema. Po ejemplo, paa este poblema en paticula, debemos explicita en el dibujo, y esta plenamente consciente de ello, de que el cento del cículo debe ubicase sobe la altua del tiángulo equiláteo inscito. Implementemos la sugeencia. Realicemos algunos tazos, b h b/ b b/ (1) () (3) Con el tazo (1) fomamos un tiángulo ectángulo en el que conocemos sus catetos b / y h, peo de él no logamos obtene ninguna ecuación que vincule h, b y.

7 7 Con el tazo () fomamos un tiángulo isósceles cuyos lados iguales miden y cuya base es b, peo con él no logamos obtene ninguna ecuación que elacione h, b y. Con el tazo (3) fomamos el tiángulo ectángulo (pequeño), de hipotenusa y base hoizontal b /, peo de cateto vetical aún desconocido. h b/ b/ Podemos expesa este cateto en téminos de, h o b? Viendo el dibujo nos damos cuenta que este cateto es igual a h. Hemos llegado así al tiángulo ectángulo, h - Qué ecuación se puede constui a pati de él? Con el teoema de Pitágoas, b/ Simplificando, = ( h ) + b / 4 h h + b / 4 = 0 (I) Esta ecuación elaciona, h y b, y deseamos b en téminos de. Entonces tenemos que constui una ecuación que tenga solamente b y, y de allí despeja b en téminos de. Paa logalo debemos expesa h en téminos de o bien en téminos de b. hoa, como h = 3 b /, al sustitui esta elación en (I), luego de simplifica y escibila como poducto queda, b( b 3 ) = 0 Po lo que, de aquí obtenemos b en téminos de, b = 3

8 8 b = 0, no la tomamos en cuenta ya que b está ceciendo. Sustituyendo b = 3, en B = 3 b / 4, y simplificando nos da, B = 3 3 / 4 (II) hoa debemos expesa en téminos de t y sustituila en (II) Puesto que el áea del cículo está ceciendo en el tiempo t con una apidez constante de 3 cm²/s a pati de ceo. Entonces, = 3 t cm (III) Recodemos que esta elación epesenta la ecuación de una línea ecta, donde su pendiente es la apidez con que cece su áea. Po oto lado, el áea del cículo es función de su adio. Entonces, = π cm (IV) Puesto que ambas epesentan la misma áea podemos igualalas, 3t = π Despejando tenemos, = 3 t / π Sustituyendo esta última expesión en (II) y simplificando, finalmente, tenemos que el áea del tiángulo equiláteo inscito en función de t está dada po, 9 3 t B = B( t) = 1.4 t cm 4π De esta elación lineal e intepetando el coeficiente de su témino lineal como la apidez con que cece el áea del tiángulo equiláteo inscito, concluimos que bajo las condiciones impuesta en el poblema, dicha áea cece con una apidez constante de 1.4 cm²/s, apoximadamente. Notemos que, en efecto, la apidez con que cece el áea del tiángulo es meno que la con que cece el áea del cículo. Cuál es su áea a los 10 s?, Cuál es el áea del cículo a los 10 s? Veifique si sus espuestas satisfacen las condiciones físicas del poblema.

9 9 Obsevación. En la esolución de este poblema hemos intentado mosta algunas estategias específicas y geneales en esolución de poblemas geométicos típicos. No memoice la popia esolución, tate de eflexiona sobe los de azonamientos que hemos empleado y sobe el poceso en geneal. Finalmente, con el fin de aclaa mejo la esolución, veamos un esquema/esumen del tabajo algebaico ealizado. Consideando las condiciones y lo que nos pide el poblema. Se quiee constui B en función de t, ya que a tavés de ella podemos esponde al equeimiento del poblema. Llegamos a constui la función B = 1.4t. Esquema/esumen del tabajo algebaico ealizado Condiciones y popiedades utilizadas Tiángulo equiláteo Tiángulo equiláteo inscito en una cicunfeenica Igualdad de dos expesiones que epesentan el áea del cuadado Ecuaciones auxiliaes de sustitución h = ( 3)b/4 0 =h -h+b /4 b = ( 3) = 3t/π) Funciones constuidas B = hb/ B= ( 3)(b /4) B= 3( 3)( /4) B= 9( 3)(t/4π) = 1.4t Función de patida Función final/objetivo El poceso compende, pincipalmente, constucción de ecuaciones algebaicas a pati de dibujos sujetas a deteminadas condiciones, y tabajo algebaico. Genealmente, cuando uno inicia a esolve poblemas como estos, no tiene clao su esquema, uno lo va constuyendo en el popio poceso. Se sugiee peguntase duante el poceso, qué pienso hace, cómo se va hace aquello que pienso hace, paa qué hacelo, cómo voy en el poceso, que quieo hace, etc. Poblemas popuestos. 1. Detemine el lado de un cuadado que tiene la misma áea que un cículo de adio. cm Quién tiene mayo peímeto?. Detemine las dimensiones de un ectángulo que tengan el mismo peímeto que un cículo de áea 5.6 cm² Quién tiene mayo áea?, Se pueden constui otos ectángulos con ese mismo peímeto?

10 10 3. Detemine el adio del cículo que tiene la misma áea que un cuadado de lado 4.0 plgs. Quién tiene mayo peímeto? 4. Considee un cículo un tiángulo equiláteo y un ectángulo, tales que: El cículo tiene adio de igual longitud que el lado del tiángulo equiláteo. La suma de sus áeas es igual al áea que del ectángulo el cual tiene un lado de longitud 4 y el oto con longitud igual al adio del cículo. Detemine el adio del cículo. 5. Detemine, la base y la altua de un tiángulo, los lados de un ectángulo, y el adio de un cículo que tengan la misma áea que un cuadado de lado 3. Ente todos ellos quien tiene el meno peímeto? 6. Detemine las dimensiones de dos tiángulos ectángulos, de un ectángulo, y de un cuadado que tenga el mismo peímeto que un cículo de adio 8. Quién de todos ellos tiene la mayo áea? 7. Detemine el peso de un ao cicula de adio 1. m, si su pedo po unidad lineal es de 0. lb/m. 8. En la siguiente figua uv = 0 Cuál es el diámeto de la cicunfeencia? v u 9. Un tiángulo equiláteo está inscito en una cicunfeencia de adio R. Expese el áea de la egión fuea de dicho tiángulo y dento de la cicunfeencia en téminos de R. 10. El adio de un cículo disminuye a azón constante de 1.3 cm/s, a pati de 1 cm. (a) Expese su áea y su peímeto en función del tiempo, (b) Con que apidez decece su peímeto? y (c) los cuantos segundos el cículo desapaeceá? 11. El áea de un cículo cece a pati de ceo a azón constante de cm²/s. qué azón cece el áea del tiángulo isósceles inscito si su altua es igual a su base? 1. El áea del tiángulo equiláteo inscito en una cicunfeencia cece a pati de ceo con una apidez constante de cm²/min. Detemine con qué apidez cece el áea su cículo. 13. Considee todos los ectángulos de base hoizontal inscitos en una cicunfeencia de adio R (hay una infinidad). Haga vaios dibujos o ealice la Simulación Rectángulos Inscitos. (a) Sus áeas son difeentes?, ente todos ellos hay uno que tiene la mayo áea?, ente todos ellos hay uno de mayo peímeto? (b) Cuáles son las magnitudes vaiables?, cuáles son sus límites de vaiación? (c) Considee a dichos ectángulos como si

11 11 se tataa de un ectángulo, inscito en la cicunfeencia, cuya base se hace vaia continuamente. Si hace vaia dicha base, cómo vaía su áea?, cómo vaía su peímeto? Haga sus gáficas catesianas cualitativas, (d) Expese el áea de lo ectángulo en función de la base, y (e) Expese el peímeto del ectángulo en función de la base. Cee que el cuadado es el que tiene mayo áea? Compuébelo. Cuál ectángulo tiene mayo peímeto? 14. Se desea diseña una ventana que deje pasa la mayo cantidad de luz. Las esticciones de diseño son: Debe tene la foma de un semicículo sobe puesto sobe un ectángulo, y su bode peimetal debe se de 18 pies. Haga dibujos o ejecute la Simulación ventana y esponda. (a) Existen vaias altenativas de constucción?, dibuje algunas. (b) Cuáles son las magnitudes qué cambian?, cuáles son sus intevalos en qué cambian? (c) Es cieto que a mayo áea la ventana deja pasa mayo luz? (d) Obseve que todas estas ventanas, y po tanto sus áeas coespondientes, se pueden genea, a pati de una ventana haciendo vaia la base o altua del ectángulo, manteniendo constante el bode peimetal de la ventana. (e) Seleccione una magnitud vaiable y expese el áea de la ventana en función de la vaiable seleccionada. (f) Usando la función constuida detemine las dimensiones de la ventana que deja pasa mayo luz. 15. Considee tes puntos cualesquiea sobe un cicunfeencia de adio R. (a) Con ellos fome un tiángulo. Mantenga fijos dos ellos y considee como su base al segmento que los une. Dónde debe situase el teceo paa que el áea del tiángulo fomado tenga la altua mayo?, paa que tenga áea máxima?, Este tiángulo debe se isósceles? (b) El tiángulo de mayo áea inscito en una cicunfeencia debe se isósceles. hoa, ente todos los isósceles inscitos quién tiene la mayo áea? Considee todos los tiángulos isósceles de base hoizontal inscitos en una cicunfeencia de adio R. Haga dibujos y obseve que si hace vaia la altua desde 0 hasta R las áeas también vaían. (c) Haga la gáfica catesiana cualitativa del áea en función de la altua = ( h). (d) Expese el áea de los tiángulos en función de la altua. Usando esta función y nociones de cálculo difeencial se puede demosta que el tiángulo equiláteo es tiángulo de mayo áea ente todos los que se pueden inscibi en una cicunfeencia de adio R. 16. Suponga que tiene un alambe de 50 cm de longitud. (a) Si con él foma un cuadado, cuál es su peímeto?, cuál es su áea?, (b) Si con él foma una cicunfeencia, cuál es su peímeto?, cuál es su áea? (c) Si cota dicho alambe en dos pedazos, uno de 17.5 cm y oto de = 3.5 cm, con el pime pedazo foma un cuadado y con el segundo foma una cicunfeencia, cuánto es la suma de sus peímetos?, cuánto es la suma de sus áeas? (d) Si cota un pedazo de longitud x, cuál es la longitud del oto pedazo?, con el pimeo foma un cuadado y con el segundo foma una cicunfeencia, Si vaía la longitud x vaía la suma de sus peímetos?, vaía la suma de sus áeas? (e) Expese cada una de sus áeas en función de x. (f) Expese la suma de sus áeas en función de x. (g) Esboce la gáfica de esta última función cuál es el intevalo de vaiación de x?, hay un valo de x paa el cual la suma de sus áeas es máxima? 14. Suponga que tiene vaios alambes con 50 cm de longitud c/u. Cada alambe se cota en tes pedazos de difeente longitud de manea aleatoia, es deci, los tes pedazos de un

12 1 mismo alambe pueden se difeentes ente sí, y los tes pedazos de un alambe pueden también se difeentes a los tes pedazos de cualquie oto alambe. Con los tes pedazos de cada alambe se foman una cicunfeencia y dos tiángulos equiláteos. (a) Vaían la suma de sus peímetos?, vaían la suma de sus áeas? (b) Si un pedazo tiene longitud x y oto de longitud y cuál es la longitud del teceo?, cuáles son intevalos de vaiación de cada uno de ellos? (c) Expese la suma de sus áeas en función de x e y. Existe cietos valoes de x e y paa los cuáles la suma de sus áea es máxima? Su esolución analítica se estudia en cálculo de vaias vaiables. 15. Usando egla y compás o el CBRI ealice lo indicado. (a) Ubique en el punto tes puntos no alineados. (b) use dichos puntos y constuya un tiángulo, (c) detemine el punto medio de cada uno de los lados del tiángulo, tace las mediatices y ubique su punto de intesección (ecuede el punto de intesección se llama cicuncento), (d) tace una cicunfeencia con cento el cicuncento del tiángulo. Del poceso anteio, concluya: (I) Tes puntos no alineados deteminan una cicunfeencia. (II) El cicuncento del tiángulo es el cento de la cicunfeencia cicunscita a dicho tiángulo..4.3 Áeas de egiones especiales Estudiemos un conjunto paticula de poblemas en los cuales se pide calcula el áea de egiones fomadas ente cuadados, tiángulos equiláteos, tiángulos ectángulos isósceles, cicunfeencias o semicicunfeencias. Dichas áeas se pueden calcula planteando igualdades ente áeas, sumando y/o estando áeas de egiones de figuas comunes, algunas se pueden obtene casi de inmediato; sin embago algunas equieen visualiza las elaciones ente las áeas de figuas pesentes, po ejemplo, obseva taslapes de áeas, obseva la posibilidad de combina, eacomoda y tansfoma cietas egiones, con el fin de pode plantea una igualdad ente áeas. Veamos el siguiente ejemplo ilustativo. Calculemos el áea de egión pintada, a a Vemos, un cuadado de lado a, un cículo adio a y cuato cuatos de cículo de adio a, El áea de cada una de ellas podemos fácilmente calculalas pues conocemos sus dimensiones paa calculalas. hoa tatemos de plantea una igualdad ente áeas. Si sumamos el áea del cículo cental (ayado vetical) con la suma de las áeas de los cuato cuatos de cículo (ayado hoizontal) tendemos la figua,

13 13 a Donde la egión en cuadícula queda taslapada o duplicada, y esta es el áea que deseamos calcula. Esto se puede intepeta como el áea del cuadado más el áea que deseamos detemina. Entonces si a esta egión así fomada, le quitamos el áea del cuadado, nos debe de queda el áea de la egión pintada oiginal. Lo descito aiba nos lleva a plantea la ecuación de áeas, Áea pintada = áea del cículo + áea de 4 cuatos de cículo áea del cuadado Sustituyendo valoes, a Áea pintada = (áea del cículo) áea del cuadado ea pintada = π a ( a) ea pintada = ( π ) a Posiblemente se pueden popone otos pocedimientos paa calcula dicha áea. Poponga un pocedimiento altenativo. Poblemas popuestos 1a. Detemine el áea de la egión en blanco.

14 14 4 1b. Detemine el áea de la egión pintada. 4 a 1c. Detemine el áea de la egión en blanco. a a. Detemine x si el áea de la egión pintada es igual a 1.

15 15 x x b. Detemine y si el áea de la egión pintada es igual a π. y y c. Calcule el valo de z si el áea sombeada es igual a 3. z z z 3. La cicunfeencia cental esta cicunscita al tiángulo equiláteo. Detemine el adio de la cicunfeencia cental, si el áea de las tes lunas en blanco es igual a 3.

16 16 4. Es el áea del ectángulo inteio igual a la suma de las áeas de las cuato lunas exteioes? Justifique su espuesta..4.4 Segmentos y ectas asociadas Dependiendo de su ubicación o elación con especto a la cicunfeencia, a los segmentos o ectas se les da nombes especiales. Veamos sus nombes y dibujos. tangente cueda adio diámeto secante Poblemas popuestos 1. Obsevando los dibujos de aiba, defina con sus popias palabas cada una de los segmentos y ectas asociadas a la cicunfeencia. Ejemplo, cueda es el segmento que une dos puntos cualesquiea de la cicunfeencia.

17 17. Dibuje una cicunfeencia, tace un adio y tace su ecta tangente en el punto extemo del adio sobe la cicunfeencia. 3. Dibuje un segmento tangente a una cicunfeencia de modo que dicho segmento sea tangente a la cicunfeencia en uno de sus extemos. 4. En una cicunfeencia, toda cueda es pependicula al adio que pasa po el punto medio? Justifique su espuesta. Use su espuesta paa mosta que el cicuncento de un tiángulo es el cento de la cicunfeencia cicunscita. 5. Todo diámeto es una cueda?, Cuál es el intevalo de vaiación de las longitudes de las cuedas de una cicunfeencia de adio? 6. Dibuje un tiángulo cualquiea, dibuje sus bisectices y detemine su incento, de este punto tace segmentos pependiculaes a cada uno de los lados del tiángulo. Tomando como adio a uno de dichos segmentos y cento el incento dibuje la cicunfeencia inscita en el tiángulo, Po qué los tes segmentos tienen la misma longitud? Visualice estos hechos ejecutando la Simulación incento..4.5 Ángulos asociados Los lados de estos ángulos son segmentos asociados a la cicunfeencia, los nombes de ellos hacen efeencia a dichos segmentos o a la ubicación de sus vétices. Veamos y ecodemos sus dibujos y nombes. χ β O α σ ρ δ θ α, cental. β, inscito. χ y δ : ente cuedas. σ : ente secantes. ρ : ente tangentes. θ : ente secante y tangente Poblemas popuestos 1. Defina cada uno de los ángulos asociados a la cicunfeencia. Ejemplo, ángulo cental, es uno de los ángulos fomado ente dos adios.. Dibuje, en una cicunfeencia, dos ángulos inscitos que midan 90 o. Con sus lados fome un tiángulo ectángulo, Su hipotenusa pasa po el cento? 3. Dibuje un ángulo inscito fomado po un diámeto y una cueda.

18 18 4. Dibuje un ángulo ente una tangente y una secante de tal manea que su vétice se ubique sobe la cicunfeencia. 5. Dibuje un ángulo ente una secante que pase po el cento de la cicunfeencia y una tangente. 6. Dibuje un ángulo ente dos tangentes a una cicunfeencia que mida π / a) Dibuje un ángulo ente una cueda y un diámeto, b) dibuje un ángulo cental ente dos diámetos..4.6 co Consideemos una cicunfeencia de adio, seleccionemos un punto fijo F sobe ella. Imaginemos oto punto M en pincipio coincidente con F, luego desplacemos M sobe dicha cicunfeencia hasta ubicalo en cieta posición. La tayectoia ecoida po M sobe la cicunfeencia se llama aco de cicunfeencia, aco cicula o bevemente aco. Podemos designale como un conjunto de puntos ente dos puntos ubicados sobe una cicunfeencia, o simple e infomalmente una poción de cicunfeencia. M O co FM, de adio y extemos F y M F Lo simbolizaemos con acfm, que leemos aco FM. Obsevaciones. (a) Si M se deja sobe F sin ningún desplazamiento, diemos que el aco es nulo. Si M se le desplaza sobe una vuelta completa, diemos que se ha geneado un aco de una cicunfeencia completa. (b) Dos puntos sobe una cicunfeencia la dividen en dos acos Medida angula todo aco podemos asociale un ángulo cental y ecípocamente a todo ángulo cental podemos asociale un aco.

19 19 α O B Diemos que el ángulo cental OB subtiende o abaca al acb, o que acb es subtendido o abacado po dicho ángulo cental. sí, esulta natual asocia la misma medida del ángulo cental (en cualquie sistema de medición) al aco subtendido. En este sentido decimos que la medida angula de un aco es igual a la medida del ángulo cental po el cual es subtendido sobe la cicunfeencia. Po ejemplo, si en una cicunfeencia el ángulo cental mide π / 3 adianes, entonces se dice que el aco subtendido po ese ángulo, tiene una medida angula de π / 3 adianes. C O π/3 B D l enunciado, la medida angula del acb es de π / 3, lo escibimos como ac B = π / 3. sí también vemos en dibujo que accd = 90. Imaginemos una familia de cicunfeencias concénticas (tienen su cento en común), y un ángulo cental que abaque acos sobe cada una de ellas. Todos esos acos tienen la misma mediada angula.

20 0 E C F D B Los acb, accd y acef tienen la misma medida, pues están subtendidos po el mismo ángulo cental. También, si ángulos centales tienen igual medida en cicunfeencias no concénticas, los acos subtendidos tienen igual medida angula Longitud de aco Todo aco tiene deteminada longitud, la cual se mide sobe la cicunfeencia en la que se ubica. Po ejemplo si tenemos una cicunfeencia de adio 10 cm, sobe dicha cicunfeencia, podemos selecciona acos con longitudes de 0.5, 1.7, 6, cm etc. Llamamos longitud de aco de un aco, al númeo de unidades lineales de su longitud. Genealmente, a esta longitud se le denota con la leta s. s = π cm O cm 1/ km s B longitud del acb = π cm B longitud del accd = s km Radián Sobe una cicunfeencia de adio cm, podemos selecciona acos cuyas longitudes sean iguales a cm, sobe una cicunfeencia de adio kilómetos podemos ubica un aco que tenga una longitud de kilómetos. En geneal, sobe una cicunfeencia de adio podemos ubica acos cuyas longitudes sean iguales a la del adio, y como a todo aco podemos asociale un ángulo cental, entonces, definimos. En una cicunfeencia, cuando un ángulo cental subtiende un aco cuya longitud sea igual a la longitud de su adio, diemos que dicho ángulo mide un adián.

21 1 s = cm B O = cm O C s = B longitud del acb = cm OB adián D longitud del accd = COD adián Sobe cualquie cicunfeencia podemos ubica acos cuyas longitudes sean iguales a dos veces el adio de la cicunfeencia, diemos entonces que los ángulos centales que abacan a dichos acos miden cada uno de ellos dos adianes. Puesto que una cicunfeencia tiene una longitud de π, esto quiee deci que en ella caven π =.83 (apoximadamente) adios, po lo que diemos que un ángulo cental de una vuelta completa mide π adianes. Razonando de manea simila se tiene que, un ángulo cental de media vuelta mide π adianes, un ángulo cental de ¼ de vuelta mide π / adianes, etc. En geneal, podemos ubica un aco que mida k veces el adio, donde k es cualquie númeo eal en (0, π ], entonces decimos que el ángulo cental que subtiende a dicho aco mide k adianes. Si k = 0, a qué se educe el aco? unque esta medida suge como medida de ángulos centales, se puede emplea paa medi ángulos no necesaiamente centales. Una de sus ventajas es que pemite medi ángulos de manea continua y considea a la medida de los ángulos como una vaiable eal. Obsevaciones. (a) un aco le asociamos dos sistemas de medición, (I) Medida angula, la cual coincide con le medida del ángulo cental el cual lo subtiende sobe una cicunfeencia y, (II) La medida de su longitud en unidades lineales. (b) No debemos confundi la medida angula de un aco, la cual se puede medi usando cualquie sistema de medición de ángulos; con la medida de su longitud, la cual se puede medi usando cualquie sistema de medición de longitudes lineales. Po ejemplo, no es lo mismo deci, un aco tiene una medida angula de π adianes, que deci, un aco tiene una longitud de π kilómetos. La pimea hace mención de la abetua ente los lados del ángulo cental que lo abaca, mientas que la segunda menciona el númeo de unidades lineales sobe su cicunfeencia. Poblemas popuestos 1. Dibuje lo indicado. (a) Un aco subtendido po un ángulo cental, (b) un aco abacado po un ángulo inscito, (c) los acos fomados ente dos secantes a una cicunfeencia, (d) el aco de meno medida angula ente una tangente y el extemo de una cueda, (e) el aco de

22 mayo longitud ente dos tangentes, (f) el aco de meno medida angula que se foma con dos cuedas que se intesecan y, (g) los acos que se foman ente los extemos de un diámeto y una cicunfeencia.. Dibuje una cicunfeencia. (a) Mueste un aco cuya medida angula sea ¼ de vuelta y (b) mueste un aco cuya medida angula sea ½ vuelta. 3. Dibuje dos cicunfeencias concénticas. Mueste los acos asociados a un ángulo cental de (a) π / 3 adianes, (b) 45 o y (c) 3 π / adianes. 4. (a) Dibuje un aco cuya medida angula sea de 15 o, (b) dibuje un aco cuya medida angula sea π adianes y (c) dibuje un aco cuya medida angula sea de 360 o. 5. Cuál es la medida angula de un aco subtendido po un ángulo de 360 o? 6. Dibuje un pa de acos cuya suma de sus medidas angulaes sea 90 o. 7. Dibuje 7 ángulos inscitos en una cicunfeencia que abaquen el mismo aco. 8. Dibuje una cicunfeencia, un ángulo cental y su aco asociado, luego dibuje 4 ángulos inscitos que abaquen o subtiendan el mismo aco. 9. Considee un aco sobe una cicunfeencia. Cuántos ángulos centales lo abacan?, cuántos ángulos inscitos lo pueden abaca, tienen igual medida angula? 10. Detemine el adio de la cicunfeencia en la que cualquie aco sobe ella, la medida angula del aco es numéicamente igual a la longitud de dicho aco. 11. En una cicunfeencia tiene adio 3. Cuál es la longitud del aco de ¼ de vuelta?, cuál es la longitud del aco de 3/10 de vuelta? Use egla de tes o popociones. 1. Una cicunfeencia tiene áea de 7.93 u. Cuánto mide un aco de /5 de su cicunfeencia? 13. En una cicunfeencia un ángulo cental cece a pati de 30 º con una apidez constante de º /s (a) Expese la medida angula del aco subtendido po dicho ángulo en función del tiempo y detemine la apidez con que cece dicha medida, (b) detemine en cuanto ceció la medida angula de ese aco duante los 10 pimeo segundos y, (c) detemine el tiempo que debe tanscui paa que la medida angula del aco sea de 58.7º Medida de longitud de aco Dado un aco sobe una cicunfeencia de adio, cuyo ángulo cental es α y con longitud s. Deteminemos la elación ente tales magnitudes. Pimeo veamos que, una cicunfeencia de adio (constante) se puede considealo como un aco de longitud s de una cicunfeencia completa, con un ángulo cental π adianes, y como su longitud es igual a π escibimos s = π. Un aco de media cicunfeencia tiene ángulo cental igual

23 3 π y su longitud s = π / = π. Un aco de ¼ de cicunfeencia tiene ángulo cental π / y longitud s = π / 4 = ( π / ). s s s α = π α = π α = π s = π s = π s = (π/) Paa un ángulo cental α cualquiea, cuál es la longitud del aco que abaca? Vemos que paa un adio fijo, si hacemos cece el ángulo cental (en [0, π ] ) entonces la longitud de aco cece popocional con el ángulo cental. Usando egla de tes, π π α s ángulo cental π α longitud de aco π s De aquí, obtenemos que la elación ente la longitud de aco y su ángulo cental medido en adianes, s = α sí, la longitud de un aco es igual al poducto del adio de la cicunfeencia po el ángulo cental en adianes que lo abaca. Obsevación. mbos lados de la ecuación s = α, deben tene las mismas dimensionales lineales, y paa que esto suceda, el ángulo α debe se un númeo puo sin dimensión. En este sentido el sistema adianes mide ángulos sin dimensión, aunque digamos que están expesados en adianes. Poblemas popuestos

24 4 1. Un móvil ecoió la tayectoia que se indica. Detemine la distancia ecoida Paa una cicunfeencia de adio 3.41 cm. Obtenga la medida de los acos si cada uno es abacado po el ángulos dado. (a) π / 4.3 ads, (b) 1.47 ads, (c) 0.3, (d) /5 ads, (e) ads, 3. En una cicunfeencia se sabe que un ángulo cental de 1.3 adianes subtiende un aco de 1.3 pg. Cuál es el adio de la cicunfeencia? 4. Dibuje los acos y calcule su longitud sabiendo que: (a) = y α = π / 4, (b) = 3.5 y α = 3 π / 4, (c) = π y α = π. 5. Sobe una cicunfeencia de adio 10 un aco tiene una longitud de 3, cuál es la medida angula de dicho aco? 6. Sobe una cicunfeencia de adio 0 km, un aco tiene una medida angula de.6 adianes, cuál es la longitud del aco? 7. Sobe una cicunfeencia un aco tiene una medida angula de 10º y una longitud de kilómetos. Detemine el adio de dicha cicunfeencia. 8. Expese la fómula paa calcula la longitud de aco si el ángulo cental se mide en gados sexagesimales. 9. Sobe una cicunfeencia de 5 cm de adio. La medida angula de un aco cece a pati de 0.1 adianes con una apidez de 0. adianes/segundo. (a) Expese la medida angula del aco en función del tiempo, (b) expese la medida del ángulo cental en función del tiempo, (c) expese su longitud en función del tiempo y, (d) detemine a los cuantos segundos su longitud es de 4 cm. 10. Sobe una cicunfeencia de 16 m de adio, la medida angula de un aco cece a pati de 1 m con una apidez de 3.5 m/s. (a) Expese su longitud en función del tiempo, (b) expese la medida del ángulo cental que lo subtiende en función del tiempo, (c) expese la medida angula del aco en función del tiempo y, (d) detemine la apidez con que cece su medida angula.

25 Función longitud de aco. unque la elación s = α se dedujo consideando una cicunfeencia de adio fijo, en ealidad ella elaciona longitudes de acos con sus ángulos centales y adios como lados de dichos ángulos, es deci, ealmente es una función de dos vaiables. Podemos deja constante el ángulo y hace vaia el adio (los acos quedan sobe cicunfeencias con distintos adios con un mismo ángulo cental), entonces la longitud de aco vaía. Podemos deja constante el adio, hace vaia el ángulo (los acos quedan sobe la misma cicunfeencia con difeentes ángulos centales), entonces vemos que la longitud de aco vaía. Si vaiamos tanto el adio como el ángulo, la longitud de aco, siempe vaiaá? 1 3 s s 1 α s 3 s s 1 α α 1 α 3 s 3 α constante, vaiable constante, α vaiable s = s(α, ) = α Poblemas popuestos 1. Imagine que hay dos jadines ciculaes; uno de adio 5 m y oto de adio 50 m y que Ud. ha caminado 40 m alededo del jadín de adio meno, (a) cuál es la medida del ángulo cental que geneó en su desplazamiento?, (b) si Ud. quisiea camina los mismos 40 m alededo del jadín de adio mayo cuál seía la medida del ángulo cental que geneaía en su desplazamiento? Note que dos acos difeentes (con adio y ángulos centales difeentes) pueden tene la misma longitud, entonces aunque el adio y el ángulo cambien la longitud de aco puede pemanece constante. Esto poque s = α, siempe se puede enconta una infinidad de paejas de númeos eales positivos cuyo poducto sea una constante eal positiva.. Poponga los adios y ángulos centales de 3 acos difeentes que tengan una longitud de 11.3 pg. 3. Poponga 3 acos difeentes (dé su adio y longitud de aco) que tengan un ángulo cental de 0.5 ads. 4. Una viga de metal tiene la foma de un cuato de cicunfeencia, su adio mide apoximadamente 15.5 m. Cada meto lineal de la viga pesa 0.43 quintales. poximadamente, cuánto pesaán 8 vigas? 5. El adio de una cicunfeencia cece a una velocidad de 0.78 cm/s. Detemine con que velocidad cece la longitud de un aco abacado po un ángulo cental de 1.7 adianes.

26 6 6. Un móvil se mueve sobe una tayectoia cicula a una velocidad constante de.1 m/s. Un obsevado situado en el cento de la tayectoia cicula obseva que el ángulo baido po el móvil duante 15 s fue de 4.51 adianes. (a) Cuál fue la distancia ecoida po el móvil? y, (b) Cuál es el adio de la tayectoia cicula? 7. Una pesona obseva un objeto que se desplaza sobe una tayectoia apoximadamente cicula. El adio de la tayectoia cicula es 14 m. l segui el desplazamiento del objeto la línea visual (idealización del segmento de línea que une la pesona y objeto en cualquie momento) gia a una velocidad de 0.48 ads/s (velocidad angula). (a) Expese la medida del ángulo cental en función del tiempo (en adianes y suponga que paa t = 0 el ángulo mide 0 adianes) (b) Expese la longitud de aco ecoida po el objeto en función del tiempo. (c) Calcule la distancia ecoida duante los pimeos segundos. (d) qué velocidad se mueve el objeto sobe la tayectoia cicula?.4.7 Popiedades ente cicunfeencia y sus elementos Estudiemos ahoa algunas popiedades y elaciones impotantes ente la cicunfeencia y sus segmentos, ectas y ángulos asociados. Dichas popiedades tienen uso en la solución de algunos poblemas geométicos aplicados. Po su aplicación fecuente en poblemas de pecálculo, estudiaemos pimeamente, las elaciones ente, ángulo tangente y adio, y ente segmentos tangentes; dejamos las otas paa más adelante Ángulo ente tangente y adio Considee una cicunfeencia. Tace un adio cualquiea y señale con T su extemo sobe la cicunfeencia, pependicula a este adio tace secantes cada vez más cecanas a T, cuando la secante se ubica en T, se tiene la ecta tangente y de ello inducimos que la tangente es pependicula al adio. sí, cualquie ecta o segmento tangente a una cicunfeencia es pependicula al adio con extemo en el punto de tangencia. secantes tangente T Poblema, cicunfeencia inscita en un tiángulo equiláteo Deteminemos el adio de la cicunfeencia inscita en un tiángulo equiláteo de lado L. Solución. Constuyamos el dibujo apopiado de la situación, paa ello, debemos de taduci en el dibujo lo significa cicunfeencia inscita en un tiángulo. Cada lado del tiángulo debe toca en un único punto a la cicunfeencia. Entonces cada lado debe se tangente a

27 7 la cicunfeencia. Esto es muy impotante sabelo y explicitalo en popio momento de hace el dibujo. También debemos señala en el dibujo los datos y la incógnita, lados L y adio espectivamente. Paa tabaja mejo (como se hace comúnmente) dibujemos un tiángulo equiláteo con una base hoizontal, esto no afecta la solución del poblema (sin duda se puede tabaja sobe un tiángulo en el que ninguna de sus bases es hoizontal) L L L hoa viene el tabajo. pati del dibujo inicial, buscamos constui tiángulos (paa este tipo de poblemas genealmente ectángulos, puede se suficiente uno), tales que en base de cietas popiedades geométicas (teoema de Pitágoas, semejanza de tiángulos, etc.) que vemos que las cumplen, podamos foma un conjunto de ecuaciones algebaicas (puede se suficiente una), de manea que de tal conjunto podamos despeja la incógnita. O sea, hay que constui un dibujo, del cual se puedan constui ecuaciones algebaicas, y de ellas detemina en téminos del dato L. Peo, los tiángulos a constui no son cualesquiea, ellos debe elaciona de algún modo los datos con la incógnita. Genealmente debemos danos cuenta del cumplimiento de popiedades geométicas aún las más elementales, aquí, el adio de la cicunfeencia es pependicula a toda tangente en el punto de tangencia y simetía, ellas nos que pemiten elaciona datos con incógnita. dvetimos que la secuencia de actividades que se ealizan paa constui las ecuaciones algebaicas no necesaiamente es única. Veamos. El tazo más obvio a ealiza es el siguiente,

28 8 C L L O L/ T B Dado que el tiángulo es equiláteo, po simetía y usando la popiedad de que el adio de la cicunfeencia es pependicula a la tangente en el punto de tangencia T, visualizamos que el vétice C, el cento O de la cicunfeencia y el punto de tangencia T, deben esta veticalmente alineados. Vemos que hemos fomado dos tiángulos ectángulos iguales o conguentes. Veamos qué ecuaciones podemos constui en base de alguna popiedad que cumpla uno de estos tiángulos. Po simetía nos damos cuenta que T = L /, tenemos, C L L/ T El tiángulo es ectángulo, podemos de este constui una ecuación que contenga L y? Puesto que no podemos escibi el cateto vetical en téminos de solamente L y, no podemos constuila. Constuyamos entonces oto tiángulo, y ve qué se puede elaciona. Peo debemos de apovecha lo alcanzado hasta ahoa, incopoemos entonces en el dibujo los tiángulos ectángulos anteioes y la infomación obtenida.

29 9 C C L O L U O L/ T B L/ T B Podemos foma un tiángulo uniendo el punto de tangencia de la cicunfeencia y el lado C con el cento O de la misma cicunfeencia. Fomamos el tiángulo CUO. quí es conveniente hacenos una seie peguntas y tata de espondénoslas; qué tipo de tiángulo es?, podemos escibi sus lados en téminos de y L?, es semejante el tiángulo CUO con el tiángulo CT? Tatemos de espondelas. CUO, es un tiángulo ectángulo, puesto que UO = es pependicula a la tangente C en el punto U. Los tiángulos ectángulos CUO y CT tienen el ángulo de vétice C en común, po tanto son semejantes ente sí. Hemos constuido entonces dos tiángulos semejantes. Tabajemos entonces con este hecho. Tasladando y giando en el espacio el tiángulo CUO conviene aisla y dibuja los tiángulos en una disposición tal que facilite la constucción de la ecuación con los lados popocionales. Señalemos también los lados que ya los hemos escito en téminos del dato L y la incógnita. C L C L/ T O U

30 30 Es clao que no podemos constui ninguna elación de popocionalidad puesto que desconocemos los lados coespondientes en el tiángulo CUO. Veamos si se pueden detemina. Puesto que el tiángulo BC es equiláteo, po simetía. CU = L /. Peo aún no podemos foma ninguna elación de semejanza ente lados coespondientes, po qué? Sigamos tatando de expesa algún oto lado en téminos de po Pitágoas tenemos que CT = 3 L /. Po lo que tenemos, C L y. En el tiángulo CT, L L/ C L/ L/ T O U hoa podemos foma la elación de popoción, OU CU = T CT L = L 3 L Finalmente, de esta ecuación obtenemos que el adio de la cicunfeencia inscita en el tiángulo equiláteo de lado L es igual a, = Popiedad. De esta ecuación se deduce también que, el adio de la cicunfeencia inscita en un tiángulo equiláteo es igual a un tecio de su altua. Deduzca. 3L 6

31 31 h/3 L O L h = h/3 L.4.7. Tangencia ente cicunfeencias Una cicunfeencia puede se tangente a ota inteio o exteiomente en un punto, T O O O1 O 1 T Tangentes inteiomente Tangentes exteiomente Popiedad. Si dos cicunfeencias son tangentes inteio o exteiomente, entonces el punto de tangencia y sus centos están alineados. Haga dibujos y justifique este hecho. Poblema, cicunfeencias tangentes ente sí. Consideemos el dibujo. R ρ

32 3 Una semicicunfeencia de adio R, una cicunfeencia de adio, y una cicunfeencia de adio ρ, son tangentes ente sí según se indica. Veamos uno de los pocesos paa expesa ρ en téminos de R. Usemos la estategia de foma figuas, ve popiedades e i constuyendo ecuaciones en base a ellas. Señalemos los centos con M, N y Q, y los puntos de tangencia con T y V. Tatemos de foma tiángulos tales que sus lados puedan expesase en téminos de R, y ρ. Tacemos los segmentos NQ y MQ. hoa MN =, NQ = + ρ po qué?, MQ = R ρ, po qué? hoa, con el tiángulo MQN no podemos obtene alguna ecuación. N T ρ Q V M Hagamos oto tazo. Tacemos una pependicula a MN desde Q. Denotemos con U el extemo de esta pependicula sobe MN. hoa UM = ρ po qué?, NU = ρ, po qué? R N U T ρ Q V M R Hemos fomado dos tiángulos ectángulos. Veamos que popiedad tienen. Compaten un mismo cateto, el vetical. Sus hipotenusas y sus otos catetos, los veticales, están expesados en téminos de R, y. Qué ecuación podemos constui? Usemos el teoema de Pitágoas en cada uno de los tiángulos,

33 33 N ρ U ρ M x R + ρ R ρ Q ( + ρ) ( ρ) = x ( R ρ) ρ = x Igualando y despejando ρ nos queda, R ρ = 4 + R hoa debemos expesa en téminos de R. Obsevando el dibujo oiginal tenemos que = R. Po tanto, al sustitui obtenemos la espuesta al poblema, ρ = R 4 Obsevación. quí hemos igualado dos expesiones que epesentan el cuadado de una distancia. Esta es una de las estategias de uso fecuente (ya la hemos usado en otos poblemas): Enconta (si se puede) dos expesiones difeentes y adecuadas que epesentan a una misma magnitud e igualalas con popósitos de esolve el poblema o avanza en la pate algebaica de la solución. Puede plantease una igualdad de áeas, una igualdad de volúmenes, etc. Poblemas popuestos 1. Dibuje a mano alzada, vaias cicunfeencias de difeentes adios, tace tangentes a ellas y el adio pependicula a dicha tangente.. Dibuje a mano alzada, vaias cicunfeencias de difeentes adios, tace adios y segmentos tangentes pependiculaes a ellas de modo que tengan su extemo como punto común. 3. Dos cicunfeencias, ambas de adio.5 pulgadas son tangentes exteiomente. Cuál es la distancia ente sus centos?, po qué se puede esolve simplemente sumando distancias? 4. Una cicunfeencia de adio 5 pies es tangente inteiomente con una cicunfeencia de adio 11.3 pies. Cuál es la distancia ente sus centos?

34 34 5. Una cicunfeencia de adio 10.4 m es tangente exteiomente a ota de adio 0. m, Cuál es la distancia ente sus centos? 6. a) poxime la altua h. h 4 b) Los lados del cuadado miden 10. Las cicunfeencias tienen sus centos en los lados de cuadado y pasan po los vétices indicados. Expese la distancia ente los centos de las cicunfeencias en téminos del adio x. x 7. Expese el peímeto de la cicunfeencia y el áea del cículo en téminos de h y k. h k

35 35 8. Los segmentos son tangentes a las cicunfeencias. Expese la distancia ente los centos de las cicunfeencias en téminos de sus adios. R 9. En un tiángulo de áea y peímeto P se inscibe una cicunfeencia. Expese el adio de dicha cicunfeencia en téminos de y P. 10. Un tiángulo equiláteo está cicunscito a una cicunfeencia de adio 1. Calcule el áea de la egión dento del tiángulo y fuea de la cicunfeencia. Use la popiedad de cicunfeencia cicunscita a un tiángulo equiláteo. 11. Un tiángulo equiláteo está inscito a una cicunfeencia de adio 1. Calcule el áea de la egión dento de la cicunfeencia y fuea del tiángulo.

36 36 1. En la siguiente figua todos los tiángulos son equiláteos. Las cicunfeencias están cicunscitas. El tiángulo mayo tiene áea. Expese el áea de la egión sombeada en téminos de. 13. Una cadena de tansmisión de toque une dos uedas dentadas de adio R y. Si la distancia ente sus centos es de D > R +, y se encuentan sobe la hoizontal, expese su longitud en téminos de sus adios, la distancia D y del ángulo α. (Use longitud de aco y teoema de Pitágoas) R α 14. Considee el dibujo siguiente. Las dos cicunfeencias Ca y C b tienen el mismo adio y son tangentes en el punto O, el segmento B es tangente a ambas. El segmento UV pasa po los centos de C y C. Imaginemos la fomación del conjunto infinito de a b cicunfeencias tangentes según el enunciado siguiente. La cicunfeencia C 1 es tangente a Ca, C b y B. La cicunfeencia C es tangente a Ca, Cb y C 1. La cicunfeencia C 3 es tangente a Ca, Cb y C. Y así sucesivamente.

37 37 B C a C 1 C a C U O V Mueste que la suma, K + 1() (3) 3(4) n( n + 1) tiende a 1 si n tiende a infinito. 15. El adio de la cicunfeencia inteio es. Halle el áea de la egión ente las tes cicunfeencias exteioes y la inteio. 16. El adio de una cicunfeencia cece a pati de 5 milímetos con apidez constante de 3 milímetos/segundo. Con qué apidez cecen los lados del tiángulo equiláteo cicunscito?, cuál es la longitud inicial de los lados del tiángulo? 17.. La figua decece de tamaño al tascui el tiempo manteniendo las mismas elaciones epesentadas s en el dibujo. Sabe que R decece a pati de 0 cm a una velocidad de 4 cm/s Con qué apidez decece ρ?, a los cuántos segundos el dibujo se tansfoma en un punto? Use elaciones establecidas en el segundo poblema esuelto de esta sección.

38 38 R ρ Segmentos tangentes En el siguiente dibujo las ectas L y M son tangentes a la cicunfeencia en los puntos B y C, y se intesecan en el punto. Se puede visualiza que los segmentos B y C tienen igual longitud. L B O C M La deducción de este hecho la dejamos al lecto. Sugeencia constuya dos tiángulos ectángulos iguales. Poblemas popuestos. 1. En la figua, si todos los segmentos son tangente a la cicunfeencia calcule las longitudes desconocidas.

39 z y 3 x. Expese el áea del cículo inscito en el tiángulo ectángulo en téminos de x y y. x 3. Calcule el peímeto del tiángulo ectángulo cicunscito al cicunfeencia de adio 1. y Usando egla y compás o el CBRI, dibuje un tiángulo cualquiea y taces sus bisectices y ubique su incento. Use este punto como cento e insciba una cicunfeencia. Con este poceso veifique que el incento del tiángulo es el incento de la cicunfeencia inscita. 5. El tiángulo siguiente es isósceles con base 0. Detemine la distancia ente lo puntos de tangencia y B. Visualice el poblema ealizando la Simulación Distancia B.

40 40 B En la siguiente figua los catetos del tiángulo ectángulo cecen a pati de ceo con una apidez de 4 y3 cm/s. (a) Detemine la apidez con que cece el adio de la cicunfeencia inscita, y (b) expese el áea del cículo en función del tiempo. 7. Considee un tiángulo ectángulo de hipotenusa hoizontal cicunscito a una cicunfeencia de adio 1. Manteniendolo cicunscito, haga cece o decece uno de sus catetos. (a) Vaía su áea?, vaía su peímeto?; (b) su áea toma a un valo mínimo?, su peímeto toma un valo mínimo?; (c) cualitativamente, tace las gáficas del áea y peímeto en función de uno de sus catetos, (d) expese el áea y peímeto en función de uno de sus catetos, (e) apoxime las dimensiones del tiángulo cuando su áea es la meno posible, (f) apoxime las dimensiones del tiángulo cuando su peímeto es el meno de todos Ángulos inscitos de 90º Consideemos los ángulo inscitos especiales que abacan un semicicunfeencia (imagine otos más)

41 41 S T Se dice que todos estos ángulos subtienden la semicicunfeencia TMS (o diámeto TS ) Cuánto mide cada uno de estos ángulos inscitos?, todos tienen la misma medida? Respondamos a estas peguntas. Selecciones uno cualquiea de estos ángulos. Nuesto poblema es detemina la medida de α. M α S T Tacemos el adio OQ. El ángulo α queda dividido en dos ángulos Q M β y γ. γ β S T O hoa nuesto poblema lo hemos tansfomado en detemina β y γ. Cuántos tiángulos vemos? Hay dos pequeños. Vemos que cada uno ellos es isósceles, po qué?, cuáles son los lados iguales?, cuáles son sus ángulos iguales? Recodando el hecho de que en un tiángulo isósceles a lados iguales se oponen ángulos iguales. M