Aplicaciones de la integral

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1 CAPÍTULO Aplicaciones de la integal. Volumen de sólidos Las ideas que dieon oigen a la integal en el cálculo de áeas ace una patición de un intevalo, obtene apoimación del áea, efina la patición, toma límites, ente otos) pueden aoa aplicase paa calcula el volumen de un sólido, teniendo en cuenta cietas suposiciones geneales. Imaginemos un sólido B en el espacio cuo volumen V.B/ deseamos calcula. Este volumen es una medida de la etensión del sólido, al igual que el áea satisface las popiedades:. V.B/.. V.B B / V.B / C V.B /, siempe que B B Ø. Un cilindo es un sólido que tiene una caa plana que llamaemos base altua constante. canek.azc.uam.m: / 5/ 5/

2 Cálculo integal La base tiene eactamente la misma foma que la tapa supeio. El sólido que usualmente llamamos cilindo es en ealidad un cilindo cicula ecto. El cilindo como lo acabamos de defini puede tene base de cualquie foma R, en paticula cuando R es un polígono el coespondiente cilindo es un pisma: Una vez aclaado lo que entendemos po cilindo, enunciamos la popiedad de nomalización del volumen:. Si B es un cilindo cua base es la figua plana R con altua, entonces su volumen es V.B/ A.R/ ; es deci, es el poducto del áea de su base po su altua. Obsevación. La popiedad anteio concueda con las ideas peviamente adquiidas en geometía, po ejemplo, si el cilindo es un pisma, su volumen se calcula eactamente como el áea de la base po la altua. Paa calcula el volumen de sólidos que no necesaiamente sean cilindos utilizamos un azonamiento paecido al que aplicamos paa el cálculo de áeas, basado en ectángulos; sólo que aoa calculaemos basándonos en el volumen de cilindos, esto es: Supongamos que paa el sólido B cuo volumen queemos calcula a una línea ecta ` de tal foma que podemos ace cotes del sólido B con planos pependiculaes a `, como sucede en las máquinas que se usan paa ebana alimentos.

3 . Volumen de sólidos Paa que nuesto agumento avance, tenemos que supone algo más: que la línea ` está gaduada o tiene escala, de manea que podemos ace un cote pependicula a ` a cualquie distancia dento de cieto ango Œa; b. Suponemos también que ese cote a la distancia es una caa plana, digamos R./, cua áea debe se posible calcula; denotemos dica áea po A./ áea de R./: Con los anteioes supuestos, podemos calcula el volumen de un sólido B po medio de los pasos siguientes: F Tomamos una patición del intevalo Œa; b, esto es, a < < < < n b. F Paa cada subintevalo de la patición Œ i ; i tomamos un punto i Œ i ; i. F Hacemos un cote pependicula a la línea ` que pase po el punto i. Este cote nos detemina una egión plana del sólido cua áea A.i / se calcula. i ` F Se constue un cilindo ecto cua áea de la base es A. i / la altua es i i i. i ` F Obtenemos así, una apoimación al volumen del sólido mediante la fómula n n Vol.B/ A.i /. i i / A.i / i; i i ` F La apoimación seá mejo a medida que tomamos paticiones más finas, con n tendiendo a con i tendiendo a ceo. El método así esbozado poduciá, en el límite, el volumen del sólido: Vol.B/ b a A./ d: Ejemplo.. Calcula el volumen de una piámide de base cuadada con lado a & altua.

4 Cálculo integal H Pongamos en el eje la línea que une los centos de los cuadados que foman las secciones tansvesales de la piámide, como se muesta en la siguiente figua:.; a / a `./ a `./ e esta foma el vétice de las caas tiangulaes de la piámide coincide con el oigen, los cotes con planos pependiculaes al eje son todos cuadados; a un cuadado paa cada desde asta. El lado de esos cuadados cece linealmente, desde cuando asta a cuando ; po tanto, el lado `./ del cuadado en el cote po es `./ a, paa. El áea coespondiente a dico cuadado seá entonces: a ) A./ Œ`./ a : e acuedo con la discusión pevia, el volumen de la piámide es a V A./ d d a ) a a ;

5 . Volumen de sólidos 5 es deci, el volumen de una piámide es del poducto del áea de la base po la altua. Vale la pena comenta que esta fómula a ea conocida po cultuas antiguas, como la egipcia. Genealizando el ejemplo anteio, si R es una egión plana acotada, llamamos cono sobe R de altua al sólido que esulta de uni todos los puntos de la egión con un punto P del espacio, situado a una distancia del plano que contiene a la egión. Po supuesto, el cono cicula ecto que es a lo que comúnmente llamamos cono) es un caso paticula de lo que acabamos de defini. Ejemplo.. emosta que el volumen de cualquie cono sobe una egión R de altua es: Vol áea.r/ H Es necesaio ace la siguiente obsevación: si se inteseca el cono sobe la egión R de altua con un plano pependicula a la base que pase po el vétice P el esultado seá siempe un tiángulo de altua con vétice P veáse figua):

6 Cálculo integal Plano vetical que pasa po P. P R La egión R está en un plano oizontal. Po oto lado, las intesecciones del sólido que estamos consideando con planos paalelos al plano que contiene a la egión R son todas semejantes a la egión R: P R./ R./ R Es deci, el cote a la altua, con, es una egión R./ semejante a la base R./, mientas que R./ degenea en el punto P. Aoa bien, cómo cambia el áea A./ de la egión R./? Llamamos cueda a cualquie segmento de ecta que une dos puntos de la fontea de R. Supongamos que una cueda tiene longitud `. `./ ` Queemos calcula la longitud de la cueda asociada, `./, a la altua. e la figua anteio, po semejanza de tiángulos: Po lo tanto: `./ ` ) `./ ` ) : Cualquie cueda ` en la base disminue con la altua a azón de `./ ` Las secciones oizontales del cono R./ son semejantes a la base R./. ).

7 . Volumen de sólidos Una última obsevación: si las dimensiones lineales disminuen como áea de R./ debe disminui como su cuadado, es deci: A./ A.R/ ) ; puesto que las áeas vaían como el cuadado de las dimensiones lineales. Como constatamos, el volumen del cono sobe R de altua es V A.R/ ) d A.R/ u ) du d ) d du: A.R/ u. du/ A.R/ u du A.R/ u A.R/ : ) d ) a la altua, entonces el Esto es lo que se deseaba poba. Ejemplo.. Un sólido tiene como base un cículo de adio, todas las intesecciones del sólido con planos veticales paalelos a una diección fija son ectángulos con altua igual a la mitad de lo que mide su base. etemina su volumen. H Tal vez lo más difícil en estos poblemas es imaginase el sólido cuo volumen calculaemos a pati de una descipción vebal, como el enunciado de este ejemplo. Paa fija ideas, supongamos que la base del mismo está en el plano, como un ciculo de adio cento en el oigen. C e eco, visto desde aiba, este cículo es todo lo que veíamos del sólido. Supongamos que las intesecciones del sólido con planos veticales paalelos al eje son los ectángulos que dice el enunciado. Entonces la línea macada en la figua anteio seía la base de uno de esos ectángulos; obseve que esa línea tiene una longitud `./ p. Po oto lado, si vemos el sólido de pefil desde el eje o desde el eje, veíamos algo así: Vista desde el eje. Vista desde el eje.

8 8 Cálculo integal Un bosquejo del sólido es Una vez que visualizamos el sólido, paa el cálculo de su volumen podemos elegi el eje paa intega la función del áea A./, donde. Como obsevamos antes, la base del ectángulo que esulta al inteseca el sólido con el plano vetical paalelo al eje que pasa po el punto es `./ p I su altua es la mitad de `./; po lo tanto, tenemos: A./. p /. p /. /; donde el volumen es V A./ d ) 8 :. / d. / d ) Obseve que en la igualdad se izo uso de la paidad del integando paa educi la integal de doble de la integal de a. a al Ejemplo.. Un sólido tiene base en el secto de paábola compendido ente la ecta, las intesecciones con planos pependiculaes a la base paalelos al eje son cuadados. etemina su volumen. H La base del sólido es -,),) p p donde la egión se epesenta como: R {.; / & }

9 . Volumen de sólidos 9 o bien R {.; / & p p } : Las dos fomas de descibi la base R del sólido son igualmente válidas, sin embago, la segunda es más adecuada al popósito de calcula el volumen del sólido. La línea macada a la altua seá la base del cuadado que esulta de cota al sólido con un plano vetical paalelo al eje, como se muesta: Si escogemos como eje paa calcula el volumen el eje, vemos que el lado del cuadado en la base mide `./ p, po lo que su áea es A./. p / : El cálculo del volumen es V A./ d d u : Ejecicios.. Volúmenes. Soluciones en la página 5. Un sólido tiene como base un cículo de adio 5 en el plano. Calcula, en cada caso, el volumen del sólido si todas sus intesecciones con planos veticales, paalelos a una diección fija son a. Cuadados. b. Tiángulos equiláteos con base en el plano.) c. Rectángulos de altua.. La egión R del plano ente las cuvas & es la base de un sólido. Calcula, en cada caso, el volumen del sólido si todas las intesecciones con planos paalelos al eje son a. Cuadados. b. Rectángulos de altua. c. Rectángulos con peímeto.. La egión R del plano ente las cuvas & p es la base de un sólido. Calcula, en cada caso, el volumen del sólido si todas las intesecciones con planos paalelos al eje son

10 Cálculo integal a. Cuadados. b. Hipotenusas de tiángulos ectángulos isósceles. c. iámetos de cículos.. La egión R del plano ente la cuva cos & el eje ente & es la base de un sólido. Calcula, en cada caso, el volumen del sólido si todas las intesecciones con planos pependiculaes al eje son a. Cuadados. b. Rectángulos de peímeto. c. iámetos de semicículos... Volúmenes de sólidos de evolución Un caso especial de volumen de un sólido es el de los sólidos de evolución. Estos sólidos se obtienen al ace gia una egión plana alededo de un eje ecta) que está en el mismo plano que la egión, sin atavesala: R ` Õ Ejemplos de este tipo de sólidos en la vida cotidiana: vasos, copas, botellas, ente otos, al igual que mucas piezas mecánicas, tienen foma de sólidos de evolución. Los conos cilindos ciculaes ectos, las esfeas, elipsoides mucos sólidos más son de este tipo. Po ejemplo, un too se genea al gia un cículo alededo de una ecta El esultado es esta figua que ecueda la foma de una dona o osquilla. Aoa bien, cómo se calcula el volumen de un sólido de evolución? Empezaemos po un caso sencillo. Consideemos una función f./ definida continua en un intevalo Œa; b el sólido geneado al gia la egión bajo la gáfica de f./, sobe el eje ente las ectas a b alededo del eje :

11 . Volumen de sólidos f./ f./ Õ a b En este caso conviene toma como eje paa el cálculo del volumen al popio eje que es el eje de evolución) no olvida que cualquie sección tansvesal obtenida al inteseca al sólido con un plano pependicula al eje po un punto ente a, b es un cículo. El áea de ese cículo es A./ Œadio en ; peo se puede ve po la figua anteio, que el adio en es f./, po lo que Así que el volumen del sólido de evolución es Volumen A./ Œf./ : b a A./ d b a Œf./ d:.) Ejemplo..5 Calcula el volumen de una esfea de adio. H Podemos considea la esfea como el sólido de evolución geneado al gia el semicículo de adio con cento en el oigen alededo del eje : C, ) ) f./ p Õ Como f./ p, entonces [p ] A./ Œf./. /I

12 Cálculo integal el volumen es V./. / d. / d ) ) u : Este esultado se conoce desde tiempos antiguos. Ejemplo.. Calcula el volumen de un cilindo de un cono, ambos ciculaes ectos, con adio en la base altua, consideados como sólidos de evolución. H Tanto el cilindo como el cono se genean como sólidos de evolución al gia un ectángulo un tiángulo, espectivamente, alededo del eje como se muesta en la figua: f./.; / g./.; / Utilizamos la fómula.) de la pág. paa el cálculo del volumen de evolución con f./ paa el cilindo así como g./ paa el cono puesto que es la ecuación de la ecta que pasa po los puntos.; /.; /, con lo que se obtiene lo siguiente. Paa el cilindo: Volumen Œf./ d d u : Paa el cono: Esto es: Volumen Œg./ d ) d. El volumen del cilindo es el áea de su base ) po la altua.. El volumen del cono es del volumen del cilindo. u : Como vimos en el ejemplo..). Ejemplo.. Calcula el volumen del sólido de evolución obtenido al gia la egión compendida ente la cuva, el eje la ecta vetical p alededo de:. El eje.. El eje.

13 . Volumen de sólidos H La egión que gia, tiene dos lados ectos el eje la ecta p ) un tece lado cuvo, la paábola. p. Eje de gio o otación: el eje. Õ p Aplicando la fómula.:/ de la pág. paa volúmenes de evolución usando f./ : Volumen p Œf./ d p. / d p d 5 5 p.p / 5 5 p : 5. Eje de gio o otación: el eje.. p ; /. p ; / Õ El sólido que se obtiene es un cilindo al que se le a emovido un volumen con foma de paaboloide de evolución.

14 Cálculo integal Podemos calcula el volumen, encontando pimeo el volumen del cilindo sólido estándole el volumen del paaboloide que se le a emovido. El cilindo tiene adio en la base p altua, po lo que su volumen es V cil. p /./ u : Paa el volumen del paaboloide emovido a que intega sobe el eje desde asta el adio a la altua está dado la abscisa del punto en la paábola con altua : p p Õ Esto significa que si escibimos en función de tendemos g./ p. Po lo tanto, la integal que da el volumen del paaboloide es Vol p El volumen buscado es Œg./ d. p / d d Volumen V cil Vol p u :.. Volúmenes de sólidos de evolución. Método de las Aandelas ) : En los ejemplos consideados asta el momento, el eje de evolución a sido una pate de la fontea de la egión R que se gia alededo del eje figua A), peo que sucedeá si dico eje está sepaado de la egión R al gia? figua B) Cómo calcula el volumen esultante? R Õ Eje de evoluci on R ` Õ Eje de evoluci on ` Figua A Figua B Si otamos la egión R alededo de la ecta `, al menos ı, el esultado es un sólido de evolución con un ueco o pefoación. Paa esolve este poblema, es peciso: Calcula el volumen del sólido eteio. Esto es, el volumen que se foma al ota la egión R.

15 . Volumen de sólidos 5 Calcula el volumen del sólido inteio. Es deci, el volumen del ueco, consideado como un sólido que se emueve del sólido eteio. Entonces, al gia la egión R alededo del eje `: Volumen del sólido geneado po R volumen eteio volumen inteio: Paa dale una foma más concisa a la igualdad anteio, suponemos que la ecta ` es el eje además que la egión R se puede descibi como sigue: R consta de los puntos.; /; con a b; con g./ f./i R {.; / R a b & g./ f./ } : Po lo tanto, la egión R se encuenta definida como la poción del plano ente las gáficas de dos funciones, f./ la función que define la egión eteio así como g./ la función que define la egión inteio con especto al eje de evolución `. Õ Eje de evoluci on a R f./ g./ b ` eje Figua C Entonces, continuando con el azonamiento, el volumen V del sólido geneado po R al gia alededo del eje, es V b Œf./ d b Œg./ d b a a a Œf./ g./ d: Una manea altenativa de obtene esta fómula es considea el mismo sólido de la figua C, teniendo secciones tansvesales pependiculaes al eje de otación cua foma es la de un disco pefoado o aandela, es deci, la egión compendida ente dos cículos concénticos cuos adios son e adio eteio i adio inteio: e i El áea de dica figua es e i. e i /: Paa cada en el intevalo Œa; b, la aandela obtenida al ace el cote tansvesal po tiene adios e f./ & i g./, de modo que su áea seá: A./ Œ.f.//.g.// :

16 Cálculo integal El volumen de evolución se obtendá de la siguiente manea: V b A./ d b a a Veamos algunos ejemplos de aplicación de este método. Œ.f.//.g.// d: Ejemplo..8 etemina el volumen del sólido de evolución geneado al ota alededo del eje, la egión R compendida ente f./ & g./ p desde asta. f./ g./ Õ H El intevalo de integación paa obtene el volumen es Œ; las funciones paa calcula los adios eteio e inteio del cote tansvesal en son f./ & g./ p, espectivamente; así que el volumen se calcula: V b a Œ.f.//. /.g.// d Œ. / u :. p / d Œ d Ejemplo..9 etemina el volumen de una esfea de adio R a la que se pactica una pefoación cilíndica, de adio < R, a lo lago del diámeto. p R Õ

17 . Volumen de sólidos H Podemos imagina a la esfea con la pefoación indicada, como el sólido geneado al gia la egión sombeada en la figua alededo del eje. Es clao, paa cualquie sección tansvesal, que el adio eteio es f./ p R que el adio inteio es g./, que debe cumpli < R. Hace falta calcula los límites de integación. Paa ello baste nota que el semicículo p R la ecta oizontal se intesecan cuando: p R ) R ) pr : Así tenemos que los límites de integación son p R & p R ; el volumen buscado es: V p R p R [. p R / ] d p R p R [.R / d.r ] / [.R / p. p ] R R /.R /.R / : [. p R / ] d p R.R / Ejemplo.. Sea R la egión del plano limitada po la ecta la paábola. Utilice el método de Aandelas paa calcula el volumen del sólido obtenido al ota R alededo de H Calculamos las intesecciones enta la ecta `./ & la paábola p./. `./ p./ ) ) ). / ) & : Los puntos de intesección en el plano son P.; / P.; /: Pintamos la egión R en el plano:,).; ). Eje de otación. Paa calcula el áea de la aandela se equiee medi la longitud de los adios desde el eje de otación asta las gáficas de las funciones que definen la egión: a. El adio eteio e `./ `./.

18 8 Cálculo integal b. El adio inteio i p./ p./.,) e Õ.; / i Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R [. e /. i / ] d ) d [./ C ) 5 5. / ] d 5 :. Eje de otación. Paa pode aplica el método de las aandelas se equiee medi la longitud de los adios eteio e inteio de la fontea de la egión que ota alededo del eje. Estos adios son pependiculaes al eje de otación. En nuesto caso, el eje de otación es el eje. Po lo tanto las funciones que definen la egión deben de tene vaiable independiente, es deci, de la foma g./. Aoa es fácil despeja la vaiable de las ecuaciones obtene eplícitamente las funciones invesas. Veamos: `./ ) i`./i p./ ) p ip./: La función i`./ es la invesa de la función `./ es deci i`œ`./ & `Œi`./, como se puede compoba aciendo la composicion de funciones. Lo mismo sucede con la ota función p./ su invesa ip./. R se encuenta ente las gáficas de i `./ & ip./ en el intevalo Œ; e,) i.; / Õ Paa calcula aoa el áea de la aandela se equiee medi los adios del eje de otación a las gáficas de las funciones que definen la egión: a. El adio eteio e ip./ p.

19 . Volumen de sólidos 9 b. El adio inteio i i`./. Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: [. p ) ] /. Eje de otación 5. V R [. e /. i / ] d ) d ) 8 : d Paa calcula el áea de la aandela se equiee medi la longitud de los adios desde el eje de otación 5 asta las gáficas de las funciones que definen la egión: a. El adio inteio i 5 p./ 5. b. El adio eteio e 5 `./ 5. 5 Õ i.; / e.; / Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R [. e /. i / ) d C ) d [.5 /.5 / ] d C ) :. Eje de otación..; / i.; / e Õ Paa calcula aoa el áea de la aandela se equiee medi la longitud de los adios desde el eje de otación asta las gáficas de las funciones que definen la egión:

20 Cálculo integal a. El adio inteio i ip./ b. El adio eteio e i`./ p.. Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R 5. Eje de otación. [. e /. i / ) [ ) ] d p. / d p C ) d C ) : Paa calcula el áea de la aandela se equiee medi la longitud de los adios desde el eje de otación asta las gáficas de las funciones que definen la egión: a. El adio inteio i p./. / C. b. El adio eteio e `./. / `./ C C..; / e.; / Õ i Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R [. e / C. i / ] d ) d [. C /. C / ] d C ) :. Eje de otación..; / e i Õ.; /

21 . Volumen de sólidos Paa calcula aoa el áea de la aandela se equiee medi la longitud de los adios desde el eje de otación asta las gáficas de las funciones que definen la egión: a. El adio eteio e ip./. / p C. b. El adio inteio i i`./. / C. Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R [. e /. i / ) [ ) ] p ) d C C d p ) d ) : Ejemplo.. El sólido de evolución geneado al gia un cículo de adio alededo de una ecta en su mismo plano situada a una distancia R del cento del cículo se llama too. etemina el volumen de dico sólido. H Paa fija notación e ideas, podemos supone que el cículo de adio tiene su cento en el eje, que se gia alededo del eje. R Õ Po lo tanto el cento estaá en.; R/ la ecuación del cículo seá de donde. / C. R/ ;. R/ ) R p : Se toma el signo positivo paa descibi el semicículo supeio el negativo paa el infeio. En la figua se descibe cómo se veía un cote tansvesal del sólido al nivel, paa ente &. Es clao que el adio eteio de la aandela que esulta es f./ R C p el adio inteio es g./ R p, de modo que el volumen buscado es V [.f.//.g.// ] [ d.r C p /.R p / ] d R p d:

22 Cálculo integal Paa esolve esta integal, utilizamos sustitución tigonomética: sen ) d cos & sen sen ) cos ; tomando en cuenta que el intevalo de integación es, con el cambio de vaiable se conviete en, en donde el cos es no negativo, tenemos: V R p 8R Po lo tanto el volumen del too es d 8R. C cos /d R p cos cos d 8R C V R: cos d ) sen d R ) R: Ejemplo.. Sea R la egión del plano limitada po las ectas, C 9 & C. Usando el método de Aandelas, calcula el volumen del sólido obtenido al ota R alededo de los siguientes ejes: H Calculamos las intesecciones de las ectas `./, `./ C 9, `./ C. `./ `./ ) C 9 ) 9 ) ) `./ : `./ `./ ) C ) 5 ) 5 ) `./ : `./ `./ ) C 9 C ) ) ) `./ : Los puntos de intesección en el plano son P ; ) ; P ) ) 5 ; ; P ; ibujamos la egión R en el plano: ` 5 `./ ; `./ C 9; `./ C. ` R `

23 . Volumen de sólidos. Eje de otación. La egión R se divide en dos subegiones R & R. Veáse la siguiente figua. [ a. R se encuenta ente las gáficas de las ectas `./ `./ en el intevalo ; [ b. R se encuenta ente las gáficas de las ectas `/ `./ en el intevalo ; 5 ]. ]. Õ 5 ` R ` R ` El áea de las aandelas, paa cada egión, se calcula usando las distancias ente el eje de otación las gáficas de las funciones que definen las egiones: a. El adio eteio e `./ `./. C /, en ambas egiones. b. El adio inteio i `./ `./. C 9/ 9, en la egión R. c. El adio inteio i `./ `./. / C, en la egión R. Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R [. e /. i / ] d [. /. 9/ ] d C C ) d C 5 C ) El volumen del sólido de evolución de la egión R es: V R 5 5 [. e /. i / ] d El volumen del sólido de evolución solicitado es 5 : [. /. C / ] d 5 C C ) d 5 C C ) 5 Vol.R/ Vol.R / C Vol.R / C 5 : 5 :

24 Cálculo integal. Eje de otación. Paa pode aplica el método de las Aandelas se equiee medi los adios eteio e inteio de las fonteas de la egión que ota alededo del eje. Estos adios son pependiculaes al eje de otación. En nuesto caso, el eje de otación es el eje. Po lo tanto las funciones que definen la egión deben de tene vaiable independiente, es deci, de la foma g./. En este caso es fácil despeja la vaiable de las ecuaciones de las ectas obtene eplícitamente las funciones invesas. Veamos: `./ ). C / i`./i `./ C 9 ). `./ C ). 9/ i`./i / i`./: Las función i`./ es la invesa de la función `./, es deci, i`œ`./ & `Œi`./, como se puede compoba aciendo la composicion de funciones. Lo mismo sucede con las otas dos funciones sus funciones invesas coespondientes. La egión R se divide en dos subegiones R & R. [ ] a. R se encuenta ente las gáficas de las ectas i`./ e i`./ en el intevalo ;. [ ] b. R se encuenta ente las gáficas de las ectas i`./ e i`./ en el intevalo ;. i` R R i` i` Õ El áea de las aandelas se calcula usando las distancias ente el eje de otación las gáficas de las funciones que definen las egiones: a. El adio eteio e i`./ i`./. 9/ en ambas egiones. b. El adio inteio i i`./ i`./. / en la egión R. c. El adio inteio i i`./ i`./ [. C /]. C / en la egión R. Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R [. e /. i / ] [ [ ] ] d. 9/. / d C 9 C ) d 8 8 C C ) :

25 . Volumen de sólidos 5 El volumen del sólido de evolución de la egión R es V R [. e /. i / ] d [ [ ] [ ] ]. 9/. C / d ) 9 C C 5 d C C 5 ) El volumen del sólido de evolución solicitado es. Eje de otación. Vol.R/ Vol.R / C Vol.R / C 5 9 : 5 9 : El azonamiento es semejante al del inciso., pág.. Lo que cambia es el eje de otación el cálculo de los adios. Õ ` 5 R ` R ` El áea de las aandelas se calcula usando las distancias ente el eje de otación las gáficas de las funciones que definen las egiones: a. El adio eteio e `./. C / en ambas egiones. b. El adio inteio i `./. C 9/ 8 en la egión R. c. El adio inteio i `./. / C en la egión R. Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R Œ e Œ i ) d Œ Œ 8 ) d ) d C 5 C ) El volumen del sólido de evolución de la egión R es V R 5 5 Œ e Œ i ) d 5 Œ Œ C ) d 5 8 C ) d 5 C ) 5 : :

26 Cálculo integal El volumen del sólido de evolución solicitado es Vol.R/ Vol.R / C Vol.R / C 8:. Eje de otación. El azonamiento es semejante al del inciso, p.. Lo que cambia es el eje de otación el cálculo de los adios. R i` R i` i` Õ El áea de las aandelas se calcula usando las distancias del eje de otación a las gáficas de las funciones que definen las egiones: a. El adio eteio e i`./ b. El adio inteio i i`./ c. El adio inteio i i`./. 9/ C, en ambas egiones.. / C 5, en la egión R. [ ]. C / C, en la egión R. Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R [. e /. i / ] d [ C ) C 5 ) ] d ) 5 C d 5 C 8 8 El volumen del sólido de evolución de la egión R es V R [. e /. i / ] d ) [ C ) C ) ] d 5 9 C 58 C ) d C 9 C ) El volumen del sólido de evolución solicitado es Vol.R/ Vol.R / C Vol.R / 98 C 5 9 : 98 : 5 9 :

27 . Volumen de sólidos 5. Eje de otación 8. El azonamiento es semejante al del inciso., pág.. Lo que cambia es el eje de otación el cálculo de los adios. ` 5 R ` R ` Õ 8 El áea de las aandelas se calcula usando las distancias del eje de otación las funciones que definen las egiones: 8 a las gáficas de a. El adio inteio i `./. 8/. C / C 8 C, en ambas egiones. b. El adio eteio e `./. 8/. C 9/ C 8 C, en la egión R. c. El adio eteio e `./. 8/. / C 8 C 5, en la egión R. Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R [. e /. i / ] d [. C /. C / ] d 89 C 58 C ) d 89 C 9 C ) El volumen del sólido de evolución de la egión R es V R 5 5 [. e /. i / ] d 5 El volumen del sólido de evolución solicitado es. Eje de otación 5. [. C 5/. C / ] d 5 ) d 5 C 5 C ) 5 Vol.R/ Vol.R / C Vol.R / C 9 5 : : 9 : El azonamiento es semejante al del inciso., pág.. Lo que cambia es el eje de otación el cálculo de los adios.

28 8 Cálculo integal R i` R i` i` Õ El áea de las aandelas se calcula usando las distancias ente el eje de otación de las funciones que definen las egiones: las gáficas a. El adio inteio i i`./. /. 9/ C C 9, en ambas egiones. b. El adio eteio e i`./. /. / C C, en la egión R. c. El adio eteio e i`./. /. C / C C 5, en la egión R. Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R [. e /. i / ] d [ C ) C 9 ) ] d ) 88 C C d C 8 C ) 9 98 : El volumen del sólido de evolución de la egión R es V R [. e /. i / ) d [ C 5 ) C 9 ) ] d ) C 5 d 9 9 C 5 ) El volumen del sólido de evolución solicitado es Vol.R/ Vol.R / C Vol.R / 9 98 C : 5 9 : Ejemplo.. Un vaso tiene la foma de cono tuncado al que se le a etaído un paaboloide de evolución como se muesta en la figua.

29 . Volumen de sólidos 9 Ô Calcula el volumen del mateial necesaio paa fabica el vaso. H El sólido se obtiene al gia alededo del eje, la egión del pime cuadante compendida ente los ejes coodenados, la ecta la paábola C..; / C Ô La egión sombeada genea el volumen del vaso. Una ápida inspección da como esultado que la ecta la paábola C se intesecan en el punto.; /: C ) C ). /./ p 5 Tomamos el pime valo de ; paa dico valo tenemos en ambos casos. Podemos calcula el volumen buscado con el método de las Aandelas, peo como aoa el eje de evolución es el vetical, tendemos que intega con especto a desde asta. También tenemos que toma en cuenta que las secciones tansvesales del sólido difieen a distintas altuas. Si, la sección es un cículo. Si, la sección es una aandela. Los adios coespondientes se obtienen escibiendo las ecuaciones de la ecta paábola paa en función de : Así esulta que ) C ) C paa la ecta, C ) ) paa la paábola. { I :

30 Cálculo integal Si, el adio del cículo es C ; entonces la función del áea de la sección tansvesal es ) A./ C : Si, el adio eteio de la aandela es e. C /, mientas que el adio inteio es i p ; de aquí que el áea de la aandela seá [ ) ] A./.e i / C ) [ ] C 5 : Con estas consideaciones, el volumen deseado es Volumen A./ d. C /. C / d C C [. / C [ C ) C d C. C 5/ d ) C 5 C 5 C 5 C 8 :8: [ C ] C. / C 5 [ ] C 5 d ] )] C 5 Po lo anteio el volumen del mateial necesaio paa fabica el vaso es :8 : u. Ejecicios.. Volúmenes. Soluciones en la página 5. Sea R la egión del plano limitada po la paábola la ecta. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al ota la egión alededo de los siguientes ejes: a.. b.. c.. d.. e. 5. f. 5.. Sea R la egión del plano limitada po la paábola la ecta. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al ota la egión alededo de los siguientes ejes: a.. b.. c.. d.. e.. f... Sea R la egión del plano limitada po el tiángulo con vétices.; /,.; /,.; /. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al ota la egión alededo de los siguientes ejes:

31 . Volumen de sólidos a.. b.. c.. d.. e.. f... Sea R la egión limitada po el eje la gáfica de la función sen con Œ;. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al ota la egión R alededo de los siguientes ejes: a.. b.. 5. Sea R la egión acotada po las gáficas de la funciones sen, C sen, la ecta & la ecta. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al ota la egión R alededo de los siguientes ejes: a.. b.. c... Sea R la egión acotada po las gáficas de la funciones sen, sen donde Œ ;. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al ota la egión R alededo de los siguientes ejes: a.. b... Sea R la egión acotada po la gáfica de la función ln, la ecta, la ecta e el eje. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al ota la egión R de los siguientes ejes: a.. b.. c.. d.. e.. f.. 8. Sea R la egión acotada po la gáfica de la función acsen, ecta volumen del sólido que se obtiene al ota la egión R de los siguientes ejes: el eje. Calcula el a.. b.. c.... Volúmenes de sólidos de evolución. Método de Cascaones Cilíndicos El método que pesentamos aoa pate de un pincipio difeente paa calcula un volumen de evolución. Vamos a considea el sólido como si estuviea fomado po ojas o capas cilíndicas mu delgadas.. Se gafica la cuva se detemina la egión que ota alededo del eje. En este caso, el dominio de esta cuva es Œ; b.

32 Cálculo integal f./ b. El sólido de evolución se obtiene al ota la egión. f./ b. Paa calcula el volumen del sólido es peciso lo siguiente: F Se ace una patición del intevalo Œ; b que define la egión que ota, esto es a < < < : : : < i < i < : : : < n b: F Paa cada subintevalo de la patición, Œ i ; i, tomamos el punto medio i Œ i ; i. Constuimos el ectángulo de altua f. i / base i i i. F Al ota este ectángulo alededo del eje, como se ve en la figua,

33 . Volumen de sólidos f./ i i b obtenemos un cascaón cilindico. F Paa calcula el volumen de este cascaón cilíndico estamos del volumen del cilindo eteio con adio i el volumen del cilindo inteio con adio i [ambos cilindos con altua f. i /. V e V i. i / f. i /. i / f. i / Œ. i/. i / f. i /. i i /. i C i /f.i /. i i /. i C i / f.i / i f. i / i : i i i I i. i C i /. F El volumen del sólido de evolución B se apoima sumando los volúmenes de los cascaones cilíndicos así contuídos: n n V.B/ i f. i / i i f. i / i : ii ii F La apoimación seá mejo a medida que tomamos paticiones más finas, con n tendiendo a a la vez i tendiendo a ceo. El volumen del sólido es Vol.B/ b f./ d: Si usamos un plano que pasa po el eje de evolución, como el de la figua:

34 Cálculo integal Rectángulo de intesección del sólido con el semiplano de cote. Obtenemos un cote del sólido de evolución en donde se ve el cascaón cilíndico de adio & altua. El peímeto de la base del cascaón cilíndico es. B A Peímeto de la base del cascaón. El cascaón cilíndico se obtiene aciendo ota el segmento AB alededo del eje el eje de otación). Esta ecta se encuenta a una distancia del eje de otación adio del cilindo) tiene una longitud altua del cilindo). Tenemos po lo tanto: Áea lateal de cilíndo A./ : Paa este ejemplo Œ; b & f./ es la función que define la egión que ota. Podíamos pensa que cada capa cilíndica tiene un goso d nos daá po esultado que el volumen de evolución es V má mín d b f./ d: Aquí, po supuesto, se debe escibi f./ como función de paa pode ealiza el cálculo. Los límites de integación mín & má son los etemos del dominio de la función que define la egión que ota.

35 . Volumen de sólidos 5 Rotación de una egión ente dos cuvas Región ente dos cuvas que ota alededo de un eje paa obtene un sólido de evolución. mín má Eje ebe tenese clao que veánse figuas): El intevalo Œ mín ; má define a la egión ente las cuvas. P Œ mín ; má. es el adio de cada cascaón cilíndico es la distancia de punto P a la ecta que juega el papel de eje de evolución. mide la longitud del segmento ente las cuvas en el punto P. Este segmento es paalelo al eje de evolución. P Eje Ejemplo.. Se tiene una egión limitada como sigue: aiba po la paábola C, abajo po el eje. Calcula el volumen del sólido geneado al ota la egión alededo del eje. H La egión que se ota es la señalada en la figua está compendida ente la paábola con vétice.; / que abe sus amas acia abajo el eje al cual cota en en. C

36 Cálculo integal Como el eje de gio es el eje entonces, el adio es & la altua es f./ C ; así que el volumen buscado es V d [ [ C C. C ] ] / d [ 8 C 8 u :. C / d 9 ] Ejemplo..5 Calcula el volumen del sólido del ejemplo :: usando cascaones cilíndicos Ô H El sólido se genea al ota, alededo del eje, la egión sombeada, limitada po la paábola C, po el eje, po el eje & po la ecta. Al toma las cascaones cilíndicos, el adio de estos coincide con vaía de a ; las coespondientes altuas se definen en dos casos distintos:. Si, entonces C..; /.; /. Si, entonces el segmento vetical es la difeencia ente la paábola C la ecta, po lo tanto: Ô. C /. / C :

37 . Volumen de sólidos.; / Entonces el volumen es V d [. C / d C [ C C 5 Ô.; / [./ d. C / d C )] C 9 C 5 ) ]. C / d. ) [ C 8 C C C 95 C : u ; esto es, el mismo esultado que obtuvimos antes, con un poco menos de esfuezo. ] C / d 8 C 9 ] Ejemplo.. Sea R la egión del plano limitada po las ectas la paábola C. Utilice el método de Cascaones Cilíndicos paa calcula el volumen del sólido obtenido al ota R alededo de los siguientes ejes: H Calculamos las intesecciones enta la ectas `./ & la paábola p./. `./ p./ ) ) ). / ) & : Los puntos de intesección en el plano son P.; /I P.; /: ibujamos la egión R en el plano:.; /.; /

38 8 Cálculo integal. Eje de otación. Paa calcula el áea lateal de un cascaón cilíndico, se equiee calcula su altua su adio pependicula al eje de otación): a. La altua del cascaón cilíndico es `./ p./. b. El adio del cascaón es..; /.; / Õ Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R d ) Œ`./ 8 : p./ d ) d ) d. Eje de otación. Paa pode medi la altua del cascaón, las funciones que definen a la egión deben tene vaiable independiente, es deci, de la foma g./. En este caso es fácil despeja la vaiable de las ecuaciones de la ecta de la paábola paa obtene eplícitamente las funciones invesas. Veamos: `./ ) i`./i p./ ) p ip./: La función i `./ es la invesa de la función `./, es deci, i `Œ`./ & `Œi `./, como se puede compoba aciendo la composicion de funciones. Lo mismo sucede con la ota función p./ su función invesa ip./. R se encuenta ente las gáficas de las ectas i `./ & ip./ en el intevalo Œ;. Tenemos: a. El adio de un cascaón cilíndico, pependicula al eje de otación es. b. La altua del cascaón cilíndico es ip./ i`./ p..; / Õ.; /

39 . Volumen de sólidos 9 Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R. Eje de otación. d Œip./ ) d a. El adio del cascaón,. b. La altua del cascaón, `./ p./. i`./ d 5 5 ) p ) d 5 :.; /.; / Õ Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R. Eje de otación 5. d. / Œ`./ p./ d 5 C ) d 5 C ). / ) d : a. El adio del cascaón, 5. b. La altua del cascaón, ip./ i`./ p. 5 Õ.; /.; / Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R d 5.5 / Œip./ i `./ d 5 p C ) d.5 / p ) d C ) 5 :

40 Cálculo integal 5. Eje de otación. a. El adio del cascaón,. / C. b. La altua del cascaón, `./ p./..; / Õ Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: ; / V R d C. C / Œ`./ p./ d ) d C ). C / : ) d. Eje de otación. a. El adio del cascaón,. / C. b. La altua del cascaón, ip./ i`./ p..; /.; / Õ Po lo tanto, el volumen del sólido de evolución de la egión R se calcula como sigue: V R d p C. C / Œip./ i`./ d ) d. C / p ) d C ) : Ejemplo.. Calcula el volumen del sólido de evolución geneado al gia un cículo de adio > alededo de un eje situado a una distancia R > de su cento.

41 . Volumen de sólidos H Este sólido es el too del ejemplo..; aoa usando el método de Cascaones Cilíndicos. R C R R Õ En este caso emos tomado el eje como el de evolución. El cículo tiene ecuación: C. R/ :.) Al toma una capa cilíndica, paa un segmento vetical con R R C tenemos que el adio de la capa es el popio, mientas que la altua es lo que mide el segmento de a, donde es el coespondiente valo que cumple.:/, es deci: Po lo tanto el volumen es V RC R. R/ I. R/ I. /. R/ : RC d. R/ d R : R Resolve la integal anteio equiee de técnicas de sustitución tigonomética que se vieon en el capítulo II. Aquí solamente indicamos el valo final acemos incapié en que se obtiene el mismo esultado utilizando este método o el de las Aandelas. Ejemplo..8 Sea R la egión del plano limitada po las ectas, C 9 & C. Utilice el método de Cascaones Cilíndicos paa calcula el volumen del sólido obtenido al ota R alededo de los ejes: H Calculamos las intesecciones de las ectas `./, `./ C 9, `./ C. `./ `./ ) C 9 ) 9 ) ) `./ : `./ `./ ) C ) 5 ) 5 ) `./ : `./ `./ ) C 9 C ) ) ) `./ :

42 Cálculo integal Los puntos de intesección en el plano son ) ) ) P ; 5 ; P ; ; P ; : ibujamos la egión R en el plano: ` 5 `./ ; `./ C 9; `./ C. ` R `. Eje de otación. La egión R se divide en dos subegiones R R. Véase la siguiente figua. [ a. R se encuenta ente las gáficas de las ectas `./ & `./ en el intevalo ; [ b. R se encuenta ente las gáficas de las ectas `/ & `./ en el intevalo ; 5 ]. ]. 5 ` R ` R ` Õ Paa calcula el áea lateal de los cascaones cilíndicos, debemos tene en consideación: a. El eje de un cascaón cilíndico es el eje de otación. En este caso el eje ). b. La altua de un cascaón cilíndico es un segmento, ente las cuvas que definen la egión, paalelo al eje de otación. c. El adio de un cascaón cilíndico es la distancia ente su altua el eje de otación.

43 . Volumen de sólidos Po lo tanto: a. En la egión R, la altua es `./ `./. C 9/. C / C. b. En la egión R, la altua es `./ `./. /. C / 5. c. El adio en los dos casos es. El volumen del sólido geneado po la egión R es V R d. C / d El volumen geneado po la egión R es V R 5 5 d 5.5 C / d El volumen del sólido de evolución solicitado es. /Œ`./ `./ d ) C. /Œ`./ `./ d ) 5 5 C 5: 5 : Vol.R/ Vol.R / C Vol.R / 5 C. /. C / d. /. 5/ d. Eje de otación. Paa calcula el áea de un cascaón cilíndico obsevamos: a. El eje de un cascaón cilíndico es el eje de otación. En este caso el eje ). b. La altua de un cascaón cilíndico es un segmento, ente las gáficas de las funciones que definen la egión; dico segmento es paalelo al eje de otación. Es deci, pependicula al eje. La vaiable independiente de las funciones debe se. `./ ). C / i`./i `./ C 9 ). `./ C ). 9/ i`./i / i`./: c. El adio de un cascaón cilíndico es la distancia ente su altua el eje de otación

44 Cálculo integal Õ R i` R i` i` Po lo tanto: a. En la egión R, la altua es i`./ i`./. /. 9/ 8 C. b. En la egión R, la altua es i`./ i`./. C /. 9/ 9. c. El adio en cada caso es. El volumen del sólido geneado po la egión R es V R d El volumen geneado po la egión R es: V R d. / Œi`./ i`./ d C ) d C ). / Œi`./ i`./ d C ) d ) El volumen de evolución solicitado es 9 :. / 8 C ) d 9 : Vol.R/ Vol.R / C Vol.R / 9 C 9 : ) 9. / d. Eje de otación. El azonamiento es simila al del inciso. pág.. Cambian los adios de los cascaones.

45 . Volumen de sólidos 5 5 ` R ` R ` Õ a. En la egión R, la altua es `./ `./. C 9/. C / C. b. En la egión R, la altua es `./ `./. /. C / 5. c. El adio en cada caso es. El volumen del sólido geneado po la egión R es V R d ) d. / Œ`./ `./ d ). : /. C / d El volumen geneado po la egión R es V R 5 5 d 5. / Œ`./ `./ d ) C d 5 C. /. 5/ d ) 5 9 : El volumen del sólido de evolución solicitado es Vol.R/ Vol.R / C Vol.R / C 9 :. Eje de otación.

46 Cálculo integal Õ R i` R i` i` a. En la egión R, la altua es i`./ i`./. /. 9/ 8 C. b. En la egión R, la altua es i`./ i`./. C / 9. 9/. c. El adio en cada caso es. El volumen del sólido geneado po la egión R es V R d. / Œi`./ i`./ d C 9 C ) d El volumen geneado po la egión R es V R d. / Œi`./ i`./ d C ) d C ) El volumen del sólido de evolución solicitado es C 9 C 9 :. / 8 C ) d ) Vol.R/ Vol.R / C Vol.R / C 9 8: : ) 9. / d 5. Eje de otación. El azonamiento es simila al del inciso. pág.. Cambian los adios de los cascaones.

47 . Volumen de sólidos 5 ` R ` R ` Õ a. En la egión R, la altua es `./ `./. C 9/. C / C. b. En la egión R, la altua es `./ `./. /. C / 5. c. El adio en cada caso es. / C. El volumen del sólido geneado po la egión R es V R d. C / Œ`./ 8 C 9 C ) d `./ d 8 C 9 C ). C /. C / d : El volumen geneado po la egión R es V R 5 d 5 5. C / Œ`./ C 9 C ) d `./ d 5 C 9 C ) 5. C /. : 5/ d El volumen de evolución solicitado es Vol.R/ Vol.R / C Vol.R / C 5 :. Eje de otación 8.

48 8 Cálculo integal R i` R i` i` 8 Õ a. En la egión R, la altua es i`./ i`./. /. 9/ 8 C. b. En la egión R, la altua es i`./ i`./. C / 9. 9/. c. El adio en cada caso es. 8/ C 8. El volumen del sólido geneado po la egión R es V R d. C 8/ Œi`./ i`./ d C C ) d C C ) El volumen geneado po la egión R es V R d. C 8/ Œi`./ i`./ d 8 C 5 C ) d [8 C 5 C El volumen de evolución solicitado es ]. C 8/ 8 C ) d 8: ) 9. C 8/ d 9 : Vol.R/ Vol.R / C Vol.R / 8 C 9 5 : Ejemplo..9 Un tanque paa almacena gas tiene la foma de un cilindo cicula ecto de adio a, altua b, con una semiesfea del mismo adio en cada etemo. Calcula su volumen.

49 . Volumen de sólidos 9 p p a a b Ô a a a H Podemos supone que el eje es el eje de otación del tanque. Una capa cilíndica a distancia del eje de otación se muesta en la figua. vaía desde asta a La altua coespondiente del cilindo se calcula sumando b la altua del cilindo oiginal) con segmentos que miden p a po el teoema de Pitágoas), po lo tanto: El volumen del tanque es V a b a d a a b C a :.b C p a a p u du a b C u b C p a : / d b a d C a p a. d/ u a Lo anteio es la suma del volumen del cilindo oiginal más el volumen de la esfea que foman las dos semiesfeas de los etemos. También podíamos abe usado el método de Aandelas, peo seía un poco más laboioso. Lo mas sensato en ejemplos de este tipo es usa la aditividad del volumen pati el cálculo del sólido que se pide en el cálculo del volumen de un cilindo una esfea esultado de pega las dos semiesfeas de los etemos). Alguna vez se peguntaá el lecto cuál de los métodos usados el de Aandelas o el de Cascaones Cilíndicos) se debe utiliza paa calcula un volumen de evolución dado. La espuesta es que no a un método que sea el mejo paa todos los casos. Si se decide aplica uno de ellos, lo más seguo es que se pueda plantea la integal coespondiente deteminando los límites de integación la función integando adecuada; si la integal po calcula esulta demasiado laboiosa, o no se puede esolve con las técnicas de integación desaollada asta aoa, puede se buena idea intenta el oto método paa ve si con él es posible completa el cálculo. Ceamos esta sección con un ejemplo sencillo en el que aplicamos los dos métodos de cálculo de volumen de evolución, paa que el lecto los pueda compaa una vez más. Ejemplo.. Un sólido tiene la foma de un cono cicula ecto de adio a, altua b; coonado po una semiesfea de adio a como un baquillo de nieve). Calcula su volumen usando el método de Aandelas el de Cascaones Cilíndicos. a du I d:

50 5 Cálculo integal H El sólido se genea al gia el tiángulo de vétices.; /,.; b/.a; / al gia el cuato de cículo C a del pime cuadante alededo del eje ; véase la siguiente figua: Ô.; a/ C a o bien q a Ô.; a/.a; /.a;/ p a ` b a b b a b o bien a b. C b/.; b/ Cotes tansvesales paa aandelas..; b/ Capas cilíndicas concénticas.. Cálculo po el método de Aandelas: a [ a ] a ) V A./d b. C b/ d C a d b b a b a b a b b b. C b/ d C u du C a a b C a a. Cálculo po el método de Cascaones Cilíndicos: a a [ pa V d b a a p a a b d p u du a u a a.a C b/: ba a b b ) a a ba ) a ) a.b C a/: ) d )] b d ) b d a ) a b ) u a du u C bi du d: I d: Obseve que ambos pocedimientos aojan el mismo esultado, que también puede vese como la suma a ) ) b a del volumen de un cono el de una semiesfea. Ejecicios.. Volúmenes. Soluciones en la página 5. Sea R la egión del plano delimitada po la cuva sen el eje, ente. Calcula el volumen del sólido que se genea al ace gia la egión alededo de los ejes:

51 . Volumen de sólidos 5 a.. b.. c.. d.. e.. f... Sea R la egión del plano delimitada po las paábolas,. / la ecta. Calcula el volumen del sólido que se genea al ace gia la egión alededo de los ejes: a.. b.. c.. d.. e.. f... Sea R la egión del plano delimitada po e, e 5 &. Calcula el volumen del sólido que se genea al ace gia la egión alededo alededo de los ejes: a.. b.. c.. d.. e.. f... Sea R la egión del plano delimitada po,. / la ecta. Calcula el volumen del sólido que se genea al ace gia la egión alededo de los ejes: a.. b.. c. 5. d.. e.. f.. 5. Sea R la egión del plano delimitada po C 8 & j j C. Calcula el volumen del sólido que se genea al ace gia la egión alededo alededo de los ejes: a.. b.. c.. d. 8. e.. f... Sea R la egión del plano delimitada po po e, e &. Calcula el volumen del sólido que se genea al ace gia la egión alededo alededo de los ejes: a.. b.. c.. d.. e... Sea R la egión del plano delimitada po cos./ &. Calcula el volumen del sólido que se genea al ace gia la egión alededo alededo de los ejes: a.. b.. c.. d.. e.. f..

52 5 Cálculo integal Ejecicios.. Volúmenes. Peguntas, página Ejecicios.. Volúmenes. Peguntas, página p. a.. 5 b. 8:.. a.. b. :88.. a.. b. :888. p c.. 5 d. :5. c.. d. :. c. 8. d. :. 8 p e.. 5 f. :59 e.. f. :. e.. f. 5:.. a.. b a.. C /. b.. C /. c.. C /.. a.. C /. b.. C /.. a.. C e/. b.. C e /. 8. a.. b. Ejecicios.. Volúmenes. Peguntas, página 5 c.. C e/. d.. 9 C e C e /..8 C /. c. e.. C 5e/. f..9 C e /. C 9 «.... u. 9 5 u. " # e C e 5 e u u u. «. C ln./ u.. u.