A para α = 1. ( α 2) 2 2( α 1) 1 α ( ) y además sabemos que A 0 A. Calculemos A 1 : A A = = A 1 1 0

Transcripción

1 Pueba de cceso a la Univesidad. JUNIO 0. Instucciones: Se poponen dos opciones y B. Hay que elegi una de las dos opciones y contesta a sus cuestiones. La puntuación está detallada en cada una de las cuestiones o en sus distintas pates. Se pemite el uso de calculadoas, peo los esultados, tanto analíticos como gáficos, debeán esta debidamente justificados. OPCIÓN. a) (,5 puntos) Estudia paa qué valoes de α el deteminante de la matiz máximo. b) (,5 puntos) Siendo a) g tal que 0 : la invesa de la matiz, calcula 0 paa α =. = α α α ( α ) ( α ) ( α ) α 0 = α α tiene ango α = = = = α 4α α α = α α = 0 α α = 0 α = 0, α = Po lo tanto, el ango de es máximo paa α y 0. 0 b) Paa α = es = 0 y además sabemos que 0. Calculemos : 0 - Calculemos la matiz adjunta de : 0 0 = = ; = = ; = = = = ; ; ; 0 = = = = 0 = = 0 0 = = 0 ; = = 0 luego: ( dj ) = t dj = La matiz taspuesta de la adjunta: - El deteminante de es: - Luego la matiz invesa es: = 0 = = 0 t ( dj ) = = 0 0 Calculemos ahoa = 0 0 =

2 . a) (,75 puntos) Utiliza el cambio de vaiable t b) (0,75 puntos) Paa coecta: f ( x) e 6 = x paa calcula x ( x ) x dx x = calcula sus deivadas sucesivas y conclui cuál de las siguientes opciones es la i) ( n) n x f ( x) = e ii) ( n) ( n ) x f ( x) = ( ) e iii) f ( x) = ( ) e ( n ) n x a) 6 5 t = x 6t dt = dx Se tiene entonces: 5 x t t t t t dx t dt t dt t dt dt t 5 5 = = = = x x t t t ( t ) t Dividiendo t t ente t : 5 5 t t 4 = t t t t y po consiguiente: t t t t 4 t t t t 6 dt = 6 t t t t dt = 6 t ln t k = t t = t t t 9t 8t 8 ln t k y deshaciendo el cambio de vaiable: ( x ) x dx = ( x ) ( x ) ( x ) 9( x ) 8( x ) 8ln ( x ) k x 5 x x x x b) = ' = '' = ( ) ''' = ( ) f x e f x e f x e f x e Po lo tanto, la expesión de la deivada n-ésima es la iii): f ( x) = ( ) e ( n ) n x x. Sea la función f ( x) = x a) (0,5 puntos) Calcula su dominio. b) ( punto) Obtene sus asíntotas. c) ( punto) Estudia sus puntos de cote con los ejes y analiza si es función pa. a) Se tata de una función acional cuyo dominio es: D( f ) = { x / x = 0 } = { } b) - síntotas veticales: x = pues x x x =. demás: x 6 - síntotas oblicuas: f ( x) = = x y = x x x asíntota oblicua de la función. 6 6 demás: = 0 y = 0 x x x x c) - Puntos de cote con OX: No tiene pues x 0 x - Puntos de cote con OY: x = 0 y = ( 0, ) - ( x) x f ( x) = = f ( x) x x la función no es pa. x = y x x es una x x = x y = x x =

3 Pueba de cceso a la Univesidad. JUNIO a) (,5 puntos) Halla la ecuación del plano paalelo a las ectas de ecuaciones: z x y z = x = y =, s x y z = y que pasa po el punto (,, ) b) ( punto) Calcula el ángulo que foman los vectoes u = (,,) y v = (,,). Obtene su poducto vectoial. a) Po se paalelas al plano, los vectoes u y v dieccionales de las ectas están contenidos en el plano. Como además conocemos un punto del mismo, disponemos de los elementos necesaios paa escibi la ecuación del plano. z x y z x = y = = = u = (,, ) x y z = n = (,,) s v = n n = = i j k k 6 j i = ( 4, 7,) x y z = n = (,, ) La ecuación del plano es: x y z = 0 x 8y 8 7z 4 4z 8 y 4x 4 = 0 5x 7y z 0 = Ota foma- Una vez obtenidos los vectoes u y v dieccionales de las ectas, el vecto u v = = i 8 j 7k 4k j 4i = 5, 7, es un vecto nomal al plano. 4 7 La ecuación del plano es: 5x 7 y z D = 0 y haciendo que contenga al punto : b) 5 7 D = 0 D = 0 5x 7 y z 0 = 0 es la ecuación del plano. u v cos α = = = 0 α = 90º u v 6 u v = = i j k k j i = 0,,

4 OPCIÓN B B. a) ( punto) Sean las matices hacen que sea cieta la igualdad: ( det ( ) ) det ( ) det ( B) cos α 0 sen α cos α sen α = sen α cos α y B = 0 β 0. Estudia qué valoes de α y β sen α 0 cos α = 0 b) (,5 puntos) Utiliza las popiedades de los deteminantes paa calcula el valo de 4 a b 4 c d 4 con a, b, c, d senα det cos sen senα a) = = α α = ( ) 0 det B = 0 0 = cos sen = senα det det det B = 0 β = 0 β = β = Po lo tanto, la igualdad se cumple paa todo valo de α y paa β =. β β α β α β 0 senα a b b) a b 4 = a b 4 = 0 a b = = ( ad bc) c d 4 c d 4 0 c d c d : F F, F F B. a) (,5 puntos) Se considea la función que hacen que f ( x ) sea continua. f ln x 0 < x < x = ax b x < b) (,5 puntos) Calcula log ( x 9) y log ( x 9) x x a) - f = 4a b = (* ) - f ( x ) debe se continua en De las igualdades (*): b) - Puesto que la función - Cuando x B. Sea f ( x) = f x x, x ( x ). x x. Si f =, obtene los valoes de a y b x = f x = f x ln = a b a b = 0 (*) 4a b = 4a b = a = a =, b = a b = 0 a b = 0 = 9 tiende a cuando x : log ( x 9) x = 9 tiende a 0 y po tanto: log ( x 9) = f x x a) (0,5 puntos) Detemina su dominio b) ( punto) Calcula sus intevalos de cecimiento y dececimiento c) ( punto) naliza sus puntos de inflexión a) Po tatase de una función acional: D( f ) x ( x ) x { / 0 } { } = = = b) Los intevalos de cecimiento y dececimiento dependen del signo de la pimea deivada: = 4

5 Pueba de cceso a la Univesidad. JUNIO 0. ( x ) ( x x x ) x x x x x x ' = = = = ( ) = 0 = 0, = f x x x x x x x x f > 0 f > 0 f < 0 f > 0 Tenemos: Ceciente: (, ) U (, ) Dececiente: (, ) 0 c) Los puntos de inflexión deben veifica f ''( x ) = 0 : x 6x x x x x x x x 6x 6x x 9x 6x f "( x) = = = = x x x x = 0 (posible punto de inflexión) Como además: ( x ) x ( x ) 8 ( x ) f ''' x = f ''' 0 0 En x = 0 hay un punto de inflexión: ( 0, 0 ) B4. a) (,5 puntos) Halla la ecuación del plano que pasa po los puntos (,, 4), ( 0,, ) x y z = = 4 b) ( punto) En caso de que sea posible, escibi el vecto v = (,, 4) a = (, 0, ), b = (,, 0), c = ( 0,,) B y es paalelo a la ecta como combinación lineal de los vectoes a) Necesitamos un punto y dos vectoes linealmente independientes contenidos en el plano. El punto puede se el uuu B =, 5, u = 4,, que son linealmente (,, 4) y los vectoes: independientes. La ecuación del plano es: b) x y z 4 y el dieccional de la ecta 5 = 0 0x 0 8y 6 z 4 0z 80 y 4 x = 0 4 x 6y z 60 = 0 4x y 7z 0 = = 0 a, b, c linealmente independientes constituyen una base del espacio vectoial y 0 cualquie vecto puede se escito como combinación lineal de los mismos. v = λ a λ b λ c,, 4 = λ, 0, λ,, 0 λ 0,, λ λ = λ λ = λ = = = ; λ = = = ; 0 λ λ = λ = = = Po lo tanto: 5 v = a b c 5