SELECTIVIDAD SEPTIEMBRE 2004 MATEMÁTICAS II

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1 Depatament de Matemàtiques Ieslaasuncionog/matematicas SELECTIVIDAD SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS II EJERCICIO A PROBLEMA Obtene todos los valoes eales x, y, z, t paa los que se veifica AX XA, siendo X y A z t a) Si z t cuya solución es : x + z x + y y + z x + y z t x + z z + t y + t z + t x λ + µ y λ λ, µ R z λ t µ y z x + y z x + z t x + z t y z PROBLEMA a) Obtene el plano que pasa po el punto P(,, ) y es pependicula a la ecta : (x, y, z) (,, ) + t(,, ) b) Calcula la distancia ente el punto P y la ecta M, 6 5, a) Paa halla el plano π necesitamos un punto de él, P, y un vecto nomal al plano n π v (,,) x y + z + D Como P π 8 +D D π x y + z + b) Paa halla la distancia de P a, como tenemos la ecuación del plano π, podemos halla el punto M π y la distancia pedida d(p,) d(p,m) x + t 5 y t M(+t, t, t) +t ( t)+t+ t z t d(p,m) También se podía habe calculado la d(p,) M P 6 6 π /5 PP v v (,,) (,,) (,,) + + (,, ) (,,)

2 Depatament de Matemàtiques Ieslaasuncionog/matematicas PROBLEMA Sea f(x) x + mx (donde m es un paámeto eal) y f '(x) la función deivada de f(x) Se pide: a) Halla el valo del paámeto m paa que f(x) tenga un mínimo elativo en x / b) Paa el valo de m calculado en a), detemina el áea de la egión compendida ente la cuva y f(x) y la ecta de ecuación y f '(x) a) Paa que f tenga un mínimo elativo en x /, es condición necesaia que f '( / ) f '(x) x + m f '( /) + m m b) Si f(x) x + x f '(x) x + la ecta es: y x +, y f(x) es la paábola y x + x Y Hallamos sus puntos de cote y dibujamos ambas cuvas: y x + x x + x x + x x y x + x ; x / X Áea x + x xdx x x x u 8 PROBLEMA a) Se tienen inicialmente bacteias en un cultivo de laboatoio y cada día se duplican Aveigua, azonadamente, el númeo de bacteias que habá cuando haya tanscuido días b) Paa oto cultivo, sea P(t) el númeo de bacteias tanscuido el tiempo t medido en días Aveigua el aumento del númeo de bacteias al cabo de días, sabiendo que P() 5, P() y que la deivada P '(t) es constante paa t a) Si cada día se duplican tanscuido un día habá: ; tanscuidos dos días habá: ; tanscuidos días habá: ;, tanscuidos días habá: b) Po el teoema del Valo Medio, el aumento del númeo de bacteias en días P P() P() P '(t ) ( ) con t ],[, peo también: P() P() P '(t ) ( ) con t ], [ 5 P '(t ) P '(t ), y como P '(t) es cte en el intevalo [,] P '(t ) P '(t ) P P() P() PROBLEMA Duante 6 años consecutivos, la poducción industial x de una empesa, medida en toneladas méticas, fue:, 5,,, 5 y 55, mientas que las compas efectuadas, expesadas en millones de euos, fueon:,,, 7, 5 y 55 a) Repesenta los 6 puntos (x, y) (es deci, (, ), (5, ), (, ), (, 7), (5, 5) y (55, 55)) en unos ejes OXY y dibuja apoximadamente la ecta de egesión de y sobe x Sobe esta ecta, obtene ahoa gáficamente la pedicción de compas a efectua paa una poducción industial de 6 millones de euos b) Explica cómo se ha hecho el dibujo de la ecta y la pedicción c) Razona si se puede pedeci o no las compas paa una poducción de millones de euos /5

3 Depatament de Matemàtiques Ieslaasuncionog/matematicas a) (Compas) Y 6 5 ( x, y) x f i i 8 x 5 f 6 i y f i i 66 y, f 6 i Si x 6 y X (Poducción) b) La ecta de egesión siempe pasa po el punto ( x,y), que en este caso es el punto (5,,) Después se ha dibujado la ecta que pasando po dicho punto haga mínima (de manea apoximada) las sumas de los cuadados de las desviaciones de los puntos de la nube especto de ella, que son los segmentos coloeados en ojo La pedicción se ha hecho obsevando que en dicha ecta de egesión el valo de y que le coesponde al valo de x 6 es 57 c) Como el valo x queda muy alejado de los puntos con los que se ha obtenido la ecta de egesión, no es azonable hace pedicciones paa dicho valo EJERCICIO B PROBLEMA Paa las matices eales: A 5 6 I, se pide: a) Justifica que existe la matiz A, invesa de A, y calcula el deteminante de A b) Calcula la matiz B A(A + I) c) Detemina los valoes eales x, y, z, t que cumplen: A xa + yi, A, za + ti a) Calculamos A A y /5 A A b) B A(A + I) A + A 6 + I c) Si A + A I A A I z, t, Peo además, ( A + A) I ( A + I)A I y po definición de invesa: A ( A + I) A I x, y

4 Depatament de Matemàtiques Ieslaasuncionog/matematicas PROBLEMA Consideemos los puntos: A (,,), B (,,), C (,,) y D (,,) Se pide: a) Halla el áea del tiángulo de vétices B, C y D b) Calcula el volumen del tetaedo de vétices A, B, C y D c) Halla la distancia del punto A al plano que pasa po los puntos B, C y D a) El Áea BC BD b) El Volumen [ BA,BC,BD] 6 ( ) + + u u 6 c) La distancia del punto A al plano π BCD coincide con la altua del tetaedo V A h 6 h h 6 u base PROBLEMA a) Obtene azonadamente la siguiente integal x b) Aplicando la egla de Baow, calcula dx + (x + ) + x + dx (x + ) + x + x + x / a) dx dx dx (x + ) + x + x + + x + + / dx x + x + x + x + x + dx + / dx ln x x + x + + x dx (x + ) + (x + ) + ln x +x+ + 7ac tg (x + ) + C x + b) dx (x + ) + [ ln x x 7actg(x ) ] ln ( +) + + 7actg( +) ln + 7actg ln + 7actg ln 7actg ln + 7 π ln 7 π 7π ln + PROBLEMA Detemina azonadamente la longitud del lado del cuadado de áea mínima cuyos vétices están situados sobe los lados de oto cuadado de lado 6 cm 6 El áea del cuadado es: y x x + 56 A(x) ya que po el teoema de Pitágoas: y x + (6 x) x x + 56 /5 x y 6 x

5 Depatament de Matemàtiques Ieslaasuncionog/matematicas Paa obtene el áea mínima hemos de impone que A '(x) x x 8 y 8 Como A ''(8) > paa dicho valo se obtiene el áea mínima PROBLEMA Una una contiene 6 bolas blancas y bolas negas Se epite tes veces la siguiente opeación: extae una bola al aza, anota su colo y devolvela a la una Detemina la pobabilidad de extae más de una bola nega Explica en qué se fundamenta la pobabilidad obtenida Se tata de una binomial Bi(; p) siendo p P(N) y q p Si X númeo de 5 5 bolas negas obtenidas en las tes extacciones, la pobabilidad pedida es: P(X > ) P(X ) P(X ) + P(X ) +, /5