IV. Geometría plana. v v2 2. u v = u v cos α

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1 Talle de Matemáticas 16 IV. Geometía plana IR 2 = {(x, y)/x, y IR} puede identificase con el espacio de vectoes libes del plano utilizando la base canónica: v =(v 1,v 2 )=v 1 (1, 0) + v 2 (0, 1) = v 1 i + v 2 j PRODUCTO ESCALAR de dos vectoes u =(u 1,u 2 ), v=(v 1,v 2 ) u v =(u 1,u 2 ) (v 1,v 2 )=u 1 v 1 + u 2 v 2 NORMA O MÓDULO de un vecto v =(v 1,v 2 ) v = v v = El poducto escala se puede defini también como v v2 2 u v = u v cos α Al igual que IR se identifica con los puntos de una ecta, podemos identifica los puntos del plano con IR 2 = {(x, y)/x, y IR}. Sistema de coodenadas catesianas o ectangulaes Tazamos dos ectas pependiculaes que se cotan en lo que llamamos ORIGEN DE COORDENADAS, la ecta hoizontal con diección positiva hacia la deecha se llama EJE DE ABCISAS, OX; la ecta vetical con diección positiva hacia aiba se llama EJE DE ORDENADAS, OY. Llamando COORDENADAS del punto P al pa de númeos eales (x, y), x es la abcisa de P e y es la odenada de P. El oigen de coodenadas seá O =(0, 0). DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS P 1 =(x 1,y 1 )yp 2 =(x 2,y 2 ) d(p 1,P 2 )= P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2

2 Talle de Matemáticas 17 Ecuaciones de una RECTA en el plano Una ecta queda deteminada po un punto P 0 =(x 0,y 0 ) y una diección dada po un vecto v= (v 1,v 2 ) o bien con oto punto P 1 =(x 1,y 1 ), consideando entonces el vecto v = Ecuación vectoial P 0 P 1 =(x 1 x 0,y 1 y 0 ) OP = OP 0 + t v t IR (x, y)=(x 0,y 0 )+t(v 1,v 2 ) t IR Ecuación paamética x = x 0 + tv 1 y = y 0 + tv 2 t IR Ecuación continua Eliminando el paámeto t: x x 0 = y y 0 (v 1 0,v 2 0) v 1 v 2 Ecuación punto-pendiente y y 0 = v 2 (x x 0 ) (v 1 0) v 1 Al cociente v 2 = m se le llama PENDIENTE de la ecta v 1 (no definida paa ectas veticales). Ecuación explícita y = mx + b Siendo m =tgα la pendiente de la ecta y b la odenada en el oigen, es deci, el valo de y cuando x =0. Ecuación canónica o segmentaia x a + y b =1 (a 0,b 0) Siendo a la abcisa en el oigen y b la odenada en el oigen. Ecuación geneal de una ecta Ax + By + C =0 Distancia de un punto a una ecta Dada la ecta Ax + By + C = 0 y el punto P =(x o,y o ) d(p, )= Ax o + By o + C A 2 + B 2

3 Talle de Matemáticas 18 Posición elativa de un pa de ectas El ángulo ente dos ectas se puede calcula fácilmente utilizando sus vectoes diectoes. Consideemos las ectas y s cuyos vectoes diectoes son u y v espectivamente, entonces el ángulo que foman esas dos ectas α veifica u v cos α = u v También se puede expesa el ángulo ente dos ectas en funión de sus pendientes. Consideemos las ectas 1 y = m 1 x + b 1, 2 y = m 2 x + b 2 siendo m 1 =tgα 1,m 2 =tgα 2 se veifica que α = α 1 α 2 = tg α = tg(α 1 α 2 )= tg α 1 tg α 2 1+tgα 1 tg α 2 tg α = m 1 m 2 1+m 1 m 2 ( ) m1 m 2 α = ac tg 1+m 1 m 2 Rectas PARALELAS Dos ectas son paalelas, 1 2, cuando sus vectoes diectoes son popocionales, es deci, α =0, po tanto, sus pendientes coinciden, m 1 = m 2. Rectas PERPENDICULARES Dos ectas son pependiculaes, 1 2, cuando α = π/2,es deci, el poducto escala de los vectoes diectoes es ceo. Po tanto, sus pendientes veifican m 1 m 2 +1=0= m 1 m 2 = 1. Cicunfeencias Los puntos P =(x, y) del plano cuya distancia al CENTRO C =(a, b) es igual a (RADIO, >0) veifican d(p, C) = (x a) 2 +(y b) 2 = (x a) 2 +(y b) 2 = 2 ECUACIÓN IMPLÍCITA DE UNA CIRCUNFERENCIA DE CENTRO (a, b) Y RADIO Intoduciendo un paámeto con la ayuda de la elación fundamental de la tigonometía, podemos establece (x a) 2 +(y b) 2 = 2 ( ) x a 2 ( ) y b 2 + =1 x a y b = cos t = sen t x = a + cos t y = b + sen t t [0, 2π] ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CIRCUNFERENCIA DE CENTRO (a, b) Y RADIO

4 Talle de Matemáticas 19 Paábolas La epesentación gáfica de las paábolas cuya ecuación es y = ax 2 + bx + c (a 0) podemos ealizala a tavés del estudio de la ecuación de gado dos ax 2 + bx + c =0 Si la ecuación ax 2 + bx + c = 0 posee dos aíces eales distintas x 1,x 2 IR, x 1 x 2 entonces ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) Si la ecuación ax 2 + bx + c = 0 posee una aíz eal doble x 1 IR entonces ax 2 + bx + c = a(x x 1 ) 2 Si la ecuación ax 2 + bx + c = 0 posee dos aíces complejas conjugadas α ± βi C entonces ax 2 +bx+c = a(x (α+βi))(x (α βi)) = a((x α) 2 +β 2 ) Si completamos cuadados en la ecuación de la paábola y = ax 2 + bx + c = a(x a 0 ) 2 + b 0 (a 0)= y b 0 = a(x a 0 ) 2 podemos obseva que el punto (a 0,b 0 ) es el vétice de la paábola.

5 Talle de Matemáticas 20 Elipses La foma canónica de una elipse centada en el oigen y de semiejes a, b está dada po la ecuación x 2 a 2 + y2 Si tasladamos su cento a un punto (a 0,b 0 ), la ecuación que define la elipse es (x a 0 ) 2 a 2 + (y b 0) 2 Intoduciendo un paámeto con la ayuda de la elación fundamental de la tigonometía, podemos establece (x a 0 ) 2 a 2 + (y b 0) 2 b 2 =1 ( ) x 2 ( ) a0 y 2 b0 + =1 a b x a 0 a y b 0 b = cos t = sen t x = a 0 + a cos t y = b 0 + b sen t t [0, 2π] ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA ELIPSE DE CENTRO (a 0,b 0 ) Y SEMIEJES a, b Hipébolas La foma canónica de una hipébola está dada po la ecuación x 2 a 2 y2 Los puntos de cote con el eje OX son ( a, 0), (a, 0), está fomada po dos amas cuyas ectas asíntotas son y =(b/a)x, y = (b/a)x Cuando a = b, se llaman HIPÉRBOLAS EQUILÁTERAS y sus asíntotas son las ectas pependiculaes y = x, y = x Giando 45 o se puede poba que la ecuación de estas hipébolas es de la foma xy = k (k >0) siendo en este caso sus asíntotas los ejes coodenados.