UNI DAD 5 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES. Objetivos

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1 UNI DAD 5 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES Objetivos

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3 Geometía analítica Intoducción coodenadas polaes 5.1. Ecuaciones catesianas de cuvas planas Ecuaciones catesianas de las cónicas fundamentales Ecuación catesiana de una cicunfeencia. La ecuación x 2 + y 2 = 2 epesenta una cicunfeencia con cento en el oigen y adio. Asimismo, si el cento C(h, k) es un punto cualquiea del plano, la ecuación es: Ecuación catesiana de una elipse. Las ecuaciones y epesentan una elipse con cento en el oigen. Asimismo, si el cento C(h, k) es un punto cualquiea y sus ejes son paalelos a los coodenados, siendo el eje mayo paalelo al eje Y o al eje X, la ecuación es: Ecuación catesiana de una paábola. La ecuación y 2 = 4px epesenta una paábola con vétice en el oigen y concavidad hacia la deecha si p > 0 y de 221

4 concavidad hacia la izquieda si p < 0. Análogamente, x 2 = 4py epesenta una paábola de concavidad hacia aiba si p > 0 y de concavidad hacia abajo si p < 0. Po tanto, si el vétice es V(h, k), la ecuación es: Ecuación catesiana de una hipébola. La ecuación epesenta una hipébola con cento en el oigen y cuyo eje focal coincide con el eje de las X. Asimismo, epesenta una hipébola cuyo eje focal coincide con el eje de las Y. Po lo tanto, si el cento C(h, k) es un punto cualquiea, la ecuación de la hipebola con eje focal paalelo al eje X es: La ecuación de la hipebola con eje paalelo al eje Y es: 5.2. Ecuaciones paaméticas de cuvas planas x y paámeto, ecuación paamética. Definición de ecuación paamética. Paa taza una cuva dada su ecuación, se comienza po expesa una de las vaiables en función de la ota y se obtienen los puntos P(x, y) que la satisfacen en coodenadas catesianas. Asimismo, las coodenadas de los puntos P(x, y) de una cuva se pueden expesa en función de una tecea vaiable que usualmente se denota con una leta. Esa tecea vaiable se llama paámeto y las ecuaciones que conectan las coodenadas con el paámeto se denominan ecuaciones paaméticas. 222

5 Geometía analítica Ecuaciones paaméticas de la cicunfeencia. O a. M(x, y) NOM x = a y = a Y y M O x N X C(h,k) a ON = x h = a NM = y k = a x = h+ a, y = k + a Y k O M a y x N h X 223

6 Ecuaciones paaméticas de la elipse. ecuación paamética de la elipse a > b Ecuaciones paaméticas de la hipébola. a > 0 b > Ejemplo 1 Solución 224

7 Geometía analítica Ecuaciones paaméticas de la cicloide. cicloide OX C, M T OX. M T A,, OT TM =,. M T. 225

8 acotada tocoides. alagada x y Ejemplo 2 Solución x = ( x, y y, 226

9 Geometía analítica Ecuaciones paaméticas de la hipocicloide. hipocicloide O X a b 227

10 Ecuaciones paaméticas de la astoide. a b A, astoide Ejemplo 3 4 Solución b 4 228

11 Geometía analítica Y O A Ecuaciones paaméticas de la epicicloide. epicicloide. a b Y O X 229

12 Ejecicio 1 y x y x 5.3. Ecuaciones de cuvas planas en coodenadas polaes 230

13 Geometía analítica De la elación que existe ente las coodenadas catesianas y polaes se tiene que: x y Ecuación pola de la cicunfeencia. x y 2 2 x, y x,y simetía x,y Ecuación pola de la paábola. x y p p Ecuación pola de la elipse. x y,

14 a Ecuación pola de la hipébola Ejemplo 4 Solución 232

15 Geometía analítica C C = caacol de Pascal OX O, OP a < 2 M M caacol de Pascal O OX 233

16 a = 2 a < 2, cadioide, a > 2 osa de las cuato amas. OX, OY P OX Q OY O PQ M osa de las cuato amas. OX O a a 234

17 Geometía analítica Ejemplo 5 a Solución x y 2 Y X 235

18 buja a, AN OS AN N SM NM buja M x, y M OQS OAN, a =QS = OQ = QA 2 y 236

19 Geometía analítica x x, x y = 0, y = 2a. ON M M( ON 2 2 a cisoide a C(a, OA, AT 237

20 M OS, cisoide OM = NS y OQN. OPM y NBS OPM y 2 238

21 Geometía analítica T y y x = 2a x x = 2a M( OS 239

22 = OM = NS = OS ON = OS ON OS = OA OA = 2a OS = 2a ON = OA ON = 2a = OS ON = 2a a = 2a = 2a a Ejecicio 2 x 2 = 4y x 2 y 2 Ejecicios esueltos Solución t t = y t 240

23 Geometía analítica Solución t t t t Solución, x y 241

24 Solución y = x x 0 x, x y = x 5. Solución a = 242

25 Geometía analítica OX Solución a P(, ) M P 2 Solución = 243

26 lemniscata Solución = c c Solución: c Puntos espial de Aquímedes 244

27 Geometía analítica Obsevaciones..,, = + 2, 2 = 2 c( + 2 ; 2 =c + 2c. 2 2 c 2 c c Solución c a, p = a a Puntos

28 246 espial logaítmica,

29 Geometía analítica Autoevaluación y x y 247

30 ? y = x x 248

31 Geometía analítica 10. Ejecicios opcionales x y x y 249

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33 Geometía analítica Respuestas a los ejecicios Respuestas a la autoevaluación 251

34 Respuestas a los ejecicios opcionales y x = y 252