0.2.4 Producto de un escalar por un vector. Vector unitario. 0.3 Vectores en el sistema de coordenadas cartesianas.

Transcripción

1 VECTORES, OPERCIONES ÁSICS. VECTORES EN EL SISTEM DE C. CRTESINS 0.1 Vectoes escalaes. 0. Opeaciones básicas: 0..1 Suma de vectoes. 0.. Vecto opuesto Difeencia de vectoes Poducto de un escala po un vecto. Vecto unitaio. 0.3 Vectoes en el sistema de coodenadas catesianas. 0.4 Poducto escala de dos vectoes. 0.5 Poducto vectoial de dos vectoes.

2 0.1 Vectoes escalaes. En Física eisten magnitudes (todo aquello susceptible de se medido -medi, es compaa magnitudes de la misma especie una de las cuales se ha tomado como unidad-) que quedan pefectamente deteminadas dándoles un valo a la magnitud epesada en una unidad conveniente. Estas son las magnitudes escalaes, así tenemos la pesión ejecida po un gas en el inteio de un ecipiente, la tempeatua en un luga del espacio, el tabajo que se ealia al aasta un bulto desde un luga a oto..., luego; la pesión, la tempeatua, el tabajo, etc., son magnitudes escalaes. Sin embago, eisten otas magnitudes que necesitan, además del valo asignado, una diección un sentido paa queda pefectamente deteminadas. Nos efeimos a las magnitudes vectoiales. Si queemos situa (sabe su posición) a un alumno/a en el inteio de una clase especto de la pueta, no nos bastaía con medi la distancia que eiste ente el alumno/a la pueta sino que además había que especifica la diección. La posición de un objeto especto de oto es una magnitud vectoial, también lo son la velocidad, la aceleación... Se ha desaollado un modelo matemático paa epesenta a dichas magnitudes, los VECTORES. Un vecto es un segmento oientado en el espacio. Se puede caacteia po: Oigen a considea cuando inteese conoce el punto de aplicación del vecto. Diección o línea de acción coincidente con la de la ecta que la contiene o cualquie ota ecta paalela. Sentido viene deteminado po la punta de flecha localiada en el etemo del vecto. Módulo es la distancia ente el oigen el etemo del vecto. Un vecto puede veni epesentado mediante una leta en negita o bien, situando encima de la leta una flecha su módulo se epesenta en cusiva o bien, colocando ente baas a la leta con la flecha (fig. 0.1).

3 0. Opeaciones básicas: Vamos a estudia, ahoa, las opeaciones básicas ente vectoes. Los vectoes que utiliaemos paa defini las opeaciones seán libes Suma de vectoes. La suma de dos vectoes es un nuevo vecto S. +=S. Gáficamente puede obtenese mediante la egla del paalelogamo, o bien usando el método que consiste en coloca uno de ellos en el etemo de éste se coloca el oigen del oto siendo el vecto esultante aquel que tiene de oigen el del pimeo de etemo el del segundo (fig. 0.). La suma de vectoes posee la popiedad conmutativa asociativa. +=+; (+)+C=+(+C).

4 0.. Vecto opuesto. El vecto opuesto a uno dado () es oto vecto de igual módulo diección peo de sentido contaio al dado (-) Difeencia de vectoes. La esta de dos vectoes (-) es igual a la suma de con el opuesto de [+(-)]. La suma de un vecto con su opuesto nos da el vecto ceo (0). +(-)= Poducto de un escala po un vecto. Vecto unitaio. Sea un escala µ un vecto v. Se define al poducto del escala po el vecto (µv) a un nuevo vecto V de módulo µ veces el módulo de v (V=µv), de la misma diección que v de sentido igual al de v si µ>0. Si µ<0 el sentido de V seá contaio al de v. El cociente po un escala es equivalente a multiplica el vecto (v) po el inveso del escala (1/µ). v/µ=(1/µ)v=v. El módulo de este nuevo vecto seá 1/µ veces el módulo de v... Podemos defini ahoa como vecto unitaio (u) de uno dado () al cociente ente dicho vecto su

5 módulo (u=/). Lo que nos lleva a deduci que todo vecto unitaio tiene de módulo la unidad. 0.3 Vectoes en el sistema de coodenadas catesianas. En el sistema de coodenadas catesianas un punto en el plano viene deteminado po una paeja de númeos eales P(,) en el espacio po una tena P(,,), también llamados coodenadas catesianas. Estos puntos pueden veni, a su ve, deteminados po un vecto que tiene su oigen en el oigen de coodenadas su etemo en el punto consideado. Los vectoes unitaios i, j, k son los que definen la diección sentido de los semiejes positivos OX, OY OZ espectivamente. las poecciones del vecto sobe cada uno de los ejes se les denomina componentes del vecto:

6 = cosα = cos β = cosγ (0.1) si pues, si queemos epesa un vecto en función de sus componentes catesianas (,, ), vectoes unitaios coespondientes... = i + j + k (0.) Según esto, dos vectoes son iguales si lo son cada una de sus componentes. El vecto 0 seá aquél cuas componentes son nulas 0(0,0,0). los cosenos de los ángulos que foma el vecto con cada uno de los ejes se les denomina cosenos diectoes, a que éstos son las componentes del vecto unitaio que definen la diección de aquel... u =,( = ),u = Si quisiéamos detemina el módulo del vecto en función de sus componentes, bastaía con aplica Pitágoas... i + j + cosα = k = i + j + k cos β = cosγ = (0.3) = + + (0.4)

7 Teniendo en cuenta la epesión anteio las obtenidas paa los cosenos diectoes cos =, cos = α α cos β =, cos β =, cos + cos + cos = α β γ cosγ =, cos γ = llegamos a la siguiente elación , cos α + cos β + cos γ = 1 (0..5) Suma, esta multiplica po un escala esulta evidente, así, si (,, ) (,, ) entonces +( +, +, + ), es deci las componentes del vecto suma son la suma de las componentes -( -, -, - ). Nótese que las componentes del vecto difeencia (C) coinciden con la difeencia ente las coodenadas del etemo las del oigen espectivamente... Finalmente λ(λ, λ, λ ), donde las componentes del nuevo vecto seían las de multiplicadas po el escala Poducto escala de dos vectoes. Es una magnitud escala que nos infoma de la tendencia de los vectoes a apunta hacia un mismo sentido se obtiene multiplicando los módulos de los vectoes po el coseno del ángulo que foman. El poducto escala de dos vectoes se denota po =cosα (0.6). De foma inmediata se deduce que el poducto escala de dos vectoes pependiculaes es nulo (si

8 α=π/ cos π/=0).po ota pate el poducto escala de un vecto po si mismo es igual a su módulo al cuadado (= ). i i = 1 i j = 0 i k = 0 ; ; ; Como consecuencia de esta definición tenemos: j i = 0 ; k i = 0 = ( i + j + k) ( i + j j = 1 ; k j = 0 = + + j k = 0 ; k k = 1 (0.7) j + k) Hemos obtenido finalmente la epesión del poducto escala de dos vectoes en función de sus componentes. Como aplicación inmediata del poducto escala podemos detemina el ángulo fomado po dos vectoes. Igualando epesiones... = cosα, cosα = + = Z, cosα = + + (0.8) Como popiedades de este poducto podemos cita la conmutativa la distibutiva especto de la suma [(+C)=+C]. 0.5 Poducto vectoial de dos vectoes. El poducto vectoial de dos vectoes, se denota po, es un nuevo vecto C, (=C), definido de la foma que sigue:

9 a) El módulo de C es igual al poducto de los módulos de po el seno del ángulo que foman (C=senα). b) La diección de C es pependicula al plano fomado po po ende a todos los vectoes contenidos en ese plano. c) El sentido de C coincide con el que tendía el avance de un sacacochos (osca deecha) si lo dispusiéamos en la diección de C haciéndolo gia en el sentido de lleva el pime vecto hacia el segundo vecto que se multiplica. Esta opeación no posee la popiedad conmutativa, aunque si pesenta la distibutiva especto de la suma. Como consecuencia de la definición, los poductos vectoiales ente los vectoes unitaios... i i = 0 ; ji = -k ; ki = j i j = k ; jj = 0 ; kj = -i i k = - j ; jk = i ; kk = 0 = ( i + = ( - j + k)( i + j + k) (0.9) )i +( - )j +( - )k este esultado también puede llegase desaollando el siguiente deteminante...

10 (0.10) sen = C = - = C - = C - = C k j i C = = α Finalmente podemos comenta que el poducto vectoial de dos vectoes paalelos es nulo. Lo mismo podemos deci del poducto vectoial de un vecto po si mismo.

11 Cuestiones Ejecicios. Vectoes 1) Si dos vectoes son pependiculaes su poducto escala es máimo?... En que caso lo seá? ) Paa dos vectoes dados su poducto vectoial es mínimo cuando son...? 3) El módulo de la suma de dos vectoes dados siempe seá meno que el módulo de la difeencia de esos vectoes? 4) En que casos el módulo de la suma de dos vectoes coincide con la suma de los módulos de los vectoes que se suman? 5) Calcula la esultante (vecto -suma- en función de las componentes vectoes unitaios coespondientes) del sistema fomado po los vectoes (3,-,3); (1,1,-) C(,,-1). S: 6i + j 6) Dado el vecto =i+6j-4k detemina 3/. S: (3,9,-6). 7) Halla el vecto unitaio de C=3i+4j+5k. S: 1/[5() ½ ](3,4,5). 8) Detemina el ángulo que foma el vecto anteio con el eje OX, el valo de su poección sobe dicho eje. S: 64,89º; 3. 9) Calcula el poducto escala de los vectoes V=3i+5j-1k W(-,0,4). S: ) Halla el vecto unitaio pependicula a los vectoes V(1,,3) W(-1,0,). 1 S: (4i - 5j + k ) ) Un vecto tiene de componentes (1,,3). Oto vecto tiene de módulo 3 1/ su componente ( ) vale 1. Detemina paa que sea pependicula a. S: (1,1,1) o (1,-17/13,7/13).

12 1) Cuál debe se el valo de m paa que el vecto (1,m,) fome un ángulo de 60º con el eje Z?. S: ±(11) 1/. 13) Dados (5,3,4) =6i-j+k, calcula: a) su poducto escala b) el ángulo que foman c) los cosenos diectoes del vecto. S: a) 35; b) 39º'; c) 0,94, -0,16, 0,31. 14) Siendo los vectoes (,5,3) (,1,0) sabiendo que -=4j+3k que el módulo de su suma vale 9. Detemina. S: ±3. 15) Dados los vectoes =3i-3j+k (3,4,0), calcula: a). b) Áea del paalelogamo fomado po ambos vectoes. c) Un vecto de módulo 3 pependicula al plano fomado po. d) (+)(-). S:a) (-8,6,1); (8,-6,-1); b) 3,5; c) ±0,13(8,6,1); d) (16,-1,-4).