Hoy trataremos algún aspecto del diseño de una vasija o depósito de pared delgada (t/r<10) sometida a presión interna

Transcripción

1 CAPÍTULO 1 TENSIÓN

2 Ho tataemos algún aspecto del diseño de una vasija o depósito de paed delgada (t/<10) sometida a pesión intena t t Vasija esféica Vasija cilíndica Qué conceptos necesitamos maneja? Básicamente dos: el de tensión el de esistencia a tacción

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4 CONCEPTO DE VECTOR TENSIÓN F1 F F 0 M 0 F3 F1 F3 π S S f n lim s 0 f S df ds Unidades: N/m Pa Como en la páctica 1 Pa es de pequeña magnitud, utilizaemos, en geneal, MPa

5 s lim nomal tensión 0 s n sobe f po n s lim tangencial tensión 0 s π sobe f po n df COMPONENTES INTRÍNSECAS DEL VECTOR TENSIÓN + n

6 Tensiones en una baa sometida a una caga de tacción P P G Demos un cote a la baa po una sección que foma un ángulo con el plano vetical A P Aea A/cos La esultante de la distibución de tensiones debe se hoizontal pasa po el c.d.g. de la sección tansvesal de la baa

7 En ealidad, las fuezas N V seán las esultantes de una distibución de tensiones, las cuales las supondemos unifomes sobe la sección de cote A P Planteando el equilibio: P Aea A/cos N V F 0 P + N cos + V cos ( 90 ) o P + N cos + V sin 0 F 0 N sin V o N sin V sin ( 90 ) cos 0 0 0

8 Po tanto: P N V N V P cos Psin Áea de la sección de cote: Como, po definición, la tensión es fueza dividida po áea: P Aea P cos P ( 1 cos ) A A + P P sin cos sin A A A cos

9 es máima cuando es 0 ó 180 es máima cuando es 45 ó 135 ma 1 ma ma 0 P A Stess/(P/A) Tensión (/ 0 ) ma ma Ángulo Angle P A P A

10 El signo de la tensión tangencial cambia cuando el ángulo es mao de 90 Nótese que: ( ) - (90 + ) P

11 VASIJAS ESFÉRICAS A PRESIÓN t Fueza ejecida po la pesión intena: π p Fueza ejecida po la tensión actuante: π t De la igualdad ente ambas, esulta: p p t

12 Estado tensional en un punto de la vasija Punto elástico p t es mucho mao que p!

13 VASIJAS CILINDRICAS A PRESIÓN Diección longitudinal Diección cicunfeencial Punto elástico h a t a h

14 Cálculo de la tensión longitudinal: Punto elástico Fueza ejecida po la pesión intena: π p t Fueza ejecida po la tensión actuante: a p π t a De la igualdad ente ambas, esulta: a a p t

15 Cálculo de la tensión cicunfeencial: t l l Fueza ejecida po la pesión intena: lp Fueza ejecida po la tensión actuante: p h h lt h De la igualdad ente ambas, esulta: h p t

16 Estado tensional en los puntos de la vasija cilíndica: h p t a p t h es mao que a, ambas son mucho maoes que p!

17 Foma de otua más pobable a a h a

18 Ejemplo: Detemina el espeso t de la vasija de la figua, ealizada con aceo inoidable austenítico, sabiendo que su adio es que contiene un gas a una pesión p. Considéese un coeficiente de seguidad γ. Tensión máima: má p t

19 Y la esistencia a tacción del mateial? Homigón Aceo u u Tensión Tensión ε ε ε Defomación Defomación Volveemos a ello en el capítulo 3

20 COEFICIENTE DE SEGURIDAD Los elementos estuctuales, o los componentes de máquinas deben se diseñados de manea tal que las tensiones que se poducen en su seno sean menoes que la esistencia del mateial. γ γ Coeficiente de seguidad R adm esistencia tensión admisible El facto de seguidad tiene en cuenta, pincipalmente: Las incetidumbes de los valoes de las popiedades del mateial La incetidunbe del valo de las cagas actuantes La incetidumbe del análisis El compotamiento a lago plazo del elemento estuctual La impotancia del elemento consideado en la integidad de la estuctua de la que foma pate Lógicamente el facto de seguidad debe se una cantidad mao que la unidad En vasijas a pesión, γ suele oscila ente 4 8

21 má p t adm γ R t pγ R

22 PERO, EN LA REALIDAD, NOS ENCONTRAREMOS CON ESTRUCTURAS DE MAYOR COMPLEJIDAD, TANTO DE FORMA COMO DE ESTADO TENSIONAL

23 TENSOR DE TENSIONES z z z z P P z z P z z z P

24 PUNTO ELÁSTICO TRIDIMENSIONAL z d z z z z dz P z 0 z d z z d

25 z d z z z z dz F F Fz 0 z P z d z d z 0 tensiones iguales opuestas en las caas eje 0 tensiones iguales opuestas en las caas eje 0 tensiones iguales opuestas en las caas eje z z M 0 ddz d dd dz 0 z z z z M 0 dd dz ddz d 0 z z z z M z 0 ddz d ddz d 0

26 La igualdad ente las tensiones tangenciales, actuando sobe planos otogonales ente sí, puede demostase, po ejemplo, estableciendo el equilibio de un pequeño paalelepípedo de espeso dz. Apliquemos la fueza V : V ddz d d

27 El equilibio equiee que, sobe la caa infeio, actúe una fueza igual de signo contaio, lo que poduciá un pa: V ddz Este pa debe esta equilibado po oto (antihoaio) consecuencia de dos fuezas veticales V actuando sobe las caas veticales: V ddz d V ddz V ddz M z V d dddz

28 V ddz Utilizando: M z 0 d V ddz obtenemos: ( ddz) d ( ddz) d d Conclusión: Si sobe un plano en las poimidades de un punto, eiste una tensión tangencial, sobe un plano otogonal al anteio debe eisti una tensión tangencial del mismo valo.

29 Teniendo en cuenta que, sobe cada una de las caas del paalelepípedo infinitesimal consideado (punto elástico), actúan tes componentes del vecto tensión coespondiente, se obtendían, en total, 18 valoes de los que sólo ha 6 valoes difeentes ente sí, a sabe:,,,,, z z z En un sólido, estas componentes, seán funciones continuas de las coodenadas catesianas del punto,,z. (,, z), (,, z)...

30 TENSIONES ACTUANDO EN UN PLANO CUALQUIERA C z u l i + m j + n k z A π z P z z z z B * * * i + j + * z k Eje : dω l dω + m dω + zn dω Eje Eje z : dω l dω + m dω + z n dω : z dω zl dω + zm dω + zn dω

31 Augustin-Louis CAUCHY ( ) TENSOR DE TENSIONES (o Tenso de Cauch) { z [ * ] z z z z z [] T [ ] [ T ][ nu ] l m n { [ n u]

32 FUERZAS INTERNAS POR UNIDAD DE VOLUMEN z dv df int f V dv f v Fueza intena, po unidad de volumen (,,z) X(,,z )i + Y(,,z ) j + Z(,,z ) k

33 Ejemplo 1: sólido sometido a la acción de la gavedad según el eje z X(,,z) Z(,,z) seían nulas la función Y(,,z) - ρg f v (,, z) ρgj f v Ejemplo : sólido en movimiento (fuezas de inecia) dm a / dv ρ a ρ ( ) && i + && j + && zk X (,, z) ρ &, Y (,, z) ρ &&, Z(,, z) ρ && z

34 ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO d + + z z z + d d d

35 z z z z z z z z X z z 0 Y z z 0 Z + z + z + z z 0

36 ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO FUERZA, POR UNIDAD DE SUPERFICIE, QUE ACTÚA SOBRE EL CONTORNO Sobe la supeficie eteio del sólido (contono) pueden, o no, actua tensiones que, diectamente, se apliquen al sólido z dω df contono f Ω dω f Ω X Fueza, po unidad de supeficie, en el contono (,,z) i + Y (,,z) j + Z (,,z) k

37 EJEMPLO: P Q P f Ω j Q f 0 Ω

38 Y, sin embago, en los puntos mu póimos a la supeficie del sólido pueden eisti tensiones intenas. En un punto P póimo al contono del sólido, debeá eisti equilibio ente las tensiones las fuezas, po unidad de supeficie, aplicadas. u z li + mj + nk Ecuaciones de equilibio en el contono: z P z z z z f Ω Contono del sólido X Y Z l + m + l + m + z l + m + z z n z z n n

39 [ T ] [ ] [ ] [ ] [ ] CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA tenso de tensiones en P efeido al sistema,,z T tenso de tensiones en P efeido al sistema,,z R matiz del cambio de ejes u componentes de un vecto unitaio especto al sistema,, z u componentes de un veto unitaio especto al sistema,, z [ T] [ R][ T ][ R] T [ ] [ ] T T R [ T][ R]

40 CASO BIDIMENSIONAL: cos sen sen [ R] cos

41 sen cos cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen cos

42 TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES Sea un sólido sometido a un sistema de cagas, P un punto cualquiea del sólido (punto genéico) [T] el coespondiente tenso de tensiones afecto a dicho punto. eistiá algún plano, que pase po las poimidades (a distancia infinitesimal) del punto P, tal que el vecto tensión coespondiente, sea otogonal a dicho plano (es deci, que el vecto tensión no tenga componente según el plano o, lo que es lo mismo, que sobe dicho plano no actúa ninguna tensión tangencial)? df,, df n 0 u

43 Vecto tensión en una diección cualquiea: [ ] [ T ] [ u] Vecto tensión en la diección que buscamos: [ ] [ u] u li + mj + nk [ ] [ T - I u] [ 0] ( ) z l + l + l + ( ) z m + m + m + z z n n 0 0 ( ) n 0 z

44 ( ) z l + l + ( ) z l z + m + ( ) n 0 z m + m + z z z z n n z z 0 0 Paa que este sistema tenga solución distinta de la tivial: Ecuación caacteística: 3 I 1 + I I 3 0 I I I 0 1 z z z z z 3 Invaiantes: T

45 Tensiones pincipales min ma ma int min int int min 1 3 ma

46 Diecciones tensiones pincipales: z 1 3 Tenso de tensiones: Invaiantes: I I I z + + z z z z + Las tensiones tangenciales sobe los planos pincipales son nulas 3 z zz z z z I I I 3 1 3

47 TENSIÓN HIDROSTATICA Y TENSIONES DESVIADORAS hidostatica I p z comp.desviadoa z z z z z comp. hidostatica tenso de tensiones ' ' ' p p p z z z z z p p p z z ' ; ' ; ' ( ) I I I I J I I J J + Invaiantes del tenso desviado:

48 ELIPSOIDE DE TENSIONES P + P P A P A ESTADO I ESTADO II P n Estado I: * 1 Estado II: cos ** sen P n + +

49 n + + Cuál es el luga geomético del etemo del vecto tensión total, coespondiente a dicho punto, cuando vaiemos el ángulo? P Coodenadas del etemo del vecto tensión: sen cos

50 CASO TRIDIMENSIONAL: z z 3 1 l 1 l m m n z 3 n 3 1 I 1 Suma de las longitudes de los tes semiejes del elipsoide I popocional a la suma de las áeas de las tes elipses que intecepta el elipsoide con los planos pincipales I 3 popocional al volumen del elipsoide

51 EL CIRCULO DE MOHR: APLICACION A SITUACIONES BIDIMENSIONALES Otto MOHR ( ) -Tensiones nomales: positivas si son de tacción -(negativas si fuean de compesión) - Tensiones tangenciales: + -

52 n u Signos a considea paa la constucción del cículo de Moh: - La tensión nomal seá positiva si es de tacción - La tensión tangencial es positiva si, desde el cento del punto elástico, podujea un gio en sentido hoaio n >0 TRACCION > 0

53 u cos sen n cos + sen+ sen n u sen sen cos

54 + cos sen cos n + sen que coesponden a la ecuación de una cicunfeencia (en un plano cuos ejes fuean (Plano de Moh) de cento: adio: ( + )/ 1 4 ( ) +

55 Eiste una coespondencia biunívoca ente cada diección que consideemos en el punto elástico en estudio un punto del cículo de Moh coespondiente a ese punto elástico: a cada diección que pasa po las poimidades del punto P le coesponde un punto del cículo de Moh cua abcisa es la componente nomal del vecto tensión que actúa sobe la diección consideada cua odenada es la componente tangencial de dicho vecto tensión ( ma ) (, ) +, 0 C 1 (, ) ( ma ) (, ) Una vez dibujado el cículo de Moh, pueden obtenese, po ejemplo, los valoes de las tensiones pincipales así como las diecciones sobe las que actúan.

56 PASOS PARA EL DIBUJO DEL CÍRCULO DE MOHR B A A A A C C B B B

57 OBTENCIÓN DE LAS TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES Diección pincipal Plano pincipal 1 Diección pincipal 1 ε + Plano pincipal 1 1 ma

58 PROPIEDADES CIRCULO DE MOHR:

59 Obtención del Polo del Cículo de Moh: (, ) POLO (,- )

60 Otos aspectos del cículo de Moh. B C A (,) A Diecciones en las que el ángulo del vecto tensión con la nomal al plano sobe el que actúa es máimo

61 A qué diección epesenta el POLO del cículo de Moh? (, ) POLO (,- )

62 SOFTWARE DISPONIBLE EN LA RED

63 TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS (Poblemas bidimensionales) z ΙΙΙ 0 ΙΙ ma I II ma ΙΙ Ι Ι Ι ΙΙ Diección de III Ι ΙΙΙ 0 I ma Ι ma Diección de III ΙΙ ΙΙ II ma Ι ΙΙΙ 0 ma ma Máimo de,, I II I II

64 TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS (Poblemas tidimensionales) ma Máimo de 1, 1 3, 3

65 Más, en la web, sobe cículo de Moh: