LECCION 8. ESTATICA DEL SOLIDO

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1 LECCION 8. ESTATICA DEL SOLIDO 8.1. Intoducción Fuezas actuantes sobe un sólido. Ligaduas Pincipio de aislamiento. Diagama de sólido libe y de esfuezos esultantes Ligaduas de los elementos de un bazo aticulado Estado de equilibio de un sólido. Sistemas isostáticos e hipeestáticos INTRODUCCION. Paa iniciase en el estudio de la Dinámica del Sólido, es páctica habitual comenza con el caso más sencillo de estudia: la Estática. De este modo se puede intoduci la noción de fueza de enlace en un sólido ígido sin necesidad de estudia, simultáneamente, su estado cinemático, lo que simplifica el poblema notablemente. Una vez se ha adquiido desteza en el manejo de fuezas, es elativamente sencillo estudia, de foma completa, el poblema dinámico de un sólido ígido o conjunto de sólidos FUERZAS ACTUANTES SOBRE UN SÓLIDO. LIGADURAS. Imaginemos el caso sencillo de un sólido ígido que se mueve po el espacio de foma totalmente libe, incluso sin esta sometido a ninguna fueza gavitatoia; en esta situación, según establece la pimea ley de Newton, el cuepo descibiía un movimiento ectilíneo y unifome. Si la situación anteio se podujea de foma idéntica peo dento del campo gavitatoio teeste, el peso seía la única fueza actuante sobe el sólido (despeciando fuezas de ozamiento y cualesquiea otas); el peso modificaía la tayectoia del cuepo, que ya no seía ectilínea, ni constante su velocidad. El caso más geneal seía el de un cuepo que se ve sometido a distintas esticciones que impiden su libe movimiento. Tales esticciones, como ya vimos al estudia la Dinámica del punto, se denominan ligaduas, y pueden estingi el movimiento del cuepo en una única diección, en dos, en tes, o incluso pueden establece esticciones al gio. Estas esticciones se pueden modeliza mediante unas fuezas o unos momentos que actúan sobe el sólido y que se llaman fuezas de enlace o eacciones, de tal modo que estas eacciones causen los mismos efectos que las ligaduas. En la figua se pueden ve algunos ejemplos junto con las eacciones equivalentes. El caso de una baa en el que uno de sus extemos puede desliza sin ozamiento sobe una supeficie hoizontal y gia libemente, se puede modeliza eliminando la supeficie, y sustituyéndola po una fueza vetical de valo desconocido (R n ), que hace que el extemo de la baa no se pueda desplaza veticalmente. Como existe libetad tanto paa que este extemo se mueva hoizontalmente como paa que gie, no existe ninguna eacción en estos sentidos.

2 El caso del extemo de una baa que pudiea desliza sobe una supeficie hoizontal peo con ozamiento, seía análogo al anteio peo intoduciendo una fueza hoizontal que epesentaía al ozamiento. Esta fueza tendía siempe sentido contaio al movimiento, y admitiendo que el ozamiento es seco, su valo seía popocional a la fueza de eacción nomal (R t =µr n ). Oto caso seía el del extemo de una baa que no puede desplazase en ningún sentido peo tiene libetad paa gia. En este caso, las fuezas de enlace equivalentes seían una eacción vetical (R n ) y ota hoizontal (R t ), que impediían el desplazamiento del extemo. Como el gio está pemitido, no hay eacción en este sentido. Si en el caso anteio, además, intodujéamos la imposibilidad del gio (empotamiento), había que añadi, a las eacciones hoizontal y vetical, un momento (M) que hiciea que el extemo de la baa no giaa. Es necesaio tene en cuenta que, en aquellas baas donde exista un accionado, éste intoduciá unas eacciones adicionales a las estudiadas. También, en el caso de dos baas unidas ente sí, según el pincipio de acción y eacción, los efectos que una baa poduzca sobe la ota seán iguales peo de sentido contaio a los que la ota ejeza sobe la una PRINCIPIO DE AISLAMIENTO. DIAGRAMA DE SOLIDO LIBRE Y DE ESFUERZOS RESULTANTES. Un sólido ígido que esté sometido a una seie de fuezas exteioes y con unas ligaduas, se puede libea de las ligaduas sustituyendo éstas po las eacciones que ejecen sobe el sólido, que seán, en geneal y a pioi, desconocidas. A pati del diagama de sólido libe se puede calcula el diagama de fuezas esultantes en un punto O cualquiea, sin más que aplica, sobe él, la fueza esultante, F = F + R y el momento esultante de las fuezas, M O. i i j j

3 Teniendo en cuenta la ecuación del cambio de cento de momentos M = M + BA F B A se puede educi el sistema de fuezas y momentos en cualquie punto LIGADURAS DE LOS ELEMENTOS DE UN BRAZO ARTICULADO. En el caso paticula de estudia los elementos de un bazo aticulado, el poblema no pesenta especial dificultad, ya que, en pincipio, ninguna aticulación pesenta gado de libetad alguno; es deci, que ninguna aticulación puede movese de foma libe en ninguna diección (ni movimientos lineales ni giatoios). Po ello, cada extemo de cada elemento del bazo tendá, en pincipio, unos esfuezos de ligadua compuestos po una fueza y un momento de diecciones a pioi desconocidas (o lo que es lo mismo, una fueza y un momento en la diección de cada uno de los tes ejes coodenados del sistema de efeencia unido al elemento). Estos esfuezos de ligadua, según el pincipio de acción y eacción, seán iguales y de sentido contaio a los existentes en el extemo del elemento anteio unido al que nos ocupa. Evidentemente, si el bazo con el que tabajamos pesenta alguna simplificación (movimiento plano, o cualquie ota), podemos elimina de entada aquellas fuezas de enlace supefluas. La única peculiaidad que apaece al considea un bazo aticulado eside en el hecho de que, al tene cada aticulación un accionado, la fueza o el momento de enlace ejecida/o en la diección del accionado (según la aticulación sea pismática o giatoia) seá ejecida po el accionado coespondiente, y no po el cuepo de la aticulación. Paa conocela, bastaá calcula la componente de la fueza o el momento de ligadua total en la diección de la aticulación coespondiente. Finalmente deci que, paa calcula los esfuezos estáticos en los elementos de un bazo aticulado, es peciso comenza po el extemo del bazo, es deci, po el último elemento que mantiene el elemento manipulado, y a pati de él, i calculando los esfuezos totales y diagamas de esfuezos esultantes en cada uno de los elementos hasta el elemento unido al sistema fijo ESTADO DE EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO. SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS. Un sólido ígido se encuenta en equilibio cuando tanto la esultante como el momento esultante especto de cualquie punto se anulan:

4 R = 0 y M O = 0 Evidentemente, el equilibio puede se estático (no hay movimiento), o dinámico (existe movimiento peo sin aceleación). Las dos ecuaciones vectoiales anteioes, en un caso geneal, dan luga a seis ecuaciones escalaes. Si las ligaduas del sólido son un númeo meno que el de ecuaciones (seis en un caso geneal), entonces el sistema de ecuaciones tiene solución única, y se dice que el sistema es isostático (se pueden calcula las eacciones). En cambio, puede ocui que el númeo de eacciones sea supeio al de ecuaciones de la estática disponibles, lo que da luga a los sistemas isostáticamente indeteminados ó hipeestáticos, paa cuya esolución es necesaio acudi a ecuaciones que elacionen fuezas con defomaciones, lo que da oigen a una pate de la Física llamada Elasticidad. Como ejemplos, supongamos una baa hoizontal sobe la que actúa una caga P, y apoyada en dos o en tes puntos: P=R1+R2 P=R1+R2+R3 R 1 a=r 2 (l-a) R 1 b+r 2 (b-a)=r 3 (l-b) R 1 =P(l-a)/l R 2 =Pa/l Imposible calcula R 1, R 2 y R 3 SISTEMA ISOSTATICO SISTEMA HIPERESTATICO

5 EJERCICIOS LECCION 8: ESTATICA 8.1- En el mecanismo de la figua, el punto O está fijo y pemite el gio de la baa OA, mientas que el punto B puede desliza, sin ozamiento sobe el suelo. Ambas baas tienen longitud L, existiendo en A una aticulación. En O se aplica un momento M del sentido indicado en la figua. Calcula la fueza hoizontal F que hay que aplica en B paa que el mecanismo esté en equilibio, en la posición indicada en la figua a) despeciando el peso de ambas baas, y b) suponiendo que cada una de ellas tiene una masa m. Solución: a) F M = b) F 2 L sen ϕ M mg = + cot gϕ 2Lsen ϕ La baa AB de la figua tiene longitud L, y desliza en ambos extemos sin ozamiento. Al extemo B se le aplica una fueza hoizontal F Fi =. Calcula, en función de ϕ, la fueza vetical R que hay que aplica al extemo A paa consegui el equilibio a) despeciando el peso de la baa b) suponiendo paa la baa una masa M. Mg Solución: a) R = Fcot gϕ R = Fcot gϕ Sobe la escalea de la figua actúa una fueza P en el punto indicado. Calcula las eacciones en cada una de las patas de la escalea, junto con la tensión en la cueda, en dos supuestos: a) despeciando el peso de la escalea, b) suponiendo un peso Q paa la escalea. Solución: a) N1=2P/3 N2=P/3 T=P/(2(31/2)) b) N1=2P/3+Q/2 N2=P/3+Q/2 T=(4P+3Q)/(8(31/2)) 8.4- El sistema de la figua está fomado po las vaillas AC y BC de longitud L, sin peso y aticuladas en C, donde se caga un peso Q. Sus extemos A y B se unen con un esote de constante k, siendo nula su longitud en eposo. Detemina el valo de Q paa que, en la posición de equilibio, el ángulo ACB sea ecto. Solución: Q= 2 2kL

6 8.5- Un obot tiene la geometía que se indica en la figua, manteniendo un peso Q en el manipulado. Calcula las eacciones (fuezas y momentos) en cada una de las uniones ente elementos del bazo, supuesto éste en eposo.