Dinámica. Principio de Inercia

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1 Dinámica Hemos estudiado algunos de los distintos tipos de movimientos que existen en la natualeza. Ahoa, llegó el momento de explica po qué se poducen éstos movimientos, y de esto se encaga la dinámica. La dinámica se basa en tes pincipios fundamentales, denominados Pincipios de Newton. Tengamos en cuenta que un pincipio es una vedad científica que no se puede demosta expeimentalmente peo que si se puede veifica en foma pacial. Se denomina pincipio poque a pati de él constuiemos toda una teoía, en este caso, de la mecánica clásica. Pincipio de Inecia El pincipio de inecia no fue, estictamente, descubieto po Newton. En ealidad, se sabe que el célebe Leonado da Vinci ( ) lo había intuido años antes peo lo mantuvo en seceto. Fue Galileo Galilei ( ) quien lo descube y lo pesenta al mundo en su famoso libe dialogo sobe dos nuevas ciencias, sin embago, no lo fomula como pincipio básico de la natualeza. Finalmente, Isaac Newton ( ), lo enuncia como el pimeo de sus tes pincipios en su famoso libo Pincipios de filosofía natual, del siguiente modo: Pincipio de Inecia: Si sobe un cuepo no actúan fuezas, o, la suma de las fuezas que sobe él actúan es igual a ceo, el cuepo pemanece en eposo o se mueve con movimiento ectilíneo unifome. Consideaciones: a- El pincipio de inecia nos da po pimea vez una idea claa aceca de lo que es una fueza. Es aquel ente físico capaz de poduci una modificación en el estado de eposo o de MRU de un cuepo. b- También nos explica el po qué un cuepo puede seguise moviendo cuando deja de actua la fueza que lo impulsó. c- Este pincipio no nos dice nada aceca de lo que sucede con un cuepo sobe el cual actúan fuezas, sin embago lo sugiee. Po acción de las fuezas los cuepos se aceleaán, aunque no sabemos de que foma. d- La inecia es una popiedad fundamental de la mateia. Podía definise a la mateia como todo aquel ente físico que posee inecia. Pincipio de Masa Este pincipio si fue descubieto po Newton y es el pincipio que elaciona la fueza aplicada a un cuepo con la aceleación que adquiee. Es el único de los pincipios que se expesa tavés de una ecuación. Pincipio de Masa: La aceleación que adquiee un cuepo es diectamente popocional a la fueza que se le aplica siendo la constante de popocionalidad una magnitud denominada masa del cuepo.!! F = m. a Pof. Claudio A. Naso 41

2 Consideaciones: a- La masa de un cuepo, es la medida de su inecia y está elacionada con la cantidad de mateia que el cuepo posee. b- Como la ecuación es vectoial, es evidente que la aceleación tiene la misma diección y sentido de la fueza. c- Como el peso de un cuepo es una fueza ( la fueza con que la tiea lo atae ), podá calculase aplicando el pincipio de masa, y, teniendo en cuenta que la aceleación que inteviene es la de la gavedad, nos queda:!! P = m. g d- Es evidente que, debido a la consideación anteio, un cuepo tendá la misma masa en todo el univeso, dado que es una caacteística popia del cuepo. Sin embago ese mismo cuepo no pesaá lo mismo en todo el univeso, pues el peso depende de la aceleación de la gavedad y esta depende del planeta en que el cuepo se encuente, inclusive, si el cuepo se encuenta lejos de todo planeta, no pesaá peo seguiá teniendo masa pues habá que aplicale una fueza paa acelealo. e- El pincipio de masa es válido también cuando actúan vaias fuezas sobe el cuepo pues, éstas fuezas sumadas, daán como esultado una fueza a la que se le aplicaá el pincipio.!! Σ F = m. a Pincipio ipio de Acción y Reacción Este pincipio, también conocido como pincipio de inteacción, es quizás el más difícil de compende. Pincipio de Acción y Reacción: Si un cuepo ejece una fueza sobe oto, éste aplica ota fueza igual peo de sentido contaio sobe el pimeo. A la pimea se la denomina acción y a la segunda eacción. Consideaciones: a- Las fuezas son la consecuencia de la inteacción ente dos cuepos, es deci, si solo existiea un cuepo en el univeso, no existiían las fuezas. b- Las fuezas siempe apaecen de a paes, una sobe cada uno de los cuepos que inteactúan. c- Las fuezas de acción y eacción tienen siempe el mismo módulo y son de sentido contaio, sin embago, jamás pueden ponese en equilibio ente sí, pues actúan en cuepos difeentes y paa que dos fuezas iguales y de sentido contaio se equiliben deben actua sobe el mismo cuepo. Sistemas de unidades. En el enunciado de los pincipios de Newton, apaecen dos magnitudes cuyas unidades de medida no están muy claas paa nosotos todavía. Ellas son la masa y la fueza. Históicamente, los sistemas de unidades fueon desaollándose a medida que apaecía la necesidad de medi una magnitud y sus oígenes suelen se confusos. Sin embago, nosotos veemos paticulamente cómo se definieon los tes sistemas más Pof. Claudio A. Naso 4

3 impotantes y utilizaemos de estos tes solo uno: el SIMELA (Sistema mético legal agentino) que adhiee al SI (Sistema intenacional de unidades). Un sistema de unidades tiene unidades fundamentales, estas son aquellas cuyos patones fueon dados po definición; y unidades deivadas, que se obtienen de opeaciones matemáticas ente unidades fundamentales. Básicamente, un sistema de unidades se difeencia de oto po dos conceptos impotantes que genealmente son abitaiamente adoptados, ellos son: 1º- Qué magnitudes se tomaán como fundamentales, es deci, paa qué magnitudes se definián abitaiamente patones de medida. º- Una vez elegidas las magnitudes fundamentales, cuáles seán las definiciones de los patones de medida paa cada magnitud. Sistema Técnico de unidades: Este sistema tiene tes unidades fundamentales que son: La unidad de longitud, la unidad de tiempo y la unidad de fueza. Unidad de longitud: El meto, es la longitud de una egla constuida con una aleación de platino e iidio, que está guadada en la oficina intenacional de pesas y medidas en la ciudad de País. Posteiomente el meto fue edefinido como ,73 longitudes de onda de la línea naanja del kiptón de masa atómica 86, cuando la lampaa emisoa está a 10ºC bajo ceo. Unidad de tiempo: El segundo, es la ava pate de un día sola medio. Unidad de fueza: El kilogamo fueza (Kgf), es la fueza equivalente al peso de un cuepo denominado kilogamo patón constuido con una aleación de platino e iidio y que está guadado en la oficina intenacional de pesas y medidas en la ciudad de País. Es evidente que la unidad de masa de este sistema es una unidad deivada, pues se obtiene de la opeación ente unidades fundamentales aplicando el segundo pincipio de Newton y se la denomina, unidad técnica de masa: m = F a = Kgf m/s = Kgf.s m = UT(m) Sistema MKS de unidades: Su nombe poviene de las iniciales de sus tes unidades fundamentales: meto, kilogamo, segundo y foma pate del SIMELA y el SI., po lo tanto seá el que usaemos en la páctica. La difeencia clave ente este sistema y el técnico es que se eligió ota magnitud como unidad fundamental, la masa. La azón de esta elección fue que mientas que el peso de un cuepo cambia en distintos lugaes del univeso, la masa del mismo pemanece invaiable. Al defini las nuevas unidades fundamentales, el alumno suele confundise pues, la unidad de masa de este sistema lleva el mismo nombe que la unidad de fueza del sistema técnico y el cuepo patón que se utilizó paa definila es también el mismo. Sin embago, es impotante tene en clao que una cosa es el peso de un cuepo y ota totalmente distinta es su masa. Unidad de longitud: El meto, es la longitud de una egla constuida con una aleación de platino e iidio, que está guadada en la oficina intenacional de pesas y medidas en la ciudad de País. Posteiomente el meto fue edefinido como ,73 longitudes de onda de la línea naanja del kiptón de masa atómica 86, cuando la lampaa emisoa está a 10ºC bajo ceo. Pof. Claudio A. Naso 43

4 Unidad de tiempo: El segundo, es la ava pate de un día sola medio. Unidad de masa: El kilogamo masa (Kg.), es la masa de un cuepo denominado kilogamo patón constuido con una aleación de platino e iidio y que está guadado en la oficina intenacional de pesas y medidas en la ciudad de País. Ahoa la unidad deivada seá la de fueza y se denominaá Newton. Sistema cgs de unidades: m s [] = [ m ][]. a = Kg. = N (Newton ) F Su nombe también poviene de las iniciales de sus tes unidades fundamentales: centímeto, gamo, segundo. La difeencia clave ente este sistema y el MKS es que, aunque las magnitudes elegidas como fundamentales son las mismas, se eligieon sub-unidades de los patones del MKS como unidades fundamentales. Unidad de longitud: Unidad de tiempo: Unidad de masa: patón. El centímeto, es la centésima pate del meto. El segundo, es la ava pate de un día sola medio. El gamo masa (g), es la milésima pate de la masa del kilogamo Nuevamente la unidad deivada seá la de fueza peo se denominaá Dina. F = m. a =g. cm s = Dina Equivalencia ente el N y el Kgf: La equivalencia ente éstas unidades suge de la popia definición de las mismas. Supongamos que el cuepo patón denominado kilogamo es el de la figua. Mientas que paa el sistema Técnico el cuepo pesa 1 Kgf, paa el sistema MKS tiene 1 Kg. de masa. Sistema técnico Sistema MKS P = 1 Kgf Po lo tanto la equivalencia es: m = 1 Kg. Si calculamos el peso en este sistema tenemos P = m.g = 1 Kg. 9,8 m s = 9,8 N 1 Kgf = 9,8 N Análogamente pueden deducise todas las equivalencias que esumimos en este cuado: Técnico MKS cgs 1 Kgf 9,8 N Dina Fueza 0,10 Kgf 1 N Dina 0, Kgf 0,00001 N 1 Dina 1 UT(m) 9,8 Kg g Masa 0,10 UT(m) 1 Kg g Pof. Claudio A. Naso 44

5 0,00010 UT(m) 0,001 Kg. 1 g Los pincipios de Newton y los movimientos. Cuando estudiamos cinemática dijimos que mas adelante explicaíamos el po que de cada movimiento. Pues ha llegado el momento de hacelo. 1- M.R.U.: Este movimiento lo explica el pincipio de inecia, paa que apaezca, no debe actua ninguna fueza sobe el cuepo o la suma de ellas debe se ceo. - M.R.U.V.: La causa de este movimiento, seá una fueza constante (que puede se esultante de mas de una fueza aplicada), que tenga la misma diección que el vecto velocidad del cuepo en cuestión. 3- Movimiento cicula unifome (MCU): Este movimiento se poduce cuando sobe un cuepo actúa una fueza de módulo constante que en todo momento tiene una diección pependicula al vecto velocidad. Ejemplo 1: Un hombe pesa 70 kgf en la tiea. Calcula su masa y su peso en la tiea y en la luna en sistemas técnico y MKS. (g T =9,8 m/s, g L =1,67 m/s ) Solución: (sistema MKS). Po lo tanto: MKS En la tiea: m=70 kg m P = m g = 70 kg 9,8 s En la luna: m=70 kg Si el cuepo pesa en la tiea pesa 70 kgf (sistema técnico), su masa es 70kg = m P = m g = 70 kg 1,67 s = 686 N 116,9 N Técnico: En la tiea: P=70kgf P 70 kgf m = = g m 9,8 s En la luna: m= 7,14 UT(m) = 7,14 UT(m) Kgf s P = m g = 7,14 m m 1,67 s = 11,9kgf Ejemplo : Sobe un cuepo que pesa 30 kgf que está apoyado en una supeficie hoizontal actúa una fueza paalela al plano de 70 N. Calcula la aceleación que adquiee: Solución: Si el cuepo pesa 30 kgf en la tiea tiene 30 kg de masa. Po lo tanto: kg m 70 F s m F = m a a = = = 7 m 30kg s Pof. Claudio A. Naso 45

6 Fuezas espaciales: Estudiaemos ahoa algunas fuezas que apaecen fecuentemente en la natualeza: a- Fueza de eacción nomal de apoyo ( Nomal): Esta fueza, apaece siempe que un cuepo está apoyado sobe una supeficie y es consecuencia de la inteacción ente el cuepo y la supeficie de apoyo. Su valo depende de las condiciones físicas en cada caso. Veamos algunos ejemplos. 1- Cuepo apoyado sobe una supeficie hoizontal: En este caso, la fueza peso hace que el cuepo aplique ota fueza conta la supeficie, po lo tanto y debido al pincipio de acción y eacción, la supeficie de apoyo aplicaá una fueza igual y de sentido contaio sobe el cuepo. Ésta es la fueza de eacción nomal de apoyo. En este caso, puede vese claamente que su módulo es igual al peso del cuepo. Peo es impotante tene clao que no siempe seá así, es mas, éste es el único caso. En el dibujo, P es el peso del cuepo, N la fueza que el cuepo le aplica a la supeficie y N la fueza nomal. Si hacemos el diagama de cuepo libe paa el cuepo y aplicamos el segundo pincipio de Newton, nos queda:!! Σ F = m. a Como solo actúan fuezas en Y: Σ F y = m. a y Y como en el eje Y la aceleación es ceo, tenemos: N - P = 0 N = P b- Tensión: Se denomina tensión a toda fueza que, sobe un cuepo, ealice una soga o cueda. Se indica con la leta T. Veamos algunos ejemplos. Pof. Claudio A. Naso 46

7 1- Cuepo suspendido de una soga en eposo: En el pime dibujo se obseva el sistema completo fomado po el techo, la soga, el cuepo y el planeta tiea. Todos estos cuepos inteactúan. Paa simplifica el análisis, diemos que el peso de la soga es despeciable y po eso no lo tendemos en cuenta. La pimea inteacción que obsevamos es la del cuepo con el planeta, si el planeta atae al cuepo, el cuepo atae al planeta, acción y eacción ( P y P ). En el segundo dibujo, sepaamos los cuepos y hacemos un diagama de cuepo libe paa cada uno de manea que se puedan ve claamente las inteacciones y los paes de acción y eacción. El cuepo tia de la soga y la soga tia del cuepo con tensiones T 1 y T 1 que po se paes de acción y eacción, son iguales. La soga tia del techo y el techo tia de la soga con tensiones T y T que también son iguales ente si po la misma azón que las anteioes. Como el sistema está en eposo el segundo pincipio de Newton aplicado al cuepo nos queda:!! Σ F = m. a Como las fuezas solo actúan en el eje Y nos queda: ΣF y = m. ay T 1 - P = m. a y = 0 T 1 = P c- Fuezas de ozamiento: Todos conocemos el hecho de que cuando un móvil se desplaza en la tiea, sobe él actúan fuezas que se le oponen y que son ejecidas po el medio ( aie, supeficie de apoyo, etc., que inteactúa con el cuepo. Estas fuezas se conocen con el nombe de fuezas de ozamiento. Podemos clasifica estas fuezas en dos gandes gupos: 1- Fuezas de ozamiento viscoso: Estas fuezas apaecen cuando un cuepo se desplaza a tavés de un fluido ( Líquido o gas ), como consecuencia de la inteacción de el cuepo con el fluido. Pof. Claudio A. Naso 47

8 El valo de la fueza depende de múltiples factoes ente los que se encuentan: Las caacteísticas del fluido, la foma del cuepo, la velocidad con que se desplaza ( cuanto mayo sea ésta mayo es la fueza de ozamiento ). Como nosotos estamos estudiando la dinámica del punto móvil, no tenemos en cuenta la foma del cuepo y, po lo tanto, esta fueza de ozamiento no seá estudiada en éste cuso. - Fueza de ozamiento po deslizamiento: Esta fueza apaece siempe que un cuepo que esta apoyado en una supeficie se intenta pone en movimiento o esta moviéndose. Apaece como consecuencia de la inteacción del cuepo con la supeficie de apoyo. Expeimentalmente se puede obseva: Este ozamiento se debe ugosidades popias de las supeficies de contacto y a la adheencia ente ellas. Este hecho se veifica claamente poque cuanto mejo pulidas estén las supeficies, meno es la fueza. La fueza de ozamiento siempe se opone al movimiento, tiene la misma diección que el desplazamiento peo esta diigido en sentido contaio. No es necesaio que haya movimiento paa que la fueza de movimiento actúe. A tavés del siguiente expeimento podemos detemina de que depende la fueza de ozamiento y enconta una expesión paa calculala. Colocamos un bloque de madea sobe un plano hoizontal y tiamos de él mediante una soguita que pasa po una polea y en cuyo extemo se encuenta suspendido un platillo que podemos caga con pesas, como indica la figua. 1- Cagamos el platillo con una pequeña pesa, sin embago el bloque no se mueve. Esto significa que la fueza aplicada es equilibada po la de ozamiento, pues: a x =0 ΣF x =0 T-f =0 T=f Conclusión: Si no hay aceleación la fueza de ozamiento es igual a la fueza aplicada. - Comenzamos a coloca en el platillo pesas de manea que la fueza aplicada sobe el bloque aumente lentamente. Llega un momento límite paa el cual, si agegamos una pesa más, el bloque comenzaá a acelease, esto significa que: T >f. T - f = m. ax Una vez en movimiento, se obseva que paa que el bloque se mueva con velocidad constante hay que quita algo de peso en el platillo, hasta que nuevamente: T = f Ahoa el bloque se moveá po inecia. Conclusiones: Llamaemos ozamiento estático a la fueza de ozamiento que existe ente dos supeficies en eposo una especto de la ota. Puede toma cualquie valo ente ceo y una máximo. La fueza máxima de ozamiento estático es igual a la fueza mínima necesaia paa pone en movimiento al cuepo. Se llama fueza de ozamiento cinético a la fueza necesaia paa mantene el movimiento una vez iniciado. 3- Si el bloque se apoya sobe ota caa que tenga distinto tamaño, se obtienen los mismos esultados. Peo si colocamos sobe el bloque un peso adicional o cambiamos las caacteísticas de las supeficies de contacto, ( Po ejemplo, le pegamos papel de lija a la caa Pof. Claudio A. Naso 48

9 del bloque que esta en contacto con la mesa ) se obseva que el valo de la fueza de ozamiento cambia. Si el peso del bloque se duplica la fueza de ozamiento también, si se tiplica el peso del bloque, lo mismo sucede con la fueza de ozamiento, y así sucesivamente. Conclusiones: La fueza de ozamiento, depende de las caacteísticas de las supeficies de contacto. La fueza de ozamiento es diectamente popocional a la fueza de inteacción ente las supeficies, es deci, es diectamente popocional a la nomal. Cálculo de la fueza de ozamiento: Fueza de ozamiento estático máxima: La fueza de ozamiento estático máxima, es diectamente popocional a la nomal, siendo la constante de popocionalidad una magnitud que depende de las caacteísticas físicas de las supeficies de contacto y que se denomina: Coeficiente de ozamiento estático y se indica con el siguiente símbolo: µ e. e µ e = f máx f e = µ e. N máx N Fueza de ozamiento cinético: La fueza de ozamiento cinético, es diectamente popocional a la nomal, siendo la constante de popocionalidad una magnitud que depende de las caacteísticas físicas de las supeficies de contacto y que se denomina: Coeficiente de ozamiento cinético y se indica con el siguiente símbolo: µ c. c µ c = f f c = µ c. N N Impotante: Los coeficientes de ozamiento son adimensionales, es deci, no tienen unidades y siempe: µ e > µ c Fuezas ineciales: Imaginemos el inteio del vagón de un ten que no tiene ventanillas. Dento de el hay una mesa, una pelota de tenis sobe ella, una silla y un hombe sentado, como indica la figua. Si el vagón acelea, nosotos veemos claamente desde afuea que el hombe se acelea hacia la pelota que, si consideamos que no tiene ozamiento conta la mesa, continua con velocidad constante. Peo qué obseva el hombe? Como se encuenta en el inteio del vagón, veá que la pelotita se acelea hacia él. Peo como conoce el segundo pincipio de Newton, el hombe azona que debe habe una fueza sobe la pelota aplicada en su diección. Sin embago, po mas Pof. Claudio A. Naso 49

10 que busca, no encuenta ningún cuepo que esté inteactuando con la pelota paa aplicale dicha fueza, cuepo que debeía existi si tenemos en cuenta el pincipio de acción y eacción. En éste momento el hombe desespea pues ve que los pincipios de Newton que con tanto esfuezo apendió no se cumplen. Entonces, decide inventa una fueza que, aunque no sabe de donde poviene, actúa sobe la pelotita y la hace acelea. A esta fueza se la denomina fueza inecial o pseudo fueza. El poblema suge poque el sistema de efeencias que utiliza el hombe está aceleado y el no lo sabe. ( Si algún alumno ha asistido alguna vez en un paque de divesiones a la casa encantada, habá obsevado fenómenos de este tipo, debido a que el piso, las paedes y todos los objetos en el inteio de la casa se encuentan inclinados 45º. De esta manea nos pedemos de la vetical y la aceleación de la gavedad actúa en una diección paa nosotos desconocida haciendo que obsevemos fenómenos que apaentemente desafían las leyes de Newton.) Los sistemas de efeencias que se encuentan en eposo o en MRU, se denominan ineciales; los que se encuentan aceleados se denominan no ineciales. Definición: Se denominan fuezas ineciales o pseudo fuezas a aquellas que hay que inventa en un sistema de efeencias que se encuenta aceleado ( no inecial ) paa que en él se cumpla el pincipio de masa:!! F inecial = m. a Fuezas centípeta y centífuga:fueza centípeta: Si obsevamos desde un sistema de efeencias inecial a un cuepo giando con una movimiento cicula, veemos la acción de una fueza que es la esponsable de la aceleación centípeta. Su módulo se calcula como el poducto de la masa po el módulo de la aceleación centípeta y po supuesto, al igual que ésta, está diigida hacia el cento de la tayectoia.! F = m.! c a c! F c = m.! v Es impotante destaca que esta clasificación es, en esencia, distinta a las anteioes, ya que en las fuezas: nomal, tensión, ozamiento y elástica, hacíamos efeencia a las causas que las poducían, mientas que en la centípeta hacemos efeencia a la consecuencia que la fueza poduce. Esto significa que la fueza centípeta, puede se ejecida po una tensión, una nomal, una fueza de ozamiento, una fueza elástica o cualquie ota inteacción. Fueza centífuga: El témino fueza centífuga es mucho más común paa nosotos que el de fueza centípeta, peo Qué es la fueza centífuga? Como hemos visto, desde un sistema de efeencias ubicado fuea del conjunto en otación, es claamente obsevable la acción de la fueza centípeta que obliga al móvil a cuva su tayectoia haciéndolo descibi un movimiento cicula. Peo si el sistema de efeencias se ubica sobe el conjunto en otación, las cosas ya no son tan claas poque se tata de un sistema de efeencias no inecial, pues está aceleado. Imaginemos que nos encontamos dento del tambo de un lavaopas gigante y que alguien enciende en la posición de centifugado. El cilindo comienza a gia velozmente y Pof. Claudio A. Naso 50

11 nosotos sentimos que una fueza nos pesiona conta la paed inteio del tambo. Po mas que intentamos sepaanos de ella, no podemos hacelo. Conociendo los pincipios de Newton, buscamos al cuepo que inteactúa con nosotos empujándonos hacia el exteio, sin embago no lo encontamos. Peo según el pincipio de masa, si somos aceleados hacia afuea, debe habe una fueza que lo haga. Llegados a este punto decimos que aunque no vemos la causa, existe una fueza que nos impulsa a la que denominamos fueza centífuga. Si tenemos en cuenta lo estudiado anteiomente nos daemos cuenta de lo que sucede. La fueza centífuga es una fueza inecial o pseudo fueza. Ella solo existe paa el obsevado ubicado dento del sistema en otación. Un obsevado exteio veá claamente la acción de la fueza centípeta. Desde ya que el valo de la fueza centífuga es el mismo que el de la centípeta peo su sentido es contaio. Es impotante tene en clao que la fueza centífuga no es la eacción de la centípeta. En el caso del tambo de lavaopas, si se obseva desde un sistema de efeencias inecial exteio, se ve claamente la inteacción ente la paed del tambo y el hombe. La paed aplica una fueza sobe el hombe hacia el cento del cilindo ( acción ) y el hombe aplica ota fueza sobe la paed diigida hacia afuea, ( eacción ). Desde el sistema de efeencias ubicado en el inteio del tambo el hombe afima que sobe él ( no sobe la paed ), actúa una fueza que lo empuja hacia afuea (fueza inecial). Fuezas Gavitatoias: Ley de gavitación univesal. La gan pegunta de la mecánica es Po qué se mueven loas cosas? y la espuesta paece esta en los pincipios de Newton. Sin embago todavía no está todo dicho. Desde la antigüedad, los hombes se peguntaon aceca del movimiento de los astos. Ptolomeo (S II DC), había adoptado las ideas de Aistóteles, quien afimaba que la tiea ea el cento del univeso y que todos los astos giaban alededo de ella según esfeas de cistal concénticas con la tiea. Aistóteles había agegado a esto, que la mateia con que estaban constituido los astos ea distinta a la mateia de los objetos en la tiea y entonces las clasifico en mateia celeste y mateia teeste, espectivamente. La mateia teeste necesitaba paa movese de una fueza que la impulsaa constantemente, mientas que la mateia celeste, se impulsaba po si misma y po ésta azón los cuepos celestes se movían solos en el fimamento. Como sabemos, esta teoía tenía vaios poblemas: Algunos astos como la luna, se mantenían siempe a la misma distancia de la tiea y otos como el sol, paecían alejase y acecase peiódicamente. La mayoía de las estellas paecían cumpli con la ley de las esfeas de cistal, peo existían algunos astos como mecuio, Venus, Mate y Júpite que se movían capichosamente en el espacio sin segui ninguna ley sencilla. A estos se los denominó planetas que en giego significa eantes o vagabundos. Como hemos visto, en el siglo XVI, muchos pensadoes dudaban ya del sistema de Ptolomeo y algunos como Copénico, se habían animado a cambia, colocando al Pof. Claudio A. Naso 51

12 sol como el cento del sistema sola y afimando que la tiea ea un planeta más que giaba alededo del sol según cicunfeencias concénticas con él. Posteiomente, Keple, haciendo obsevaciones muy pecisas, cambia la idea de óbitas ciculaes po óbitas elípticas y fundamenta que la luna sí se encuenta giando alededo de la tiea. Galileo, coincide totalmente y utilizando su telescopio, descube las lunas de Júpite, que confiman las ideas de planetas y lunas giando alededo de ellos. Peo faltaba una ley que explicaa todos estos movimientos y unificaa la mecánica. Fue Isaac Newton quien logó esta ley fabulosa, conocida hoy como ley de gavitación univesal. Newton no ceía que la mateia celeste fuea distinta que la teeste y se le ocuió que la misma fueza que hacía cae una manzana a la tiea ea la esponsable de que la luna cuvaa su tayectoia haciéndola gia alededo de la tiea en un movimiento de caída constante. En ésta idea se puso a tabaja utilizando las obsevaciones de Keple y Galileo. Luego de una labo sobebia de análisis de datos, compaginación e intuición física concluyó que: a- Los cuepos se ataen po el solo hecho de posee masa. b- Esta fueza de atacción solo se hace nota cuando al menos uno de los cuepos que inteactúan es enomemente gande, como un planeta. c- No es necesaio que los cuepos estén en contacto paa que esta fueza actúe, es deci, es una fueza de inteacción a distancia. Ley de gavitación: La fueza de atacción ente dos cuepos, tiene una diección que coincide con la ecta que los une y su módulo es diectamente popocional al poducto de las masas e invesamente popocional al cuadado de las distancia que las sepaa.! F m1. m = G La constante de popocionalidad G ente las magnitudes depende del sistema de unidades adoptado y se conoce con el nombe de constante de gavitación univesal. Su valo en el sistema intenacional es: G = 6,67 10 N. m -11 Kg Ejemplo 4: Calcula el adio de la óbita de la luna teniendo en cuenta que la masa de la tiea es 5,98x10 4 Kg. Solución: Obsevemos que la fueza de gavitación sobe la luna en este caso, actúa como centípeta, pues es la encagada de que la luna no continúe con MRU y cuve su tayectoia giando alededo de la tiea. Pof. Claudio A. Naso 5

13 Aplicamos paa el cálculo de F, la ley de gavitación univesal y el segundo pincipio de Newton:! mt. ml F = G!! F = ml. ac = m L! v. Como se tata de la misma fueza podemos iguala las ecuaciones, cancela la masa de la luna y despeja el adio de la óbita: mt. m G L m G T = m L! = v! v. m = G! v La velocidad de taslación de la luna puede calculase teniendo en cuenta el peíodo de otación que es de 8 días ( s.): T!. π. v = T =G m =G m. T = G m. T T 3 T T 3 4. π. 4. π 4. π T 4-11 N. m 5,98 10 Kg. (41900s) = 3 6,67 10 = m Kg 4.3,14 = Km PROBLEMAS Y PREGUNTAS DE DINÁMICA 1- Cómo se define masa de un cuepo? - Un cuepo tiene el mismo peso y la misma masa en toda la tiea o en oto planeta? Po qué? 3- Cuáles son las unidades fundamentales de los sistemas MKS, cgs, y Técnico? 4- Contesta vedadeo o falso a las siguientes afimaciones justificando en cada caso su espuesta. a) Si sobe un cuepo actúa una sola fueza este se moveá con MRU. b) Las fuezas de acción y eacción están aplicadas sobe el mismo cuepo. c) Un kilogamo masa (kg) es lo mismo que un kilogamo fueza (kgf) Pof. Claudio A. Naso 53

14 d) Si sobe un cuepo actúan dos fuezas es posible que se mueva con MRU. e) Paa que un cuepo se acelee se le deben aplica una o mas fuezas. f) Paa que un cuepo se ponga en movimiento la fueza de acción debe se mas gande que la de eacción. g) Cuando sobe un cuepo dejan de actua fuezas se detiene. h) La fueza nomal es l eacción de la fueza peso. 5- Un cuepo pesa 5 kgf. Indica su masa expesada en sistema técnico y MKS. Resp:,55 UT(m), 5 kg 6- Calcula la fueza que habá que aplica a un cuepo de 85 kg paa que adquiea una aceleación de 9 m/s. Resp: 765 N. 7- Qué fueza expesada en N y Kgf. habá que aplica a un cuepo de 0 kg paa que adquiea una aceleación de 15 m/s. Resp: 300 N, 30,6 kgf 8- Calcula la masa de un cuepo que al aplicale una fueza de 500 N adquiee una aceleación de 6,5 m/s. Resp: 80 kg. 9- Expesa en N el valo de las siguientes fuezas. a) F= 8 Kgf. b) F= dina c) F= 90 Kgf. d) F= dina 10- Expesa en kg el valo de las siguientes masas. a) m= 4 UT(m) b) m= 300 g c) m= 0,5 UT(m) d) m= g. 11- Qué fueza habá que aplica a un cuepo de 40 kg paa que desde el eposo adquiea una velocidad de 50 m/s en 0 seg. Resp: 100 N. 1- Una fueza actúa sobe un cuepo que pesa 5 kgf, inicialmente en eposo, y le hace ecoe 80 m en 10 s. Calcula su valo. Resp: 8 N 13- Sobe un cuepo actúa duante 15 s. una fueza de 10 kgf. que le hace, patiendo del eposo, ecoe 450 m Cuál es el peso del cuepo? Resp: 40,1 N. 14- Un ten que tiene una masa de 80 toneladas, machaba a 90 km/h y se detuvo en 50 s. Admitiendo que la fueza de fenado es constante, calcula su valo. Resp: N. 15- Un vehículo de 4900 kg. inicialmente en eposo colocado en un plano hoizontal, es empujado po 5 hombes que aplican cada uno una fueza de 40 kgf. Calcula la distancia que ecoe en 3 s Resp: 1,8 m. 16- Sobe un cuepo actúan dos fuezas hoizontales como indica la figua. Sabiendo que pesa 40 N, calcula la aceleación que adquiee. Resp: 3 m/s. Pof. Claudio A. Naso 54

15 17- Sobe el cuepo que se indica en la figua actúan 3 fuezas, que le hacen adquii una aceleación de,5 m/s. Calcula su masa. Resp: 57,6 kg. 18-Un hombe de masa 80 kg está paado sobe patines. En un instante dado, ejece una fueza hoizontal de 50 N sobe una vagoneta de feocail que pesa media tonelada. Suponiendo que la fueza de ozamiento ente el hombe y el piso y ente la vagoneta y el iel es despeciable, indica: a) La fueza hoizontal que actúa sobe el hombe. b) La aceleación que adquiee la vagoneta en ese instante. c) La aceleación que adquiee el hombe en ese instante. d) El tipo de movimiento que ealizan el hombe y la vagoneta después de pede contacto.- Resp: 50 N, 0,5 m/s, 3,1 m/s, MRU 19- Un cuepo de masa m= 10 kg está apoyado sobe una supeficie hoizontal, sin ozamiento. Una pesona tia de una soga inextensible fija al bloque en diección hoizontal, con una fueza de 0 N. a) Analiza cuáles son los paes de acción y eacción en las inteacciones de la mano con la soga, la soga con el bloque, el bloque con la tiea y con el plano sobe el que está apoyado. b) Calcula la aceleación del bloque, suponiendo despeciable la masa de la soga.- Resp: m/s 0) Un cuepo de 50 kg esta apoyado sobe una supeficie hoizontal de µ = 0,7. Sobe el se aplica una fueza de 500 N en diección paalela al plano de apoyo. Calcula la aceleación que adquiee. Resp: 3,14 m/s.. 1) Sobe un cuepo de 10 kg apoyado sobe una supeficie hoizontal se aplica una fueza de 00N en diección paalela al plano de apoyo. El cuepo adquiee una aceleación de 15 m/s en el mismo sentido que la fueza aplicada. Calcula: a) El valo de la fueza de ozamiento. b) El valo del coeficiente de ozamiento. Resp: 50 N ; 0,51 ) Un cuepo de 5 kg es pesionado conta una paed vetical po acción del viento con una fueza de 00N. Si el cuepo desciende con una aceleación de m/s. Calcula: a) La fueza de ozamiento. b) El coeficiente de ozamiento. Resp: 39 N ; 0,195 3) Un cao como el que se indica en la figua tiene una masa de 500kg y se desplaza con una velocidad de 50m/s. En un deteminado instante acciona el feno, constituido po un esote de k=9000 N. que pesiona una zapata de feno conta la supeficie de apoyo. Si en el momento de fenado el esote esta compimido 40 cm. y se detiene a los 10 s. Calcula: a) Fueza de ozamiento. b) Coeficiente de ozamiento. Pof. Claudio A. Naso 55

16 Resp: 500 N ; 0,694 4)Dos masas de 10 kg están unidad a los extemos de una vailla ígida que mide 1 m. Dicha vailla gia en un plano hoizontal alededo de un eje que pasa a 40 cm. de una de las masas con una fecuencia de 1/s. Calcula la fueza centípeta que debe aplica el eje a tavés de la vailla sobe cada masa. Resp: 631 N ; 946,5 N. 5) Un niño hace gia un balde con l. de agua según un plano vetical utilizando una soga que mide 1 m. Calcula la mínima velocidad con que debe gia paa que no se caiga Qué fecuencia coesponde a dicha velocidad? Resp: 3,13 m/s ; 0,5 Hz. 6) Qué velocidad debeá tene un satélite de 500 kg. paa que gie en una óbita a km. del cento de la tiea? (masa de la Tiea m = 5, kg. Resp: 141 m/s = 5084 km/h. 7) Una masa de 10 kg está unida a un esote de k=3000 N/m y gia alededo de un punto en el cual se encuenta fijo el oto extemo del esote. Si la longitud inicial del esote es 0,8 m A qué velocidad debeá gia paa que se estie 0 cm? Resp: 7,75 m/s. 8) Un automóvil de 600 kg debe toma una cuva que tiene un adio de 80 m. Si el coeficiente de ozamiento ente piso y gomas es µ =0,8. Calcula la velocidad máxima de gio. Resp: 5 m/s = 90 km/h. 9) Dos masas están unidas po una cueda inextensible y de masa despeciable como indica la figua. Siendo m 1 = 50 kg y m =30 kg. Calcula la aceleación del sistema y cuál es la tensión en la cueda? Resp:,45 m/s ; 367,5 N. 30) Dos masas están unidas po una cueda inextensible y de masa despeciable como indica la figua. Siendo m 1 = 60 kg y m = 0 kg. Si no existe ozamiento ente la m 1 y la supeficie, calcula la aceleación del sistema y la tensión de la cueda. Realiza el mismo cálculo si el coeficiente de ozamiento es µ = 0, Resp:,45 m/s ; 147 N ; 0,98 m/s ; 176,4 N. Pof. Claudio A. Naso 56

17 31) Sobe un cuepo de 30 kg que se encuenta en eposo sobe una supeficie hoizontal que tiene un coeficiente de ozamiento estático µ e =0,5 y cinético µ c =0, se aplica una fueza paalela al plano de apoyo. Calcula: a- el mínimo valo de la fueza paa que se ponga en movimiento. b- Una vez en movimiento, si se sigue aplicando la fueza, cuál es la aceleación del cuepo. c- Hasta qué valo debeía disminuise la fueza aplicada paa que se desplace con MRU. Resp: 147 N,,94 m/s, 58,8 N. 3) Un cuepo de 70 kg se desliza con una velocidad de 5 m/s sobe una supeficie hoizontal sin ozamiento hasta que enta en una zona con ozamiento y a pati de allí se detiene después de 0 seg. Calcula el coeficiente de ozamiento cinético. Resp: 0,18 33) Dos cuepos se encuentan apoyados sobe una supeficie hoizontal que tiene un coeficiente cinético 0,4 y unidos po una soga inextensible y de masa despeciable, siendo sus masas m 1 = 0 kg y m = 60 kg. Una fueza tia de m hacia la deecha povocándole al sistema una aceleación de m/s. Calcula: a- El valo de dicha fueza. b- El valo de la tensión en la soga. Resp: 473,6N, 118,4 N 34) Tes cuepos m 1 =10 kg, m =30 kg y m 3 =30 kg se encuentan unidos po dos sogas inextensibles y de masa despeciable como indica la figua. Si el sistema pate del eposo y el coeficiente de ozamiento cinético es µ=0,. Calcula: a- la aceleación del sistema. b- La tensión en las sogas. c- Cuanto debeía se el coeficiente de ozamiento estático mínimo paa que el sistema pemanezca en eposo. Resp: 3,08 m/s ; 50,4 N; 01,6N; 0,75 35) Tes cuepos m 1 =50 kg, m =0 kg y m 3 se encuentan unidos po dos sogas inextensibles y de masa despeciable como indica la figua. Si el sistema pate del eposo y el coeficiente de ozamiento cinético es µ=0,4. Calcula: a- El valo de m 3 paa que el sistema acelee 1m/s. b- La tensión en las sogas. c- Cuanto debeía se el coeficiente de ozamiento estático mínimo paa que el sistema pemanezca en eposo. Resp: 7,955 kg; 46N; 70N; 0,56 36) Tes bloques están unidos como indica la figua. Las masas son m 1 = 3kg, m = kg., m 3 =10kg. Se despecian las masas de las cuedas; el coeficiente de ozamiento cinético ente el cuepo m y el plano es 0,1. Si el sistema pate del eposo, calcula: a) El módulo de las fuezas en cada una de las cuedas. b) El módulo de la aceleación de cada bloque.- Resp:1,37 m/s, 34,11 N, 86,3 N Pof. Claudio A. Naso 57

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