I MAGNITUDES Y MEDIDAS

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3 I MAGNITUDES Y MEDIDAS

4 1. MAGNITUDES Se llama magnitud a cualquie caacteística de un cuepo que se puede medi y expesa como una cantidad. Así, son magnitudes la altua de un cuepo, la tempeatua, y no son magnitudes el sabo de una futa, la bondad de una pesona, etc. Se llaman magnitudes deivadas las que pueden expesase en función de otas magnitudes, y fundamentales las que se toman como base paa defini las demás. La decisión de qué magnitudes se considean fundamentales se tomó en un momento deteminado, de foma que hoy tomamos como fundamentales la longitud [L], la masa [M], el tiempo [T], y adicionalmente otas como la tempeatua, la intensidad de coiente eléctica, etc. Paa sabe la expesión de una magnitud deivada, en función de las fundamentales, se usan las llamadas ecuaciones de dimensiones. Tomando la ecuación con la que calcu - lamos una magnitud, sustituimos cada magnitud po las dimensiones coespondientes: Ejemplo: Obtene las ecuaciones de dimensiones de la velocidad, la aceleación y la fueza. Paa la velocidad: Paa la aceleación: a v v t e t [] L [] T [ ][ ] [] T [ ][ ]1 1 === TL TL == = TL [ ][ ]

5 Y en cuanto a la fueza: [ ][ ][ = = TLMamF ] Dento de las magnitudes cabe distingui ente MAGNITUDES ESCALARES, en las que sólo es necesaio un númeo paa caacteizalas (el metal está a 300 C), y MAGNITUDES VECTORIALES, en las que es necesaio conoce la diección y el sentido asignado a la magnitud. Si digo: «El ten se mueve a 10 km/h», está clao que no es lo mismo que se diija al su, al note o venga diectamente hacia nosotos, con lo cual paa caacteiza algunas magnitudes, como la velocidad, es impescindible da la cantidad, la diección y sentido.. UNIDADES DE MEDIDA Cuando decimos que una magnitud es algo que se puede medi, tenemos que pensa qué significa medi. MEDIR consiste en compaa algo con un patón, que en pincipio podía se la longitud de nuesto pie (la mesa mide cinco pies de ancha), el volumen de nuesta mano (he tomado tes puñados de tiea), etc. Así, cuando medimos, damos una cantidad, y la unidad que hemos tomado como patón (el pie, el puñado, etc.). El poblema se pesenta si ota pesona tuviea que compaa nuestas medidas y calzaa un 47, mientas nosotos usamos un 39. Paa evita esos poblemas un conjunto de países se eunieon y decidieon toma unos patones comunes de medida, el llamado Sistema Intenacional de unidades (SI). Magnitud Unidad Símbolo Longitud meto m Masa kilogamo kg Tiempo segundo s Tempeatua kelvin K Cantidad de mateia mol mol Intensidad eléctica ampeio A

6 A su vez, se definen los múltiplos o submúltiplos de estas unidades como potencias de diez, según la siguiente tabla: MÚLTIPLOS SUBMÚLTIPLOS Facto Pefijo Símbolo Facto Pefijo Símbolo 10 1 deca Da deci d 10 hecto H 110 centi c 10 3 kilo K mili m 10 6 mega M mico μ 10 9 giga G nano n 10 1 tea T 10 1 pico p Paa ealiza una convesión de unidades, se utilizan los factoes de convesión, que son facciones en las que se esciben las elaciones ente las unidades a conveti. Ejemplo: Realiza las siguientes convesiones de unidades: m km 5 m/s km/h 0,00006 cm mm 3 litos m 3 Como 1 lito = 1 dm 3 ; 1 km m = km 10 km m m 1 km 60 s 60 min 5 60 km km 5 = 90 s m 1 min 1 h h h 10 mm 10 mm, cm =, cm cm = 1 cm 1 cm,= mm,0 006 mm 1 dm 1l 1 m dm = l = m =,0 003 m 3

7 3. PROCESOS DE MEDIDA: ERRORES Cuando se ealiza una medida, es deci, cuando compaamos una magnitud con un patón, no podemos da un esultado completamente peciso, y ello puede ocui po vaias azones, como ahoa veemos. Paa expesa el esultado más coecto posible utilizamos el edondeo. Paa edondea tomamos una cifa como última significativa, y si el valo de la cifa de la deecha es mayo que cinco, la significativa se aumenta en una unidad. Redondea el númeo 0, Ejemplo: Sin decimales. La cifa a la deecha del 0 es un 7, luego queda como 1. 1 decimal. Seía 0,7, peo al se un 8 el de la deecha se incemente, quedando 0,8. decimales. En este caso, el ceo no altea al númeo anteio, po lo que es 0,78. 4 decimales. Al se un cinco el númeo siguiente a la última cifa significativa se incementa en una unidad, 0,7804. Una vez entendido el poceso de edondeo, vamos a estudia los tipos de eo que podemos encontanos: ERRORES SISTEMÁTICOS Ocuen siempe que se ealiza la medida, po ejemplo po la pecisión máxima del ins tumento de medida (en este caso, el eo es la mitad de la pecisión del instumento). ERRORES ACCIDENTALES Ocuen accidentalmente, es deci, pueden poducise en una medida y no en ota (po ejemplo, po un eo de la pesona que ealiza la medida). Se coigen tomando vaias medidas y calculando la media. El poceso de medida consistiá entonces en: Realiza vaias medidas y calcula la media de ellas.

8 Halla la media del valo absoluto de la difeencia ente las medidas y la media calculada. El mayo ente este númeo y la incetidumbe de la medida (la mitad de la pecisión del instumento) es el eo absoluto de la medida. Dividi el eo absoluto ente el esultado de la medición y multiplica po cien. (Éste es el eo elativo.) Ejemplo: Con un meto de 1 mm de pecisión, se toman cinco medidas de la anchua de una tabla, obteniéndose los siguientes esultados: 389, 39, 375, 385 y 38 mm. Calcula la medida, el eo absoluto y el eo elativo. El eo intoducido po la pecisión del instumento es 0,5 mm. La medida seá la media de las lectuas: = 384,6 5 El eo, calculado como media de las difeencias ente las lectuas y el valo medio, en valo absoluto, es: = ++++ = = 5 5 Así, como 5 es mayo que la pecisión 0,5, la medida se escibe como 385±5 mm (hemos edondeado el valo medio sin decimales, debido al eo obtenido). El eo elativo cometido es: = %3,1 385

9 II CINEMÁTICA

10 1. CONCEPTOS BÁSICOS POSICIÓN La posición de un cuepo esponde a la pegunta: Dónde está? Paa ve cómo espondemos a esta pegunta, consideemos un tesoo escondido en un páamo como se ve en la figua: 7 metos 3 metos N E metos 7'30 metos Paa indica dónde está enteado podíamos deci, según el pime dibujo: desde el ábol, 7 metos hacia la pieda y 3 metos hacia la deecha, o, según vemos en el segundo: metos hacia el note y 7,3 metos hacia el este. Si pensamos bien, paa especifica la posición del tesoo hemos necesitado: Toma un oigen, en nuesto caso el ábol. Maca unas diecciones, ábol-pieda y pependicula, o note y este. Señala las distancias (coodenadas) del tesoo en esas diecciones. Está clao que podemos toma cualquie pa de diecciones o cualquie oigen. Pues bien, cuando elegimos un oigen y unas diecciones, decimos que hemos optado

11 po un sistema de efeencia, poque seá a pati de él de donde deteminemos la posición de cualquie cuepo, mediante sus coodenadas. En el caso de un cuepo en el espacio, necesitaemos un sistema de efeencia de tes ++= kzjyix dimensiones, y la posición del cuepo vendá señalada po un vecto (es como el caso del mapa, peo hemos de añadi una tecea magnitud, la altua desde el suelo a la que se encuenta el cuepo). Si el cuepo está en movimiento, este vecto iá vaiando en función del tiempo; es deci, en cada instante t, el cuepo tendá un vecto de posición difeente (t). Esta expesión ecibe el nombe de ecuación de movimiento. Se llama tayectoia a la cuva que descibe el cuepo al movese po el espacio, y desplazamiento en un intevalo de tiempo, a la difeencia de las posiciones ente dichos instantes. X Z (0) tayectoia d (10) d = (10) (0) Y En el dibujo de la izquieda, la mosca estaba en el instante t = 0 en el punto macado po el vecto )0(, y en el instante t = 10 se encontaba en el punto macado po el vecto (10). El desplazamiento ente dichos puntos lo da el vecto d. Sin embago, la mosca no se ha movido en línea ecta ente ambos puntos, ha seguido la tayectoia que puedes ve dibujada. Esta tayectoia está fomada po las «puntas» de los vectoes posición en cada instante.

12 Mogente Xátiva VALENCIA Albaida LA Font ALBACETE Muo de de la Figuea Alcoy Gucentaina Caudete MURCIA Villena ALICANTE Sax Pete Villena Novelda Aspe San Vicente del Raspeig Elx Alcoy 340 Callosa d' en Saia En el caso del dibujo supeio, vemos en un mapa la tayectoia de un coche, macada con un tazo gueso, que ha ido desde Villena (a la izquieda) hasta Ondaa aiba, a la deecha) siguiendo la caetea. El desplazamiento total del movimiento está macado como un vecto de oigen Villena y fin Ondaa. La distancia ecoida se mide sobe la tayectoia, de foma que aunque los puntos disten 80 km en línea ecta, la distancia ecoida po el cuepo puede se de 00 km. Jijona El Altet 33 Oliva Benidom La Vila Jolosa Campello Juan de Alicante Ondaa Calpe Altea t )(, se llama velocidad media ente dos ins- VELOCIDAD Si un cuepo sigue una tayectoia tantes t 1 y t a: tt 1)()( v m = tt 1 La velocidad es también un vecto cuya diección y sentido señalan hacia dónde se ha desplazado el cuepo en el intevalo de tiempo. En el Sistema Intenacional se mide en metos po segundo (m/s). Se llama velocidad instantánea a la velocidad con la que se mueve el cuepo en un instante deteminado, que podemos calcula a pati de la expesión anteio, tomando la difeencia ente los instantes cada vez más pequeña: Δ+ tt ) ()( tv = l í m) ( t Δ 0 Δt

13 Si el vecto velocidad media nos daba el desplazamiento del cuepo en el intevalo, la velocidad instantánea es tangente a la tayectoia en cada punto de ésta y nos dice hacia dónde se está moviendo el cuepo en ese instante. La velocidad media está asociada al desplazamiento, y la instantánea, a la tayectoia. Velocidad instantánea en t 0 t Velocidad media en el intevalo t 0, t t 0 Tayectoia Si te suena la expesión de la velocidad instantánea de matemáticas, no es ni más ni menos que la deivada de la función t )(. Al se un vecto, la deivada es oto vecto que se obtiene deivando sus componentes. O sea: d dx t dy t )( dz t)( tv )( i j ++== k dt dt dt dt Ejemplo: Si un mosquito se mueve con la siguiente ecuación de movimiento: 1()( 4 1() +++ = ) k tj t Cuál es el desplazamiento ente los instantes t = 0 y t = s? Calculamos pimeo los vectoes de posición en cada instante: ; 0) ++=+ 34 kji (4

14 Ahoa el desplazamiento seá la difeencia de ambos vectoes: )0( )( 4 ++= = 4 kji Cuál es la velocidad media ente dichos instantes? Según la fómula de la velocidad media: ) () 4 kji ( v m = = 1 ++= kji tt 1 Y la velocidad instantánea en t = 0 y t =? Paa la velocidad instantánea, hemos de deiva: d dx t dy t )( dz t)( tv )( i j 1 ++ kj t dt dt dt dt Sustituyendo t = 0 y t = ; )0( 1 )( =+= k j Si piensas un poco, te daás cuenta de que cuando hablamos de la velocidad de un cuepo solemos deci algo como «el coche iba a 110 kilómetos po hoa», sin habla de diecciones o sentidos; es deci, sin considea que la velocidad es un vecto. Lo que queemos expesa es que el módulo de la velocidad del coche ea de 110 kilómetos po hoa. Ejemplo: Un coche se ha desplazado del punto A 0 += 30 ji, hasta el punto B 50 += 10 ji, con las coodenadas expesadas en kilómetos, en hoas. A qué velocidad ha hecho el ecoido? En pime luga, como no tenemos la expesión de la tayectoia, estamos hablando de velocidad media. Esa velocidad media seá: AB 30 0 v ji m = = 15 = 10 ji

15 Esto queía deci que se mueve hacia el «sueste» en el mapa, o a la deecha (di. X positiva) y abajo (di. Y negativa). La velocidad con la que hace el desplazamiento seá el módulo del vecto: v m ==+=+ 18,03 km/h Po lo visto, el coche estaba en un atasco. ACELERACIÓN Igual que la velocidad tenía que ve con los cambios en la posición de un cuepo a lo lago del tiempo, la aceleación está elacionada con los cambios en la velocidad. Expesamos entonces la aceleación media ente dos instantes con una fómula simila a la de la velocidad: tvtv 1)()( a m = tt 1 La aceleación es un vecto cuya diección y sentido señalan el cambio en la velocidad. Así, si coinciden la diección y el sentido, el cuepo está aceleando, mientas que si el sentido es opuesto al de la velocidad, el cuepo está fenando. Si no coinciden las diecciones de los vectoes, el cuepo está giando, y a la vez puede esta o no aceleando. Veemos esto más despacio después. En el Sistema Intenacional, la aceleación se mide en metos po segundo al cuadado (m/s ). Se llama aceleación instantánea al límite de la aceleación media, con una expesión idéntica a la de la velocidad instantánea: Δ+ tvttv ) ()( ta = ím) ( t Δ 0 Δt Como antes, coincide con la deivada, y podemos calculala como: vd dv t dv y t)( x )( dvz t)( ta )( i j ++== k dt dt dt dt

16 Ejemplo: Calcula el vecto aceleación de un cuepo que se mueve según la tayectoia dada po el vecto posición: )( ( ) = k ti 3 6 Lo único que tenemos que hace es deiva el vecto posición dos veces: 5 40, nos da la velocidad, y deivando ota: k 5 4 )( ) + = k 38 ( titt )( += 5 v 3 3 Hemos visto que la aceleación se encaga de modifica el vecto velocidad. Esto se puede hace cambiando el módulo, la diección o ambas cosas. Cuando cambiamos sólo el módulo, estamos incementando la velocidad del cuepo o fenándolo. Si sólo modificamos la diección, hacemos que el cuepo gie apatándose de una tayectoia en línea ecta. Esto quiee deci que hay dos «tipos» de aceleación: una encagada de modifica el módulo de la velocidad (llamada aceleación tangencial), y ota que se encaga de cambia la diección (aceleación nomal, adial o centípeta). v a t a a n El módulo y diección de cada una de estas aceleaciones se calcula de esta foma: vd v at = ut an = u n dt R donde R es el adio de gio de la cuva que se oigina al cambia de diección.

17 El vecto unitaio u t tiene la diección del vecto velocidad (la aceleación tangencial actúa cambiando el módulo de este vecto, ecuédalo). El vecto u n es pependicula al anteio, y apunta hacia el cento de la cuva que se poduce al cambia la diección de movimiento del cuepo. Como los vectoes unitaios son pependiculaes, y la aceleación total del cuepo es la suma de las dos componentes, se podá calcula su módulo mediante el teoema de Pitágoas: Ejemplo: Un cuepo sigue la tayectoia dada po el vecto posición ()( )5 + kt. Calcula la aceleación tangencial y la aceleación total del cuepo. La aceleación total, la calculamos deivando dos veces el vecto posición: + = 5) k tj tit ( + = ) kjt ( a Paa halla la aceleación tangencial, calculamos la deivada del módulo de la velocidad: tvtv+=++= )()( 5 44 tt 5 8t dv 16t = dt 5 + 8t Po tanto: 8t a t = 5 + 8t Si quisiéamos escibilo como un vecto, necesitaíamos el vecto unitaio de la velocidad (ecueda que la aceleación tangencial y la velocidad tienen la misma diección): v + 5 k tj 8 ti + 5 k tj ti ut == at = v 5 + 8t 5 + 8t 5 + 8t 8t a t = ( + 5 )k tj ti + 8 t 5 Esta expesión es un poco más complicada, no te paece? Lo impotante es que entiendas la difeencia ente el módulo de la aceleación tangencial a t, y el vecto aceleación tangencial a t, que es el módulo más la componente vectoial (diección y sentido del vecto).

18 MOVIMIENTOS RELATIVOS: RELATIVIDAD DE GALILEO Como hemos visto ya, el sistema de efeencia podemos tomalo donde deseemos, con lo que puede pasa que en un sistema de efeencia un cuepo esté en movimiento, y en oto, que se mueva especto al pimeo, esté detenido (po eso se dice que el movimiento es elativo). Obsevado B v Obsevado A En el dibujo se ve, po ejemplo, cómo paa el obsevado B, la mosca, que está paada en un cistal del ten, está en eposo, mientas que paa el obsevado A se mueve a la misma velocidad del ten. Cómo se elacionan las difeentes magnitudes del movimiento paa dos obsevadoes en movimiento uno especto al oto? La solución a esta pegunta se encuenta en el llamado pincipio de elatividad de Galileo. Y Y' V t ' O O' X X' V Z Z' Paa ve cuál es esta elación, vamos a considea dos sistemas de efeencia que se mueven uno especto a oto con velocidad constante V. Paa simplifica, supondemos que los sistemas de efeencia se mueven uno especto a oto en la diección del eje X, de foma que sus oígenes y ejes se supeponen en el momento en que ambos sinconizan sus elojes a t = t' = 0.

19 La elación que hay ente las coodenadas de un punto, medidas po obsevadoes en cada uno de los sistemas de efeencia es: (el vecto que une los oígenes va cambiando con el tiempo OO' = V t). = tvxx OO += = OO yy = zz Respecto al tiempo medido po ambos obsevadoes, debe coincidi, pues los elojes se sinconizan en t = 0, y ambos funcionan coectamente: t' = t Si ambos obsevadoes miden la distancia ente dos puntos A y B, se cumple que: A OO A = BABA B OO B += Esto quiee deci que las distancias medidas po los dos coinciden, que es lo que nos paece «sensato». Además, deivando especto al tiempo: (la velocidad V no cambia, es cte.) ' ' dx dt = dy dy = = vv yy dt dt dz dz = vv zz = dt dt Ésta es la elación que existe ente las velocidades. Si volvemos a deiva especto al tiempo, como la velocidad es constante, obtenemos la elación ente las aceleaciones medidas po ambos obsevadoes. ' ' ' dv dt dv dt y dv dt ' ' dx dt V dv = dt dv = dt y dv = dt xx = vv V xx = aa xx = aa yy = aa zz zz

20 Ejemplo: Una baca sale de un embacadeo con la intención de cuza el ío. La velocidad que el moto puede desaolla es de 0 km/h. El ío baja a una velocidad de 5 km/h. Llegaá la baca al oto lado del ío, fente al embacadeo? Qué debeá hace el patón paa conseguilo? Y Emb. B V = 5 km/h Emb. A X Un obsevado en el ío se moveía con una velocidad hoizontal de 5 km/h debido a la coiente del ío. Paa oto obsevado en la oilla, la velocidad de la baca se calcu la mediante la tansfomación de Galileo: oilla x oilla y o í oilla o í vv x += V x vv x += 5 o í oilla o í = vv y y = vv y Esto quiee deci que si la baca se mueve a toda potencia hacia la ota oilla, con velocidad sólo vetical, especto del ío, se desplazaá especto de la oilla con una velocidad: oilla 5 += 0 jiv y no llegaá al oto embacadeo, justo enfente, sino un poco a la deecha. Si quisiea llega, la baca debeía movese especto al obsevado de la oilla con velocidad sólo vetical.

21 Si la deivada tenía como significado la pendiente de la ecta tangente a la gáfica de la función en un punto, la integal definida: b dxf = afbf ) () a nos da el valo del áea enceada ente la gáfica de la función y el eje X. f(x) f(x)dx b a a b

22 Física fácil paa Bachilleato y acceso a la Univesidad Fancisco Navao González No se pemite la epoducción total o pacial de este libo, ni su incopoación a un sistema infomático, ni su tansmisión en cualquie foma o po cualquie medio, sea éste electónico, mecánico, po fotocopia, po gabación u otos métodos, sin el pemiso pevio y po escito del edito. La infacción de los deechos mencionados puede se constitutiva de delito conta la popiedad intelectual (At. 70 y siguientes del Código Penal) del diseño de la potada Paso de Zeba de la ealización de los textos, Fancisco Navao González, 005 de las ilustaciones del inteio, Auelia Sanz Espasa Libos, S. L. U., 01 Av. Diagonal, , Bacelona (España) Espasa, en su deseo de mejoa sus publicaciones, agadeceá cualquie sugeencia que los lectoes hagan al depatamento editoial po coeo electónico: Pimea edición en libo electónico (PDF): abil de 01 ISBN: (PDF) Convesión a libo electónico: Newcomlab, S. L. L.

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