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1 /5 Conceptos pevios PRODUCTO VECTORIAL DE DO VECTORE. Es oto vecto cuyo módulo viene dado po: a b a b senα. u diección es pependicula al plano en el ue se encuentan los dos vectoes y su sentido viene dado po el de avance de un sacacochos ue gia como lo hacemos paa lleva el pime vecto sobe el segundo po el camino más coto. (Regla de Maxwell). egún la definición de poducto vectoial se puede deduci ue su módulo coincide con el áea del paalelogamo ue foman ambos vectoes y las paalelas a ellos tazadas po sus extemos. a b a b senα b h Una supeficie puede se epesentada po un vecto. FLUJO DE UN VECTOR A TRAVE DE UNA UPERFICIE. En pime luga se debe ecoda ue una supeficie se puede epesenta po un vecto de diección pependicula a ella y cuyo sentido depende del sentido de ecoido ue se asigne al peímeto de la misma. upongamos ahoa la supeficie de la figua situada en el inteio de un campo, se define como flujo del campo a tavés de la supeficie: Φ a d peo a d a d cosα y dado ue d cosα seía el módulo de la supeficie elemental pependicula al vecto a (d') esulta: Φ a d a d cos a d' α i la supeficie fuese ceada: Φ a d e considea como positivo el flujo cuando las líneas de campo salen hacia afuea de la supeficie (ve signo del poducto escala).

2 /5 TEOREMA DE GAU PARA UN CAMPO ELECTRICO. Consideemos una caga puntual (positiva), centada en ella tazamos una supeficie esféica. El flujo a tavés de dicha supeficie viene dado po: Φ s E d Dado ue el vecto intensidad de campo y el vecto supeficie tienen la misma diección y sentido y ue el módulo del pimeo es constante y con valo: E e puede pone: Φ d E d s s de donde: Φ Al igual ue hacíamos en el campo gavitatoio, puesto ue el flujo coincide con el númeo de lineas de fueza ue ataviesan la supeficie, se puede ve ue éste es independiente de la foma de la supeficie. El flujo a tavés de ' (esféica centada en ) es el mismo ue a tavés de. φ /. i hubiese dos o más cagas en el inteio de la supeficie dado ue se cumple el pincipio de supeposición se ve ue: + Φ Φ+ Φ Es deci : Φ inteio i en el inteio de la supeficie no hubiese ninguna caga el flujo seía nulo: Φ 0 Φ entante + Φ saliente Po tanto el teoema de Gauss establece ue el flujo de un campo eléctico a tavés de una supeficie ceada viene dado po: φ /.

3 /5 APLICACION DEL TEOREMA DE GAU EL CÁLCULO DE CAMPO.. Cálculo del campo ceado po una esfea cagada unifomemente. a) En el exteio de la esfea: upondemos ue la densidad de caga en la esfea es constante y unifome en todos sus puntos: ρ 4 π R iendo la caga total y R el adio de la esfea. Paa calcula el campo ceado po la esfea en P aplicamos el teoema de Gauss: Φ (I) Además el flujo a tavés de la supeficie esféica tazada con el mismo cento de la esfea cagada y adio seá: Φ d d puesto ue los dos vectoes tienen igual diección y sentido. Po oto lado, dado ue E es constante en todos los puntos de pues todos distan lo mismo de la supeficie de la esfea cagada: Φ E d (II) Como el flujo es igual independientemente de como lo calculemos: (I) (II) así E_ Luego la intensidad de campo ceado po una esfea cagada en un punto ue dista > R de su cento es la misma ue el ue ceaía una caga puntual () situada en el cento de dicha esfea. b) en el inteio de la esfea: < R. Consideamos una supeficie esféica de adio centada en el popio cento de la esfea cagada. Igual ue antes la intensidad de campo en todos los puntos de tendá diección adial y el mismo módulo en todos ellos po lo ue el flujo a tavés de la supeficie es: Φ d d d

4 4/5 egún el teoema de Gauss: Φ inteio 4 π Igualando los segundos miembos de los flujos: 4 π donde : E R. Campo ceado po un hilo indefinido cagado. Llamaemos λ /l la densidad lineal de caga en el hilo. i ueemos calcula _ a una distancia del hilo lo haemos calculando el flujo a tavés de la supeficie cilíndica. Φ lateal πh egún el teoema de Gauss: φ int / La caga contenida en el cilindo de altua h seá: int λ h po lo tanto sustituyendo este valo en la expesión del flujo e igualando los segundos miembos: λ h λ πh De donde : E π. Campo ceado en un punto póximo a un plano cagado. upondemos ue la densidad supeficial de caga es σ /. Consideemos un cilindo imaginaio de base A (aea). El plano está cagado positivamente en P. El flujo a tavés de toda la supeficie cilíndica es: φ E A + E A (tene en cuenta ue el vecto intensidad de campo es pependicula al vecto supeficie coespondiente a la supeficie lateal del cilindo. egún el teoema de Gauss: inteio σ A σ A Φ po lo ue : EA De donde: E σ 0

5 5/5 Nuevo concepto GRADIENTE DE UN ECALAR. ea un campo en el ue un escala V toma, en cada punto, valoes definidos. Puede esulta inteesante estudia como vaía el escala en el campo. Definimos como gadiente del escala (gad V) un vecto cuya diección es la de más ápida vaiación de V, cuyo sentido es el de valoes cecientes de V y cuyo módulo viene dado po: V lim n 0 n iendo n la diección de más ápida vaiación del escala V: ga ean dos supeficies euiescalaes muy póximas ente si. Estudiaemos cómo vaía V en la diección dada po el desplazamiento d. d d cosα Como se puede ve en la figua anteio. De ahí podemos deduci ue: d cosα O lo ue es lo mismo: ga d Consideando ue d d x + d y + d z δ V δv dx + δx δy δv dy + δz dz e deduce ue: δ V ga δx δv i + δy δv j + δz Po ota pate se puede calcula la ciculación del vecto gadiente a lo lago de una cuva: k C ga d de donde C V - V solo depende del valo del escala en las posiciones final e inicial y no del camino seguido. Popiedades del gadiente: upongamos ue la ciculación se calcula a lo lago de una cuva situada en una supeficie euiescala: C ga d 0 V V lo cual significa ue ga y d son pependiculaes en todo momento, es deci ue ga es pependicula a la supeficie euiescala. La vaiacion del escala seá máxima cuando el ángulo ue fomen ga y d (α 0) es deci la diección del gadiente seá la ue coesponda a una mayo apidez en la vaiación de V. El sentido seá el de valoes cecientes de V.

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