Primer Periodo ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA
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- Aurora Aguilar Valenzuela
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1 Matemática 10 Gado. I.E. Doloes Maía Ucós de Soledad. INSEDOMAU Pime Peíodo Pofeso: Blas Toes Suáez. Vesión.0 Pime Peiodo ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA Indicadoes de logos: Conveti medidas de ángulos en adianes a gados vicevesa. Aplica las funciones tigonométicas, paa esolve poblemas que se puedan modela mediante tiángulos ectángulos. Calcula las azones tigonométicas de los ángulos notables e identifica las popiedades de las funciones Seno, Coseno sus gáficas Secuencias de apendizaje: Ángulos, concepto, clases, medidas sistemas de medidas Tiángulos Rectángulos. Razones tigonométicas Solución de Tiángulos Ángulos Notables, Funciones Seno Coseno: popiedades gáficas. 1
2 Matemática 10 Gado. I.E. Doloes Maía Ucós de Soledad. INSEDOMAU Pime Peíodo Pofeso: Blas Toes Suáez. Vesión.0 Elementos de Tigonometía Los fundamentos de la tigonometía se emontan al menos a,000 años atás, Los antiguos egipcios, babilonios giegos ceaon la tigonometía paa calcula las longitudes de los lados de los tiángulos las medidas de sus ángulos. En Egipto, la tigonometía se utilizaba paa establece los límites del teeno después de las inundaciones anuales del ío Nilo. En Babilonia, se usó en la astonomía. El témino tigonometía poviene de las palabas giegas con que se denomina al tiángulo (tigon) a la medida (metos). Los antiguos giegos utilizaban la tigonometía paa esolve poblemas de la vida diaia, como po ejemplo la topogafía, la navegación la ingenieía Ángulos. Definición medidas: En tigonometía, con fecuencia se intepetan los ángulos como otaciones de línea; siguiendo esta definición, a los ángulos se les asocia un lado inicial, un lado final un signo: si el gio es contaio a las manecillas del eloj, el ángulo es consideado positivo si el gio es en diección a las manecillas de eloj el ángulo se considea negativo. Los gios los epesentamos po flechas cuvas la cantidad de gio, no está estingida, de manea que una línea puede descibi un ángulo que abaque más de una vuelta completa. Cuando un ángulo se sitúa en un sistema de coodenadas de manea que su lado inicial coincida con el eje positivo a las X su vétice con el oigen, decimos que el ángulo se encuenta en posición nomal, odinaia o estánda.
3 Matemática 10 Gado. I.E. Doloes Maía Ucós de Soledad. INSEDOMAU Pime Peíodo Pofeso: Blas Toes Suáez. Vesión.0 Medida de ángulos: Las dos medidas utilizadas paa medi ángulos son los gados los adianes. Definición de gado: Un gado es la medida de un ángulo cental subtendido po un aco cua longitud es 1 60 pate de la longitud de la cicunfeencia. En vitud de la definición anteio se deduce que un ángulo de una vuelta mide 60º. Algunos ángulos especiales: Ángulo agudo: Aquel que mide ente 0 º 90º gados. Un ángulo θ es agudo, si mide ente 0º 90º; o sea θ es un ángulo agudo si se cumple que 0º < θ < 90º Ángulo obtuso: Aquel que mide ente 90º 180º. Un ángulo θ es obtuso, si mide ente 90º 180º; o sea θ es un ángulo obtuso si se cumple que 90º < θ < 180º Ángulo ecto: Aquel que mide 90º. Un ángulo θ es ángulo ecto si la medida de θ es 90º Ángulos Complementaios: Dos ángulos son complementaios, si suman 90º. son complementaios si 90º. Ejemplo: Los ángulos de 0º 0º son complementaios Ángulos Suplementaios: Dos ángulos son suplementaios, si suman 180º. son suplementaios si 180º. Ejemplo: Los ángulos de 5º 155º son suplementaios Ota medida paa ángulos es el adián. Definición de adian: Un adián es la medida de un ángulo cental subtendido po un aco cua longitud es igual al adio de la cicunfeencia. θ θ Ahoa, puesto que la longitud, de la cicunfeencia viene dada po la fomula ( ) se puede deci que el adio,, cabe veces (6.8 veces) apoximadamente en la cicunfeencia completa, o sea un ángulo de una vuelta es adianes. L
4 Matemática 10 Gado. I.E. Doloes Maía Ucós de Soledad. INSEDOMAU Pime Peíodo Pofeso: Blas Toes Suáez. Vesión.0 CONVERSIONES DE MEDIDAS DE ANGULOS Gados a adianes vicevesa: De las definiciones gados adianes es fácil deduci que: ad ), 0 90, 0 60 etc. (Se puede escibi indistintamente Paa conveti gados a adianes basta multiplica el valo del ángulo en gados po el facto de convesión, /180 Paa conveti adianes a gados, el facto de convesión es: Ejemplos de convesión: / Ejemplo 1: Conviete 0 gados a adianes, deja las espuestas en téminos de. Solución: Paa conveti gados a adianes multiplicamos po el facto de convesión. Paa este ejemplo seía: (cancelando los gados simplificando). Luego la espuesta es (se lee o simplemente ) En este ejecicio el valo de no se eemplazó poque en el enunciado se pidió deja la espuesta en téminos de Ejemplo : Conviete 80 gados a adianes; edondea el esultado a cifas decimales Solución: Paa conveti gados a adianes multiplicamos po el facto de convesión. Paa este ejemplo seía simplificando). (cancelando los gados Ahoa bien (eemplazando a po,1) Luego la espuesta es: (se lee ) En este ejecicio, el valo de se eemplazó poque en el enunciado se pidió edondea el esultado a dos cifas decimales. ó
5 Matemática 10 Gado. I.E. Doloes Maía Ucós de Soledad. INSEDOMAU Pime Peíodo Pofeso: Blas Toes Suáez. Vesión.0 Ejemplo : Conviete de adianes a gados los siguientes ángulos: a) b) Solución: Paa conveti adianes a gados multiplicamos po el facto de convesión. Paa el ejecicio a) ad a gados, seía: (cancelando los pi adianes simplificando). Luego la espuesta es: (se lee ) Paa el ejecicio b) ad a gados, seía: eemplazando a ). (cancelando los adianes, simplificando Luego la espuesta es (se lee es igual a cuaenta siete coma setenta siete gados). Fomula paa la longitud de un aco de cículo: Si, un aco de longitud S, en un cículo de adio, subtiende un ángulo cental de adianes, entonces: S. Fomula paa el áea de un secto cicula: Si es la medida en adianes de un ángulo cental de cículo de adio ; A es el áea del secto cicula deteminado po, entonces: 1 A 5
6 Matemática 10 Gado. I.E. Doloes Maía Ucós de Soledad. INSEDOMAU Pime Peíodo Pofeso: Blas Toes Suáez. Vesión.0 E J E R C I C I OS P R O P U E S T O S 1. Conviete de gados a adianes. Deja las espuestas en téminos de a) 5º b) 60º c) 5º d) 00º e) 5º f) 150º. Conviete de gados a adianes; edondee el esultado a cifas decimales. a) 10º b) 100º c) 0º d) 0º e) 0º f) 5º. Conviete de adianes a gados. a) /. b) 5 / 9. c) /1. d) 11 / 6 e) 5 / f) 5 / 6. Conviete de adianes a gados, edondee el esultado a décimas de gado. a) /15. b) 1. c). d) 6. e) 1/8 5. Resuelva las pates indicadas. S,, ( en adianes) 6. Un cículo tiene un adio de 1 cm. Detemine el áea de un secto de este cículo paa el ángulo cental dado. a) 0º b) 90º c) 15º d) 5º e) 15º 8. Un vaso desechable tiene foma de cono cicula ecto esta hecho a pati de un secto cicula de 8 pulgadas de adio un ángulo cental de 0º. Detemine el áea de la supeficie del vaso, edondeando a décimas de pulgadas cuadada
7 Matemática 10 Gado. I.E. Doloes Maía Ucós de Soledad. INSEDOMAU Pime Peíodo Pofeso: Blas Toes Suáez. Vesión.0 Funciones tigonométicas de un ángulo en posición odinaia p( x, ) Sea un ángulo en posición odinaia, un punto cualquiea en su lado final, se definen las siguientes azones o funciones tigonométicas: Seno de = Coseno de = Tangente de = Secante de = Cosecante de = odenada adio abcisa adio odenada abcisa adio abcisa adio odenada abcisa Cotangente de = odenada Estas azones tigonométicas las abeviamos así: sen = sec = x cos = x csc = tan = x cot = x Además, po el teoema de Pitágoas se tiene: x Ejemplo 5: Halla todas las funciones tigonométicas de un ángulo en posición estánda si un punto en su lado final es (15,8) (15,8) Solución: Dado que, es un punto de lado final, se calcula po Pitágoas así: x 15, 8 x ( 15) Luego: seno = tan csc = x cos = cot = sec = x 15 1 x x 15
8 Matemática 10 Gado. I.E. Doloes Maía Ucós de Soledad. INSEDOMAU Pime Peíodo Pofeso: Blas Toes Suáez. Vesión.0 Ejemplo 6: halla valoes de funciones tigonométicas del ángulo = Solución: =, o sea º 0 lado teminal de coincide con el eje negativo de las, luego al coloca a en posición estánda, el. Paa aplica la definición de las funciones tigonométicas, se puede escoge cualquie punto p del lado teminal de. Paa mao sencillez, se usa p ( 0, 1). En este caso, po lo tanto x 0 1 sen 1 1, 1, 1 0 cos 0 1 csc cot Las funciones tangente secante no están definidas, puesto que tan 1/ 0, la división ente ceo (0), no está definida. sec 1/0 Funciones tigonométicas de un ángulo agudo en un tiángulo ectángulo: Si es el ángulo de la figua, llamaemos a los lados del tiangulo de la siguiente manea: a b c es el cateto adacente ( ad ) es el cateto opuesto ( op ) es la hipotenusa ( hip ) Se emplean la abeviatuas ad, op e hip paa epesenta las longitudes de los lados. Si ubicamos al ángulo, en posición odinaia tendíamos que x a, b, c Po tanto: sen b c op hip a ad b op c hip cos tan sec c hip a ad a ad 8
9 Matemática 10 Gado. I.E. Doloes Maía Ucós de Soledad. INSEDOMAU Pime Peíodo Pofeso: Blas Toes Suáez. Vesión.0 c hip csc b op a ad cot b op, además po Pitágoas Las fómulas de la definición anteio se pueden aplica a cualquie tiangulo ectángulo sin aplica las liteales a los lados. Ejemplo : Si es un ángulo agudo cos = funciones tigonométicas de. a, b, c c a b encuenta los valoes de las demás Solución: Tazamos un tiángulo ectángulo que tenga un ángulo agudo con e ad hip, como se muesta en la figua. Buscaemos el valo del cateto opuesto aplicando el teoema de Pitágoas ( op) teoema de Pitágoas ( op) op 16 9 despejamos ( op ) Al aplica las definiciones de las funciones tigonométicas paa un ángulo agudo de un tiangulo ectángulo, obtenemos lo siguiente: op sen hip hip csc op ad cos hip sec hip ad op tan ad ad cot op Si acionalizamos los denominadoes paa csc cot, nos quedaía: csc cot. Ejemplo 8: Un topógafo obseva que desde un punto A, ubicado a nivel del suelo a una distancia de 5 metos de una base B de el asta de una bandea, el ángulo ente el suelo la pate supeio del asta es de 0º. Apoxima la altua h del poste al décimo de meto mas cecano. Solución: Necesitamos aplica una función tigonomética que me elacione, el lado conocido (adacente de 0º), con el desconocido(altua h de la bandea) Esto sugiee que usa tan o cot. 9
10 Matemática 10 Gado. I.E. Doloes Maía Ucós de Soledad. INSEDOMAU Pime Peíodo Pofeso: Blas Toes Suáez. Vesión.0 Po lo tanto, tenemos: h tan 0º 5,o sea o h 5*tan0, h 5(0.5) 1, mts E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S 1. Desde la pate supeio de un fao, a 10 pies sobe el nivel del ma, el ángulo de depesión (el ángulo hacia abajo desde la hoizontal) en diección hacia un baco a la deiva en el ma es de 9,º (ve figua), A qué distancia está el baco de la base del fao?. Encuenta la longitud de x en la figua siguiente:. Cuando el ángulo de elevación (el ángulo hacia aiba desde la hoizontal) del sol es de 8º en Pais, la toe Eiffel foma una somba hoizontal de 18 pies de lago. Qué altua tiene la toe?. Una escalea se encuenta apoada conta una paed de manea que foma con ésta un ángulo de, cuál es la longitud de la escalea si la distancia ente la base de la escalea la base de la paed es 1,1 metos? 5. Desde la ventana de un edificio de oficinas, se ve una toe de televisión que esta a 600m de distancia (hoizontalmente). El ángulo de elevación hacia el extemo supeio de la toe es de 19.6º el ángulo de depesión hacia la base de la toe es de 1º. qué altua tiene la toe? 6. Un hexágono egula (seis lados iguales) está inscito en un ciculo de adio, encuéntese el peímeto P el áea A de este hexágono. 10
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