FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS página 37

Transcripción

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2 página UNA PROPIEDAD DE LOS TRIÁNGULOS Los tiángulos ectángulos tienen dos popiedades muy impotantes. De la pimea que a continuación se va a analiza nacen las llamadas Funciones Tigonométicas. Hágase la siguiente páctica: En el tiángulo de la figua 2.1 medi con una egla con la máxima pecisión posible la longitud del lado y y anotalo en el cuadeno. Después hace lo mismo con el lado x. Finalmente dividi el valo obtenido paa y ente el valo de x y anotalo. Con dos decimales es suficiente. Ahoa medi igualmente con la máxima pecisión posible la longitud del lado m y anotalo en el cuadeno. Después hace lo mismo con el lado n. Finalmente dividi el valo obtenido paa m ente el valo de n y anotalo con dos decimales. El estudiante debe obtene el mismo esultado en ambos casos. O casi el mismo esultado. La pequeña difeencia que le salga ente el pime caso y el segundo se debe a que el ojo humano no puede detecta décimas ni centésimas de milímeto que seguamente tienen esas longitudes. Esa es la pimea popiedad impotantísima que tienen los tiángulos ectángulos, que mientas sus ángulos agudos no vaíen, la división ente dos de sus lados de foma coespondiente siempe da el mismo esultado sin impota el tamaño del tiángulo. Obsévese que en el ejecicio anteio, los ángulos agudos no cambiaon, lo que cambió solamente fue el tamaño del pime tiángulo ABC medido especto del segundo ADE. El valo apoximado de la división del lado vetical ente el lado hoizontal debe se de sin impota el tamaño del tiángulo. OJO: Si el ángulo agudo cambia, la división del lado vetical ente el lado hoizontal ya no da El ángulo con vétice en A mide apoximadamente 35.5º, po lo tanto el oto ángulo agudo mide 54.5º poque el tece ángulo siempe debe se de 90º, de lo contaio dejaía de se tiángulo ectángulo y todo lo que se está afimando tiene validez exclusivamente paa tiángulos ectángulos.

3 página 39 Ota cosa impotante: La división del lado vetical ente el hoizontal siempe daá solamente que el ángulo agudo A mida 35.5º, no impota el tamaño de los lados, sean más gandes o más chicos. figua 2.1 Entonces el estudiante debe deduci el esultado del siguiente ejecicio: Suponga que en el tiángulo ABC de la figua 2.1 se coloca un nuevo punto F sobe el lado hoizontal a una distancia de 11 cm. del vétice A y desde ese punto F taza una vetical paa constui un nuevo tiángulo adento del tiángulo ABC. Cuánto debeá medi el nuevo lado vetical? La espuesta la debe obtene el alumno sin hace la constucción del nuevo tiángulo, sino deduciendo qué opeaciones debe ejecuta paa llega a la espuesta. Después compobalo haciendo ahoa sí la constucción. Si el ángulo A cambia, po ejemplo a 23.2º, la división del lado vetical y ente el valo del lado hoizontal x daá oto valo difeente a que siempe se obtenía en la figua 2.1, peo ese nuevo valo seá siempe el mismo sin impota el tamaño del tiángulo, a condición de que dicho ángulo A de 23.2º pemanezca constante. Cuánto vale esa división? El alumno debe epeti la páctica que hizo con el tiángulo de la figua 2.1 peo ahoa sobe el tiángulo de la figua 2.2.

4 página 40 figua 2.2 El valo apoximado que el estudiante debe obtene al dividi con la máxima pecisión posible la longitud del lado y ente la longitud del lado x de la figua 2.2 es de Igualmente al dividi la longitud del lado m ente la longitud del lado n de la misma figua. Los matemáticos de la antigüedad al descubi esta popiedad en los tiángulos ectángulos se dieon a la taea de anota los valoes de las divisiones de un lado ente oto, obtenidas paa cada ángulo difeente. Metidos en esta taea, el siguiente poblema a esolve ea que al existi seis posibles divisiones de un lado ente oto, cómo identifica una división de la ota? De allí sugieon las llamadas Funciones Tigonométicas. 2.2 DEFINICIONES Téngase en cuenta que todo lo que se mencione en este capítulo tiene validez exclusivamente paa tiángulos ectángulos. CATETOS: Son los lados que foman el ángulo ecto. En la figua 2.3 los lados x e y son los catetos. HIPOTENUSA: Es el lado más gande, el que está enfente del lado ecto. En la figua 2.3 el lado es la hipotenusa. ÁNGULO ADYACENTE (a un lado): Es el que está situado en uno de los extemos de dicho lado. En la figua 2.3, el ángulo adyacente al lado y es b y el adyacente al lado x es a.

5 página 41 LADO ADYACENTE (a un ángulo): Es el que foma pate del ángulo. En los tiángulos ectángulos se llama cateto adyacente. En la figua 2.3, el cateto adyacente al ángulo a es x. El cateto adyacente al ángulo b es y. ÁNGULO OPUESTO: Ángulo opuesto a un lado es el que está situado enfente a dicho lado. En la figua 2.3, el ángulo opuesto al lado x es b. El ángulo opuesto al lado y es a. figua 2.3 LADO OPUESTO: Lado opuesto a un ángulo es el que está enfente del ángulo. En los tiángulos ectángulos se llama cateto opuesto. En la figua 2.3, el cateto opuesto al ángulo b es x. El cateto opuesto al ángulo a es y. Las seis divisiones posibles son: y x y x ; ; ; ; ; x y x y Un poblema al que se enfentaon los matemáticos de la antigüedad fue cómo identifica cada una de esas divisiones, poque a cualquie pesona se le puede ocui en vez de llamales a los lados x, y,, poneles, po ejemplo, a, b y c, como se muesta en la figua y 2.4. Entonces la división que paa una pesona podía se paa figua 2.4 b ota pesona seía. Y aún más, aunque alguien le pusiea a los c lados del tiángulo x, y,, sucedeía en muchos casos que dichos identificadoes quedaan en oto oden o luga de como están en la figua 2.3, es deci, que la equis quedaa en donde está la y así con las demás. Queda clao entonces que no se pueden identifica las divisiones posibles antes mencionadas a tavés del nombe paticula (la leta) que se le ponga a cada tiángulo a cada dibujo, sino po nombes univesales. Estos nombes univesales son hipotenusa paa el lado opuesto al ángulo ecto y catetos paa los lados que foman el ángulo ecto. y b De esta manea, la división que en la figua 2.3 es y en la figua 2.4 es, había que lla- c cateto mala. Peo cuál cateto? Obsévese que el cateto y es simultáneamente cateto adya hipotenusa

6 página 42 cente y cateto opuesto, dependiendo especto de qué ángulo se considee. Si es especto del ángulo a se tata de cateto opuesto; si es especto del ángulo b se tata de cateto adyacente. De esta manea las seis divisiones posibles de las longitudes de los lados de un tiángulo ectángulo y su foma de abevialas se muestan en la siguiente tabla: FIGURA 2.3 RESPECTO DEL ÁNGULO a NOMBRE DE LA DIVISIÓN ABREVIATU- RA y cateto opuesto hipotenusa seno sen a x cateto adyacente hipotenusa coseno cos a y x cateto opuesto cateto adyacente tangente tan a x y cateto adyacente cateto opuesto cotangente cot a x hipotenusa cateto adyacente secante sec a y hipotenusa cateto opuesto cosecante csc a Las anteioes son las llamadas funciones tigonométicas, que en síntesis son: seno = cateto opuesto hipotenusa ; coseno = cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto tangente = cateto adyacente ; cotangente = cateto adyacente cateto opuesto hipotenusa secante = cateto adyacente ; hipotenusa cosecante = cateto opuesto

7 página NACIMIENTO DE LAS TABLAS TRIGONOMÉTRICAS En vitud de que paa cada ángulo agudo de un tiángulo ectángulo la división de las longitudes de dos de sus lados esulta el mismo valo sin impota el tamaño del tiángulo, estos valoes los comenzaon a ecopila los matemáticos de la antigüedad en unas tablas, llamadas tablas tigonométicas. Obsévese en la página anteio que el seno y la cosecante son ecípocos; que el coseno y la secante son ecípocos; y que la tangente con la cotangente también son ecípocos. Po esa azón es suficiente tene los valoes solamente del seno, coseno y de la tangente. Así es como apaecieon inicialmente en las tablas y actualmente en las calculadoas. La tabla siguiente es un ejemplo sencillo de cómo, apoximadamente, hicieon esa ecopilación de datos. En este ejemplo están los valoes desde ceo gados hasta nueve solamente, peo aquellos matemáticos lo hicieon desde ceo gados hasta noventa gados. ÁNGULO ( o ) SENO COSENO TANGENTE En la actualidad ya no utilizan las tablas en vitud de que con las calculadoas se obtienen con mayo exactitud y facilidad dichos valoes.

8 página USO DE LAS CALCULADORAS En las calculadoas existen tes teclas paa obtene los valoes de las funciones tigonométicas, que son sin paa el seno (del inglés, sine), cos paa el coseno y tan paa la tangente, como se muesta en la figua 2.5. Cuando se emplea la calculadoa paa obtene valoes de funciones tigonométicas es impotante tenela en la unidad angula adecuada, casi siempe en gados sexagesimales (D). figua 2.5 Existen tes unidades angulaes: El gado sexagesimal, el adián y el gado centesimal. La calculadoa le hace sabe al usuaio en qué unidad está a tavés de una leta que apaece en la pate supeio de la pantalla: Paa gados sexagesimales una D (del inglés, Degee), paa adianes con una R y paa gados centesimales con una G (ve figua 2.6). En el capítulo 8 de este libo se estudiaán los adianes. Paa cambia de una unidad angula a ota po lo geneal debe buscase la tecla MODE, casi siempe ubicada en la pate supeio del teclado, que es la que cambia a los difeentes modos de hace cálculos. Opimi esta tecla las veces que sea necesaio hasta que apaezcan las medidas angulaes. Un ejemplo se muesta en la figua 2.7. figua 2.6 Si el alumno teclea en su calculadoa, po ejemplo, figua 2.7 apaeceá en su pantalla algo semejante a la figua 2.8 figua 2.8

9 página Qué significa? Tes cosas: * Pimeo: Que al tatase de la función seno, po definición se efiee a la división hecha del cateto opuesto ente la hipotenusa. * Segundo: Respecto del ángulo de 25º los catetos toman los nombes de cateto opuesto y de cateto adyacente. En la figua 2.9 se ve que el lado y es el cateto opuesto a 25º. Recoda que el significado de opuesto en un tiángulo tiene el sentido de enfente de. figua 2.9 * Teceo: Que en cualquie tiángulo ectángulo, cuando uno de sus ángulos agudos mida 25º siempe la división de la longitud del cateto opuesto ente la hipotenusa, sin impota el tamaño del tiángulo, va a da El alumno puede veifica que en el tiángulo de la figua 2.9 de manea apoximada, si mide el cateto opuesto y la hipotenusa y los divide le va a da un valo cecano al antes mencionado. No puede el estudiante llega con exactitud al valo mostado en la calculadoa poque no es posible que mida la longitud de los lados con pecisión de décimas, centésimas ni milésimas de milímetos. Inclusive, al hace la impesión del libo pudo vaia un poco el valo de 25º. 2.5 APLICACIONES Todo lo anteio lleva a la aplicación más impotante de la tigonometía básica que consiste en pode obtene cuánto miden los otos dos lados de un tiángulo ectángulo conociendo el valo de uno de sus lados y el de uno de sus ángulos. O bien, pode obtene el valo de sus ángulos agudos conociendo solamente dos de sus lados. Ejemplo 1: Obtene el valo de los lados desconocidos del siguiente tiángulo de la figua 2.10: Solución: Se sabe que la división del lado x= ente el lado, cuando el ángulo mida 29º, siempe va a da el mismo valo. Esa división es el cateto adyacente ente la hipotenusa y se llama coseno. Po lo tanto, buscando en la calculadoa se obtiene que cos o sea que figua despejando :

10 página 46 = Como la cantidad que se despeja siempe debe escibise del lado izquiedo poque leemos de izquieda a deecha, se llega a que Con el mismo azonamiento, se sabe que la división del lado y ente el lado x=, cuando el ángulo mida 29º, siempe va a da el mismo valo. Esa división es el cateto opuesto ente el cateto adyacente y se llama tangente. Po lo tanto, buscando en la calculadoa se obtiene y que tan o sea que De aquí despejando y se obtiene: y = (0.5543)() y NOTA: Cuando se esuelven poblemas como el anteio, paa plantea la solución se escibe cos y se despeja. Paa despeja se azona de la siguiente manea: El denominado está dividiendo, po lo tanto, paa eliminalo debe multiplicase (opeación invesa) po. Peo como está dento de una igualdad, debe aplicase la popiedad de las igualdades: Lo que se haga de un lado debe hacese también del oto lado. Entonces, como se quiee elimina la que está dividiendo se multiplican ambos lados de la igualdad po obteniendo:

11 página Paa el oto lado paa plantea la solución se escibe: tan 29 y y y se despeja. Paa despeja y se azona de la siguiente manea: El denominado está dividiendo, po lo tanto, paa eliminalo debe multiplicase (opeación invesa) po. Peo como está dento de una igualdad, debe aplicase la popiedad de las igualdades: Lo que se haga de un lado debe hacese también del oto lado. Entonces, paa elimina el que está dividiendo se multiplican ambos lados de la igualdad po, obteniendo: y y y Peo como leemos de izquieda a deecha y se quiee sabe qué es y, no qué es 24.94, debe invetise la igualdad anteio: y Ejemplo 2: Solución: Obtene el valo de los lados desconocidos del siguiente tiángulo de la figua 2.11: Se sabe que la división del lado x ente el lado =60, cuando el ángulo mida 32º, siempe va a da el mismo valo. Esa división es el cateto adyacente ente la hipotenusa y se llama coseno. figua 2.11

12 página 48 de aquí despejando x se obtiene: cos 32 x 60 60cos 32 x x 60cos 32 x Po ota pate se sabe que la división del lado y ente el lado =60, cuando el ángulo mida 32º, siempe va a da el mismo valo. Esa división es el cateto opuesto ente la hipotenusa y se llama seno. de aquí despejando y se obtiene: sen 32 y sen32 y y 60 sen 32 y Ejemplo 3: Solución: Obtene el valo de los lados desconocidos del siguiente tiángulo de la figua Se sabe que la división del lado y=83 ente el lado x, cuando el án- gulo mida 39º, siempe va a da el mismo valo. Esa división es el cateto opuesto ente en cateto adyacente y se llama tangente. figua 2.12 tan39 83 x x

13 página x 83 x x Po ota pate se sabe que la división del lado y = 83 ente el lado, cuando el ángulo mida 39º, siempe va a da el mismo valo. Esa división es el cateto opuesto ente la hipotenusa y se llama seno. 83 sen

14 página 50 EJERCICIO 2.1 Enconta los valoes de los dos lados que faltan especto de la figua 2.13, si se tienen los datos que se señalan en cada poblema: 1) = 95 = 55º 2) x = 115 = 17º figua ) y = 12 4) = 202 = 62º = 80º 5) x = 158 6) y = 84 = º = 76º 2.6 FUNCIONES INVERSAS El poblema inveso a todo lo visto anteiomente es: si se sabe el valo del cociente de la división hecha ente dos lados de un tiángulo ectángulo, a qué ángulo le coesponde? Se dijo en la página 38 que la división del lado vetical ente el hoizontal, especto de la figua 2.1 siempe daá solamente que el ángulo agudo A mida 35.5º, no impota el tamaño de los lados, sean más gandes o más chicos. El asunto es entonces que si dicha división da ahoa, po ejemplo, , cuánto mide el ángulo A? Como se está dividiendo el cateto opuesto ente el cateto adyacente, a dicha división se le llama tangente, lo cual se escibe de donde el ángulo A se despeja escibiendo tan A

15 página 51 actan A se lee: aco tangente de A es igual a y significa: La tangente de qué ángulo A es igual a ? En la calculadoa estas opeaciones llamadas funciones tigonométicas invesas están escitas de oto colo sobe el chasis y aiba de la tecla de la función tigonomética coespondiente, como se ve en la figua Suelen epesentase con 1 la simbología sen, cos 1 y tan 1. figua 2.14 De manea que tecleando la calculadoa muesta en la pantalla el esultado del ángulo cuya tangente vale , o sea 40, esto es que actan Ejemplo 4: Solución: Obtene el valo del ángulo conocidos dos lados del siguiente tiángulo de la figua 2.15: La división del cateto opuesto ente el cateto adyacente al ángulo, llamada tangente, es tan tan ac tan figua 2.15 = Ejemplo 5: Solución: Obtene el valo del ángulo conocidos dos lados del siguiente tiángulo de la figua 2.16: La división del cateto adyacente al ángulo ente la hipotenusa, llamada coseno, es figua 2.16

16 página 52 cos cos 080. ac cos Ejemplo 6: Solución: Obtene el valo del ángulo conocidos dos lados del siguiente tiángulo de la figua 2.17: La división del cateto opuesto al ángulo ente la hipotenusa, llamada seno, es 19 sen 25 sen 076. figua 2.17 ac sen

17 página 53 EJERCICIO 2.2 Enconta el valo del ángulo especto de la figua 2.18, si se tienen los datos que se señalan en cada poblema: 1) x = 33 y = 33 figua ) x = 38 = 49 3) y = 63 = 93 4) y = 30 x = 74 5) = 53 x = 23 6) = 83 y = 40 7) A un ectángulo que inicialmente mide 80 cm. po 40 cm. se le cota una esquina desde su extemo izquiedo hasta queda como lo muesta la figua Calcula el ángulo de su extemo infeio izquiedo. 8) A un ectángulo que inicialmente mide 70 cm. po 32 cm. se le cotan dos de sus esquinas desde sus puntos medios de la base y de la altua como lo muesta la figua Calcula el ángulo que queda en la pate supeio después de los cotes. figua ) Se constuye el tiángulo ectángulo ABC de la figua 2.21 con una altua de 152 cm. y un ángulo de 50º en el vétice A. Luego desde el punto medio m de la base AB se taza la mediana mc. Calcula el ángulo que foma dicha mediana mc con la altua BC. NOTA: No es la mitad del ángulo ACB. figua 2.20 figua 2.21

18 página 54 10) La piámide de base cuadangula mostada en la figua 2.22 tiene una altua de 70 cm. y 50cm. de lado en su base. Calcula el ángulo que se foma ente la base y cualquiea de sus caas. 11) En la piámide del poblema anteio, calcula el ángulo que se foma ente la base cuadangula y cualquiea de sus aistas de la unión de dos caas. 12) El costado de una casa con constucción modenista tiene la foma que se ve en la figua El techo tiene una inclinación de 25 gados especto de la hoizontal y una longitud de 3.4 metos, con un pequeño volado de 80 centímetos medidos hoizontalmente. Desde el final del volado del techo hasta el piso hay una altua de 3.1 metos. La paed fontal tiene cieta inclinación de manea que coincide con el techo a los 80 centímetos desde la base del piso. Calcula la longitud de la paed tasea y el ángulo de inclinación de la paed inclinada. figua 2.22 figua 2.23